ディジタル信号処理

第二部

離散時間システムによる

ディジタル信号処理

通信 VS 制御 VS 情報処理 情報の 抽出・変換 入力 （日本語） 出力 （英語） 通信 情報処理 通信路 入力 出力＝入力 外乱 _{速度、精度} 機能追求 新規性、多機能性 安定性 実時間処理 制御 制御装置 入力（目標値） 制御対象 出力＝入力 外乱 （帯域制限） （ダイナミクス）

x(t)：計測された信号 _{変換領域で現された信号} X(ω)： 直交変換 フィルタリング 逆変換

直交変換に基づく信号処理

演習課題４６ なぜわざわざ変換領域でフィルタリングをするのか、理由を考えなさい。

離散システム （処理・フィルタ）

]

[n

x



[

]



]

[

n

x

L

n

y



離散システムに基づく信号処理

演習課題４７ この図式に基づいた処理では、周波数特性は考えないのか？

離散時間システム

Discrete-time system

入力： 離散時間信号

出力： 応答

離散時間信号を入出力とし、 を に

対応させる変換（写像）とみなすことができる

変換 には様々なクラスがある。



[

]



(

4

.

1

)

]

[

n

L

x

n

y



]

[n

y

]

[n

x

]

[n

y

]

[n

x

L

線形時不変システム

L

inear

T

ime

I

nvariant system

• 線形システム / linear system

• 時不変システム / time-invariant system

(shift-invariant systemとも呼ばれる)











[ ] [ ]





[ ]





[ ]



] [ ] [ ] [ ] [ 2 1 2 1 2 2 1 1 n x bL n x aL n bx n ax L n x L n y n x L n y       ) 2 . 4 ( , ] [ ] [ ₂ 1 n by n（ ba は任意定数） ay  

 



[ ]



[ ] (4.3) ] [ ] [ k n y k n x L n x L n y     

ピ ン ボ ケ 位置不変な劣化 横 方 向 の ブ レ 位置不変でない劣化（画像は英語版 wikipedia より引用）

位置不変な

非

線形フィルタの例

メディアン・フィルタ



[ ]



( [ 1], [ ], [ 1]) ] [n  L x n  median x n  x n x n  y 9 非線形演算 位置不変な線形フィルター （低域通過フィルタ） 画素(x,y)を中心にマスクを回転させ、 マスク内の明度分散が最小の位置を求め、 その平均明度を出力画像の画素(x,y)の値とする。 エッジを保ったスムージング 低域通過と高域通過 フィルタの同時実現

単位インパルスと単位ステップ信号

• 単位インパルス信号

（教科書ｐ４１ 図３．１）

• 単位ステップ信号

（教科書ｐ４２ 図３．２）













0

0

0

1

]

[

n

n

n

　　

　　















0

0

0

1

]

[

n

n

n

u

　　

　　

1 1 この軸は何？

FIRとIIRシステム

• 有限長インパルス応答システム

/

f

inite

i

mpulse

r

esponse, FIR

インパルス応答が、ある有限な時間のみで零で ない値をとる

• 無限インパルス応答システム

/

i

nfinite

i

mpulse

r

esponse, IIR

（単位）インパルス応答 / impulse response

単位インパルス をシステムに入力したときの応答 [n]

 

[

]

(

4

.

4

)

]

[

n

L

n

h





演習課題４８

ない。 定義されなければなら は あり、その周波数特性 離散時間信号は数列で 一案。 数特性を比較するのも 【ヒント】両者の周波 の違いを述べなさい。 数 離散時間インパルス関 と 数の 連続時間インパルス関 ] [ ) ( n t  

LTIシステムの性質と条件

• 因果的なシステム / causal system

応答 が なる入力 のみで決まる • LTIシステムが因果的であるための必要十分条件： インパルス応答が因果的なこと

• 安定なシステム / stable system

入力 の大きさが有界なら応答 も有界 • LTIシステムが安定であるための必要十分条件： インパルス応答が以下の条件を満たすこと m n  ] [m y _x[n]

)

5

.

4

(

0

0

]

[

n



n



h

] [n x y[n]

)

6

.

4

(

]

[







   n

n

h

演習課題４９

・２次元離散時間信号の処理において、 因果的、非因果的はどのように定義すれば よいのだろうか？ つまり、１次元の場合は、時間という全順序が あるが、２次元（以上）の場合は、順序自身を 定義しなければならない。 ・制御理論も含め、いわゆる信号処理分野では、 因果性を想定した理論が主流であるが、 画像処理では、因果性はほとんど気にされない。 この理由を考察しなさい。

２次元離散時間信号の因果性

は より前 と_定義 ２次元LSIシステムは、その出力y[m,n]が、 入力x[m,n]およびそれより前の入力によってのみ 決定されるとき、因果的であるという。 ↓ 最も単純な移動平均フィルタは因果的でない！

 

         1 1 1 1 ] , [ 9 1 ] , [ i i j j j n i m x n m y

LTI離散時間システムの基礎式

LTIシステムの入出力信号の関係：

応答は

→入力信号 とシステムのインパルス応答

の離散たたみ込み（交換可能）

)

8

,

7

.

4

(

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[





     









k k

k

n

x

k

h

k

n

h

k

x

n

y

)

13

,

12

.

4

(

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

n

x

n

h

n

h

n

x

n

y









]

[n

x

LTI離散時間システムの基礎式の証明





) 12 . 4 ( ] [ * ] [ ] [ ] [ ) 11 . 4 ( ] [ ] [ ) 10 . 4 ( ] [ ] [ ] [ ) 9 . 4 ( ] [ ] [ ] [ ] [ 　　　　　　　　　 　　 　　 　　　　　　 　　 　　　　　 と表すことができる。 　　　　　 は 任意の離散時間信号 n h n x k n h k x k n L k x k n k x L n y k n k x n x n x k k k k               









               Linear Time Invariant

因果的な

_{LTIシステムの入出力関係}

) 17 . 4 ( ] [ ] [ ] [ ) 16 . 4 ( ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ) 15 . 4 ( ] [ ] [ ) 14 . 4 ( ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 0 ] [ 0 0 ] [ 0 0 0 　　　　 　　　 　　　　 も因果的となる。 も因果的ならば 　　　　　　 　　　 　　　　 　　　 　なので 　　 より　 　　 n u k n x k h n u k n h k x n y n y n x k n x k h k n h k x k n h k x n y k n k n h n n h n k n k k n k k       _                    











         演習課題５０ これを証明しな さい。

演習課題５１

離散システムに基づいた信号処理では なぜ因果性に拘るのか考えて見よう。

Z変換の復習

（Z変換とフーリエ変換の関係）

離散時間信号

と考える。

ため

フーリエ変換を求める



  











n c

t

x

n

t

nT

x

n

n

x

)

(

]

[

)

(

,...)

2

,

1

,

0

(

]

[



離散時間信号



  





n s

t

x

t

t

nT

x

(

)

(

)



(

)

T n X T X _s n s s ( ) 2 / 1 ) (



















   標本化された信号

離散時間信号のフーリエ変換





      

















 







d

e

X

n

x

X

T

e

n

x

X

jn c c n jn c

)

(

2

1

]

[

)

(

]

[

)

(

数として

フーリエ級数展開の係

の周期関数なので

は周期２

T n X T X _s n s s ( ) 2 / 1 ) (



















   標本化信号の フーリエ変換

より）

  

_

_





j nT j n n n c

e

t

e

n

x

nT

t

n

x

nT

t

n

x

t

x

          





















)

(

(

]

[

)]

(

F[

]

[

]

)

(

]

[

F[

)]

(

F[

いることになる。 フーリエ変換を求めて で減衰させ、 信号を ：実数）とすると入力 （ は一般の複素数なので であるが、 【注意２】 は連続の複素関数 は連続の複素数、 【注意１】 る。 と書きｚ変換と定義す 　 これを一般化して とおくと、 ここで n T j T j n n n n c T j j n jn c r r re z z e z z X z z n x z X z n x X e e z T e n x X                             







    ) ( ) ( ] [ ) ( ) ( ] [ ) ( ) ( ] [ ) (







                n n sT n nsT c n c z n x z X e z e n x s X nT t n x t x ] [ ) ( ] [ ) ( ) ( ] [ ) ( とおくと これのラプラス変換 号モデル 離散時間信号の連続信 

Z変換とフーリエ変換

数学の世界 実世界 対象 実世界対象 人 自動車 犬 猫 不動産 情報の世界 情報世界対象 数値 文字 図形 グラフ 木構造 計測 信号 ) (t x デ ィ ジ タ ル 化 ディジタル信号 ] [n x 標本化信号 ) (t x_s 標 本 化 量 子 化 （符 号 化 ） 離散時間信号の 数学モデル ) (t x_c 符号化 パラメータ （Ｔ） 復号化 パラメータ （Ｔ）

考えてもよい。 を持つと だけずらすという意味 は時間を となり、 だけ時間をずらすと、 １サンプリング間隔 より、 　　 【時間シフト】　 ラプラス変換の性質 【時間シフト】　 フーリエ変換の性質 T z z s X e s X T t x z X e X T t x T a e s X a t x e X b t x Ts T j as b j 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (                        

離散システム （処理・フィルタ）

]

[n

x



[

]



]

[

n

x

L

n

y



離散システムに基づく信号処理

LTI離散時間システムを記述する式

乗算と加算で演算可

安定で因果的なLTIシステムを規定する

（不安定、非因果的なシステムも含む）→境界・安定条件が必要

定係数線形差分方程式

)

18

.

4

(

]

[

]

[

]

[

1 0





 









N k k M k k

x

n

k

b

y

n

k

a

n

y

) 21 . 4 ( ] 1 [ ] [ ) 20 . 4 ( ] [ ] [ ] [ ) 19 . 4 ( ] 1 [ ] [ ] [ 　　　　 ②　 　　　　　　 　　　　　　 に対する出力】　①　 【 （例）         n u b n y n u b n y n n by n x n y n n



演習課題 ５２ これが LTIシステ ムである ことを示 しなさい。 フィードバック項

非再帰系システム

Non-recursive system

線形差分方程式で過去の出力を用いない

インパルス応答は有限長：

→FIRシステムとなる

（再帰系システムは

FIRシステムにもIIRシステムにもなる）

)

22

.

4

(

]

[

]

[

0









M k k

x

n

k

a

n

y

)

23

.

4

(

)

(

0

),

0

(

]

[

n

a

if

n

M

otherwise

h



_n





LTI離散時間システムのシステム関数

System function

入力 に対するシステム応答 は離散たたみ込み それぞれのＺ変換について システム関数 or システムの伝送（伝達）関数 transfer function : インパルス応答 のＺ変換（ に対する応答） ] [n x y[n] ) 24 . 4 ( ] [ ] [ ] [n h n x n y   ] [n h X[z] 1 ) 25 . 4 ( ] [ ] [ ] [z H z X z Y  ) 26 . 4 ( ] [ ] [ ] [ z X z Y z H  ) 28 , 27 . 4 ( ] [ ] [ ] [ 1 0      _  





       System FIR if z n h z n h z H N n n n n

差分方程式とシステム関数

) 31 . 4 ( ) 1 ( ) ( ) 30 . 4 ( ) ( ) ( 1 ) 29 . 4 ( ] [ ] [ ] [ 1 0 0 1 1 0 　　　　　　　　 システム関数は 　　 両辺をｚ変換すると













                         _     N n n n M m m m M k k k N k k k N k k M k k z b z a z H z X z a z Y z b k n y b k n x a n y

システム関数の極と零点

システム関数の零点 / zero : とする変数zの値 極 / pole : を発散させる特異点 と因数分解できる関数の 零点 : 極 : 安定性条件はインパルス応答 が絶対総和可能であ ること（p69 (4.6)式） ⇔極 がすべて z 平面の単位円内に存在すること

0

]

[

z



H

]

[z

H







1



(4.32) 1 ] [ 1 1 1 1





       _N n n M m m z z C z H   0 ) , ... , 2 , 1 (    m M z z_m _m と ) , ... , 2 , 1 (n N z_n  _n 

]

[n

h

n

z

z

_n



1

演習課題５３ これを証明しなさい。

非再帰形システムの極と零点

非再帰形システムのシステム関数 極 : ⇒ 常に安定 ) 34 . 4 ( ] [ 0



   M m m mz a z H 0  z

] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [n x k h n k x n h n h n x n y k      



   システムのインパルス応答：h[n] •応答：入力信号とh[n]の離散たたみ込み •線形差分方程式： •システム伝達関数：h[n]の

ｚ

変換





      N k k M k k x n k b y n k a n y 1 0 ] [ ] [ ] [



      n n z n h z X z Y z H [ ] ] [ ] [ ] [

まとめ－ LTI離散時間システム

入力：離散的複素正弦波（角周波数ω）

応答：

→ 入力と同じ周波数を持つ離散時間領域の 正弦波信号 の振幅と位相が変化した信号          





        k T jk T jn k k n T j T jn e k h e e k h e n h n y     ] [ ] [ ] [ ] [ ) (

LTI離散時間システムの周波数特性

frequency response

) sin( ) cos( ] [n e n T j n T x  jnT 







T jn e  定数

インパルス応答による表現

正弦波信号 はLTI離散時間システムの固有関数 （アナログシステムでの複素正弦波 と同様） → 入力正弦波信号の変化分を表す量を 周波数特性/frequency responseと定義 より 周波数特性は一般に複素数の値をもち、 Ωの関数として複素平面上を動く (→振幅・位相) T jn e  t j e 



     k T jk T j e k h e H[  ] [ ] 



         k jk e k h H Tとおいて、 [ ] [ ]





      n n z n h z X z Y z H [ ] ] [ ] [ ] [

システム関数による表現

システム関数 H[z] に対して周波数特性は： 一般に •位相遅延/phase delay： •群遅延/group delay：



          k jk e z h k e z H H[ ] [ ] j [ ] ) ( ) ( ] [  A  ej  H     d d g



( ) /



振幅特性（利得） 位相特性    



( ) /



（システム関数はインパルス応答 h[n] の z 変換）

幾何学的表現

システム関数 が因数分解表現 できるとき Ｚ平面で周波数特性を考える より、振幅特性 位相特性

]

[z

H













       _N n m M m m z z C z H 1 1 1 1 1 1 ] [









j

e

z

M M P P P Q Q Q C A         ... ... | | ) ( 2 1 2 1 N M M N















            ... ... ) ( ) ( 2 1 2 1 α₁ α₂ β₁ β₂

演習課題５４

先に示したメディアン（中央値）フィルタや

エッジを保ったスムージングといった非線形フィルタの 周波数特性（伝達関数）はどうなるか考えてみよう。

離散システム （処理・フィルタ）

]

[n

x



[

]



]

[

n

x

L

n

y



離散システムに基づく信号処理

ディジタルフィルタの設計

１．フィルタの利用目的は何か。

（例：雑音除去、エコーキャンセル、劣化の復元、データ圧縮・伝送、音声の 基本周波数（ピッチ）などの特徴抽出、．．．）

２．必要とされるフィルタの特性は何か。

（例：直線位相、ＦＩＲ、ＩＩＲ、低域通過、高域通過、帯域通過）

３．フィルタの構造（次数）は

４．安定性が保証されるフィルタの形式に含まれる

パラメータを求める。

ディジタルフィルタの設計法

０．逆フィルター

１．直線位相

FIR

フィルタの設計

２．窓関数法による

FIR

フィルタの設計

３．アナログフィルタを基にした

ディジタル

IIR

フィルタの設計法（Ｉ）

４．アナログフィルタを基にした

ディジタル

IIR

フィルタの設計法（ＩＩ）

５．双2次フィルタ

FIRフィルタとIIRフィルタの比較

フィルタ

、

の場合：

フィルタ

の場合：

システム：

IIR

FIR

0

FIR

0

)

18

.

4

(

]

[

]

[

]

[

LTI

1 0

















  k k N k k M k k

b

b

k

n

y

b

k

n

x

a

n

y

ディジタルフィルタの設計法

０．逆フィルター

１．直線位相FIRフィルタの設計

２．窓関数法によるFIRフィルタの設計

３．アナログフィルタを基にした

ディジタルIIRフィルタの設計法（Ｉ）

４．アナログフィルタを基にした

ディジタルIIRフィルタの設計法（ＩＩ）

５．双2次フィルタ

物理過程

]

[n

x

y

[n

]

ルス応答 　　物理過程のインパ ル化 伝達関数としてのモデ ) ( ) ( ) ( z X z Y z H 

逆フィルタ

]

[

ˆ n

x

y

[n

]

)] ( ) ( [ ] [ ˆ 1 1 z Y z H Z n x   

０．逆フィルター（劣化信号の復元）

ＬＴＩシステムとしてモデル化

逆フィルタ（フーリエ変換版）

畳み込みを使った劣化信号の復元 物理過程 （線形で時不変_な変換） 入力 出力 ≠入力 との畳み込み による歪み フーリエ変換 逆フーリエ変換 逆フィルタ との積 による復元 とすれば

ウィーナ・フィルタ（フーリエ変換版）

◆単純な逆フィルタ： ◆低周波成分のみの逆フィルタ： ⇒ ノイズ項を無視している ⇒ SN比が比較的大きいと考えられる 低周波領域のみを利用する． ⇒ 原画像と復元画像の 平均2乗誤差を最小とするような 変換を求める． 雑音に弱い！ 雑音に関する（統計的）性質を 積極的に利用 ◆ウィーナ・フィルタ（Wiener filter） * は複素共役を表す． P_N, P_S はそれぞれ，雑音と 原信号のパワースペクトル．

演習課題５５

前述のフーリエ変換に基づいた逆フィルタの議論を 基にして、Ｚ変換に基づいた逆フィルタの理論を示しなさい。 【注意】物理過程を表すＬＴＩシステムがＦＩＲ、ＩＩＲの場合に 分けて検討すること。また、フィルタの安定性が どうなるかを議論すること。

ディジタルフィルタの設計法

０．逆フィルター

１．直線位相FIRフィルタの設計

２．窓関数法によるFIRフィルタの設計

３．アナログフィルタを基にした

ディジタルIIRフィルタの設計法（Ｉ）

４．アナログフィルタを基にした

ディジタルIIRフィルタの設計法（ＩＩ）

５．双2次フィルタ

フィルタの機能：入力から不要な成分を取り除く →望ましい周波数帯域の信号のみ通過させる フィルタの設計：機能を実現するインパルス応答 または伝達関数を求めること 1. 因果性を満たす 2. 直線位相性 異なる周波数成分の時間遅れが同じでないと 位相ひずみを生じる

１．直線位相FIRフィルタの設計

   _{ }    j j e A e A H[ ] ( ) ( ) ( )

演習課題５６

人間の１つの耳では、各周波数のパワー

の変化は知覚できるが、位相変化は知覚

しにくいとされている。これを確認してみ

なさい。

具体的には、モノラルの音楽信号をフー

リエ変換し、位相を歪ませて逆フーリエ変

換し、元の音楽と違って聞こえるかどうか

を試してみよう。

左と右に位相の異なった音楽を流すとど

のように聞こえるかも試してみよう。

) ( ] [ej ej  H  システム周波数特性： の場合 入力信号： 出力信号： 直線位相特性により位相ひずみを回避 出力信号：

直線位相特性 / Linear Phase

信号全体を_{α単位時間だけ遅らせる効果} ) cos( ] [ ₁ 1 n n x   )) ( cos( ] [ _{1 1} 1 n   n   y   ( )   ] [ )) ( cos( ) cos( ] [ 1 1 1 1 1             n x n n n y ] [ ] [n  x n y 任意の周波数の正弦 信号について成立 と表記） 　 （プリントに合わせて _,  

FIRフィルタを用いて直線位相特性を実現する条件 インパルス応答の長さ（個数）を N とすると、 伝達関数： 周波数特性： 線形位相条件(計４つの場合の対称性)：  インパルス応答が偶対称 or 奇対称  個数 N が偶数 or 奇数

直線位相フィルタ



    1 0 ] [ ] [ N n n j j e n h e H  



    1 0 ] [ ] [ N n n z n h z H

 場合１：Nが奇数、偶対称 h(n) = h(N _– n _{– 1)}  場合２：Nが偶数、偶対称 h(n) = h(N _– n _{– 1)}  場合３：Nが奇数、奇対称 h(n_{) = –} h(N _– n _{– 1)}  場合４：Nが偶数、奇対称 h(n_{) = –} h(N _– n _{– 1)} いずれかの対称性をもつインパルス応答を利用する

直線位相フィルタ(cont.)



    1 0 ) ( ) ( FIR N n n z n h z H 　　　　　 フィルタの周波数特性 因果性を満たす 演習課題５７ この表を確認しなさい。

直線位相フィルタを用いる際の振幅特性の制約： • 低域通過フィルタ / LPF: 場合３，場合４→NG • 高域通過フィルタ / HPF: 場合２，場合３→NG

直線位相フィルタの振幅特性

演習課題５８ これらの性質を確認しなさい。