Microsoft PowerPoint - 15ROC_R_R2.pptx

R: Flexible Beam: Mixed Sensitivity

Reference:

Robust and Optimal Control, Spring 2015

Instructor: Prof. Masayuki Fujita (S5-303B)

M. Fujita, F. Matsumura and M. Shimizu,

Robust Control Design for a Magnetic Suspension System

,

2nd International Symposium on Magnetic Bearing, 349-356,

July 12-14, 1990, Tokyo, Japan.

2

図

_{2 柔軟ビーム}

Real Physical System

3

図

_{3 柔軟ビーム磁気浮上系}

4

モデリングのための仮定

1. 磁気飽和，ヒステリシスがない．

2. うず電流は無視できる．

3. もれ磁束がない．

4. 鉄心の透磁率は無限大である．

5. 2 質量

からなる集中定数系として近似する．

6. インダクタンスは一定，速度起電力の項は無視．

,

m M

5 ビームの長さ 質量 質量 定常ギャップ ビームのたわみ 固有振動数 電磁石抵抗 電磁石インダクタンス パラメータ 記号 値 単位

l

2

m

M

1

X

2

X

n

f

R

L

8

.

3

8

.

5

36

.

10

0

.

5

3

.

12

5

.

4

57

16

.

3

m

kg

kg

mm

mm

Hz



H

定常電流

_I

0

.

885

A

重力加速度

g

9

.

8

_m/s

2 m = 5.8 ; M = 10.36 ; X1 = 5e-3 ; X2 = 12.3e-3 ; R = 57 ; L = 3.16; I = 0.885 gg = 9.8 MATLAB program

パラメータ

6

Ideal Mathematical Model

beam mag

f

f

mg

dt

x

d

m

₂1







2

,

2 1 1



















x

X

i

I

k

f

_mag

(

2

(

_{2 2}

)

₁

)

(

2

(

X

₂

x

₂

)

x

₁

)

dt

d

x

x

X

f

_beam

















beam

f

Mg

dt

x

d

M

₂2

2

2





柔軟ビーム

電磁石

e

Ri

dt

di

L





O ) ( 2 X₂  x₂ 1 x A B 2 2 x X  1 2 2 ) ( 2 X  x  x

0034

.

0



k

2064





327

.

0





]

A

/

Nm

[

2 2

]

N/m

[

]

Ns/m

[



H

制御系設計（混合感度）

k = 0.0034; alpha = 2064; beta = 0.327 MATLAB program 図4 数式モデル

7

Reduced Mathematical Model

線形化

dt

dx

dt

dx

x

x

dt

x

d

M

₂2 _{1 2} 1 2 2

4

2

4

2

















dt

dx

dt

dx

i

I

g

m

M

x

x

g

X

m

M

dt

x

d

m

_{1 2} 1 2 1 2 1 2

2

)

2

(

2

2

_

_

_

_



_

_

_

_



















1

x

y

_p



出力

)

(s

P

x

1

i

図5 柔軟ビーム磁気浮上系

8

状態空間表現

u

B

x

A

x



_p



_{p p}



_p p p

x

C

y



T p

x

x

x

x

i

x

:



[

_{1 2}



₁



₂

]

u

:



e

                   h M M f d c m m b a A_p 0 0 0 0 0 / 4 / 2 / 2 / 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0









                 j B_p 0 0 0 0



1 0 0 0 0



 p C , 2 1 : 1         g



X m M m a : 2 , m b 



: 2 g, mI m M c    , 2 : M d 



: 4 , M f  



: , L R h   L j : 1 _{* は修正箇所}

9 Ma = ( ( ( M+2*m )/X1 )*gg – alpha ) / m ; Mb = 2*alpha / m ; Mc = -( ( M+2*m ) / ( m*I ) )*gg ; Md = 2*alpha / M ; Mf = -4*alpha / M ; Mh = -R / L ; Mj = 1 / L ; Ap = [ 0 0 1 0 0 ; 0 0 0 1 0 ; Ma Mb -beta 2*beta Mc ; Md Mf 2*beta -4*beta 0 ; 0 0 0 0 Mh ] Bp = [ 0; 0; 0; 0; Mj ] Cp = [ 1 0 0 0 0 ] Dp = 0 MATLAB program

10 CO = ctrb(Ap,Bp); CO_rank = rank(CO) OB = obsv(Ap,Cp); OB_rank = rank(OB)



B

p

A

p

B

p

A

p

B

p

A

p

B

p

A

p

B

p



CO



2 3 4

制御対象は，可制御，可観測である

5

)

(

rank

CO



5

)

(

rank

OB





2 3 4



p p p p p p p p p

C

A

C

A

C

A

C

A

C

OB



可制御性，可観測性

MATLAB program

'

11

伝達関数表現

g g g

sI

A

B

C

s

P

(

)



(



)

1 P_ss = ss ( Ap, Bp, Cp, Dp ) ;

[ P_num, P_den ] = ss2tf ( Ap, Bp, Cp, Dp ) ; P_tf = tf ( P_num, P_den ) ; zpk( P_tf ) P_pole = pole ( P_ss ) P_zero = zero ( P_ss )

極

,

4

.

84



,

1

.

84

,

0

.

18



8

.

28

697

.

0



j



零点

2

.

28

654

.

0



j



不安定極

5 次の線形時不変系（LTI システム）であり，不安定系・振動系

振動モード MATLAB program

)

8

.

28

697

.

0

)(

0

.

18

)(

1

.

84

)(

4

.

84

(

)

2

.

28

654

.

0

(

3

.

13

)

(

j

s

s

s

s

j

s

s

P



















12 80  160  120  3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 周波数 [rad/sec] 180 90 ゲイン [dB] 位相 [deg] ) (s P 図6 プラント



0 30  30 0 100 100 









図_{7 プラント} P(s) の極・零点 omega1=logspace(-3,3,150); bode ( P_ss, omega1 ) ; Pzmap (P_ss) MATLAB program

13

)

(s

K

)

(s

G

) (s W_T ) (s K ) (s P y  u 1

z

) (s W_S 2

z

w

)

(s

G

)

(

)

(

s

S

s

W

_S

)

(

)

(

s

T

s

W

_{T }

1



混合感度問題

w ) (s W_S ) (s K P(s)  _u ) (s W_T  y 1 z 2 z 図9 ブロック線図 図10 一般化プラント 図11 一般化プラント

14

),

(

ˆ

)

(

s

W

s

W

_S





_{s S}

周波数重み

_W

_S

_(s

₎

s S

f

s

ks

s

W



2

1

)

(

ˆ





,

016

.

0



S

f

k

_S



1

.

3298

,

3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 40 80  0 40 ゲイン [dB] ) (s W_S 図13 周波数重み

ks

S



S

f



2

) (s W_S

2

.

17



s



fs = 0.016 ; ks = 1.3298 ; gamma_s = 17.2 ; Ws_num = ks ; Ws_den = [ 1/(2*pi*fs) 1 ] ;

Ws _tf = tf (gamma_s *Ws_num, Ws_den ) ;

bodemag(Ws_tf,omega1); 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 ) ( 1 s W_S 30  60 30 0 ) ( 1 s W_S 図12 周波数特性 dec / dB 20 MATLAB program S [rad/sec]  [rad/sec] 

15

周波数重み

_W

_(s

₎

T                       3 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( T T T T T f s f s f s k s W







,

002

.

0

1



T

f

f

_T2



160

,

f

_T3



200

,

_k

_T



10

4 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 40 80  0 40 ゲイン [dB] ) (s W_T 図15 周波数重み T

k

1 2 1 T f s



 ) (s W_T ft1 = 0.002 ; ft2 = 160 ; ft3 = 200 ; kt = 1e-4; Wt1_num = [1 2*pi*ft1];Wt1_den = [2*pi*ft1]; Wt1 = tf(Wt1_num,Wt1_den);

Wt2_num = [1 2*pi*ft2];Wt2_den = [2*pi*ft2]; Wt2 = tf(Wt2_num,Wt2_den);

Wt3_num = [1 2*pi*ft3];Wt3_den = [2*pi*ft3]; Wt3 = tf(Wt3_num,Wt3_den); Wt = Wt1*Wt2*Wt3*kt; bodemag(Wt,1,omega1); 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 80 40  40 0 ゲイン [dB] ) ( 1 s W_T 図14 周波数特性 ) ( 1 s W_T T

MATLAB program _{ [rad/sec]}

[rad/sec] 

16 図16 周波数重み の合併

)

(s

P

)

(s

W

_T

u

y

_g



y

WT

y

) (s W_T

一般化プラント

systemnames = 'Ws_tf PWt_ss'; inputvar = '[ dist; control ]';

outputvar = '[ Ws; PWt_ss(1); PWt_ss(2) + dist]'; input_to_Ws_tf = '[ PWt_ss(2) + dist ]'; input_to_PWt_ss = '[ control ]'; sysoutname = ‘G'; cleanupsysic = 'yes'; sysic; MATLAB program

)

(s

PW

_T ) (s W_T ) (s K ) (s P y  u 1

z

) (s W_S 2

z

w

)

(s

G

図10 一般化プラント * PW_T(s) の構成方法は付録参照

17

)

2

.

28

655

.

0

)(

400

1176

)(

4232

)(

10

.

0

(

)

9

.

28

699

.

0

)(

4

.

84

)(

0

.

18

)(

972

.

1

(

10

12

.

5

)

(

10

j

s

j

s

s

s

j

s

s

s

s

s

K





























コントローラ

_K

_(s

₎

10

.

0



4232



400

1176 j





82

.

2

655

.

0



j



極

972

.

1



0

.

18



4

.

84



9

.

28

699

.

0



j



零点

安定

3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 270 90 ゲイン [dB] 位相 [deg] ) (s K 図17 コントローラ 180 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 80 140 100 120 [rad/sec] 

18

bode(K_mix_ss,omega1); [ K_mix_ss, Cloop,gam ]

= hinfsyn ( G, 1, 1, 'gmax', 1, 'gmin',1, 'tolgam', 0.001 ) ; [K_A,K_B,K_C,K_D] = ssdata(K_mix_ss);

[ K_num, K_den ] = ss2tf ( K_A, K_B, K_C, K_D ) ; K_tf = tf ( K_num, K_den ) ;

zpk(K_tf)

minfo(K_mix)

[ K_pole, K_zero ] = pzmap ( K_tf )

19 S

W

W

T1

L

開ループ伝達関数

3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 ゲイン [dB] 位相 [deg] 図22 開ループ伝達関数 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 30 30  0 180  270  90  L_ss = P_ss*K_mix_ss; bode(L_ss,omega1) [ Gm, Pm, Wcg, Wcp ] … = margin( L_ss )

69

.

1

[

dB

]

ゲイン余裕 位相余裕

27

.

0

[deg]

ゲイン交差周波数

58

.

2

[

rad

/

sec]

位相交差周波数

13

.

6

[

rad

/

sec]

MATLAB program [rad/sec] 

20 nyquist ( L_ss ) 0 20  10 0 10  10  0 2 2  1 0 1  2 





図24 ベクトル軌跡 図23 ベクトル軌跡 MATLAB program

21



閉ループ系の特性

,

10

29

.

4



3



,

10

26

.

1

_

3



,

10

01

.

1



3



,

10

44

.

8

_

1



,

10

80

.

1

_

1



,

10

89

.

2

10

98

.

6



1





1





j

,

10

82

.

2

10

54

.

6

_

1

_

_

1





j

,

10

08

.

1

10

10

.

1



1





1



j

極

0 40  40 0 1000 5000  図18 閉ループ系の極・零点





















0 5 20  10 0 40  40









T = feedback(L_ss,1); close_p = pole ( T ) close_z = zero ( T ) pzmap ( T ) 図19 閉ループ系の極・零点（拡大図） MATLAB program

22 nom_perf_ss = Cloop(1,1); rob_stab_ss = Cloop(2,1) bodemag(nom_perf_ss,omega1) bodemag(rob_stab_ss,omega1) 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 図21 閉ループ系の周波数特性 0 80  40  ゲイン [dB]

S

W

_S

T

W

_T

,

S

W

_S

W

_T

T

MATLAB program sigma(Cloop,omega1) MATLAB program

閉ループ系の周波数特性

3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 ) (T_zw



図20 閉ループ系の周波数特性 1 9 . 0 [rad/sec]   [rad/sec]

23

感度関数 S

3 10 101 101 103 図25 感度関数 60 30  0 30

S

1  S

W

S = feedback(1,L_ss); bodemag(S,omega2) hold on bodemag(inv(Ws_tf),omega1) MATLAB program

相補感度関数 T

T = feedback(L_ss,1); hold on bodemag(T,omega2) bodemag(inv(Wt)) MATLAB program 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 図26 相補感度関数 80 40  0 40

T

1  T

W

[rad/sec]   [rad/sec]

24

ステップ応答

線形モデルに対する応答 Linear_model.mdl Time [sec] 1

x



[K_A,K_B,K_C,K_D] = ssdata(K_mix_ss); MATLAB program

25

シミュレータ応答

nonlinear_model.mdl 1. 外乱応答 2. 外乱応答 m=5.8 --> 6.95 3. 外乱応答 M=10.36 --> 12.30 4. 外乱応答 R=57.0 --> 61.7 >> simu_setup 1 から 4 のいずれかを選ぶ 1

x

2

x

Time [sec] Time [sec]

26

実験結果

外乱応答

21

[

N

]

約

に相当する電圧

定常吸引力 約

₁₀₀

[

N

]

時間 [s] 図27 ステップ状外乱に対する時間応答 0 3 6 15 0 . 2 変位 [mm] 1

x

9 12 0 . 2  0 . 0 0 3 6 15 0 . 2 9 12 0 . 2  0 . 0 変位 [mm] 2

x

27 図28 ステップ状外乱に対する時間応答 95 . 6  m [kg] に変動した場合

（

_{1） 電磁石側の質量}

_m

を

₅

_.

₈₀

[

kg

]

から

6

.

95

[

kg

]

にする．

時間 [s] 0 3 6 15 0 . 2 変位 [mm] 1

x

9 12 0 . 2  0 . 0 0 3 6 15 0 . 2 9 12 0 . 2  0 . 0 変位 [mm] 2

x

28 図29 ステップ状外乱に対する時間応答 3 . 12  M [kg] に変動した場合

（

_{2） ビーム中央部の質量}

_M

を

10

.

36

[

kg

]

から

12

.

30

[

kg

]

にする．

時間 [s] 0 3 6 15 0 . 2 変位 [mm] 1

x

9 12 0 . 2  0 . 0 0 3 6 15 0 . 2 9 12 0 . 2  0 . 0 変位 [mm] 2

x

29 図30 ステップ状外乱に対する時間応答 7 . 61  R [Ω] に変動した場合

（

_{3） 電磁石部の抵抗}

_R

を

57

.

0

[

]

から

61

.

7

[

]

にする．

時間 [s] 0 3 6 15 0 . 2 変位 [mm] 1

x

9 12 0 . 2  0 . 0 0 3 6 15 0 . 2 9 12 0 . 2  0 . 0 変位 [mm] 2

x

30

［参考］過去の実験結果

外乱応答

15

.

7

[

N

]

約

に相当する電圧

定常吸引力 約

₁₀₀

[

N

]

積分型

_LQG制御系

時間 [s] 図 ステップ状外乱に対する時間応答 変位 [mm] 1

x

0 1 0 . 1 0 . 1  0 . 0 変位 [mm] 2

x

25 . 0 0.5 0.75 0 1 0 . 1 0 . 1  0 . 0 25 . 0 0.5 0.75

31

閉ループ系の周波数特性

) (T_zw



図31 閉ループ系の周波数特性 1 9 . 0 ) (T_zw



図32 閉ループ系の周波数特性 2 . 17  S





_S  21.0 3 10 101 101 104 1 9 . 0 ₃ 10 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 ₁₀4 [rad/sec]   [rad/sec]

32

閉ループ系の周波数特性

図33 閉ループ系の周波数特性 0 80  40  ゲイン [dB]

,

S

W

_S

W

_T

T

2 . 17  S



3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 図34 閉ループ系の周波数特性

,

S

W

_S

W

_T

T

0 80  40  ゲイン [dB] 0 . 21  S



4 10

,

S

W

_S

T

W

_T 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 ₁₀4

,

S

W

_S

T

W

_T [rad/sec]   [rad/sec]

33

感度関数 S

図35 感度関数 80 40  0 40

S

1 1 _  S S

W



3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 図36 感度関数 4 10 2 . 17  S





_S  21.0 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 ₁₀4 80 40  0 40

S

1 1 _  S S

W



[rad/sec]   [rad/sec]

34

感度関数

_S

と相補感度関数

_T

図37 相補感度関数 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 図38 相補感度関数 80 40  0 40 80  4 10 2 . 17  S





_S  21.0 1  T

W

T

80 40  0 40 80  ₃ 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 ₁₀4 [rad/sec]   [rad/sec]

35

開ループ伝達関数

ゲイン [dB] 位相 [deg] 図40 開ループ伝達関数 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 ₁₀4 40 80  40  0 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 ₁₀4 180  90  270  1  T

W

S

W

L

ゲイン [dB] 位相 [deg] 図39 開ループ伝達関数 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 ₁₀4 40 80  40  0 3 10 ₁₀1 ₁₀1 ₁₀3 ₁₀4 180  90  270  2 . 17  S





_S  21.0 [rad/sec]   [rad/sec]

36

制御対象

コントローラ

閉ループ系の極

共振ピークが閉ループ系の極になっている

)

8

.

28

697

.

0

)(

0

.

18

)(

1

.

84

)(

4

.

84

(

)

2

.

28

654

.

0

)(

2

.

28

654

.

0

(

3

.

13

)

(

j

s

s

s

s

j

s

j

s

s

P























)

2

.

28

655

.

0

)(

400

1176

)(

4232

)(

10

.

0

(

)

9

.

28

699

.

0

)(

4

.

84

)(

0

.

18

)(

972

.

1

(

10

12

.

5

)

(

10

j

s

j

s

s

s

j

s

s

s

s

s

K





























,

10

29

.

4



3



,

10

26

.

1

_

3



,

10

01

.

1

_

3



,

10

44

.

8

_

1



,

10

80

.

1

_

1



,

10

01

.

1



1



,

10

89

.

2

10

99

.

6



1





1





j

,

10

82

.

2

10

55

.

6



1





1





j

,

10

08

.

1

10

10

.

1



1





1



j

37

38

周波数重み

周波数重み の合併

)

(s

G

)

(

2

s

W

u

y

g 2 W

y

) ( 2 s W

)

(s

W

_S W S W S W S W S

A

x

B

u

x







W S W S W S W S W S

C

x

D

u

y





周波数重み

_W

_T

_(s

₎

0 1 2 2 3 3

)

(

s

a

s

a

s

a

s

a

W

_T









周波数重み

_W

_T

_(s

₎

は状態空間表現できない

制御対象と周波数重み

W

_T

_(s

₎

を合併

周波数重み

W

_S

(s

)

まで含んだ一般化プラント

のフルランク条件を満たすように決定

_{. 制御対象の相対}

次数が

_{3次であるので周波数重み}

の分子の次数が分母

の次数より

_{3次高ければフルランク条件を満たす.}

12

D

)

(s

W

_T

39

初期値を

_{0 として制御対象の状態方程式をラプラス変換}

)

(

)

(

)

(

s

A

X

s

B

U

s

sX

_g



_{g g g g} g g T g T g T WT

W

GU

W

Y

W

C

X

Y







)

(

)

(

s

C

X

s

Y

_g



_{g g} g g

X

C

a

s

a

s

a

s

a

)

(

2 _{1 0} 2 3 3









g g g g g g g g

s

X

a

C

s

X

a

C

sX

a

C

X

C

a

₃ 3



₂ 2



₁



₀





_{g g g g}

 

_{g g g g g}



g

s

A

X

B

U

A

A

X

B

U

X

s

2









(



sU

g

(

s

)



0

)

定常状態を考え

_{, 制御入力がほとんど変化しないとする}

g g g g g

X

A

B

U

A





2 周波数重み の合併

)

(s

G

)

(

2

s

W

u

y

g 2 W

y

) ( 2 s W

同様にして

g g g g g g

A

X

A

B

U

X

s

3



3



2

40



g g



g g WT

C

a

A

a

A

a

I

B

D



₃ 2



₂



₁ g WT g WT WT

C

X

D

U

Y







a

A

a

A

a

A

a

I



C

C

_WT



_{g 3 g}3



_{2 g}2



_{1 g}



₀

制御対象と重み

を含んだ系

g WT g WT g WT g

u

D

x

C

C

y

y









































0

)

(s

W

_T g g g g

x

B

u

A

x





