電気双極子モーメントおよび 磁気双極子モーメント

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電気双極子モーメントおよび 磁気双極子モーメント

目次

１．電気双極子モーメントとそれが作る電場 ２．外部電場の中の電気双極子モーメント ３．磁気双極子モーメントとそれが作る磁場 ４．電気双極子間相互作用ポテンシャル ５．外部磁場の中の磁気双極子モーメント ４．電気双極子間相互作用ポテンシャル ７．微小円形電流と磁気双極子の比較 ８．磁気双極子モーメントと角運動量

９．原子の磁気双極子モーメントは電子のスピンで決まる

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2

１．電気双極子モーメントとそれが作る電場

3 0 0

1 [ ]

2 E p

r ε

= πε ：真空の誘電率

≡ q

p d

距離dだけ離れて存在している-q, +ｑの正負の電荷対を電気双極子とい い、p=qdを電気双極子モーメントという。dに向きを持たせると

電気双極子モーメントは一般にはベクトルである。

-q +q

d p=qd

電気双極子がその方向の十分遠方の距離ｒの地点につくる電場の大きさE

-q +q

d

r E

（導出法）2つの電荷が(両方の中点から）距離ｒの点につくる 電場を求め、dに比べてｒがかなり大きい条件の下で、

近似すれば得られる。

3

２．外部電場の中の電気双極子モーメント

ext ext cos U

pE θ

= −

= −

p Ei

p

Eext

外部電場E_ext中の電気双極子に働くポテンシャル・エネルギー

PベクトルとE_extベクトルが平行になろうとする。

θ

空間的均一な外部電場E_ext中の電気双極子に働くトルク（力のモーメント）

= × ext

N p E p

Eext _θ

（導出法）電荷(-q)が（ｘ,・・・））にあり、(+q)が（x+dx,・・・）にあるとして、

ポテンシャルをもとめ、 （x+dx,・・・）におけるポテンシャルをテーラー 展開し、第二項までで近似すれば 得られる。

4

3．電気双極子モーメント間の相互作用ポテンシャル

1 2 1 2

12 5 3

0

3( )( ) ( )

1 U 4

r r

πε

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= −⎜⎝ ⎟ ⎢⎠⎣ − ⎥⎦

p r p ri i p pi

p₁

p₂

r

導出：一番目の電気双極子モーメントが位置rにおいて作る 電場の下で、2番目の電気双極子モーメントが感じる 電気的ポテンシャルエネルギーを計算する。

p₁ r p₂

左記の相互配置が最もエネルギーが低い。

類似：分子間のファン・デア・ワールス力

5

４．磁気双極子モーメントとそれが作る磁場

2

1 4

qm

B ⁼ π r B

距離dだけ離れて存在している-q_m, + qmの正負の「磁荷」対を磁気双極 子といい、μ=q_ｍd/μ_０を磁気双極子モーメントという。dに向きを持たせ ると磁気双極子モーメントは一般にはベクトルである。

-q_ｍ +q_ｍ d

「磁荷」q_mが距離ｒの地点につくる磁場（磁束密度）の大きさB +q_ｍ

r

S N 微小磁石

0

3 , [ 0 ]

B 2

r

μ μ μ

= π ：真空の透磁率 磁気双極子がその方向の十分遠方の距離ｒの地点につくる磁場の大きさB

- q_ｍ + q_ｍ

d

r B

0

q dm

μ ^≡ μ

6

５．外部磁場の中の磁気双極子モーメント

ext ext cos U

μB θ

= −

= −

μiB

μ

Bext

外部磁場B_ext中の磁気双極子に働くポテンシャル・エネルギー

μベクトルとB_extベクトルが平行になろうとする。

θ

空間的均一な外部磁場B_ext中の磁気双極子に働くトルク（力のモーメント）

= × ext

N μ B μ

Bext _θ

7

６．磁気双極子モーメント間の相互作用ポテンシャル

0 1 2 1 2

12 5 3

3( )( ) ( )

U 4

r r

μ π

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= −⎜⎝ ⎟ ⎢⎠⎣ − ⎥⎦

μ ir μ ir μ μi

μ₁

μ₂

r

導出：一番目の磁気双極子モーメントが位置rにおいて作る 磁場の下で、2番目の磁気双極子モーメントが感じる 磁気的ポテンシャルエネルギーを計算する。

μ₁ r μ₂

左記の相互配置が最もエネルギーが低い。

類似：核力におけるテンソル力成分

8

７．微小円形電流と磁気双極子の比較

0

2 3

B r

μ π

= μ

I S μ = ×

半径a、電流の強さIの円電流（分子磁石）が十分遠方の距離ｒの地点につくる磁場B

2 2

0 0 0 2

3 3 3 , , 0 :

2 2 2

I S

Ia I a

B S a

r r r

μ μ π μ π μ

π π

⎛ ⋅ ⎞

= ⎜= = ⎟ ≡

⎝ ⎠

⋅ 真空の透磁率

a I

B

微小円形電流の作る磁場 磁気双極子のつくる磁場

磁気双極子モーメント＝（微小電流の大きさ）X(微小電流が囲む面積)

等価

9

８．磁気双極子モーメントと角運動量

= ×r mv

2

orbit

/ ( ) /(2 ),

2

I q T q v r S r q

m

π π

μ

= = =

⎛ ⎞

→ = ⎜⎝ ⎟⎠

質量ｍ、電荷ｑ,速さｖの荷電粒子が半径ｒの円運動をする場合の軌道角運動量

m

荷電粒子の軌道運動による磁気双極子モーメント＝[（電荷）/2x(質量)]x(軌道角運動量)

電子の軌道運動による磁気双極子モーメント

orbit

orbit ,

2 _e 2 _e

e e

m m

μ =^⎛⎜ ^{− ⎞}⎟ μ =^⎛⎜ ^{− ⎞}⎟

⎝ ⎠ ベクトル表現 ⎝ ⎠

参考：量子力学においては、スピン角運動量ｓに起因する磁気双極子モーメントも定義できる。

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９．原子の磁気双極子モーメントは電子のスピンで決まる

e

p

e p

; ( )

2 2

; ( )

2 2

| | | |

2.0023.

1

2.00

(1940

e e e e

e e

p p p p

p p

e e e

e e

g s g

m m

e e

g s g

m m

g g g μ

μ

μ μ

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞

=⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞

=⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→ >>

=

≠

電子のｇ因子

陽子のｇ因子

であることは古典論では理解できない謎であった。

の値の からのずれ（電子の異常磁気モーメント）

は量子電磁力学 年代）により解明された！

陽子（p）の質量は電子（e）の1840倍 多くの材料では、電子の軌道運動による磁気的効果は相互に相殺し、

正味ゼロか非常に小さくなる。

e ^e 2 _e ^e

g e s

μ μ≅ ≅ ^⎛⎜ ⁻m ^⎞⎟

⎝ ⎠

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参考文献

中山正敏「電磁気学」、裳華房、1986年。1章、5章。

中山正敏「物質の電磁気学」、岩波書店、1996年。４章、5章。

V.D.バーガー、M．D.オルソン「電磁気学I」、培風館、1991年。特に、4、７ 章。