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数学解析第 8回 - 明治大学

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Academic year: 2024

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2 点列の極限と多変数関数の極限・連続 多変数関数とその極限 多項式関数と有理関数の連続 例題 多変数関数の極限に関する注意事項。

第 4 章「点列の極限と多変数関数の極限と連続」のパート 2。複合関数の極限は前と同じです。省略。

連続性は、1 つの変数の実数値関数と同じ方法 (制限を使用) で定義できます。

多変数の連続関数 定義

多変数の連続関数 定数関数と座標関数の連続性

したがって、g は #»a で連続です。したがって、g は Rn で連続です。 したがって、g は #>>a で連続です。したがって、g は Rn で連続です。

多変数の連続関数 多項式関数 , 有理関数の連続性

このとき f:Ω→R は f(#>>x) =R(x1, · · ·,xn) (#>>x ∈Rn) と定義できます。この関数 f は領域 Ω にわたって連続です。このように有理式で定義された関数を有理関数といいます。通常は f ではなく、有理式と同じ R という文字で表されます。 f:Ω→Rとすると、 f(#>>x) =R(x1, · · ·,xn) ( #>>x ∈Rn) となります。この関数 f は領域 Ω にわたって連続です。このように有理式で定義された関数を有理関数といいます。通常、f ではなく、有理式と同じ文字 R で表されます。

多変数の連続関数 例

例 8.4

、両方とも連続関数です (p、r は多項式関数であり、q と s の連続性は既知であることが約束されています)。 (p と r は多項式関数であり、q と s の連続性は既知になることが約束されています)。

多変数の関数の極限についての注意

制限のプロパティは 1 つの変数の関数と同じであることがよくありますが、注意が必要な場合もあります。これを実数という 2 変数の関数を使って説明してみましょう。変数が 1 つの場合、x を a に近似するには、右からの近似と左からの近似の 2 つのケースが考えられます。 (極限の右辺極限。複数の変数の場合、いくつかのアプローチ方法があります。

変数が 1 つの場合、x を a に近づけるには、右から近づける場合と左から近づける場合の 2 つのケースを考えた方がよいでしょう。 (右限界値。複数の変数の場合、これにアプローチする方法がいくつかあります。

多変数の関数の極限についての注意 図で説明

多変数の関数の極限についての注意 有名な例

一方、任意の k∈R について、直線 y=kx,lim に沿って (0,0) に近づくと、

多変数の関数の極限についての注意 鍵となる定理

キーポイント: 関数に制限がある場合、その制限にも同じ制限があります。 g: A→Y で定義される写像は f から A への極限と呼ばれ、f|A と表されます。

多変数の関数の極限についての注意 定理の使い道

関数に制限がある場合、それを制限する関数にも同じ制限があります。 '' 定理の証明は (上で見たように) 簡単でした (おそらくこれが原因で、さまざまな方法で使用できます a) f に関する何らかの制限が次の場合 f に制限がない場合、f には制限がありません When f A があり、f に制限がある場合、それは

上記の例では、(b) が使用されました。重要なのは、限界の限界は本質的に 1 つの変数の関数であり、考えるのが簡単であるということです。

多変数関数の極限に関する注意

この右辺は、r → 0 であっても 0 に収束しません。実際、φ=r の関係を保ち、r → 0 とすれば、この右辺は、r → 0 であっても 0 に収束しません。関係 φ = r および r → 0 を保持します。

多変数関数の極限に関する注意 Mathematica で可視化 上の 3 つの例の関数のグラフや等高線を Mathematica で描いてみよう。

多変数関数の極限に関する注意 まとめ

その制限が存在する場合、それを Ak とします。パソコンをお持ちの方はグラフを描いてみるのも良いかもしれません。

多変数関数の極限に関する注意 ( おまけ ) 0 0

00 を定義すべきではないという意見が強いですが、それは 00 をどう定義しても φ が (0,0) で連続になることを望まないからだと思われます。因数 h は多項式なので、式の hk=h0 は h=0 であっても 1 として扱われます。 (私の主張: 00= 1 と定義し、不連続性 φ を受け入れましょう。) 「00を定義すべきではない」という意見が強いですが、それは00をどう定義してもφが(0,0)で連続になることを望まないからだと思われます。

h の多項式なので、h=0 であっても第 1 項の因数 hk=h0 は 1 として扱われます。 (私の主張: 00=1 と定義し、不連続性 φ を受け入れましょう。)

参照

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念のため: 「特徴づけられる」というのは、u ∈V に対して、 ∀v ∈V au,v =⟨F,v⟩ ⇔ Ju = min v∈VJv が成り立つ、ということである。以前の授業の W⇔ Vに相当 する。 Lax-Milgram の定理は、Rieszの表現定理における内積·,· を、強 圧的有界双線形形式a·,· に一般化したものである注意: 内積は強