有理点の整数論

有理点の整数論

田口 雄一郎

序. 整数や有理数を係数とする代数方 程式の整数解や有理数解を求める問題は ディオファントス問題

と呼ばれ、遥か昔か ら整数論の中心的な問題の一つであった。代 数方程式は “図形” を定義する (例えば方程 式 x

+ y

− 1 = 0 は円を表す) が、その 解 (x, y) は、幾何的に解釈すれば、この図 形の上の点の座標である。平面や空間の点 P であってその座標が全て整数である点を 整数点 と言い、また、座標が全て有理数で ある点を 有理点 と言う。この言葉を使うと、

ディオファントス問題とは図形の上の整数 点や有理点を求める問題である、と言える。

整数点と有理点とは相互に密接に関係し ている。例えば、方程式

X

+ Y

= Z

(1) の整数解を考えよう。この両辺を Z

で割 って

x = X

Z , y = Y Z とおくと、

x

+ y

= 1 (2) となる。整数 X, Y, Z (但し Z 6= 0) が方程 式 (1) を満たせば有理数 x, y は方程式 (2) を満たす。逆に有理数 x, y が (2) を満たす とき、x = X/Z , y = Y /Z (X, Y, Z は整数) の形に書けば、 X, Y, Z は (1) を満たす。こ の意味で、方程式 (1) の整数解を求める事

1

3 世紀頃アレキサンドリアで活躍した数学者 Dio- phantus に因んでこう呼ばれる。

と方程式 (2) の有理数解を求める事とは同 値である。言い換えれば、空間内の (1) で 表される曲面上の整数点を求める事は平面 内の (2) で表される円上の有理点を求める 事と同値である。

有名な

フェルマーの最終定理.

n が 3 以上の整数 の時、方程式

X

+ Y

= Z

を満たす整数 X, Y, Z (但し XY Z 6= 0) は 存在しない。

なども次の様に言い換えられる：

定理. n が 3 以上の整数の時、曲線 F

: x

+ y

= 1

上の有理点は自明なもの (即ち x, y のどち らかが 0 であるもの) 以外存在しない。

さて、方程式 (2) の表す円を描く事は容 易であるが、その上の有理点を求める事は それほど自明ではない。まして Fermat の 最終定理となると、フェルマー以来 350 年 を経て、つい 10 年ほど前に (現代数学の粋 を尽くして) やっと証明されたばかりであ る。代数方程式の表す図形の概形を描くに は、或る時には幾何的な考察 ( 「原点からの 距離が 1 である点全体の集合」など) で済 んだり、また或る時には微分法など解析的 な道具が使えたりするが、整数解や有理数 解を求めるにはこれらは使えなかったりあ まり役に立たなかったりする。

今日は有

2

Pierre de Fermat (1601–1665) が、彼の所持し ていたディオファントスの本 “Arithmetika” の欄外 にこの言明を書き記し、 「その事の驚くべき証明を私 は発見したが、これを記すにはこの余白は狭過ぎる」

と書き遺した。

3

もっともこれは初等的なレヴェルでの話で、整

数論の最前線では幾何的ないし解析的なアイディア

も大活躍するのであるが。

理点を求める上でどのあたりが悩ましいの か、またそれ故に面白いのか、を見てみよ う。さらに、有理点に関する未解決問題に も少し触れたい。

1. 直線. まずは直線

L : ax + by + c = 0

の場合から始める。が、話を簡単にするた め、

L : y = ax + b

と仮定しよう。ここで a, b は有理数とする。

このとき、x が有理数なら y も有理数であ り、逆に (a 6= 0 の時は) y が有理数なら x も有理数である。従って直線 L 上の有理 点は

点 (t, at + b), t は有理数, となる (この結論は a = 0 でも正しい)。

2. 2 次曲線. 次に 2 次曲線の代表として、円 C : x

+ y

= 1 (3) 上の有理点を求めよう。 sin θ, cos θ を使って パラメータ表示しよう · · · としても、 「sin θ が有理数となるような θ は？」などと考え 出すと返って問題を難しくする。4 つの有 理点 (±1, 0), (0, ±1) は容易に見つかるの で、これを元手に新しい有理点を作ってい く作戦に出よう。これら 4 点のうちの一つ P(−1, 0) を通り傾きが a の直線

L : y = a(x + 1) (4) を考え、これと円 C との交点を求める。(4) を (3) に代入して

x

+ a

(x + 1)

= 1.

これを解くと

x = −1, 1 − a

1 + a

となるから、求める交点は

(−1, 0),

µ 1 − a

1 + a

, 2a

1 + a

¶

の 2 点。このうち点 P(−1, 0) は初めから分 かっていたわけだが、もう一つの交点が

Q

µ 1 − a

1 + a

, 2a

1 + a

¶

(5) である。ここで、もし a が有理数ならば点 Q は明らかに円 C 上の有理点である。しか も有理数 a が動く時、点 Q も円 C 上をぐ るぐる動くから、C 上の有理点は無限にあ る事が分かる。

ここで使った技法は、言わば、円を直線 で切ってその切口を考察する、というもの であるが、一般に或る図形 (やその上の有理 点) を調べるのに直線や平面などで切ってそ の切口を考察する、というのはしばしば有 効な方法である。

ところで C 上の有理点は (5) の形のもの で尽きるだろうか？上の議論を逆に辿って みよう。P は以前の通り点 (−1, 0) として、

Q(s, t) が C 上の P 以外の有理点だとする (従って s 6= −1)。s, t はもちろん方程式

s

+ t

= 1 (6) を満たす。P と Q とを通る直線 L を考え ると、その方程式は

y = t

1 + s (x + 1) である。その傾きを a = t

1 + s とおくと、

これは有理数で、t = a(1 + s). これと (6)

とを連立して解くと再び (s, t) =

µ 1 − a

1 + a

, 2a

1 + a

¶

となるから、円 C 上の有理点は全てこの形 である事が分かった。

以上をまとめると、対応 a 7→

µ 1 − a

1 + a

, 2a

1 + a

¶

により、有理数と C 上の P 以外の有理点 とは一対一に対応する。

では話を少し変えて、円

C

: x

+ y

= 3 (7) 上の有理点はどうだろうか？やはり無限個 あるだろうか？もし一つ有理点が見つかれ ば、上の様に (その点を通り傾きが有理数で ある直線を引いて) 無限個の有理点が見つか るであろう (これは円ばかりでなく一般の 2 次曲線についても言える )。少し考えてみる とどうも様子が先程とは違うので、次の様 に考えてみる。今、円 C

上の有理点 P(x, y) があったとして、その座標を分数で

P µ X

Z , Y Z

¶

と書く。但し X, Y, Z の最大公約数は 1 で あるとする。すると、 (X/Z )

+ (Y /Z)

= 3 より

X

+ Y

= 3Z

. (8) これを満たす整数 X, Y, Z が存在する事に なる。それが存在したとして、等式 (8) の両 辺を 3 で割った余りを考えてみよう。少し 考察すると矛盾が生じている事 (よって (8) の整数解は存在せず、従って円 C

上の有 理点も存在しない事) が判明するであろう。

この考察を見通しよくするためには「合同 式」を用いるのがよい。これを説明するた めに、少し記号を準備する。

a, b, M を整数 (但し M 6= 0) とす る。a を M で割った余り

と b を M で 割った余りとが等しい時、a と b とは M を法として互いに合同 であると言い、

a ≡ b (mod M )

と書く。これは「a − b が M で割切れる」

と言っても同じ事である。次の公式は容易 に確かめられる：

(i) a

≡ b

かつ a

≡ b

(mod M) ならば a

± a

≡ b

± b

(mod M ),

a

a

≡ b

b

(mod M ).

(ii) c が 0 でない整数である時、

ca ≡ cb (mod cM ) ならば a ≡ b (mod M ).

合同式それ自体についても面白い話が沢山 あるのだが (そしてそれは現代の整数論に 於ける重要な道具の一つでもあるのだが)、

今日は深入り出来ない。興味を持たれた方 は是非文献 [8] や [6], [9] などの本を読まれ たい。

さて、(8) に戻る。任意の整数 X は 3 を 法として 0, 1, 2 のいづれか一つと合同で ある。従って、任意の整数 X に対し X

は 0, 1, 4 のいづれかと合同であるが、1 ≡ 4 (mod 3) だから、結局 0 又は 1 のどちらか と合同である。(8) の右辺は Z が何であれ

3Z

≡ 0 (mod 3).

一方左辺は

X

≡ 0 又は 1 (mod 3), Y

≡ 0 又は 1 (mod 3),

4

但し余りは 0 から |M | − 1 までの間に取る事に

する。

だから、

X

+ Y

≡ 0 (mod 3)

となるのは X

≡ Y

≡ 0 (mod 3) の時 (即 ち X

も Y

も 3 で割れる時) しかない。

ところがこの時 X も Y も 3 で割切れ (こ こで 3 が素数である事を使った!)、従って (8) より Z

も 3 で割切れ、さらに Z も 3 で割切れる。これは X, Y, Z の最大公約数 が 1 という仮定に矛盾する。従って方程式 (8) は整数解を持たない事が分かり、結局 円 C

: x

+ y

= 3 は有理点を一つも持たない 事が分かった。

この様に、同じ原点を中心とする円でも、

半径がちょっと違うとその上の有理点の様 子はガラッと変ってしまう。これは整数全 体の集合が “離散的” だからなのであって、

有理点を求める事の難しさの一端はその辺 にもある。

では一般に、円

C

: x

+ y

= c (c は正の有理数)

が有理点を持つかどうかについて、規則性 はあるだろうか？或いは、 c を見ただけで有 理点があるかどうか分かる様な簡単な判定 条件は無いだろうか？もちろん c が或る有 理数の平方、即ち c = r

(r は有理数) の形 ならば 有理点 (±r, 0), (0, ±r) があるから、

c = 1 の場合と結論は同じである。一般に r を正の有理数とするとき、

円 x

+ y

= c が有理点を持つ

⇐⇒ 円 x

+ y

= r

c が有理点を持つ である事が容易に分かるから、c は平方因 子を持たない整数

としてよい。

5

「平方因子を持たない整数」とは、c = r

c

の

例えば c が素数 p である時は答は簡単に 書け、

円 x

+ y

= p が有理点を持つ

⇐⇒ p = 2 又は p ≡ 1 (mod 4) である事が知られている。

一般の c = p

· · · p

(各 p

は素数) の場 合、

円 x

+ y

= c が有理点を持つ

⇐⇒

(

全ての i = 1, ..., r に対し p

= 2 又は p

≡ 1 (mod 4) である。(実はこの条件はさらに「方程式 X

+ Y

= p が 整数解 を持つ事」とも同 値である。 ) これについて、詳しい事は文献 の [2] や [4] などを参照されたい。

この節に述べたのと類似の現象は、実は もっと一般の 2 次曲線についても知られて いる。これについても上記の文献を参照さ れたい。

3. 3 次曲線. 次に平面内の 3 次曲線を考え てみよう。3 次曲線とは、一般には

E : ax

+ bx

y + cxy

+ dy

+ ex

+ f xy + gy

+ hx + iy + j = 0

(但し a, b, c, d のうち少なくとも一つは 0 で ない) の形の方程式で定義される曲線

であ る。が、ここでは例として曲線

E : y

= x

− 1 (9)

形にならない整数 (ここで r, c

は整数で、r = 2,

c

6= 0) の事である。今 c は正だから、これは「相

異なる素数の積」と言うのと同じ事である。

6

これらの中には (例えば xy(1 − x − y) = 0 の様

な) “退化した” 3 次曲線も含まれている。

を考えてみよう。これは有理点 P(1, 0) を持 つ。他に有理点はあるだろうか？円の時に やった様に、点 P を通る直線 L と C との 交点を求める事により他の有理点を得られ るだろうか？L の方程式は

L : y = a(x − 1) (10) と書ける。これと (9) とを連立して

a

(x − 1)

= x

− 1.

x = 1 は勿論この方程式の解だが、今、そ れ以外の解 (P 以外の交点の x 座標) が欲 しいので x 6= 1 として、両辺を x − 1 で割っ て整理すると

x

+ (1 − a

)x + 1 + a

= 0,

∴ x = a

− 1 ± p

(a

− 3)

− 12

2 .

よって、これらの x の値を α

とすると、

直線 L と曲線 E とは、a

= 2 √

3 + 3 の時、

点 P 以外に x 座標が α

である二点で交わ る。ところがこの x 座標の値は必ずしも有 理数ではないし、仮りに有理数だったとし ても、もし a が有理数でなければ今度は y 座標の方が有理数でなくなる。従って円の 時に使ったのと同じ手はここでは使えない。

しかし、もし有理点を予め二つ見つけられ れば、その二点を結ぶ直線 L と E との第 三の交点は有理点になる事が分かる (実はこ の事は、以下に見る様に、一般の 3 次曲線 について言える)。ところが残念ながら曲線 E : y

= x

− 1 については P 以外に有理点 を持たない事が知られている。

ここで上に述べた「第三の交点の有理性」

を証明しておこう。3 次曲線 E が方程式 f (x, y) = 0 により定義されているとする。

P

(x

, y

), P

(x

, y

) が E 上の非特異な有

理点ならば、これらを通る直線

L の方程 式は有理数係数の一次方程式で、今 (簡単の ため) L は y 軸に平行でないと仮定すると y = ax + b (a, b は有理数) の形である。L と E とは一般には P

, P

以外の第三の点 P

(x

, y

) で交わる。

実際、y = ax + b を f (x, y) = 0 に代入すると有理数を係数とす る x の 3 次方程式

を得る。この方程式は L と E の交点の x 座標 x

, x

, x

を解に持 つから、

c(x − x

)(x − x

)(x − x

) = 0 (c は有理数)

の形に因数分解出来る。仮定より x

, x

は 有理数であり、展開した時の係数も有理数 であるから、解と係数の関係より x

も有理 数、従って E と L との第三の交点 P

も有 理点である。

曲線 E が上下 (又は左右) に対称性を持っ ていると、一つの有理点から簡単にもう一 つ有理点を作れるので、以下では専ら

E : y

= ax

+ bx

+ cx + d (11) の形の 3 次曲線を考えよう。但し a, b, c, d は有理数で、a 6= 0, さらに右辺の 3 次式は 重根を持たない

と仮定する。この形の E は x 軸に関して対称であり、もし P(x

, y

) が E 上の有理点ならば、P

(x

, −y

) も E 上の有理点である。この操作も組合せると、

次の様にして次々と有理点を見つけて行け る — E 上に二つの有理点 P

, P

があれば、

7

もし P

= P

ならば L は P

に於ける接線と する。

8

P

が「無限遠点」に行ってしまったり、P

, P

のどちらかと一致してしまったりする事もあり得る。

9

正確には「3 次以下の方程式」。3 次の項がどれ も 0 になってしまう事もある。この時 P

は「無限 遠点」になると解釈される。

10

重根を持つと「特異点」が現れる。

それらを通る直線 L と E との第三の交点 として有理点 P

が作図出来、さらに x 軸 に関して P

と対称な点 P

も E 上の有理 点である。次に P

, P

, P

, P

のうちの任意 の二点、例えば P

と P

とを結ぶ直線を引 いて有理点 P

及びその対称点 P

を作図出 来る。今度は P

, P

, P

, P

, P

, P

の中から 任意の二点を結ぶ直線を引いて · · ·

· · · とやって行けばいくらでも多くの有理 点を見出せそうな気がする。実際そうなる 事もあるが、場合によっては何回かの操作 の後、どの二つの有理点を結んで作図して も得られるのは既出の有理点ばかりで、新 しい有理点は得られない、という事態に陥 る事もある。そうなるともう手詰まりで、新 しい有理点を別途見つけて来なければなら ない。このへんが 3 次曲線の有理点探しを するに当たって悩ましい事の一つである。試 しに次の問題に取り組んでみられたい。

練習問題 1. 3 次曲線

E : y

= x

+ 1

は有理点 (−1, 0), (0, ±1) を持つ。これらの 点から出発して、上の作図法により他の有 理点を見出せ。(実はこの曲線上の有理点は 5 個である事が知られている)。

練習問題 2. 3 次曲線

E : y

= x

− 2

は有理点 P

(3, 5) を持つ。この点から出発 して、他の有理点 P

, Q

を次の手順で作っ てみよ。— x 軸に関して P

と対称な点を Q

(3, −5) とする。 Q

に於ける E の接線と E との交点を P

とし、x 軸に関して P

と 対称な点を Q

とする。 Q

と Q

を通る直 線と E との交点を P

とし、x 軸に関して P

と対称な点を Q

とする。 一般に、Q

と Q

を通る直線と E との交点を P

と

し、x 軸に関して P

と対称な点を Q

とする。 (実はこの曲線上の有理点は 無限

個あり、それらは P

, Q

, P

, Q

, · · · , P

, Q

, · · · , で尽きる事が知られている)。

ところで、円の場合は有理点は全く無い か無限個あるかのどちらかで、どちらにな るかは容易に判定出来るのだった。 3 次曲線 の場合はどうだろうか？答を先に言ってし まうと、(ここでは (11) の形の曲線に話を 限るが) 全く無い場合もあり、有限個のみあ る場合もあり、無限個ある場合もある。し かし、このどれになるかが容易に判定出来 る方法は今のところ知られていない。この 一事を取ってみても 3 次曲線が 2 次曲線よ り格段に難しいという事が分かってもらえ ると思う。また、円の場合は全ての有理点 を一つのパラメータを使って表す事が出来 たが、 3 次曲線の場合はそれも出来ない。た だ、次の定理が知られている：

モーデルの定理. (11) の形の 3 次曲線 E が 有理点を持つとする。この時、E 上の有限 個の有理点 P

, · · · , P

をうまく選ぶと、E 上の他の全ての有理点はこれらを基にして、

先の作図法を繰り返す事により得られる。

(E 上 の 有 理 点 が も と も と 有 限 個 な ら そ れ ら を P

, · · · , P

とすればよいのだから、この定理は有 理点が無限個ある時のみ有難味がある。)

この定理は 1922 年頃 L. モーデル

によ り証明された。この定理は、うまい有理点 P

, · · · , P

をどうやって見つけたらいいか については何も教えてくれないので不満が 残る

が、ともかく有限個のものから出発 して、どの有理点も、有限の手続きに依っ

11

Louis Joel Mordell (1888–1972).

12

例えば円の場合の t 7→ (

,

) という「手

続き」に比べれば具体性と簡明さに欠ける。

て得られる、という訳なので、一種安心感 を与えてくれる。

3 次曲線上の有理点について、より詳しく は文献 [5] などを参照されたい。

なお、3 次曲線より “本質的に複雑な” 曲 線の場合は、その上の有理点は有限個しか 存在しない事が知られている。これは 1920 年代にモーデルにより予想され、1983 年頃 G. ファルティングス

により証明された。

4. 有理点の「多さ」. さて、(11) の形の 3 次曲線に戻って、有理点が無限個ある場 合であるが、同じ無限個でも「多さ」に程 度の差があるだろう。この「多さ」をどう やって識別出来るか？と考えた人たちがい た。B. バーチ

と H.P.F. スウィナートン ダイヤー

である。 「多さ」の詳しい説明は 略すが、大雑把に言えば、モーデルの定理 の P

, · · · , P

として、“本質的に” 何個の 有理点が必要か? というその個数の事で、

これを 3 次曲線 E の 階数 (rank) と呼んで いる。因みに

階数 = 0 ⇐⇒ 有理点は有限個 である。階数は、理念的には有理点の多さを 表すよい指標であるが、しかし P

, · · · , P

という有理点を求めるのが易しくない上に、

それらが必要最小限に取れたかどうかを判 定するのはさらに難しい。そこで彼らは色々 な素数 p について、方程式 (11) の 「mod p での整数解」の個数 (これなら単に数えれ ば求められる!) に注目した。ここで、整数 係数の方程式 y

= ax

+ bx

+ cx + d が

「mod p で整数解 (X, Y ) を持つ」とは、整 数 X, Y が

Y

≡ aX

+ bX

+cX +d (mod p) (12)

13

Gerd Faltings (1954–).

14

Bryan John Birch (1931–).

15

Sir Henry Peter Francis Swinneton-Dyer (1927–).

を満たす事である。但し mod p の世界では

· · · ≡ −p ≡ 0 ≡ p ≡ · · · ,

· · · ≡ 1 − p ≡ 1 ≡ 1 + p ≡ · · · , などとなっているので、 X, Y は 0 から p− 1 までの範囲の整数に限って考える事にする。

(11) に整数解があればそれは特に有理数解 でもあるから有理点を与える。一方それは mod p での解も与える。有理点は必ずしも 整数点ではないし、mod p での解が本当の 整数解を与えるとも限らないが、それでも

「多くの素数 p について mod p で 解を沢山持てば有理数解も多い」

という傾向があるのではないか？ と彼らは 考えた。具体的には、各素数 p に対し方程 式 (11) の mod p での解の個数を N

と書 き、積

      Y

p:素数

N

p (13)

を考える。Mod p での解の個数 N

が p に 比べて相対的にどれだけ多いか (N

/p) を、

p に渡ってかけ合せるのである。

「p に 渡ってかけ合せる」と言っても、一気に全 部かけ合せる事は出来ない。そこで途中ま での積

     f(x) = Y

p5x

N

p (14)

を考え、函数 f (x) の x → ∞ の時の振舞 いを考察する。N

/p が小さい様な p が 多ければ f (x) は 0 に収束するだろうし、

16

差 N

− p を考えたり和 P

p

を取ったりしても

よさそうだが、それ以前の研究の蓄積からして、上

の積を考えるのがスジがいい事が分かっていたので

ある。

N

/p が大きい様な p が多ければ f (x) は

∞ に発散するだろう。バーチとスウィナー トンダイヤーは、E の有理点が多ければ 多いほどその増大度は大きいだろうと考 え、計算機を使って多くの計算を行ってみ た。そして、或る予想を立てた (文献 [1])。

実際にはこの予想は別の函数 (ゼータ函数 又は L 函数と呼ばれる) を使って定式化 されるのであるが、階数 1 の場合以外に は、殆ど証明されていない。この予想は バーチ & スウィナートンダイヤー予想 と 呼ばれ、クレイ数学研究所

が選んだ有 名な (懸賞付きの) “Millennium Problems”

の一つである。

5. Mod p での解の個数の規則性. 視点

を変えて、N

, N

, N

, ... という数列自体に ついて、何か規則性は無いか探してみよう (N

は方程式 (11) の mod p での解の個数 であった)。最初の例

  E : y

= x

− 1 (15) の場合にこの数列 {N

} を計算してみよう。

実は色々な理由から N

よりも

  a

= p − N

(16) なる数列に注目する方がスジがいい事が分 かっているので、こちらを計算する。例え ば p = 5 の時、両辺の値 (mod 5) を調べて みると、x = 0, 1, 2, 3, 4 に対し

x

− 1 = −1, 0, 7, 26, 63

≡ 4, 0, 2, 1, 3 (mod 5).

一方、y = 0, 1, 2, 3, 4 に対し y

= 0, 1, 4, 9, 16

≡ 0, 1, 4, 4, 1 (mod 5).

17

Clay Mathematics Institute http://www.claymath.org/

これを表にしてみると、

x 0 1 2 3 4

右辺 (mod 5) 4 0 2 1 3

y 0 1 2 3 4

左辺 (mod 5) 0 1 4 4 1 これより方程式 (15) の mod 5 での解は

(0, 2), (0, 3), (1, 0), (3, 1), (3, 4) の 5 つ。従って a

= 5 − N

= 0 である。

他の素数 p についても a

を計算して、こ れを表にしてみると、

p 2 3 5 7 11 13 17 19 a

0 0 0 4 0 2 0 −8 23 29 31 37 41 43 47 53

0 0 4 0 0 −8 0 0

59 61 67 71 73 79 83 89

0 14 16 0 −10 4 0 0

何らかの規則性

が見えるだろうか？いつ a

= 0 になるか、予言出来るだろうか？

では今度は曲線

  E : y

= x

+ x + 2

について同じ事をやってみたらどうだろう か？計算結果だけ示すと、

p 2 3 5 7 11 13 17 19 a

0 0 2 −1 −4 2 −6 8 23 29 31 37 41 43 47 53

0 6 8 −2 2 −4 −8 6

18

全部偶数、とか、定性的な事ではなく、ピタッ

と値を予言出来る様な規則性。

59 61 67 71 73 79 83 89 0 −6 −4 −8 10 16 8 −6 となる。今度は、これだけ見て何らかの規 則性が見えると言う人はよっぽど奇特な人 だと思う。しかし、この曲線の場合でも、そ して (11) の形の 3 次曲線ならどんなもので も、数列 a

, a

, a

, ... には或る意味で規則性 がある筈だ、と予想した人たちがいた。 「規 則性」にも色々な定式化がある。その最初の 形は恐らく H. ハッセ

による予想だろう。

さらに「その規則性はもっと美しい筈だ」と いう予想を提出したのが谷山豊 (1927–1958) だった (文献 [7], p. 174 の問題 12)。1955 年 頃の事である。この予想は志村五郎 (1930–) により精密化され、 「谷山志村予想」と呼ば れていた。この予想に依ると、数列 {a

} の

「規則性」は、「或る素性の良い函数

f (x) が存在して

a

= f

(0) p!

が成り立つ」

と表現される (ここで f

(x) は f(x) を p 回微分したもの)。1995 年、A.

ワイルス

はこの予想を部分的に証明し、そ の結果としてフェルマーの最終定理を証明 したのだった。その後、ワイルスの方法を発 展させた C. Breuil, B. Conrad, F. Diamond, R. Taylor の四人の共著論文により、谷山志 村予想は今や完全に証明されている。谷山

19

Helmut Hasse (1898–1979).

20

y

= ax

+ bx

+ cx + d などという代数方程式 とは全く異なる起源を持つ函数。

21

これを以って「数列 a

の規則性」と呼ぶのは どうかと思われる向きもあるかもしれないが、例え ば a, a

, a

, ... という等比数列 {a

} (これは規則的 でしょう!) は、函数 f (x) = 1/(1 − ax) から a

= f

(0)/n! として得られる事を思えば、それほど理 不尽ではあるまい。

22

Andrew Wiles (1953–).

志村予想はさらなる一般化が可能であると 信じられており、その方面の研究も盛んに 行われている。この様な話に興味を持たれ た方は [3] などを読まれたい。

参考文献

[1] B.J. Birch and H.P.F. Swinnerton- Dyer, Notes on elliptic curves. II, Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik 218 (1965), 79–108,

G¨ottinger Digitalisierungs-Zentrum http://gdz.sub.uni-goettingen.de から電子的に入手可能。

[2] 加藤和也、黒川信重、斎藤毅『数論 I』

(岩波書店)

[3] 斎藤毅『Fermat 予想 1』(岩波書店; 第 2 巻は未刊)

[4] J.-P. セール『数論講義』(岩波書店) [5] J. シルヴァーマン、 J.T. テイト『楕円

曲線論入門』(シュプリンガー・フェア ラーク東京)

[6] 高木貞治『初等整数論講義』 (共立出版) [7] 『谷山豊全集』(日本評論社)

[8] 都築暢夫「数のひとつの拡張 ^— 合同方程 式の極限として方程式 x

+ 1 = 0 を解く — 」 (平成 16 年度 広島大学公開講座 講義 ノート)

[9] 山本芳彦『数論入門』(岩波書店)

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