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(1)数列の極限. 矢崎. 目次 .

(2) . 数列数列の極限不定形有界な単調数列の収束性定理を用いる問題定理を用いる問題区間縮小法区間縮小法の問題問題のヒント（誘導問題）相加相乗平均円周率の計算. 注問題これだけは！（初級）問題脳みそに汗が；（中級）問題むむ、御主只者でないの。（上級）. .

(3). .

(4) 数列. . 数の並び . . を数列と呼び、 . . . は自然数 . . . . . . . . などと表す。を初項、を第項、あるいは一般項と呼ぶ。. 問題次の数列の一般項を書け。

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(23) 問題. . . . 次の問に答えよ。. 日目には円もらう。日目には円もらう。日目には日目の倍の円もらう。このように、毎日、前日の倍の金額を日間もらい続けたとき、日間でもらった合計金額はいくらになるか。. 実は、上の合計金額は毎日万円を日間もらうより遥かに高い。しかし、数日間は明らかに毎日万円もらった方が良い。何日目に合計金額が逆転するか。 . 全体の集合第項と一般項は意味が違うが、さしあたり混同してよい。.

(24) 数列の極限. . 数列において、添え字番号が大きくなるにしたがって、が限りなくある数に近づくとき、数列は極限値に収束するとい「限りなく近づく」こう。これを、とと「単に近づく」こととは異なる！あるいは、 . . などと表す。収束しないとき、数列. . は発散するという。. 以下は基本である。. のとき、 . . . . . . . ただし . . . ならば . . . かつならば、 . . . 例. はさみうちの原理アルキメデスの原理. 実数に対して、数列 . . . . . を.

(25). のように定める。このとき、 . . . を求めよ。. 答の両辺の対数をとり、 ! とおくと、である。したがって、は公比の等比数列。∴ よって、 ½ ! ! より、よって、次の通りの場合が考えられる。. . . のとき、よって、のとき、よって、 . . . . . . のとき、は発散する。∴. . . の極限も発散する。. のとき、は（正の無限大に）発散する。∴ （正の無限大に）発散する。

(26). . の極限も. 問題次の数列は収束するか発散するか。収束するものについては、その極限値を求めよ。. . .

(27)

(28) . .

(29) 不定形. .

(30) " において、が無限大に発散する場合などは、必ずしも ∼ は成り立たない。例えば、以下のつの例はどれもだが、の結果が異なる。 " での場合のとき、 . . . . . のとき、 . のとき、 . ∴ は一般にはわからない。これを不定形という。以下の形も不定形とよぶ：. . . . . . . 例不定形の例を作ってみよう。のとき、なる数列に対して、の極限を考えると形式的には " よりとなる。しかし、次のつの例はいずれも結果が異なる。. . . . . . . . . . . . . . のとき、 . . . のとき、 . . . のとき、 . . . . . . . . . . のとき、なる数列に対して、の極限を考えると、形式的には不定形となる。極限計算をすると、問題. . . . . となるような、数列. . . . . . . . . . . の例をそれぞれ作れ。は適当な定数 . .

(31) 有界な単調数列の収束性. 次の定理は実数の連続性と呼ばれる。定理. . が次のまたはを満たすならば、極限は存在 . . する。. 定数があって、 . 有界単調増加列. 定数があって、 . 有界単調減少列. の定義数列 . . . 項定理より、 . の極限は不定形である。. . . . . . . . . . . . . #. . . . #. . . . . . . #. #. これより、 . . . . . #. よって、また、 . . . . . . . . . #. . . . . #. . #. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # . . . # . . # . . #. . . より. #

(32) . したがって、は単調増加で上に有界な列であるので、定理より極限が存在する。その極限値をと書く。オイラー $ % . & の頭文字. 問題. . 上の導出を納得せよ。. .

(33) 定理を用いる問題 . で定義された数列を示せ。さらに極限を求めよ。例. . . . . . . . . . . . . . . . . . に対して次の . . . . . 図を見てを直観的に把握しよう。. . '. . . . . . 答全てのについて . . である。 .

(34). . . のときが成り立つとすると、 . . ∴ . . . . . . ∴ よってはすべての自然数に対して成り立つ。数学的帰納法. . . . . であり、また .

(35). より、. . . . と定理よりは収束する。 . ∴

(36) より . 問題.

(37). . 上の例 . 問題. . 以下の各数列. . .

(38). . . . . . .

(39). . . . . . . のはどのようにして決めたと思うか。の収束性と極限値を求めよ。. . . を得る。とおけば、 . . . . . ( . ヒント隣接項間漸化式、前項の平均値である。また隣接項間漸化式でもある。番目の例と類似。あるいは、全て一般項を求めてから計算してもよい。. .

(40) 定理を用いる問題 .

(41). 例で定義された数列示せ。さらにを求めよ。. . に対し次のを. . . . . . . . . . . . . . . . . 図を見てを直観的に把握しよう。. . . . . . . . . '. . 答よりのときが成り立つと仮定すると、 . ∴ よってはすべての自然数に対して成り立つ。数学的帰納法のときが成り立つと仮定すれば、 . よってはすべての自然数に対して成り立つ。と定理よりは収束する。とおけば、 . ∴ より . 問題. . . 問題. . . . 問題. . 上の例 . . のはどのようにして決めたと思うか。 . . 次の数列の収束性と極限値を求めよ。.

(42) . . 以下の各数列 . . . . . . . . . . . の収束性と極限値を求めよ。

(43) ( . ヒント図を描く。はで場合分け。. .

(44) 区間縮小法. 次の定理も実数の連続性と呼ばれる。定理. . . . . について、. . . もも有界単調列だから、定理より極限が存在する。 . . が成り立つならば、各極限は存在して一致する： . . . . 注º 上の定理を言い換えると、『閉区間をとすれば、 . . . あり、区間の幅は零に収束する。このとき、全ての区間に共通な集合はただ一点からなる。』. で定められる数列のとき収束することを示し、その極限値を求めよ。例. . . . . . 答全てのについて収束する。. . . . . . .

(45). ½ で . . . この意味で、定理を区間縮小法と呼ぶ。. は. である。次の点を示せば定理よりは. は単調増加、は単調減少 . . . . . . 以上のは図を見ると直観的に納得するであろう。 . . . '. . . . .

(46) を示し、

(47) を仮定して、

(48) 数学的帰納法を示す。同様に、

(49) を示し、

(50) を仮定して、

(51) を示す。 .

(52). より、. . . はよい。∴ . 次のように絶対値を評価する。 . . . . . . . . .

(53). .

(54) . 問題. 区間縮小法の問題. . 以下の各数列. . . .

(55). . . . . . の収束性と極限値を求めよ。. . . . . . . . . . . . . . . . . 以下の図をヒントとしよう。. . . ' . . . . . . . . . '. . . . ! ! とおくと、は単調減少列、は単調増加列であることを示せ。また、を示せ。問題. . . . 注この問題を示せば、定理より共通の極限値が存在することがわかる。その極限値 . はオイラー数と呼ばれる。の数論的性質は未知である。例えば無理数であるかどうかもわかっていない。.

(56). も無理数かどうかわかっていない。. .

(57) 問題のヒント（誘導問題）. . 問題において、はよいであろう。少性、問題. の単調増加性は次の問題の答えから導くことができる。. . . . の単調減. . . 不等式. . . . !. . を用いて、 .

(58). . . . . . . および .

(59).

(60) . を示せ。. これより、問題は解決！だが、不等式

(61) を示さねばならない。問題. . 不等式. . . . . . . . . . . である。. . . . . . . . を用いて、

(62) を示せ。. . . . . . . . 不等式. . .

(63). . を用いて、. . は、

(64) で示した。また、 .

(65) . 問題. . . ·½. . . .

(66) . .

(67) . とおくと、

(68) は、. . はよい。とを示せば

(69) がいえる。 . . . より、. . . であるので、. . . . が単調減少であるこ. .

(70) . を示せ。. 不等式

(71) を示すために、次の相加相乗平均を紹介しよう： . . . .

(72). . 算術幾何平均. に対し、. . . . が成り立ち、かつ等号成立はの場合に限る。問題.

(73). . 相加相乗平均において、 . とおくことにより

(74) を示せ。また、

(75) で示した加性：. . .

(76). . . . . . . . . . . の単調増. . . を、相加相乗平均において、より示せ。. . . とおくことに

(77) の証明！.

(78) . の別.

(79) . 相加相乗平均.

(80)

(81) の相加相乗平均を示そう。必要ならば順序を入れ替えてとしてよい。この相加平均を . . 算術平均 )* . . とおく。数学的帰納法により相加相乗平均を示す。まず、のときは既知である。

(82) とする。まで '+ とすると、とおいて、 . ½ . . が成り立つ。問題. . において、左辺を計算せよ。また、右辺に不等式. . . . . . を示せ。. を用いて、. これより、相加相乗平均の不等式が示された。等号成立の場合と、不等式を示せば終了である。問題導け。. 不等式を、左辺右辺を示すことから. . あとは等号成立がの場合に限ることだけを示せばよい。問題こと示せ。. . これより、問題. . . . のとき相加相乗平均において等号不成立となる。. . 次の問に答えよ。.

(83). のとき、不等式において等号不成立である. . .

(84). とし、. . . これで

(85)

(86) の相加相乗平均が完全に証明されたことを反芻せよ。. . . . . . . . . . . . この極限値をの算術幾何平均と呼ヒント相加相乗平均より、の大小関係を示し、これを用いて、は単調減少、は単調増加、ぶ（ガウス ,）。とすると、. . . . . は同じ極限値に収束することを示せ。. . を示し、定理を用いる。. .

(87). .

(88). . . . とすると、. . . . . . . . . . . . . . . とし、. . . は同じ極限値に収束する。. .

(89) . 円周率の計算. 正角形はを大きくしていくと円に近づいていく（図）。. 図正角形（

(90)

(91) ）。図では各辺を延長した直線を描き、円は描いていない。. 直径の円に内接する正角形の周の長さを外接する正角形の周の長さをとすると、表（左）を得る。また、内接正角形、外接正角形の面積をそれぞれとすると、表（右）を得る。 .

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(97) . . .

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(106) . .

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(125) . .

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(147) . 表正角形の周長（左）と面積（右）。アルキメデスは ! まで計算した。劉徽

(148) は正角形を用いてを、祖沖之も多角形を用いて

(149) を導き、をの良い近似として用いた。この分数はヨーロッパでは

(150) 世紀まで知られなかった。. 問題. . . . . . . . 次の問に答えよ。. を示せ。 . . . . 単調性面積 . . . . . . .

(151) . . . . . . . および . を、. . . を示せ。. を示せ。. を示せ。. などを用いて表せ。. 表はより得たものである。について、表値が得られることを電卓等を用いて確認せよ。 . の. . はよく知られていた.

(152)