電気双極子モーメントおよび 磁気双極子モーメント

電気双極子モーメントおよび 磁気双極子モーメント

目次

１．電気双極子モーメントとそれが作る電場 ２．外部電場の中の電気双極子モーメント ３．磁気双極子モーメントとそれが作る磁場 ４．電気双極子間相互作用ポテンシャル ５．外部磁場の中の磁気双極子モーメント ４．電気双極子間相互作用ポテンシャル ７．微小円形電流と磁気双極子の比較 ８．磁気双極子モーメントと角運動量

９．原子の磁気双極子モーメントは電子のスピンで決まる

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１．電気双極子モーメントとそれが作る電場

3 0 0

1 [ ]

2 E p

r ε

= πε

≡ q

p d

距離dだけ離れて存在している-q, +ｑの正負の電荷対を電気双極子とい い、

p=qd

d

電気双極子モーメントは一般にはベクトルである。

-q +q

d p=qd

電気双極子がその方向の十分遠方の距離ｒの地点につくる電場の大きさ

E

-q +q

d

r E

２．外部電場の中の電気双極子モーメント

ext ext

cos U

pE θ

= −

= −

p E i

p

E

外部電場E_ext中の電気双極子に働くポテンシャル・エネルギー

P

E

θ

空間的不均一な外部電場

E

= ×

N p E p

E

3

1 2 1 2

12 5 3

0

3( )( ) ( )

1 U 4

r r

πε

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= − ⎜ ⎝ ⎟ ⎢ ⎠ ⎣ − ⎥ ⎦

p r p r i i p p i

p

p

r

導出：一番目の電気双極子モーメントが位置

r

2

p

r p

左記の相互配置が最もエネルギーが低い。

類似：分子間のファン・デア・ワールス力

４．磁気双極子モーメントとそれが作る磁場

2

1 4

q

B ⁼ π r B

距離dだけ離れて存在している-q_m

, + qmの正負の「磁荷」対を磁気双極

=q

d/

d

-q

+q

d

「磁荷」

q

B +q

r

S N

0

3

, [

]

B 2

r

μ μ μ

= π

B

- q

+ q

d

r B

0

q d

μ ^≡ μ

５．外部磁場の中の磁気双極子モーメント

ext ext

cos U

μ B θ

= −

= −

μ i B

μ

B

外部磁場B_ext中の磁気双極子に働くポテンシャル・エネルギー

μベクトルとB_extベクトルが平行になろうとする。

θ

空間的不均一な外部磁場

B

μ

= ×

N E

μ

B

６．磁気双極子モーメント間の相互作用ポテンシャル

0 1 2 1 2

12 5 3

3( )( ) ( )

U 4

r r

μ π

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= − ⎜ ⎝ ⎟ ⎢ ⎠ ⎣ − ⎥ ⎦

μ i r μ i r μ μ i

μ₁

μ₂

r

導出：一番目の磁気双極子モーメントが位置

r

2

μ₁

r

左記の相互配置が最もエネルギーが低い。

類似：核力におけるテンソル力成分

７．微小円形電流と磁気双極子の比較

0

2

B r

μ π

= μ

I S μ = ×

半径

a

I

B

2 2

0 0 0 2

3 3 3

, ,

:

2 2 2

I S

Ia I a

B S a

r r r

μ μ π μ π μ

π π

⎛ ⋅ ⎞

= ⎜ = = ⎟ ≡

⎝ ⎠

⋅

a I

B

微小円形電流の作る磁場 磁気双極子のつくる磁場

磁気双極子モーメント＝（微小電流の大きさ）

X(

)

等価

８．磁気双極子モーメントと角運動量

= × r m v

2

orbit

/ ( ) /(2 ),

2

I q T q v r S r q

m

π π

μ

= = =

⎛ ⎞

→ = ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

質量ｍ、電荷ｑ

,

m

荷電粒子の軌道運動による磁気双極子モーメント＝[（電荷）/2x(質量)]x(軌道角運動量)

電子の軌道運動による磁気双極子モーメント

orbit

orbit ,

2 _e 2 _e

e e

m m

μ =^⎛⎜ ^{− ⎞}⎟ μ =^⎛⎜ ^{− ⎞}⎟

⎝ ⎠ ベクトル表現 ⎝ ⎠

参考：量子力学においては、スピン角運動量ｓに起因する磁気双極子モーメントも定義できる。

９．原子の磁気双極子モーメントは電子のスピンで決まる

e

p

e p

2 2 ,

2 2

| | | |

e e

e e

p p

p p

e e

m m s

e e

m m s

μ

μ

μ μ

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞

= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞

= ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→ >>

p

e

1840

多くの材料では、電子の軌道運動による磁気的効果は相互に相殺し、

正味ゼロか非常に小さくなる。

e

2

e s μ μ ≅ ≅ ⎜ ^{⎛ −} m ^⎞ ⎟

⎝ ⎠

参考文献

中山正敏「電磁気学」、裳華房、

1986

1

5

V.D.

M

D.

I

1991

4