経済学部における補習教育について 一 経済数学を題材 として-

経済学部における補習教育について

一 経済数学を題材 として‑

大 倉 真 人

【 資 料】

AbstFact

Mathematicsisanimportantsubjecttolearneconomics.However,somestudents,whodidnot studymathematicssomuchinhighschool,havedifficultyindealingwiththemathematicsofeco‑ nomicsintheuniversity.Inordertobackuptheirstudy,Ihadthesupplementarylessonin mathematicsofeconomicsfrom2005to2007(threeyears)･Thismaterialisthereportaboutthat supplementarylesson.

Keywords:Supplementarylesson,Mathematicsofeconomics

1 .序

近年 , ｢ゆ とり教育世代｣ と呼ばれ る世代 が大学へ入学する年を迎 え始めている｡ これ に伴い,従来であれば,大学以前 ( 小学校か ら高等学校)において既習済みであるはずの 事項が十分に修得 されていない,ない しは内 容によっては,授業範囲か ら削除されて しま ってお り学習する機会その ものが存在 してい ない, という事態が少なか らず存在する｡

また近年の入試の多様化に伴 って,全国の 大学では,基礎的な科 目 ( 数学,理科な ど) にかかる試験 を経ないで大学に入学するケー ス も増加 して きている｡実際,長崎大学経済 学部 ( 以下 ｢本学部｣ と呼ぶ) において も

｢推薦入試｣および

入試｣が実施 され てお り, これ らの入試では,方程式の解を求

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ただ し高等学校 か らの推薦 を受ける際 にこれ らの 能力が問われ るため ( 例 えば ｢ 全体の成績が学年

位 までの者 を大学 に推薦す る｣な どの形 で),全 く

ノーチ ェック とい う訳 ではない｡

め る とい った能 力が直接問われ るこ とはな

い 1｡

以上のような現実 とは対象的に,大学で提 供 される授業科 目およびその位置づけ ( 必須 科 目,選択必須科 目,自由科 目等)について は, どち らか と言 えば硬直的である｡実際, 本学部 において も

年

月にカ リキ ュラ ム改正 ( 学科制か らコース制への転換)が行 われてか ら

年余 りが経過するが,新設科 目 の導入や旧来的な科 目の廃止,あるいは科 目 の位置づけの変更 ( 例えば 自由科 目か ら選択 必須科 目への変更な ど)はほ とん ど行われて いないのが実情 である

｡ それゆえ,先の改 正時において考 え られていた各科 目の ｢ 授業 のね らい｣の実現や ｢ 到達 目標｣の達成が困 難 となる場合が多 くなって きている｡換言す れば,各科 目を受講する際に求め られる初期 能力 と実際に受講 している学生が有 している

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変更された事例がない訳ではないが,議論 q) 本筋

には直接関連 しない ことか ら,具体的な記載 につい

ては省略す る｡

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それ とのギ ャップが拡大 して きてい る と言 え る｡

そ して,上 に述 べたキ ャップが最 も顕著 に 表 れ る例の 1つが, ( 経済)数学 であ る と思 われ る｡なぜな ら,数学は,科 目の性格 とし て ｢で きる人｣ と ｢で きない人｣ との格差 が 大 き くなる科 目であ るだけでな く,入試 の多 様化 を理 由に,その格差が顕著 に拡大 してい る科 目だか らであ る ( 極端 な例 か もしれない が,理数系 を 目指 していたが何 らかの理 由で 経済学部 に転 じた一般人試合格者 と高校時 に おいて理数系科 目をほ とん ど学習 して こなか った推薦人試合格者 との差 を考 える と理解 し やすいだろ う) 0

その ような中で,本学部 は 1年次生 に対 し て ｢ 経済学部生のための数学｣ とい う

単位 科 目を選択 必須科 目として配 当 してい る

｡ 授業科 目名か ら明 らかな ように,当該科 目は, 経済学部 に入学 した新入生 が,今後経済学 を 学習す る際 に必要 とな るツール としての数学 を学習す るこ とを 目的 としてい る｡具体的な 授業 内容 としては, 利子計算 ( 現在価値計算), 指数 ･対数関数 ,様 々な微分 ( 偏微分,全微 分 ,合成 関数 の微分 ,陰関数 の微分 な ど), 最適化 問題 な どであ る

｡利 子計算 ( 現在価

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本学部では , ｢現代経済概論 ｣ ｢現代経営概論｣

｢ 現代金融概論 ｣ ｢ 現代経済法概論 ｣ ｢ 経済学部生の ための数学

｢国際関係概論｣の

科 目 ( いずれ も

単位)を ｢ 学部導入科 目｣ と位置づけ

科 目

単 位以上の修得を卒業要件 として課 している ( ただ し

年次編入生 に対 しては,これ らの科 目の単位修得 が卒業のための要件 とはなっていない) 0

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ただ し ｢経済学部生のため数学｣の授業担 当者

名)は固定的に決定 している訳ではな く,それ ゆえその授業範囲は年度 によって若干異なる場合が ある｡なお筆者は

年度および

年度において 当該科 目を担 当 した ( それ以前の担 当歴はない)0 また もう

名の担当者については,両年 とも同一の 教員である (よって 2年度連続で同 じ担当者組で当 該授業が行われた ことになる) ｡

値計算)は,会計やフ ァイナンスを学習す る 際 に必須 とな る計算 お よび概念であ る｡ また 微分や最適化 は,例 えば ミクロ経済学 で利潤 最大化問題 や費用最小化問題 とい った最 も基 礎的かつ重要 な項 目を学習す る際 に必ず登場 す る項 目であ る｡

そ して, これ らの学習内容の理解 に際 して は,例 えば関数 (

次関数 ,

次関数 な ど) についての知識や因数分解の方法 な どについ て既 に学習済 みであ るこ とが前提 とな る｡ し か しなが ら現実 には, これ らが ｢ 既習｣ とな っていない学生が少 なか らず存在す る｡ さ ら に, これ らの項 目が ｢ 既習｣ であ った として も,｢ 経済学部 生のための数学｣ の授業 の後 半部 ( 例 えば合成関数の微分な ど) にな る と 授業 内容 について行 けな くな る学生 が多数 出 現す る

上 で述べた問題 を緩和 あ るいは解決 す る方 法の 1つ として,大学 ( 学部)が配置 してい るカ リキ ュラム とは別枠 で補 習授 業 を実 施 し,そ こでバ ックア ップを行 うことが考 え ら れる｡ この考 え方 自体 には さほ ど大 きな異論 はない もの と思われ るが,同時 に,本 当に補 習授業 に対す る学生ニーズは存在 す るのか, 補習授業 は学生の学 力向上 に本当に有効 なの か, よ り効果的な補習授業の実施のためには 学部 として どの よ うな環 境 整備 が必要 なの か,な どについて討議 され る場がほ とん どな い ( なかった) ことも事実である｡

そ こで本資料 では, 筆者 が本学部 において, 実施 した ｢数学補 習｣ (

年度 か ら

年 度 まで 3年 間実施)の活動報告 を行 う ととも に, これを題材 に上 で述べた点にかかる私見

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詳 しくは後で述べるが,この証拠の 1つ として,

後半 (

月以降)になる と補習受講者の数が増加 し

たことをあげることがで きる｡

を述べることにしたい

本資料の構成 については,以下の とお りで あ る

においては,

年 間実施 して きた

｢ 数学補習｣の活動報告を行 う｡

において は,当該活動の成果を示す｡

は結論部であ り,これまでの議論 を踏 まえた上で,本学部 における補習教育のあ り方 についての私見を 述べる｡

2.

｢ 数学補習｣の活動報告

｢ 経済学部生のための数学｣が前期開講で あ った ことを受けて , ｢数学補習｣はいずれ の年度において も前期 に実施された｡ まず, 年度の初め

月)に ( 資料

)の ような掲 示を行 った

( 資料 1) より明 らかなように,本補習は

｢ 数学をあま り勉強 して こなかった 1年生｣

を主たる対象 としている｡ より具体的には, 推薦入試

お よび

入試 を経 て入学 した 学生 をターゲ ッ トに している

｡ なお,本学 部 におけ る推薦入試

お よび

入試 の定 員はそれぞれ

名および

名である｡ また, 本学部 の 1学年 の定員は約

名であ ること か ら,ターゲ ッ トとして想定 された学生の占

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なお,本資料において ｢ 私見｣ と言 った場合,そ れは筆者個人の見解であることを示す もの とする｡

よって各私見は,学部等の意見を代表す るもので も なければ, 学部等の今後 の方針 を示す もので もない｡

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具体的な掲示 日は

年度 については

日,

年度 お よび

年度 については

日であ る｡

8 本学部 には 2種類の推薦入試が存在す る｡ この う ち,推薦 入試

は,専 門教育 を主 とす る学科若 し くは総合学科 ( 例 えば ｢商業科｣)の生徒 を対象 と した入試 であ り,推薦 入試

は,普通科 の生徒 を 対象 とした入試である｡

有割合は,約

名

名)である

なお,補習は原則週 1回実施 され 全部で

回

年度および

年度)または

1 回

年度)行われた｡そ して補習授業の第 1回 目は,確認テス トに充当 した｡なお確認 テス トを実施する理由は,補習担当者が全体 レベルの把握 をするとともに,各学生 自身に 自分が どの程度数学を理解 しているか ( 理解 していないか)を確認 させ ることにある｡な お確認 テス トの内容については,( 資料

の とお りであ り ( なお問題 については

年間 全 く同一の ものを使用 した),グラフ,不等 式,方程式,指数 ･対数,簡単な微分を問 う

た ｡

そ して確認テス トの成績をもとに ( 各 1点 で採点

点満点),各学生 を以下の

つの グループに区分 した掲示を行い,補習授業へ の参加にかかる意思決定の一助 とした

グループ

補習授業の受講 を強 く薦め るグループ

グループ

補習授業の受講が役 に立 つ か もしれないグループ グループ

補習授業の内容をすでに理

解 して い る と思 わ れ るグ ループ

また掲示 に際 しては , ｢本授業は ｢補習｣

であ ることか ら , ｢グループ

に属 す る学 生 の レベル にあわせたス ピー ドで進 めてい

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なお,本学部 は昼夜開講制であ り, この他 にも

学年の定員が

名の夜間主 コースが存在す る｡ しか

しなが ら,夜間主 コースのカ リキ ュラムにおいては

｢ 経済学部生のための数学｣が科 目として配置 され ていない ことか ら,本資料では,原則 として夜間主 コースにかかる議論 は行わない｡

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年度に よって若干の区分の違いは存在す るが

点未満だ とグループ

に属することとした｡

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く｣ 旨を明示 した

なお本補習は, ( 資料 3) に示す ようなオ リジナルの教材を使 って行われた｡また,数 学補習では , ｢練習問題が とにか く解けるよ

うになること｣に主眼をおいた上で,定理や 法則の証明な どについては行わず,専 らそれ らを用いた解法テクニ ックの修得 に限定 した 解説 を行 った｡ この方針は,経済学部 におけ る数学が , ｢ツール｣ としての性格 を少なか らず持 ってお り,また ｢ 経済学部生のための 数学｣ において もその ような方針で授業が進 め られていることによる

3.

｢数学補習｣の成果報告

最初 に ｢ 確認 テス トを除いた回数の半分以 上を出席 した学生｣を ｢ 継続的に数学補習を 受けた学生｣ と定義 した (よって 6回以上 出 席 した学生がこれに該当する)上で,各年度 における実施時期,実施回数,受講者数,受 講者構成 ( 入試区分) を示せば, ( 資料

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ただ しこの注意書 きを勘違い して

｢グループ

に属 していない と補習を受け られない｣ と理解する 学生が出現 した ことか ら,2007 年度には ｢もちろん

｢グループ

｣お よび ｢グループ

｣に属する学生 の参加を否定するものではあ りません｣ というただ し書 きを付記 した｡

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言 うまでもないことだが,定理や法則の証明に興 味を持つことは,非常 に望ましいことであ り,歓迎 すべ きことである｡ しかしなが ら,補習授業におい ては,いわゆる ｢ 数学嫌い｣や ｢ 数学ア レルギー｣

を解消することが重要なテーマ となっていることか ら,より現実的な方策 として ｢ 証明な しの数学授業｣

が展開されたのだ と理解 して もらいたい｡

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ただ し,本資料が学外への公表性を有 しているこ とか ら,以下においては,学内における討議で用い られたデータの一部を省略 した形で説明を行ってい る｡ よって,一部説明に関 しては,その内容に関 し て不十分性ない しは不明瞭性が残 るもの となってい るがご容赦願いたい｡

の ようになる｡

なおこの調査 に関 しては,学生個人の入試 区分な どの個人情報を扱 うものであることか ら , ｢数学補習の効果検証委員会｣を立ち上 げた上で,個人情報の管理等に配慮 した｡な お当該委員会は,筆者の他,本学部教務委員 長および ｢ 経済学部生のための数学｣の担当 教員 ( 1名)で構成 された ( いずれの年度 も 筆者を含めた 3名で構成 された) ｡その上で, 当該委員会 に対 して,筆者が数学補習の実施 内容およびその成果報告を行 った｡ さらにそ の内容は,学部 に報告 された｡

その上で,数学補習の成果ついてま とめれ ば,以下の ようになる｡

まず,各年度 ともに,補習の対象者 として 想定 していた ｢ 推薦入試

および

入 試｣の学生の多 くが,当該補習を受講 した｡

特 に

年度について見てみると,推薦入 試

名であ り,推薦 入試

の合格者 の

を超 える学生 が補習 受講者であった計算 になる｡

次に,各年度の ｢ 継続的に数学補習を受け た学生｣における ｢ 経済学部生のための数学｣

の単位修得率についてであるが,年度 によっ てその成果に少な くない差が存在 した｡例え ば

年度においては,数学補習を受講 し た学生 と全体の単位修得率 との間にほ とん ど 差は見 られなかったのに対 し

年度にお いては,数学補習を受講 した学生の単位修得 率が,全体の単位修得率 よりも大幅に低い水 準に とどまった｡さらに

年度については, 数学補習を受講 した学生の単位修得率が,全 体の単位修得率 よ りも若干低 い水準 とな っ た｡

なお筆者は

年度 において この ように 単位修得率が低い水準 に とどまった理 由 とし て

｢数学補習の実施報告書｣の形 で以下の

3 点を

摘 している｡

1.2006

年度 より,補習担当者 と授業担当 者が同一 となったため,数学補習授業中 の発言 ( 重要なポイン トの指摘な ど)に 制限がかかって しまった ( 補習受講生に のみ有益な情報 を与 えることにつなが り かねないことを警戒 した)かもしれない こと｡

2.2006

年度の新入生以降がいわゆる ｢ゆ とり教育｣の世代であ り,初期の ( 補習 受講前の)数学 レベルが

年度入学生 に比べると高 くなかったこと ( 推薦入試 や

上,現役入学のみであることか ら,ゆ と

り教育 の影響 が強 か った もの と思われ る) 0

3.数学補習を全 くあるいは半数未満 しか

受講 しなか った推薦 入試

入試の学生 ( 推薦

名,AO :3 名) の単位修得率は非常に低 く,このデータ

との比較で言えば,数学補習受講者の単 位修得率は決 して低い値ではない と評価 可能か もしれない こと｡

さらに筆者は

年度において単位修得 率が回復 した理 由 として , ｢ 数学補習の実施 報告書｣の形で以下の

点を指摘 している｡

1.教材をより｢ 経済学部生q) ための数学｣

の授業範囲にあわせた ものに変更すると ともに,各セクシ ョンにおけるポイン ト を配布教材の冒頭にま とめた こと｡

2.

受講者 に一般入試者が多かった こと｡

他方 において,推薦 入試

率は低 く,かつ評点 もあま り良 くなかっ た｡ このことは,数学補習の受講者の範 囲が一般入試の学生にまで広がったこと を示す と同時に,補習授業内において も 数学力の格差が出て きたことを示 してい

るものだ と言 える｡

4.

結

本資料 を締め くくるにあた って , ｢数学補 習｣を

年間実施 した上での私見を述べるこ

とにした

まず,推薦 入試 Aの学生 の受講率の高 さ および年度を経 るご とに増加 している受講者 数 についてであ る｡ これ らか ら , ｢数学 をあ ま り勉強 して こなかった

年生を対象 とした 数学補習｣に対するニーズは非常に高いこと がわか り,それゆえにこの ような数学補習の 実施は,その ようなニーズに応 えたものであ

った と評価することがで きる｡

次に,数学補習を受講 した学生の多 くが,

｢この ような補習があ って助 かった ｣ ｢ 補習 のお陰で 『 経済学部生のための数学』の授業 についてい くことができた｣ といった肯定的 な コメン トを残 していることである

｡ さ ら にこのような補習の存在は,学生 に ｢大学で きっち りと勉強をするクセ｣をつけさせた と 評価することがで きるかもしれない｡

しかしなが ら,このようなニーズに応 えた 上で,学部 として継続的に数学補習を実施す るとした場合,い くつかの問題が内在 してい ることも事実である｡特 に,私見ではあるが, 当該補習実施にかかる負担の問題は無視で き ない｡

｢ 数学補習｣は,正規の授業カ リキ ュラム に含まれてお らず,よって ｢ 数学補習の担当｣

は他の授業科 目の担当 とは同列視 されていな い｡現行制度を考 えた場合, この取 り扱いは 至極妥当な ものであると考 えられる｡ しか し なが ら,補習の実施については,あ くまで も 教員の ｢ボランティア｣ とい う形 を とらざる

14

これ らのコメン トは,各年度の数学補習の最終回

に配布するアンケー ト用紙の 自由記述欄に書かれた

内容の一部である｡

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をえず,それゆえに,例 えば当該教員が転 出, 外国留学,定年等により不在 となった とたん

に,補習の実施が打ち切 られる リスクを常に 内在 している｡従 って,学部 として ｢ 継続的

に｣補習の実施を望むのであれば,補習授業

を正規の授業カ リキ ュラムに組み込むな どの

措置を講 じる必要があるもの と思われる｡

(資料115)

数学補習授業のお知 らせ

数学の補習授業を以下の ように実施いた します｡受講希望者は必ず初回の授業 (4

月

①授業計画

◎ 授業を行 う日 (毎週木曜 日｡全12回):4

月

月

月

月

月

月

◎ 時間 :4時限 目 (14:30‑16:00)

◎ 場所 :本館221教室

(∋担当教員

大倉 真人 (おお くら まひ と):本館609号室,email:okura@nagasaki‑u.ac.jp

(∋授業のね らい

数学 をあま り勉強 して こなかった 1年生を主 として,初歩的数学知識 を援用する経済学の科 目 (2年生 前期 に受講予定の ミクロ経済学やマクロ経済学な ど)を理解する上で,必要 とされる程度の数学を理解 さ せることをね らい とします｡

(彰授業の内容

授業で取 り扱 った項 目にかかる具体的な計算問題の解法についての学習がメイン とな ります｡なお本授 業はあ くまで ｢補習授業｣です｡ よって,｢経済学部生のための数学｣の授業内容が十分理解で きる学生 を対象 とした ものではあ りません (その ような学生の参加を否定するものではあ りませんが,応用的な項

目について取 り扱 う予定は一切ない と思 って ください)0

⑤授業の方法

練習問題 を解 くことで授業 内容を確実に理解する方法を採用 します｡なお数学 とい う科 目の性格上,予 習は不要ですが,復習は必須 となるので注意 して ください (1回の授業につ き2‑ 3時間程度の復習が必 要 になると思って ください)0

⑥成績評価の方法

補習なので,単位は与 えず,成績評価 も行いません｡

⑦その他

不明な点な どがあ りました ら,担当教員までご連絡下 さい (問い合わせ ･質問等大歓迎です)0 以 上 15本資料は,2007年度版である｡また,紙幅の都合上,現物 よりもフォン トを小さくしている (以下の資料に

ついても全て同様である)0

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(資料2)

履修番号 : 氏名 :

数学補習 :確認テス ト (制限時間30分)

(1)次の関数 をグラフに示 しなさい｡

① y‑2x‑3

γ

1

･‑: ･

､ ‑. 二 ･

(2)不等式

y≦‑

X

(3)点 (‑1,2)および点 (2^,5)を通 る直線の方程式を求めよ｡

(4)次の2次方程式を解 きなさい｡

(92x2‑5x‑12‑0

(5)次の式を簡単にしなさい｡

① (α2)3×α÷α3

(6)次の関数を微分 しなさい｡

①y‑x2+2

@ 2x2+3x‑6‑0

② log318

@ y‑(2x+ 1)7

8 4

(資料316)

第7回 ･第8回 :微分 (2):様 々な微分法則 今 回のポ イン ト :

①積 の微分計算 がで きます か ?

例 ‥y‑(x+1)(2x‑1)の導 関数 は ?(ただ しカ ッコを展 開 しないで) (∋商 の微分計算 がで きます か ?

例 ‥ツ

‑票

③鎖法則 (チ ェーンルール) を使 った微分計算 がで きます か ? 例 ‥y‑(2x2‑x+1)5の導 関数 は ?

④逆 関数 の微分 がで きます か ?

例

例 :

例 :y‑xxの導 関数 は ?

(1)次の関数 を微分 しな さい｡

①

@ y‑(2x2+5)(x312x)

@ y‑(x²+3)(x3

1x

+

@ y

‑

16

( 資料

実施時期 実施回数 受講者数 受講者構成

2005年度 前期 13回 17名 推薦推薦一般 :AO:3A :1B :211名名名名 (資料4)