メビウスの輪および twisted triangular prism の 3D モデリング
鯨井研究室 学籍番号 1803084 下田 翔太
要約：既存するメビウスの輪とtwisted triangular prismのHerralaモデルのOpenSCADプログラムを改良し，ひねり範囲，
厚み，直径などの変更を可能にした。
キーワード：メビウスの輪，twisted triangular prism，OpenSCAD，Herralaモデル，3Dプリント
1. 研究の背景と目的
メビウスの輪は向きを持たない立体として知られており，工 学的にはメビウス抵抗器などに応用されている。本研究室でも 過去に，メビウスの輪を無限操作コントローラの材料として使 う研究などが行われている。しかしその際既存のゴム板をつ なぎ合わせるようにしたため，接合部分の強度や美観が劣る 等の欠点があった。そこで本研究では，メビウスの輪を3Dモ デリングして3Dプリントすることで，つなぎ目のなくかつあ る程度柔軟な立体を作成することを目的とする。これにより，
上記研究のような場合の素材としての使用や，パラメータの変 更によるひねり範囲・厚み・直径などの変更を可能にするもの である。さらに直方体をひねり伸ばしながら輪を形成するメビ ウスの輪に対し，三角柱をひねり伸ばしながら輪を形成する twisted triangular prismについてもひねり範囲等の変更を可 能にするものである。
2. 要素技術
2.1 OpenSCAD OpenSCADは3D CADモデルを プログラムで作成することができるソフトウェアで，使用する 言語はC言語に似たOpenSCAD言語である。OpenSCAD 言語にはC言語でいう関数に似た機能を持つモジュールとい うものがある。関数と同様に引数を指定して呼び出すことで，
モジュール内のコードに従って3Dモデルを作成できる。
2.2 Herralaモデル HerralaモデルはHerrala氏が
OpenSCADによって実現したメビウスの輪のモデルである。
このモデルではメビウスの輪の半径・帯の幅・帯の厚さを自由 に変更することができる。
3. 提案する機能
3.1 仕様 図1に任意の値を指定しメビウスの輪モジュー ルを呼び出す際のコード，図2に任意の値を指定しtwisted tri- angular prismモジュールを呼び出す際のコードを示す。さら に図3と図4にそれぞれのレンダリング結果を示す。図5に はメビウスの輪へのスリットの入れ方示す。モジュールのパラ メータを変更することで，メビウスの輪の半径・帯の幅・帯の 厚み・ひねる範囲・ひねる方向・ひねる回数・スリットありか なしか，またtwisted triangular prismの輪の半径・ひねる範 囲・三角形の一辺の長さ・ひねり回数を自由に変更することが できる。パラメータのrはそれぞれの輪の半径，wはメビウス の輪の帯の幅，tは帯の厚み，twist dirはひねる方向，twist one halfはメビウスの輪のひねる回数，slitはスリットありか なしか，twist one thirdはtwisted triangular prismのひね る回数，twist ratioはひねる範囲を指す。ひねる方向は帯を ひねる方向を時計回り（CW）か反時計回り（CCW）かを指 定するものである。通常メビウスの輪は直方体を360°の1/2 である180°までひねりながら輪を作り，twisted triangular prismは三角柱を360°の1/3である120°までひねりながら 輪を作っているが，ひねる回数はそれぞれの1/2，1/3ひねる
ことを何回行うかを指定するものである。ひねる範囲は0か ら1で指定するものである。
図1：メビウスの輪モジュールの呼出
図2：twisted triangular prismモジュール呼出
図3：メビウスの輪 図4：twisted triangular prism
図5：メビウスの輪のスリット
3.2 OpenSCADプログラム メビウスの輪は直方体 を，twisted triangular prismは三角柱を円を描くようにひね りながら配置し作成する。ひねる範囲について，直方体を0° から（360×twist ratio）°の間でひねり，（360×twist ratio）
°から360°まではひねらずに配置することでひねる範囲を指 定できるようにした。ひねる方向について，モデルを回転させ るときに使うrotate関数の引数のy軸を中心に回転させる角 度を時計回り指定の時は正の値に，反時計回り指定の時は負の 値にすることでひねる方向を指定できるようにした。ひねる回 数について，rotate関数の引数のy軸を中心に回転させる角 度にメビウスの輪の時はtwist one half，twisted triangular prismの時はtwist one thirdをかけることでひねる回数を指 定できるようにした。メビウスの輪のスリットについて，直方 体をひねりながら配置していく際に配置している現在の角度 を36(360°を10分割した角度の値)で割りその余りが1.5未 満の時はそのまま直方体を配置し，それ以外はdifference関 数を使い，帯の中央に位置する部分を1mm削除しながら直方 体を配置した。1.5という値を設定した理由はスリット部分を ちょうど2mmにすることが困難であり，できるだけ近づくよ う調整した結果のためである。twisted triangular prismにつ いて，引数で指定した座標をつなげてモデリングするpolygon 関数と三角比を使い三角形を作成し，辺の長さを指定できるよ うにした。
4. 実験
さまざまなパラメータ値でプログラムを実行し，OpenSCAD
内で仕様通り正しくモデリングされたことを確認した。さらに いくつか3Dプリントを実際に行い，柔軟で，ある程度高い強 度であることを確認した。
5. まとめと今後の課題
既存するメビウスの輪とtwisted triangular prismのOpen- SCADプログラムに変更を加え，ひねり範囲・直径などの変 更をする機能の追加を実現した。今後の課題としてひねる範囲 を指定してモデリングした際，急にひねるようになってしまう 箇所をなめらかにすることが挙げられる。
参考文献
(1) David Wells, “Curious and Interesting Geometry”
