（付録）
「コイルと磁場 （１）」
coil and magnetic field part 1
1. ソレノイドコイルのエネルギー
2. エネルギー密度の比較：電場と磁場
3. 磁場のエネルギーとベクトルポテンシャル
4. 相互作用エネルギー：電場と磁場
5. 資料１、２：電源について
暫定版 修正・加筆の可能性あり 注意 1. 電磁波を記述する「マクスウェル方程式」の理解に必要を思われるトピックスに限定 2. 定常電流が作る磁場、準定常電流が作る磁場を考慮 3. 準定常電流：「時間変化が極めて遅いため」、定常電流で成立する法則が「そのまま」適用可となる電流 4. 静磁場（magnetostatic）と書かない理由については404-15を参照して下さい。 5. 磁化（magnetization）は取り扱いません。磁場でお馴染みの「H」と「Ｂ」
注意：英語ではＨもＢも「magnetic field」
本付録では「磁場Ｈ」、「磁場Ｂ」と記す。 単位
•
磁場H：magnetic H field
•
磁場の強さ：magnetic field intensity
•
磁場B：magnetic B field
•
磁束密度：magnetic flux density
•
Ｔ：テスラ、Ｗｂ：ウェーバー
A m
2
T
=
Wb m
おことわり
電場でお馴染みの「Ｅ」と「Ｄ」
本付録では「電場Ｅ」、「電束密度Ｄ」と記す。 単位
•
電場Ｅ：electric field
•
電界Ｅ
•
電束密度Ｄ：electric flux density
•
電気変位Ｄ：electric displacement field
•
Ｃ：クーロン
V m
2
C m
ソレノイドコイルのエネルギー
2
0
2
2
0
0
1
2
1
1
,
2
2
m
i I
i
di
U
pdt
ivdt
i L
dt
dt
Lidi
LI
B Sl
Sl
Sl
µ
µ
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
B
コイルのエネルギー：電源の消費エネルギーに等しい 単位時間当たりの消費エネルギー（消費パワー） 電源電流と電源電圧の積 終状態の電流：Ｉp
=
iv
電流増加 電源：電流 充電前：零 充電後：Ｉ 電源とコイルのみの回路：非現実的 コイルも無限長ソレノイド近似0
d
di
V
L
v
V
dt
dt
Φ
= −
= −
< → = −
ファラデーの電磁誘導の法則：402-17 レンツ（Lentz）の法則 1. 起電力は磁束Φの変化を妨げる向きに発生 2. 起電力は電流変化を妨げる向きに発生 注意：電流増加中はコイルの起電力は負 • 電源の起電力（電圧）と大きさは同じ • 電源の起電力（電圧）と向き（赤矢印）が異なる 電源電圧：正極 電源電圧： 負極 コイルの起電力：高 コイルの起電力：低v
V
お詫び：導線の抵抗は零を仮定しているから終状態到達後 1. 電流は定常電流Ｉとなる（永遠に電流が流れる） 2. 電流変化なし、コイルの起電力は零 3. コイルの起電力が零なら電源電圧も零 4. 実際には内部抵抗により終状態電源電圧は零にならないで オームの法則に従い定常電流Ｉが流れるl
1
l
2
2
0
1
1
2
2
m
U
LI
Sl
µ
=
=
B
コイルの体積 参照：405-9 電源：406-13,14エネルギーは誰のもの？
コイルのエネルギー2
2
2
0
0
1
1
1
2
2
2
m
U
LI
B
Sl
µ
H
Sl
µ
=
=
× =
×
コイルを流れる定常電流を 構成する電子？ コイル内の空間に蓄えられた？ コイルの体積電場Ｅの場合を思い出すと：
•
エネルギーは電気力線が存在する空間（非零電場E）
に充ちている。
コイルのエネルギー：磁場のエネルギー
•
エネルギーは磁束線（磁力線）が存在する空間（非零磁場）に充ち
ている。
•
磁場のエネルギー密度
2
2
0
0
1
1
2
2
m
u
B
µ
H
µ
=
=
Ｂ：磁場 Ｈ：磁場
⊗⊗ ⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗
無限長ソレノイドコイル（断面図）⊗⊗ ⊗
簡単に言えば、磁束線（磁力線）が密なら磁束Φが大きい 磁束線（磁力線）の本数：ｎ0
n
∝ Φ =
BS
=
µ
HS
ソレノイドコイルのエネルギー 1. 電源が消費したエネルギー 2. コイルのエネルギー 3. 磁場のエネルギー 皆、同じエネルギー 質問：磁力線と磁束線は同じ、異なる？ 磁力線は磁場Ｈ、磁束線は磁場Ｂ（磁束密度Ｂ）と対応しますが、本付録では「背景」＝「真空」と しているので両者を区別しません。同様に、磁場Ｈと磁場Ｂも単位が異なることを除いて区別しませ ん。棒磁石内のように「背景」＝「磁性体」では区別が必要になります。 ４０６－4エネルギー密度の比較：電場と磁場
静電エネルギー密度 静電場Ｅのエネルギー密度( )
2
( )
(
)
0
1
, ,
2
e
u
r
=
ε
E
r
r
=
x y z
静電エネルギー：空間積分 電場Eベクトル：位置依存性 位置ｒベクトル( )
2
0
1
2
e
U
=
ε
∫
E
r
dV
dV
=
dxdydz
重要なお約束！
•
静電エネルギーは電気力線が存在する空間に充ちている。
•
磁場のエネルギーは磁束線（磁力線）が存在する空間に充ちている。
重ね合わせの原理：２個の正電荷の例( )
( )
2
0
1
2
1
2
e
U
=
ε
∫
E r
+
E
r
dV
電場E：個々の正電荷による電場E1とE2の和 定常磁場のエネルギー密度 定常電流が作る磁場Ｂ( )
2
( )
(
)
0
1
, ,
2
m
u
x y z
µ
=
=
r
B
r
r
磁場Ｂベクトル：位置依存性 位置ｒベクトル 定常磁場のエネルギー：空間積分( )
2
0
1
2
m
U
dV
dV
dxdydz
µ
=
∫
B
r
=
重ね合わせの原理 ：例えば、２個のコイル( )
( )
2
1
2
0
1
2
m
U
dV
µ
=
∫
B r
+
B
r
磁場B：個々のコイルによる磁場B1とB2の和 参照：402-8磁場のエネルギーとベクトルポテンシャル（１）
磁場のエネルギー：２個のコイルの例( )
( )
2
1
2
0
1
2
m
U
dV
µ
=
∫
B r
+
B
r
コイル１による磁場Ｂ( )
1
B r
コイル２による磁場Ｂ( )
( )
( ) ( )
2
1
0
2
2
0
1
2
0
1
2
1
2
1
dV
dV
dV
µ
µ
µ
=
+
+
∫
∫
∫
B
r
B
r
B r B
r
コイル１：磁場のエネルギー（単独） 係数（1/2）は有 コイル２：磁場のエネルギー（単独） 係数（1/2）は有 展開 相互作用による磁場のエネルギー 係数（1/2）は無( )
2
B
r
イメージ：２個の一巻コイル 緑色：コイル１による磁束線（磁力線） 青色：コイル２による磁束線（磁力線） • 一巻コイル（ループ電流）が作る磁束線（磁力線） • 遠方では棒磁石による磁束線（磁力線）と同一 コイルの位置：省略 コイル１：ループ電流（電流密度） コイル２：ループ電流（電流密度）( )
2
J
r
( )
1
J r
４０６－6磁場のエネルギーとベクトルポテンシャル（２）
相互作用による磁場のエネルギー：２個のコイルの例( ) ( )
( ) ( )
( )
(
( )
)
1
2
1
2
1
2
0
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
,
,
y
x
y
x
z
z
y
x
y
x
z
z
x
y
z
z
x
y
z
dV
dV
dV
A
A
A
A
A
A
dV
y
z
z
x
x
y
A
A
A
A
A
A
H
H
H
dV
y
z
z
x
x
y
H A
µ
=+∞
=−∞
=
=
∇×
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
+
−
+
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
B r B
r
H r B
r
H r
A
r
H
[
1
2
]
y
x
z
y
dxdy
−
∫
H A
=+∞
=−∞
[ ]
1
1
2
2
x
x
z
y
H
H
dxdz
A
A
dV
y
z
∂
∂
−
−
∂
∂
+
∫
∫
[ ]
1
1
2
2
y
y
x
z
H
H
A
A
dV
z
x
∂
∂
−
−
∂
∂
+
∫
∫
1
1
2
2
z
z
y
x
H
H
A
A
dV
x
y
∂
∂
−
−
∂
∂
∫
定義：ベクトルポテンシャル（コイル２） 条件：距離無限大で磁場Ｈやベクトルポテン シャルＡは存在しない。( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
0
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
4
I d
I d
dV
dV
I d
R
µ
π
= ∇×
∫
H r
A
r
=
∫
J r A
r
=
∫
s A
r
=
∫∫
s
s
磁場のエネルギーとベクトルポテンシャル（３）
計算：続き1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
z
z
x
x
y
y
z
z
H
H
H
H
H
H
A
A
A
A
A
A
dV
y
z
z
x
x
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
→
−
+
−
+
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∫
( ) ( )
( ) ( )
0
1
1
2
2
1
2
1
2
0
1
4
I d
I d
dV
dV
R
µ
µ
∫
=
∫
=
π
∫∫
s
s
B r B
r
J r A
r
お詫び 1. 相互作用による磁場のエネルギーは電流密度とベク トルポテンシャルで与えられる。 2. 現時点ではベクトルポテンシャルの有用性は実感で きません。 3. 静電場Ｅの静電ポテンシャルと定常磁場Ｂのベクト ルポテンシャルを対応させましょう（406-11） コイル１：アンペールの法則（微分型） コイル１の電流密度 ２個のコイルの例 ４０６－8 コイル１の電流素片( )
0 2
2
2
2
2
,
4
I
d
R
µ
π
=
=
−
−
∫
1
1
1
A
r
s
r
r
r
r
Ｒ：コイル１の電流素片とコイル２の 電流素片間の距離 コイル２に流れる電流がコイル１上に 作るベクトルポテンシャル。ベクトル ｒ１は常にコイル１の位置を示す。 添字に注意磁場のエネルギーとベクトルポテンシャル（４）
添字に注意：位置関係( ) ( )
( )
1
2
1
1
2
1
0
1
1
2
2
0
1
1
2
2
1
2
4
4
dV
I d
I d
I d
R
I d
I d
µ
π
µ
π
=
=
=
−
∫
∫
∫∫
∫∫
J r A
r
s A
r
s
s
s
s
r
r
1
I
1
2
= −
R
r
r
背景：真空2
r
1
r
O
原点1
ds
2
I
( )
2
1
A
r
電流１ 電流２ 電流２：ベクトルポテンシャルの意味 • 電流２が電流１上の位置ｒ１に作るベクトルポテンシャル • 電流２の電流素片ｄｓ２に沿って線積分( )
0 2
0 2
2
1
2
2
1
2
4
4
I
I
d
d
R
µ
µ
π
π
=
=
−
∫
∫
A
r
s
s
r
r
2
ds
コイル１の一部 コイル２の一部 注意：位置ベクトルがｒ１に変化 注意：積分の意味 • 電流１の電流素片ｄｓ２に沿って線積分しながら • 電流２の電流素片ｄｓ２に沿って線積分 • 積分中、r１、r２、Ｒは変化 積分：全空間ポテンシャルエネルギー（静電場）と静電エネルギー
静電エネルギー：２個の点電荷の例( )
( )
2
0
1
2
1
2
e
U
=
ε
∫
E r
+
E
r
dV
電荷ｑ1による電場Ｅ( )
1
E r
電荷ｑ2による電場Ｅ( )
( )
( ) ( )
2
0
1
2
0
2
0
1
2
1
2
1
2
dV
dV
dV
ε
ε
ε
=
+
+
∫
∫
∫
E
r
E
r
E r E
r
電荷ｑ1：静電エネルギー（単独） 係数（1/2）は有 電荷ｑ2：静電エネルギー（単独） 係数（1/2）は有 展開 相互作用による静電エネルギー 係数（1/2）は無( )
2
E
r
注目：相互作用による静電エネルギー( ) ( )
[
]
[
]
1
0
1
2
0
2
1
0
2
0
2
1
x
x
V
dV
V dV
E
dV
x
E V
ε
ε
ε
ε
∂
=
−∇
= −
+
∂
= −
∫
E r E
r
∫
E
∫
(
)
( )
2
0
1
0
2
1
2 1
2 1
2
x
E
V dV
V dV
V dV
q V
x
ε
∂
ε
ρ
+
+
→
∇
=
=
∂
∫
∫
E
∫
r
条件：点電荷の場合、距離無限大で電場Ｅは存在 しない。静電ポテンシャル（電位）は零 定義：静電ポテンシャル（電位） ガウスの法則：微分型 ｒ：点電荷ｑ2の位置(
)
2
q
2
2
ρ
=
δ
r r
−
点電荷ｑ2の電荷密度 注意：デルタ関数（403-5） 参照：403-8 ４０６－10相互作用エネルギー：電場と磁場（１）
相互作用による静電エネルギー：403-9 相互作用による磁場のエネルギー( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1
1
2
1
2
0
1
dV
dV
dV
µ
⇔
⇔
∫
J
r A r
∫
B r B
r
∫
J r A
r
コイル２の電流密度と コイル１のベクトルポテンシャルの積 変数ｒ：体積分 コイル１の電流密度と コイル２のベクトルポテンシャルの積( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1
dV
0
1
2
dV
1
2
dV
ρ
φ
⇔
ε
⇔
ρ
φ
∫
r
r
∫
E r E
r
∫
r
r
電荷密度ρ 電荷q２の電荷密度と 電荷q１の静電ポテンシャルの積 変数ｒ：体積分 電荷q１の電荷密度と 電荷q２の静電ポテンシャルの積 静電場Ｅの世界 電荷密度 静電ポテンシャル( )
( )
ρ
r
⇔
J r
電流密度 定常磁場Ｂの世界( )
( )
φ
r
⇔
A r
ベクトルポテンシャル相互作用エネルギー：電場と磁場（２）
相互作用による静電エネルギー：403-9 相互作用による磁場のエネルギー( ) ( )
0
1
1
2
2
0
1
( ) ( )
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
I d
I d
dV
µ
µ
dV dV
π
π
⇔
⇔
−
−
∫
J r A
r
∫∫
s
s
∫∫
J r
J
r
r
r
r
r
コイル１の電流密度と コイル２のベクトルポテンシャルの積( ) ( )
1( ) ( )
1 2 2 1 2 1 2 0 1 21
4
dV
ρ
ρ
dV dV
ρ
φ
πε
⇔
−
∫
r
r
∫
r
r
r
r
電荷密度ρ 電荷q１の電荷密度と 電荷q２の静電ポテンシャルの積 静電場Ｅの世界 電荷密度 静電ポテンシャル( )
( )
ρ
r
⇔
J r
電流密度 定常磁場Ｂの世界( )
( )
φ
r
⇔
A r
ベクトルポテンシャル ４０６－12 電荷q１の電荷密度と電荷q２の電荷密度：413-4 コイル１の電流密度とコイル２の電流密度 参照：406-9資料１：電源について
定電圧源 • どんな素子（負荷）に対しても定電圧 • 素子が無くても定電圧0
V
電源 素子 例：抵抗値が時間変化 時間 黒：抵抗値0
V
青：電圧値 例：電流も時間変化（オームの法則） 定電流源 • どんな素子（負荷）に対しても定電流 • 素子が無くても定電流（電圧零） 電源 素子 例：抵抗値が時間変化 時間 黒：抵抗値0
I
赤：電流値 例：電圧も時間変化（オームの法則）0
I
素子無0
V
素子無0
I
0
I
0
I
I
0
４０６－14
