2008 年度 修士論文

2008 年度 修士論文

任意標数における Veronese variety の higher secant variety の定義方程式について

基幹理工学研究科 数学応用数理専攻 修士課程

年

5107A007-1 伊藤 達哉

指導教員名 楫 元

提出日2009年2月4日

Contents

1 Introduction 2

2 Definition and notation 3

2.1 Definition . . . . 3 2.2 Notation . . . . 3

3 Preliminaries 4

3.1 Veronese variety . . . . 4 3.2 Remarks on characteristic two . . . . 5 3.3 Key lemma . . . . 8

4 Main theorem 12

4.1 Secant variety . . . . 13 4.2 Higher secant variety . . . . 16

5 Application 19

5.1 Singularの計算プログラム . . . . 21 5.2 Singularによる計算結果 . . . . 22

6 Conjectures 23

Abstract

 本論文は,任意標数の代数閉体上でVeronese varietyのn-secant varietyが,ある対称行列の(n+2)×(n+2) 小行列式全体の零点集合になることを示したものである. これはchar(k)̸= 2の場合では知られている結果で あり,新しい結果はchar(k) = 2に対してである. 但し,証明は任意標数で与えている.

1 Introduction

本論文の扱うVeronese varietyV₂^mとは, P^mの2-uple embeddingの像のことである. smooth projective varietyXに対してn-secant variety Secⁿ(X)とは,Xのn+ 1点で張られる線形部分空間のすべての和集合 のZariski閉包をとったvarietyのことである. 特にn= 1の時は, secant varietyといいSec(X)と書く.  Secant varietyの一つの応用として, smooth projective varietyX ⊂P^{N における一般の点}P ∈P^N\X からの射影πP を考える. このときXとπP(X)が同型となるのは,点PがSec(X)に含まれていないことが 必要十分であるということが良く知られている. したがって, Sec(X)の定義イデアルが分かれば, 同型を与え る射影の点を具体的に与えることができる.

 一般のsmooth projective variety に対して, secant varietyの定義イデアルの具体的な記述は知られて いないが, いくつかのvarietyに関してはその定義イデアルが知られている. char(k) = 0 をみたす基礎 体k上のVeronese variety V₂^m もそのひとつであり, I(Sec(V₂^m))は斉次座標に対応するある対称行列Ω のすべての3×3 小行列式で生成されるイデアルとなることが知られている. これを零点集合で書けば, Sec(V₂^m) =V(I3(Ω))である. char(k)>0のV₂^mに対してもSec(V₂^m) =V(I3(Ω))が得られることが期待 される. 実際 R. Gattazzo [2]には, char(k)̸= 2に対してもSec(V₂^m) =V(I3(Ω))が成り立つことが示され ている. さらに[2]は, char(k) = 2の時Sec(V₂^m) =V(I3(Ω))が成り立たないとして反例も挙げてある. しか し,実際この例はsecant lineにのらないが, tangent lineにのることが分かり,反例にはなっていないことが 分かる(この考察に関しては, 4.2参照). そこでtangent lineまで含めて議論すれば, char(k) = 2の時に関し てもSec(V₂^m) =V(I3(Ω))が成りたつのではないかと考えた. 本論文の主結果は以下の通り:

Main Theorem. char(k)≥0,V₂^m⊂P^N:=(^m+2₂ )−1

をVeronese varietyとする. この時,n≥0に対して, Secⁿ(V₂^m) =V(I_n+2(Ω))

が成り立つ. 但し,ΩはP^N の斉次座標に対応する対称行列で,P^{N の斉次座標を}, Z = (Z00:Z01:Z02:· · ·:Zij :· · ·:Zm−1m:Zmm)∈P^N (0≤i≤j≤m), と書いたとき,

Ω(Z) :=









Z00 Z01 Z02 · · · Z0m

Z10 Z11 Z12 · · · Z1m

Z20 Z21 Z22 · · · Z2m

... ... ... . .. ... Z_m0 Z_m1 Z_m2 · · · Z_mm









(但し, Zji=Zij)

と表す. またI_t(Ω)はΩのすべてのt×t小行列式で生成されるイデアル.

主定理のsecant varietyに関する新しい結果は, char(k) = 2の時のみであるが,証明は任意標数で与えてい るところがポイントである. また主定理はsecant varietyだけでなく higher secant varietyに関しても小行 列式で定義イデアルを記述できることを言及している.

 実はchar(k)̸= 2の時, Sec(V₂^m)と閉包を取る前の集合Sec^◦(V₂^m)が一致していることが, [2]の証明を見 ればわかる(Remark 3.4). しかし, char(k) = 2の時ではこれらは一致していない. このchar(k) = 2特有の 現象がこの定理を示す上での問題となっている. 定理の証明では, Ωの対角成分に注目し, secant varietyと

tangent varietyの双方を見ることで任意標数における証明を与えることができた. また主定理の応用として,

char(k) = 2において1次元の場合に成り立つrankと次数付きBetti数の関係が,高次元で成り立たない例を

与えた. 最後に主定理の次数に関する予想を書いた.

2 Definition and notation

2.1 Definition

基礎体kは代数閉体とし,特に断らない限りchar(k)≥0とする. Definition 2.1 (Veronese variety). ν2:P^m−→P^N:=(^m+2₂ )−1

; (x0:x1:· · ·:xm)7−→(x²₀:x0x1:x0x2:

· · ·:x²_m)と書くとき,その像V₂^m:=ν2(P^m)と書き,Veronese varietyという.

Definition 2.2 (Higher secant variety). X ⊆P^{N を}smooth projective varietyとする. X のn-secant varietySecⁿ(X)とは,Xのn+ 1点で張られ線形部分空間の和集合Secⁿ(X)^◦のP^N におけるZariski閉包 である.すなわち,

Secⁿ(X) := Secⁿ(X)^◦⊆P^N, Secⁿ(X)^◦:= ∪

x₀, ... ,x_n∈X

⟨x0, . . . , xn⟩.

但し,⟨x0, . . . , xn⟩^はx0, . . . , xnで張られる線形部分空間. 特にn= 1の時は Sec(X) := Sec¹(X)と書き, Xのsecant varietyという.

X, Y ⊆P^{N を}smooth projective varietyとする. この時,

Sec(X, Y)^◦:={z∈P^N | z∈ ⟨x, y⟩, x∈X, y∈Y, x̸=y} と定義する. 特にX =Y の時Sec(X) = Sec(X, X)^◦⊆P^{N である}.

Definition 2.3(Tangent variety). X ⊆P^Nをsmooth projective varietyとする. Xのtangent variety とは,

Tan(X) := ∪

P∈X

TPX.

但し,TPX はP ∈XにおけるX のprojective tangent space.

2.2 Notation

Notation 2.4. V₂^m⊂P^N=(^m+22 )−1を考える上で,斉次座標

Z = (Z00:Z01:Z02:· · ·:Zij :· · ·:Zm−1m:Zmm) (0≤i≤j≤m)

とおいて,

Ω(Z) :=









Z00 Z01 Z02 · · · Z0m

Z10 Z11 Z12 · · · Z1m

Z20 Z21 Z22 · · · Z2m

... ... ... . .. ... Zm0 Zm1 Zm2 · · · Zmm









(但し, Zji=Zij)

と表すことで,P^{N の斉次座標を}(m+ 1)×(m+ 1)対称行列で書くことができる. 以下,Ωはこの斉次座標に 対応する行列を表し,P^N の任意の点もこれに基づいて行列表示を適宜考えることにする.

Notation 2.5. Rを単位的可換環,Rを成分として持つ行列Aに対して,

It(A) :=⟨Aのt×t小行列全体⟩ (R上で生成されるイデアル)

と書くことにする. また V(It(Ω)) :={Z = (Z00:· · ·:Zmm)∈P^N | Ω(Z)のすべてのt×t小行列式が0} である.

3 Preliminaries

3.1 Veronese variety

Proposition 3.1. char(k)≥0に対して,

V₂^m=V(I2(Ω)).

これは良く知られているが,適当な参考文献が無いので証明を与える.

Proof. (⊆)R∈V₂^mとすると, ある(x0:x1 :· · ·:xm)∈P^{mが存在して}, ν2(x0:x1:· · ·:xm) =R∈P^N とかける. なので, Rに対応する行列は,

R=









x²₀ x₀x₁ x₀x₂ · · · x₀x_m x₁x₀ x²₁ x₁x₂ · · · x₁x_m x₂x₀ x₂x₁ x²₂ · · · x₂x_m

... ... ... . .. ... xmx0 xmx1 xmx2 · · · x²_m









となる. この行列の任意の2×2小行列式は,

¯¯¯¯ xi₁xj₁ xi₁xj₂

xi₂xj₁ xi₂xj₂

¯¯¯¯=xi₁xj₁xi₂xj₂−xi₁xj₂xi₂xj₁ = 0 (0≤i1, i2, j1, j2≤m) よって,

R∈V(I2(Ω)).

(⊇) 任意のR = (rij)∈V(I2(Ω))に対して, もし 任意のiに対してrii = 0とすると,対称性よりrij =rji

にであることに注意すれば, 0 =¯¯

¯¯ rii rij

r_ji r_jj

¯¯¯¯=r_ij² (0≤i < j≤m)

なので,rij = 0となりR∈P^N に反する. よってあるiが存在してrii ̸= 0. 対称性より,r00̸= 0と仮定して も一般性を失わない.

0 =¯¯

¯¯ r00 r0j

ri0 rij

¯¯¯¯=r₀₀r_ij−r_0ir_0j (0≤i < j≤m)

である. そこで(r00:r01:· · ·:r0m)∈P^{mとおくと},

ν2((r00:r01:· · ·:r0m)) = (r0ir0j)_{0≤i≤j≤m}= (r00rij)_{0≤i≤j≤m}=R∈P^N. よって,

R∈V₂^m.

Proposition 3.2. Sec(V₂^m) = Tan(V₂^m).

proof. F. L. Zak [11]など.

3.2 Remarks on characteristic two

Proposition 3.3 (R. Gattazzo(1984) [2]).

(i) char(k)≥0に対して,

Sec(V₂^m)⊆V(I3(Ω)).

(ii) char(k)̸= 2に対して,

Sec(V₂^m) =V(I3(Ω)).

Proof. (i)Claim[Sec(V₂^m)^◦⊆V(I3(Ω)).]

これが示されれば, 両辺の閉包をとることで (i)が従う. よって Claim を示す. 任意の R = (r_ij) ∈ Sec(V₂^m)^◦ ⊂ P^{N に対して}, 2点を結ぶline上の点なので, あるA = (a_ij), B = (b_ij) ∈V₂^mが存在して, R=αA+βB (α, β∈k^×)とかける. 各成分をみると,

r_ij =αa_ij+βb_ij となっている. Rの3×3の小行列式を見ると,

¯¯¯¯

¯¯

ri₁j₁ ri₁j₂ ri₁j₃

ri₂j₁ ri₂j₂ ri₂j₃

ri₃j₁ ri₃j₂ ri₃j₃

¯¯¯¯

¯¯=

¯¯¯¯

¯¯

αai₁j₁+βbi₁j₁ αai₁j₂+βbi₁j₂ αai₁j₃+βbi₁j₃

αai₂j₁+βbi₂j₁ αai₂j₂+βbi₂j₂ αai₂j₃+βbi₂j₃

αai₃j₁+βbi₃j₁ αai₃j₂+βbi₃j₂ αai₃j₃+βbi₃j₃

¯¯¯¯

¯¯

=α³

¯¯¯¯

¯¯

ai₁j₁ ai₁j₂ ai₁j₃

ai₂j₁ ai₂j₂ ai₂j₃

ai₃j₁ ai₃j₂ ai₃j₃

¯¯¯¯

¯¯+β³

¯¯¯¯

¯¯

bi₁j₁ bi₁j₂ bi₁j₃

bi₂j₁ bi₂j₂ bi₂j₃

bi₃j₁ bi₃j₂ bi₃j₃

¯¯¯¯

¯¯

+α²β



¯¯

¯¯¯¯

a_i1j1 a_i1j2 b_i1j3 a_i2j1 a_i2j2 b_i2j3 a_i3j1 a_i3j2 b_i3j3

¯¯¯¯

¯¯+

¯¯¯¯

¯¯

a_i1j1 b_i1j2 a_i1j3 a_i2j1 b_i2j2 a_i2j3 a_i3j1 b_i3j2 a_i3j3

¯¯¯¯

¯¯+

¯¯¯¯

¯¯

b_i1j1 a_i1j2 a_i1j3 b_i2j1 a_i2j2 a_i2j3 b_i3j1 a_i3j2 a_i3j3

¯¯¯¯

¯¯





+αβ²



¯¯

¯¯¯¯

b_i1j1 b_i1j2 a_i1j3 b_i2j1 b_i2j2 a_i2j3 b_i3j1 b_i3j2 a_i3j3

¯¯¯¯

¯¯+

¯¯¯¯

¯¯

b_i1j1 a_i1j2 b_i1j3 b_i2j1 a_i2j2 b_i2j3 b_i3j1 a_i3j2 b_i3j3

¯¯¯¯

¯¯+

¯¯¯¯

¯¯

a_i1j1 b_i1j2 b_i1j3 a_i2j1 b_i2j2 b_i2j3 a_i3j1 b_i3j2 b_i3j3

¯¯¯¯

¯¯



.

分解したすべての行列式には少なくとも2 つのA, B の列ベクトルを含むことに注意する. 一方 A, B ∈ V₂^m=V(I2(Ω))であったので,A, Bの2×2小行列式は0である. よってRの3×3の小行列式は0. すな わち,R∈V(I3(Ω)).

(ii)Claim[char(k)̸= 0の時, Sec(V₂^m)^◦⊇V(I3(Ω)).]

proof. 任意のR= (rij)∈V(I3(Ω))に対して,Rのrankは1または2であり, Rは対称行列なので直行行 列を用いた対角化を考える.

(a) rank(R)=1の時,明らかに,R∈V(I2(Ω)) =V₂^m⊂Sec(V₂^m)^◦. (b) rank(R)=2の時, ある可逆な直行行列P∈GL_k(m+ 1)が存在して,

P R^tP =



 a 0 0

0 b 0

0 0 0



 (a, b∈k^×)

とかける. よって,

A+B:=P⁻¹



 a 0 0

0 0 0

0 0 0



^tP⁻¹+P⁻¹



 0 0 0 0 b 0 0 0 0



^tP⁻¹=R

とおけば,A, Bはrank 1の対称行列なのでA, B ∈V(I2(Ω)) =V₂^mとなり,R∈Sec(V₂^m)^◦. Remark 3.4. 上の証明より,char(k)̸= 2であれば特に

Sec(V₂^m)^◦=V(I3(Ω)).

またより一般に,char(k)̸= 2に対して,

Secⁿ(V₂^m)^◦=V(I_n+2(Ω)) (n≥1)

が成り立つ. (⊆)については,Lemma 4.2,逆もProposition 3.3の証明を拡張するだけである. Remark 3.5.

R. Gattazzo(1984) [2, p. 225]には,以下のような注意が書いてある.

NOTE 2もし標数が2の時,(ii)は成り立たない. m= 2でその反例があり, R:= (0 : 1 : 0 : 0 : 0 : 0) =



 0 1 0

1 0 0

0 0 0



∈V(I3(Ω))\Sec(V₂²)

となっている.

しかし,実際にはこれは誤りであり,Rはtangent lineに載り,R∈Sec(V₂²)である. Proposition 3.6. R= (0 : 1 : 0 : 0 : 0 : 0)∈P⁵に対して,

(i) char(k) = 2の時,R∈/ Sec(V₂², V₂²)^◦. (ii) char(k)̸= 2の時,R∈Sec(V₂², V₂²)^◦.

(iii) char(k) = 2の時,R∈T(1:0:0:0:0:0)V₂² (V₂²の(1 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0)におけるtangent space).

Proof. (i) 背理法で示す. もし, あるP := (x0 : x1 : x2), Q := (y0 : y1 : y1) ∈ P^{2が存在して} R ∈