特徴量の経年変化解析に基づく個人識別手法の検討

「画像の認識・理解シンポジウム(MIRU2011)」 2011 年 7 月

特徴量の経年変化解析に基づく個人識別手法の検討

原田 健希

†

田副 佑典

†

前島 謙宣

†

森島 繁生

‡ †‡早稲田大学理工学術院 〒169-8555 東京都新宿区大久保 3-4-1

E-mail: †{snowstorm.223@akane, the-brave-w@ruri, maejima@aoni}.waseda.jp, ‡[email protected] あらまし 本稿では，特徴量の経年変化を解析し，その結果に基づき特徴量に重みづけを行うことで，経年変 化を考慮した個人識別手法を提案する．顔認証分野では，個人内分散が小さくかつ個人間分散の大きい特徴量に大 きな重みを与えるのが一般的であるが，登録時と認証時の画像に年齢差がある場合には，却って識別性能を低下さ せる要因になる．提案手法では，「経年変化の影響を受けにくい特徴量」に加え，「経年変化に伴い一定の割合で変 化する特徴量」も識別に用いる．各年齢における特徴量の平均値を用いて，年齢に対する相関係数を求める．相関 係数の高い特徴量に対して，経年変化の影響を軽減するような補正を行う．13 サンプルを用いた評価実験を通じ て，一様な重みづけをした場合と比較し，1 位照合率が 46.2%から 76.9%に向上したことを確認した． キーワード 顔認証，個人識別，特徴量，経年変化，顔グラフ

1. はじめに

近年，社会の情報化が進み，個人の扱う情報が以前に も増して機密性の高いものとなりつつある．そのため， 他人からの不正なアクセスを制限し，重要な個人情報を 保護するという観点から，所有者本人を特定するシステ ムの必要性が増加している．現在，個人識別は暗証番号 によって本人確認を行う方法がもっとも普及している． しかしながら，暗証番号は他人に解読されやすく，また 本人自身が忘れてしまう恐れがあるといった問題がある． そこで，暗証番号に置き換わる個人識別手法として，生 体情報(バイオメトリクス)を用いた個人識別に関心が集 まっている． バイオメトリクスを用いた個人識別手法には，顔画像， 指紋，虹彩，声紋，筆跡などを照合するものが挙げられ る．中でも，顔画像を用いた個人識別は，認証する度に 顔を撮影することから，利用者の顔画像をそのまま履歴 画像として使用することが可能であり，不正抑止効果が 高い．また，登録・認証時に装置に触れる必要がなく， 心理的な抵抗感が少ない．更に，被撮影者が認証動作を 必要としない監視カメラの映像から認証を行う「受動型 認証」への応用も期待されている． 一方で，顔認証は照明変化・表情変化に加えて経年変 化に弱く，とりわけ登録時と認証時の年齢差によって生 じる顔の変化によって識別性能が低下するという問題点 がある[1][2]．例えば，空港などでの出入国審査の際に， IC 旅券に収納された顔画像による顔認証(IC 旅券が本人 のものであるかを確認する仕組み)が，日本をはじめと する各国で計画されているが[3]，経年変化によって IC 旅券の登録時の顔と現在の顔に大きな差異が生じる場合， 識別できなくなる恐れがある．識別性能の低下を防ぐ為 には，IC 旅券に登録される顔画像を定期的に更新する 必要があるが，もし登録時と認証時に年齢差が生じた場 合でも識別可能なシステムを構築することができれば， 登録画像を定期的に更新する手間を省くことができると 考えられる．更に，数年前に行方不明になった人物を当 時の写真を手掛かりに自動で特定する行方不明者捜索支 援ツールや，長年にわたり逃走を続ける指名手配犯を監 視カメラの映像から特定する犯罪捜査支援ツール等，更 なる需要の増加と応用範囲の拡大が期待できる． 顔認証は，入力された顔画像が持つ膨大な情報の中か ら，個人を識別するのに必要な情報を取り出し，その情 報を基に個人識別を行う手法が一般的である．個人を識 別するのに必要な情報は「特徴量」と呼ばれ，識別性能 を左右する極めて重要なファクターとなる． 顔認証に利用される特徴量の代表例として，顔の各部 位の相対的な位置関係・大きさ・面積等を表す幾何学的 特徴量や[1][4]，Gabor 特徴量等の各部位領域における 色情報に基づく特徴量があげられる[5][6]．しかし，こ れらの特徴量は，同一人物であっても成長および老化に 伴い変化してしまうと考えられ，顔認証の識別性能を低 下させる大きな要因となる． 経年変化を考慮した個人識別手法は，経年変化の影響 を受けにくい特徴量を識別に用いる手法と現在の顔画像 を基に年齢の異なる同一人物の顔を合成する手法が挙げ られる． 前者の代表例として，臼井らは適合性フィードバック を用いた「経年変化の影響を受けにくい特徴量」による 人物画像検索手法を提案している[1]．この手法は，1 枚 の顔画像を入力とし，顔の経年変化を含む人物画像コレ クションの中から入力画像と同一人物を検索することを 目的としている．まず，入力顔画像と人物画像コレク ションから取り出された顔画像のそれぞれから Gabor

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特徴量，顔グラフ特徴量を抽出する．次に特徴量毎に類 似度を算出し，類似度の高い上位数枚の画像を検索結果 として提示する．ユーザは検索された画像に対して，入 力画像における人物と同一であるかどうかを判定する． システムはこの判定結果に基づいて，入力画像の追加と 特徴量の再重みづけを行い，検索結果を更新する．この ようなフィードバックを繰り返すことによって，検索性 能の向上を果たしている．しかしながら，再重みづけを 行うには，検索された画像を用いる必要があり，多くの 画像を検索するには数回にわたるユーザのフィードバッ クが必要となる．また，最初に検索された画像が入力画 像と同年代のものである場合，重みづけにより却って異 なる年齢の画像を検索することができなくなる恐れがあ る． 後者には，2 次元画像に年齢操作を加える手法[8][9] と 2 次元画像を 3 次元モデルに復元してから年齢操作を 加える手法[10]がある．これらの手法は精度よく合成可 能な部分には有効だと考えられるが，合成に大きな誤差 の伴う部分に関しては，識別性能を低下させてしまうと 考えられる． そこで本研究では，臼井らが用いた「経年変化の影響を 受けにくい特徴量」に加え，「経年変化に伴い一定の割 図 1. 本研究の流れ 合で変化する特徴量」も使用することで識別性能を向上 させることを目的とする．そのためには，あらかじめ経 年変化の影響を受けにくい特徴量と受けやすい特徴量を 把握しておく必要がある．そこでまず，特徴量の各成分 について，年齢-特徴量グラフを作成し，相関係数に基 づき，経年変化の影響を受けやすい特徴量と受けにくい 特徴量とに分類する．続いて，経年変化の影響を受けや すい特徴量のうち，一定の割合で変化していくものに対 して，経年変化の影響を軽減するような補正を行った． この補正により，経年変化に伴い一定の割合で変化する 特徴量を効果的に用いることで，経年変化に対応した個 人識別手法を提案する．本研究の流れを図 1 に示す．

2. 経年変化データベースの構築

本研究では，経年変化による影響に焦点を当てるため， 撮影時の年齢が既知であり，正面を向いた無表情な 4~29 歳の人物の顔画像を収集し，データベースを構築 した．本章では，上記条件を満たす顔画像の収集方法に ついて述べる． 経年変化データベースとしては，各個人の様々な年齢 の顔画像が多数含まれているのが理想的である．そこで まず，アルバムや卒業写真，証明写真等，日常生活の中 で撮影された同一人物の経年変化を含む画像を，研究室 メンバーを主とする 26 人分収集した．各画像における 撮影時の年齢は本人の申告によるものとした．しかしな がら，卒業写真やアルバムは表情や顔向きの変動を伴う 画像が非常に多い．撮影環境の統一された画像としては 運転免許証やパスポートの証明写真が挙げられるが，個 人情報を含むことから多くの人物の画像を収集するのは 容易ではない．そこで，経年変化の解析用のデータ数を 確保するため，インターネットを用いてウェブ上に蓄積 されている画像のうち，撮影時の年齢が記載されている ものを収集した．同一人物の画像は含まれていないが， 年齢毎に多くの顔画像を収集することで，万人に共通す る特徴量の経年変化を取り出すことができると考えた． この 2 つの方法によって全 394 枚の画像を収集し，経年 変化データベースを構築した．年齢別に見た顔画像デー タの内訳を図 2 に示す． 図 2. 年齢別に見た顔画像データの内訳 17% 13% 9% 36% 25% 4~9歳 10~14歳 15~19歳 20~24歳 25~29歳 経年変化解析に基づく特徴量の分類 特徴量の抽出 評価 経年変化に伴い 一定の割合で変化 年齢 特 徴 量 経年変化の影響を 受けにくい 年齢 特 徴 量 補正 年齢 特 徴 量

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3. 特徴量の抽出

顔認証は，画像から識別に有効な情報，すなわち特徴 量に基づいて行う手法が一般的であることは先に述べた． 本研究では，個人識別に有効な特徴量として顔グラフ特 徴量を用いた．本章では，顔画像から特徴量を抽出する 手法について述べる． 3.1. 特徴点の検出 本研究では，特徴量抽出の際に，顔の各部位を簡潔に 表す特徴点を利用する．特徴点は顔の部位(目・鼻・ 口・輪郭)を含む 89 点から構成される[7]．特徴量を抽出 する際には，顔の部位を表すのに最も重要だと考えられ る 27 点を使用した．まず，各顔画像から自動で検出さ れた特徴点を初期配置点とする．配置された特徴点に検 出誤差が見られる場合には，手動で特徴点の再配置を行 う．顔画像に特徴点を配置した例を図 3 に示す． 3.2. 顔画像の正規化 それぞれの顔画像は異なる環境の下で撮影されたもの であり，顔の大きさや位置が異なる．そこで，すべての 顔画像から同じような条件の下で特徴量を抽出する為に， 本研究では両目間距離を基準として，顔画像の正規化を 行う．正規化の流れを図 4 に示す． まず，顔領域のサイズを正規化する．両目内側を表す 特徴点間の距離が 80pixel となるように画像の拡大また は縮小を行う．この処理により，すべての顔画像におい て両目内側間の距離が統一される． 次に，顔の傾きを正規化する．両目内側を表す 2 つの 特徴点を結ぶ直線が水平となるように画像を回転する． 最後に，上記の処理によって正規化された画像から顔 領域を切り出す．両目内側を表す 2 つの特徴点の中心座 標が(256, 153)となるように，512pixel×512pixel のフ レームを作成し，顔領域を切り出す．これらの処理によ り，全ての顔画像において，両目内側の特徴点が同一の 位置に配置される． 図 4. 正規化の流れ 3.3. 特徴量の抽出 顔グラフ特徴量の抽出には，正規化の際に検出した特 徴点を使用する．隣接する 2 つの特徴点を結ぶ直線の距 離を 1 つの特徴量とし， 66 次元の特徴ベクトルFを作 成する．

j

番目の特徴量を

f

_jと表すと，特徴ベクトル Fは次のように表される． 顔グラフの例を図 5 に示す．



f

0

,

f

1

,



,

f

65





F

(1) 図 3. 特徴点 図 5. 顔グラフ

4. 経年変化解析に基づく特徴量の分類

経年変化を考慮した顔認証において，顔の成長や老化 とともに特徴量が変化してしまうことが，識別性能を低 下させる大きな問題点であることは先に述べた．特徴量 の経年変化を把握することができれば，経年変化の影響 を軽減するような補正を施すことによって，年齢差のあ る画像からでも本人を識別することができ，識別性能の 低下を防ぐことができると考えられる． そこで本章では，4~29 歳を含む様々な人物の顔画像 394 枚を用いて，顔グラフ特徴量の各成分における年齢 と特徴量との関係を解析し，経年変化の影響を受けにく い特徴量と，経年変化に伴い一定の割合で変化する特徴 量に分類する． 4.1. 年齢-特徴量グラフの作成 顔グラフ特徴量の各成分に対して，横軸を年齢，縦軸 を特徴量とした年齢-特徴量グラフを作成する．顔画像 から抽出される特徴量の平均が 0，標準偏差が 1 となる ように標準化する．標準化された各人物の特徴量を年齢 毎に分け，各年齢における平均値を算出し，グラフ上に プロットする．平均を取ることにより，各年齢における 個人間分散の要素をグラフから排除することが可能とな る． また，本研究では，正面を向いて撮影された顔画像の みを対象としているが，撮影された環境がそれぞれ異な るため，画像には多少の顔の向きや表情の変動が含まれ てしまう．そこで，様々な環境で撮影された画像から抽 出された特徴量の平均を取ることによって，顔向きの変 動による誤差も互いにキャンセルし合うと考えられる． 年齢-特徴量グラフの例を図 6 に示す．(a)のグラフで は，年齢に関係なく-0.5~0.5 の間に位置しており，経年 変化の影響を受けにくい特徴量ということができる．一 方(b)では，年齢が増加するに従い，特徴量の数値も増 加していることから，経年変化に伴い一定の割合で変化 する特徴量と捉えることができる．

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(a) 経年変化を受けにくい特徴量の例 (b) 経年変化に伴い一定の割合で変化する特徴量の例 図 6. 年齢-特徴量グラフ 4.2. 相関係数の算出 本節では，年齢と特徴量の関係を数値として表すため， 相関係数を求める．経年変化の影響を受けやすい顔グラ フ特徴量には，図 6(b)のように 4~15 歳までは線形に増 加し，15 歳以降は変化が見られないものが多数見られ た．そこで本研究では，4~15 才の領域において経年変 化に伴い一定の割合で変化する特徴量と経年変化の影響 を受けにくい特徴量に分類する．4~15 才特徴量と年齢 との相関係数をそれぞれ式(2)により求める．

 



 

_









        15 4 2 , 15 4 2 15 4 , a j j a a a j j a j f f a a f f a a r ₍₂₎ 相関係数別に見た特徴量の個数を図 7 に示す．相関係 数の絶対値|𝑟𝑗|の大きい，経年変化の影響を受けやすい 特徴量が多数存在していることが見て取れる．これらの 特徴量の経年変化による影響を軽減することで，年齢差 のある画像に対しても識別可能になると考えられる． 相関係数に基づき，それぞれの特徴量を以下の 3 つの グループに分類する．

c

₁,

c

₂は 0.0~1.0 の間の定数であ り，

c

₁



c

₂を満たす． 1 0 r_j c … 経年変化の影響を受けにくい 2 1 r c c  j  … 経年変化に伴い不規則に変化 1 2 rj  c … 経年変化に伴い一定の割合で変化 図 7. 相関係数別に見た特徴量の個数

5. 特徴量の補正

本章では，c₂  r_j 1を満たす経年変化の影響を受 けやすい特徴量に対して，その影響を軽減するような補 正を行う．まず補正に用いるための傾きs_jを最小二乗 法により求める． 2 1 1 2 , 1 , 1 1 ,           











     n j i n i j i n i j i n i i n i j i i j a f n f a f a n s ₍₃₎ 傾きs_jに基づき，年齢a_iの人物iにおける特徴量 f_i,j を式(4)に基づき補正する．            ) 1 ( ) 0 ( 2 , 2 , , j i j j i j j i j i r c a s f c r f f (4) 各年齢における顔グラフを補正した結果を図 8 に示す． 青，緑，赤の色の顔グラフはそれぞれ 5, 10, 15 才におけ る平均を示す．(a)は補正前，(b)は補正後の顔グラフを 表す．補正前は顔グラフに年齢差が見られるが，補正後 は重なっている部分が増加し，経年変化の影響を軽減で きていることが見て取れる． (a) 補正前 (b) 補正後 図 8. 顔グラフにおける補正前後の比較

6. 評価実験

本章では，人物捜索支援システムを想定し，未成年時 に撮影された画像から現在の本人の画像を特定するとい う評価実験を行った．未成年時(4~15 歳)と成年時(20~29 歳)に撮影された画像を 13 人分用意し，26 枚のサンプ ルデータを用いて，本手法における経年変化の影響を受 ける特徴量に対する補正の有効性を検証する．

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6.1. 実験方法 本研究では，3 つの評価実験を行った．本節では，実 験方法に関して全実験に共通する部分について述べる． まず，未成年時の画像 13 枚の中から，登録データRを 1 枚選び，成年時の画像を入力データIk(k1,2, ,13) とする．登録データRとそれぞれの入力データI_kとの 距離を算出する．距離に基づき，入力データを昇順に並 び替え，順位付けを行う．この処理を 13 人分繰り返す． 1 位照合回数(本人の順位が 1 位となる回数)及び順位平 均(本人の順位の 13 人分の平均値)に基づき識別性能を 評価する． 6.2. 補正の有効性に関する評価実験 経年変化に伴い一定の割合で変化する特徴量に対する 補正の有効性を確認する為，c₂  r_j 1を満たす特徴 量のみを用いて，識別実験を行う．補正適用前後での識 別 性 能 を 比 較 す る ． 補 正 前 後 の 距 離 D(R,Ik) , ) , (R I_k D をそれぞれ以下の式により定義する． 2 ) min( ) max( ) , (



            j j j I j R j j k f f f f w I R D k (5) 2 ) min( ) max( ) , (



                 j j j I j R j j k f f f f w I R D k (6) R j

f

,

f

_j



Rは，それぞれ入力データI における補正前 後の

j

番目の顔グラフ特徴量を表し，同様に Ik j f , Ik j f は，登録データI_kの補正前後の

j

番目の顔グラフ特徴 量を表す．w_jは

j

番目の特徴量に与える重みを表す．          ) 1 ( 1 ) 0 ( 0 2 2 j j j r c c r w (7) 結果を図 9 に示す．補正後のほうが，1 位照合回数は 多く，順位平均は低くなっていることから，補正によっ てc2  rj 1を満たす特徴量の識別性能が改善されて いることがわかる．また，c₂ 0.70において 1 位照合 回 数 ， 順 位 平 均 が 最 も 改 善 さ れ た こ と か ら ， 1 0.70 rj  を満たす特徴量に補正を加えるのが最も 効果的だと考えられる． 図 9. 閾値c₂と識別性能の関係 6.3. 閾値𝒄_𝟏による識別性能の変化に関する評価実験 次に，経年変化の影響を受けにくい特徴量を分類する ための最適な閾値 1 c を決定するため，0 rj c₁を満た す特徴量のみを用いて識別実験を行った．式(5)に，下 記に示すような重みを与える．          ) 1 ( 0 ) 0 ( 1 1 1 j j j r c c r w (8) 1 c を 0.05~0.25 まで変え，1 位照合率および順位平均 を比較する． 結果を図 10 に示す．c1 0.15では，c10.10に比 べて識別に用いる特徴量が増加しているにも関わらず識 別性能が低下している．相関係数が 0.1 以上には経年変 化に伴い変化し，識別性能を低下させるような特徴量が 含まれると考えられる．本実験により，経年変化の影響 を受けにくい特徴量を分類するための相関係数の閾値は， 10 . 0 1 c が最適だと考えられる． 図 10. 閾値c₁と識別性能の関係 6.4. 重みの与え方に関する評価実験 最後に，全特徴量を用いた場合，経年変化の影響を受 けにくい特徴量のみを用いる場合，更に経年変化の影響 を受けにくい特徴量と経年変化に伴い一定の割合で変化 する特徴量双方に重みづけを行った場合の 3 つの識別性 能を比較する．それぞれについて，以下のような重みを 与えることにより，識別に用いる特徴量を選択した． (ア) 全特徴量を用いる場合              ) 1 ( ) ( ) 0 ( 1 1 1 2 2 1 1 j j j j r c c r c c r w (9) (イ) 経年変化の影響を受けにくい特徴量のみを用いる 場合              ) 1 ( ) ( ) 0 ( 0 0 1 2 2 1 1 j j j j r c c r c c r w (10) (ウ) 経年変化の影響を受けにくい特徴量と経年変化に 伴い一定の割合で変化する特徴量を併用する場合 0 1 2 3 4 5 6 7 0 2 4 6 8 10 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 順位平均 (位 ) 1 位照合回数 (回 ) c1 1位照合回数 順位平均 0 1 2 3 4 5 6 7 0 2 4 6 8 10 0.6 0.7 0.8 0.9 順位平均 (位 ) 1 位照合回数 (回 ) c2 1位照合回数(補正前) 1位照合回数(補正後) 順位平均(補正前) 順位平均(補正後)

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              ) 1 ( ) ( ) 0 ( 1 0 2 2 1 1 j j j j r c c r c c r s s w (11) ここで，式(11)における

s

は 0~1 の定数であり，0.1 ず つ変化させて識別性能の最も良いパラメータを実験的に 求めた．また，実験(1), (2)からc10.10,c20.70と した． 結果を表 1 に示す．まず，(ア)と(イ)の結果について 考察する．(ア)よりも(イ)のほうが，1 位照合回数が多 くなり，経年変化の影響を受けにくい特徴量のみを用い ることにより識別性能が改善されることがわかる．しか しながら(イ)では順位平均は高くなっている．実際， (ア)では 1 位照合できていた人物が，(イ)では順位が大 幅に上がるサンプルも見られた．これらのサンプルは未 成年時の画像の年齢が比較的高く，成年時の顔形状の差 が小さかったために，c₁ r_j 1を満たす特徴量も識 別時に有効に働いていたのに対し，(イ)による特徴量の 選択によって，却って他人との距離が小さくなってし まったと考えられる． 更に(ウ)では，(ア), (イ)よりも 1 位照合回数および順 位平均が向上している．経年変化の影響を受けにくい特 徴量と経年変化に伴い一定の割合で変化する特徴量を併 用するのが最も効果的であることが分かる．また，最適 なパラメータ

s

は 0.7 であった．パラメータ

s

と識別結 果の関係を図 11 に示す． 表 1. 実験(3)の結果 1 位照合回数(回) 順位平均(位) (ア) 6/13 2.15 (イ) 8/13 2.38 (ウ) 10/13 1.84 図 11. パラメータ

s

と識別結果の関係

7. 結論

本研究では，顔グラフ特徴量の各成分に関して，加齢 に伴う特徴量の変化を解析した．また，「経年変化の影 響を受けにくい特徴量」に加え，「経年変化に伴い一定 の割合で変化する特徴量」に対し，経年変化を軽減する ような補正を施して使用することで経年変化を考慮した 個人識別手法を提案した．評価実験を通じて，補正の有 効性を確認し，識別性能を向上させることができた． 本研究で作成した年齢-特徴量グラフでは，特徴量の 各年齢の平均値に不規則なばらつきがみられ，経年変化 の影響を受けるか否かを判別することができない特徴量 が多かった．データベースを拡充することによって，性 別や体型別に見た特徴量の経年変化の違い等，より正確 な解析を行っていく予定である．更に，顔グラフ特徴量 だけでなく他の特徴量の経年変化を解析していく必要が ある．

謝 辞

本研究は, 文部科学省の平成 22 年度科学技術戦略推 進費による「安全・安心な社会のための犯罪・テロ対策 技術等を実用化するプログラム」の一環として実施され ました．

文 献

[1] 臼井篤志, 新田直子, 馬場口登,“適合性フィードバッ クを用いた顔の経年変化を含む人物画像検索,”信学技報, vol.108, no.484, pp.217-222, March.2009.

[2] 中井義, 荒川薫,“経年変化を含む顔画像による個人認証 の一手法, ”電子情報通信学会ソサイエティ大会講演論 文集基礎・境界, 174, Sept.2008. [3] 湯浅秀一, 和田山豊, 藤井明宏, “実用化が進む生体認証 技術，”沖テクニカルビュー, 73, 3, pp.62-65, July.2006. [4] 萩原栄一, 増田功, “パターンマッチングを主体にした 顔画像による個人 ID ,”信学技報, 88-46, 1988.

[5] L.Wiskott, J.M.Fellous, N.Kruger, and C.vonder Malsburg, “Face Recognition by Elastic Bunch Graph Matching,” IEEE Trans. PAMI, vol.19, no.7, pp.775-779, 1997. [6] LIU. C, “Gabor Feature Based Classification Using the

Enhanced Fisher Linear Discriminant Model for Face Recognition,” IEEE Trans. on Image Processing, vol.11(4), pp.467-476, 2002. [7] 森島繁生, “フューチャーキャストシステム『三井・ 東芝館』,”映像情報メディア学会誌, Vol. 59, No. 4, pp.522(36)-524(38), 2005. 4. [8] 山口真美, 尾田政巨, “正面顔画像のカージオイド変換 が年齢認知に及ぼす影響について,”電子情報通信学会論 文誌 A, Vol.J80-A No.8, pp.1250-1259, 1997. [9] 中川雅通, 宗績敏彦, 角義恭,“骨格モデルを用いた顔画 像の年齢変化シミュレーション,” 電子情報通信学会論 文誌. A, 基礎・境界 vol.J80-A(8), pp.1312-1315, 1997. [10] K. Scherbaum et al, “Prediction of Individual Non-Linear

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