中学校３年生 数学 単元名 ６ 三平方の定理 ＮＯ．１
１．下の図の直角三角形で， x の値を求めなさい。（１０点
×７問）
（１）三平方の定理より，
22x252
21 4 25
2 52 2
2
x
x ＞
0なので，
x 21
（２）三平方の定理より， （３）三平方の定理より， （４）三平方の定理より，
（５）三平方の定理より， （６）三平方の定理より， （７）三平方の定理より，
２．次の長さを３辺とする三角形が直角三角形かどうか答えなさい。（１０点
×３問）
（１）
5cm，
6cm，
7cm5262253661
，
7249であることから，
526272は成り立たない。
したがって，この三角形は直角三角形ではない。
（２）
3cm，
5cm，
2 2cm( 3)2( 5)2358
，
(2 2)28であるから，
( 3)2( 5)2(2 2)2が成り立 っている。したがって，この三角形は直角三角形である。
（３）
0.6cm，
0.8cm，
1cm0.620.820.360.641
，
121であるから，
0.620.8212が成り立ってい る。
したがって，この三角形は直角三角形である。
直角三角形は 三平方の定理が 成り立つね
32x262
27 9 36
3 62 2
2
x
x ＞0 なので，
x 273 3
3242x2
25 16 9
4 32 2
2
x
x ＞0 なので，
x 255
5252x2
50 25 25
5 52 2
2
x
x ＞0 なので，
x 505 2
42x262
20 16 36
4 62 2
2
x
x ＞0 なので，
x 202 5 122x2132
25 144 169
12 132 2
2
x
x ＞0 なので，
x 255 22x2(2 5)2
16 4 20
) 2 5 (2 2 2
2
x
x ＞0 なので，
x 16 4
中学校３年生 数学 単元名 ６ 三平方の定理 ＮＯ．２
１．次の□にあてはまる数を答えなさい。（８点
×６問）
（１）右の正方形で，対角線の長さ x を求 めます。直角三角形
ABCで，
BC
：
CA：
AB＝
1：1：あ 2あ であることから，
4：
x ＝1：あ 2あ これを解くと，
x ＝あ
4 2あ（
cm）
（２）右の正三角形で，高さ
hを求めます。直角三角形
AHBで，
HB
：
AH：
BA＝
1：あ 3あ：
2であることから，
h：6
＝あ
3あ：
2これを解くと，
h＝あ3 3
あ（
cm）
２．次の三角形の高さ
AHと面積を求めなさい。（８点
×４問）
（１）１辺が
4cmの正三角形 （２）
AB＝
AC＝
5cm，
BC＝
6cmの二等 辺
三角形
３．
2点
A，
Bの間の距離を求めなさい。
（１０点
×２問）
（１）
A(5, 4)，
B(1, 2)のとき 右の図から，
AB2
＝
22＋
42 AB＝
2 5（２）
A(3, 2)，
B(1,2)のとき 右の図から，
cm 4
cm 4
cm x
cm 6
cm 6 cm h A
B C
A
y
A B
（２）
A B
B
AH＝
x
cmとすると，BH＝3cm であることから，x23252 これを解くと，
x
＝4よって，三角形の面積は，
12
2 4 1
6 （cm2）
（１）
AH＝
x
cmとすると，AH：AB＝ 3：2 であることから，
x
：4＝ 3：2 これを解くと，
x
＝2 3よって，三角形の面積は，
4 3
2 3 1 2
4 （cm2）
O x
5 5
5
5
H
30度，45度，60度 の角を持つ直角三角形 は，辺の比が決まって いるね。
AB2
＝
42＋
42 AB＝
4 2中学校３年生 数学 単元名 ６ 三平方の定理 ＮＯ．３
１．半径
5cmの円
Oで，中心からの距離が
2cmである弦
ABの長さを次のようにして求めました。□にあてはまる数を 答えなさい。（１０点
×５問）
右の図のように，中心
Oから弦
ABに垂線
OHをひくとき，
△
OAHは直角三角形なので，
あ
2あ２＋
x２＝あ
5あ
２これを解くと，
x
＝あ
21あ
ここで，△
OAH≡△OBHなので，
AH
＝
BH＝あ
21あ （
cm） よって，
AB
＝
AH×2＝あ
2 21あ（
cm）
２．右の図のように，半径
4cmの球を，中心
Oとの距離が
2cmである平面で切ると き，切り口は円になります。このとき，次の各問いに答えなさい。
（１）
OO’の長さを求めなさい。（１０点）
中心
Oと平面との距離が
2cmであるこ とから，
OO’＝
2（
cm）
（２）切り口の円の直径
ABの長さを求めな さい。（２０点）
△
AOO’は直角三角形なので，
(AO’)2
＋
22＝
42これを解いて，
AO’
＝
2 3（
cm）
AO’＝
BO’であることから，
AB
＝
4 3（
cm）
（３）切り口の円の面積を求めなさい。
（２０点）
切り口は，半径
2 3cmの円であることから，面積は，
(2 3)212
（
cm2）
O
A O' B
１の問題と同じ よ う な 図 だ ね !!
O
A H B
cm 2 cm
5
cm x
中学校３年生 数学 単元名 ６ 三平方の定理 ＮＯ．４
１．右の図の直方体で，
AE＝
AD＝
3cm，
AB＝
4cmのとき，次の各問いに答えなさい
（１０点
×２問）
（１）直角三角形
EFGで，
EGの長さを求めなさい。
△
EFGは直角三角形なので，
3242EG2
これを解いて，
EG
＝
5（
cm）
（２）直角三角形
AEGで，対角線
AGの長さを 求めなさい。
△
AEGは直角三角形なので，
3252AG2
これを解いて，
AG
＝
34（
cm）
２．右の図形について，体積を次のようにして求めました。
□
にあてはまる数を答えなさい。（８点
×１０問）
（１）母線の長さが
7cm，底面の円の半径が
3cmの円錐 △
OAHは直角三角形なので，
あ
3あ
２＋
OH２＝あ
7あ
２これを解くと，
OH
＝あ
2 10あ （
cm）
したがって，体積は， あ
6 10あ（
cm３）となる。
（２）底面が１辺
4cm，他の辺が
5cmの正四角 錐
（
AB＝
AD＝
4cm，
OA＝
OB＝
OC＝
OD＝
5cm）
直 角 三 角 形
ABCで ，
AC＝ あ
4 2あ
（
cm）であることから，
AH
＝あ
2 2あ （
cm）
△
OAHは直角三角形であることから，
あ
2 2あ
２＋
OH２＝あ
5あ
２これを解くと，
OH
＝あ
17あ（
cm）
O
A B
D C
H O
A H
A B
D C
E F
H G
錐の体積は，
底面積×高さ× だったね。
したがって，体積は， あ
3 17
16
あ （cm
３）となる。
体積を求めるには，図形の高さを求めなければならないね。
→そのためには，高さを含む直角三角形があればいいね！！
中学校３年生 数学 単元名 ６ 三平方の定理 ＮＯ．５
１．右の図のような，
AD＝
2cm，
AB＝
4cm，
AE＝
3cmの直方 体があります。点
Aから辺
BCを通って点
Gまで糸をかけて，
その糸の長さが最も短くなるようにします。このとき，次の 各問いに答えなさい。（２０点
×２問）
（１）下の展開図に，長さが最も短くなるときの糸の様子をかき いれなさい。
（２）糸の長さを求めなさい。
△
AFGは直角三角形なので，
22(43)2AG2
これを解くと，
AG
＝
53（
cm）
２．１辺
8cmの正方形の紙を，点
Dが
ABの中点
Mと重なるように折るとき，次の 各問いに答えなさい。
（１）
APの長さを次のように求めました。□にあ てはまる数を答えなさい。（１０点
×４問）
AP
＝ xcmとすると，
PD
＝
PM＝あ
8xあ （
cm） と表すことができる。
△AMP
は直角三角形なので，
あ x あ
２＋
4２＝あ
(8 x)あ
２これを解くと，
x ＝あ
3あ （
cm）
（２）折り目の線
PQの長さを求めなさい。（２ ０点）
A H D
E B
C
H G
G H
F E
E F
A
B C
D
M
P
Q
A B
C D
E F
H G
相似な三角形は ないかな？
N
H
「糸の長さが最も 短くなるとき」とい うのは「糸がピンと はられて直線にな るとき」だね。
2
点
M，
Dを結び，
PQとの交点を
Nとすると，
三平方の定理から，
MD
＝
4 5（
cm）
また，△
AMD∽△NPD，△
NPD∽△HPQ，さらに，
AD＝
HQから，
△AMD≡△HPQ
