ベクトル解析早見表

(1)

かつらだ

桂田祐史^{まさし}

2021

年

5

月

31

日

, July 5, 2022

かつらだまさし

(2)

おまけ : ベクトル解析の復習 (1) grad, div, rot, △

grad f = ∇ f =



 

∂f

∂x₁

.. .

∂f

∂x_n



  .

div u = ∇ · u = X n

j=1

∂u j

∂x j .

rot u = curl u = ∇ × u =



 

∂u3

∂x2

−

^∂u_∂x²₃

∂u1

∂x3

−

^∂u_∂x³₁

∂u2

∂x1

−

^∂u_∂x¹₂



  .

△ f = ∇

²

f = X n

j=1

∂

²

f

∂x j

²

, △ u =



 

△ u

1

.. .

△ u n



  .

Z

V

div u dx = Z

∂V

u · n dσ (Gauss

の発散定理).

かつらだ桂田

まさし

祐史ベクトル解析早見表 2021年5月31日, July 5, 2022 2 / 8

(3)

おまけ : ベクトル解析の復習 (2) 2回作用させると何になる

rot grad = 0 ( ∇ × ∇ f = 0), div grad = △ ( ∇ · ∇ f = △ f ), div rot = 0 ( ∇ · ( ∇ × u) = 0),

rot rot = grad div −△ ( ∇ × ( ∇ × u ) = ∇ ( ∇ · u) − △ u ).

方向微分係数の定義と合成関数の微分法から

∇ f · n = ∂f

∂n .

(4)

おまけ : ベクトル解析の復習 (3) 線積分の定義

パラメーター曲線

C : r = φ(t) (t ∈ [α, β])

に対して、

φ(α)

を始点、

φ(β)

^{を終点という。}

d r

dt = φ ′ (t), ds

dt = φ ′ (t ) .

写像としての像

C ∗ := { φ(t ) | t ∈ [α, β }

^を曲線

C

の像または跡と呼ぶ。

f : C ∗ → R, f : C ∗ → R n (n

^{は空間次元}

)

^{とするとき}

Z

C

f ds :=

Z β

α

f (φ(t)) φ ′ (t) dt, Z

C

f · d r :=

Z β

α

f (φ(t)) · φ ′ (t) dt . R

C 1 ds

^は

C

^{の長さである。一般に}

Z

C

f · d r ≤

Z

C

∥ f ∥ ds

が成り立つ。

かつらだ桂田

まさし

(5)

おまけ : ベクトル解析の復習 (4) ポテンシャルの存在

命題

0.1 (ポテンシャルの存在定理)

R n

^{の単連結領域}

Ω

^{におけるベクトル場}

f = (f i )

^が

∂x ∂f

ⁱ

j

= ∂x ∂f

^j

i

(1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n)

を満たすならば、

F (x ) :=

Z

C

x

f · d r

は

C x

の取り方によらず

well-deﬁned

^であり、

∇F = f

を満たす。ただし

C x

は定点から

x

に至る

Ω

^{内の曲線である。}

特に

3

次元ベクトル場

f

が

rot f = 0

を満たす場合、

2

次元ベクトル場

f

が

∂x ∂f

²

1

− ∂x ∂f

¹₂

= 0

^{を満たす場合、}

f

はポテンシャルを持つ。

理解を深めるための注意を

2

つ

1

変数関数の場合の

d

dx Z x

a

f (t) dt = f (x)

に相当する。

C 2

^{級のポテンシャル}

F

^{が存在する場合、}

∂x ∂f

ⁱ

j

= ∂x ∂

²

F

j

∂x

i

, ∂x ∂f

^j

i

= ∂x ∂

²

F

i

∂x

j

であるから、

∂f

ⁱ

∂x

j

= ∂x ∂f

^j

i が成り立つことは明らかである。

入門部分のベクトル解析については、例えば桂田_かつらだ_まさし

[1]

を見よ。

(6)

ベクトル解析の復習 (5)

grad

^{は法線ベクトル} ^関数

F : Ω → R , c ∈ R

^{について、方程式}

F (x) = c

の定める曲線

(

曲面

)

を等高線

(

等値面

)

と呼ぶ。

grad F

はそれらの法線ベクトルとなる。

流束積分単位法線ベクトルが

n

である曲面

S (

^曲線

C )

^と速度場

v

に

ついて

Z

S

v · n d σ Z

C

v · n ds

を流束積分

, ﬂux integral

と呼ぶ。物理的には、単位時間に

S (C )

を通り抜ける流体の体積

(

面積

)

を表す。ただし、

n

の向いている側に出る量を正とする

(S

^が領域

Ω

^{の境界の場合は、}

Ω

の外に流出する量ということになる

)

かつらだ桂田

まさし

(7)

ベクトル解析の復習 (6)

Green

の積分公式

Z

Ω

△ u v dx = Z

∂Ω

∂u

∂n v d σ − Z

Ω

grad u · grad v dx .

流体力学で、有限要素法を使う場合は、もう少し必要である。そのうち書き加えるが、とりあえず桂田

[2]

^{を紹介しておく。}

(8)

参考文献

[1]

桂田祐史：多変数の微分積分学

2

講義ノート第

2

部,

http://nalab.mind.

meiji.ac.jp/~mk/lecture/tahensuu2/tahensuu2-p2.pdf (内容はベク

トル解析) (2006〜).

[2]

桂田祐史：ベクトル値関数版

Green

の公式、部分積分

—

流体力学のために

— (2009/6/14〜), http:

//nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/ana2021/green-theorem-vector.pdf .

かつらだ桂田

まさし

ベクトル解析早見表 - 明治大学