修士論文球面上のフーリエ解析と偏微分方程式-のその応用

修士論文

球面上のフー リエ解析 と偏微分方程式‑ のその応用

三重大学大学院教育学研究科 教科教育専攻 数学教育専修

No.208MO22 山本智紀

2010年2月15日

目次

概要 1 序章

2 フー リエ級数

2.1 複 素 フー リエ級数

2.2 フー リエ級数展 開で きる関数 2.3 平均2乗誤 差

2.4 補足

3 一般化 フー リエ級数

3.1 フー リエ級数 と線形代数 3.2 内積 空間 と基底

3●.3 ヒルベル ト空 間

3.4 正規 直交基底 と一般化 フー リエ級数 3.5 直交分解 定理

3.6 補足 4 直交関数系

4.1 い ろい ろな直交 関数 系 4.2 ル ジャン ドル 多項式系 4.3 ラゲ‑ル 陪多項 式

4.4 d次元球面調和 関数 (球 関数) 4.4.1 関数論 的 にみた フー リエ級数

4.4.2 球面調和 関数 と球面上の ラプ ラス作用素 4.4.3 球面上 の熱 方程式

謝辞 参考文献

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概要

フー リエは関数 を記述す る関数系 として三角関数系を発 見 したが,現在,関数 を記述できる関数系は さま ざまなものが発見 されてい る.その中で も球面上の関 数 を記述できる球面調和関数系に注 目し,偏微分方程式 に どのよ うに利用できる かを調べた.

1 序章

この論文は球面上のフー リエ解析 と偏微分方程式‑の具体的な応用についてであ る･フー リエは関数 を記述す る関数系 として三角関数系(sink7TX,COSk7TX)(ある いは(eikxI)があることを発見 したが,関数 を記述できる関数系はこれだけではな い･た とえば,ト1,1]上の関数 を記述す るル ジャン ドル多項式系,(‑∞ ,∞)上の 関数 を記述す るエル ミー ト関数系,(0,+∞)上の関数 を記述す るラゲ‑ル関数系, 球面上の関数 を記述す る球面調和関数系,(‑∞,∞)上の関数 を記述す るウェーブ

レッ ト関数系な どがある.この中で も特 に球面調和関数系に注 目し,具体的な応 用例 も調べた.

まず,第1章では,フー リエ級数展開の収束 について簡単にま とめてある.本 論文では複素系のフー リエ級数 を用いるので, この形の展開になっている.

第 2章では,フー リエ級数 の理論 をヒルベル ト空間上に一般化す る.そのため に無限次元のベ ク トル空間についても述べてある.この章 を通 して一般 の正規直 交基底 を用いたフー リエ級数展開が可能であるための必要十分条件 が得 られ る.

第3章では,teinx)n∈Z以外 の正規直交基底 を紹介す る･ここでは具体的に,ル ジャン ドル多項式, ラゲ‑ル陪多項式,球面調和関数 をとり挙 げた.球面調和関 数 については細か く述べてある.そ して最後に,球面調和関数 による展開の具体 的な応用例 として球面上の熱方程式 を とり上げた.この例 を通 して,球面調和関 数 による展開の有用性がみ られ るはずである.

2 フー リエ級数

2.1 複素 フー リエ級数

本論文 では主 として複素形 の フー リエ級数 を扱 うので,複 素 フー リエ級数 につ いての基本事項 をま とめてお く.

f^はR上で定義 され た周期21の関数で,

/

を満た してい る とす る･本論文ではルベー グ積分 を仮定 してい るので,(2.1)が成 り立っ ことは,f^が[‑i,I)で積分可能であることを意味す る.W‑7T/lとお く.こ の とき,f(I)eikLJXもトl,I)で積分可能であるか ら,

ck(I)‑u^̲l^{lI(i)eikwtdi (2.2)}

が定義でき,ck(i)をfの複素 フー リエ係数 とい う.収束す るか どうかは考 えず に, 形式的に次の よ うな級数 をつ くる :

00

∑ ck(f)eikwx･ (2･3)

た=‑^oo

この形式的な級数 をfのフー リエ級数の複素形,あるいは単 にfの フー リエ級数 と いい,(2.3)がJのフー リエ級数 であることを,記号

(X)

f(I)〜 k∑=‑^{(x)ck(f)eikwx}

によって表す.一般 に,(2.1)の条件 だけか らは

00

f(x)‑k∑=‑^{(x)ck(i)eikwx}

(2.4)

が成 り立っ とは結論 で きない･では, どの よ うなf^{に対 して}(2.4)の両辺 は等号で 結 ばれ るか, この こ とを以下でみてい く.

2.2 フー リエ級数展開できる関数

fをR上で定義 され た周期 21の複素数値 関数 とす る･fがトl,I)上で積分可能 である とき,LJ‑7T/‖二して,

〟

sNlf](I)‑∑^ck(I)eikwx (N‑0,1,2,･‑)

k=‑N

(2.5)

とおき, これ をJの第 Ⅳ フー リエ部分和 とい う.

もし,x∈トl,i)で lim sN[f](I)‑f(I)が成 り立っているとき,fのフー リエ

Ⅳ ぅ (X)

級数はJに∬で収束 しているとい う.これは,J^が∬でフー リエ級数展開可能であ ることに他 な らない.

本節では,

｢どのようなJがすべての点∬∈上目 )でフー リエ級数展開できるか｣

を考えてい く.

フランスの数学者J.B.I.Fourier(1768‑1830)はすべての関数がフー リエ級数展 開可能であると考 えていた. しか し,この考 えは正 しくはなかった.た とえば次 のよ うな関数 が知 られている

(1)周期21の連続関数fでsNlf](0)が発散す るよ うなものが存在す る.(duBois‑ Reymond,1876年).

(2)E⊂ トl,i)をトl,l)の中に含まれ る有理数全体のなす集合 とす る. この と き,周期21の連続 関数Jで,すべてのx∈Eに対 して

limsuplsNlf](I⁾I‑ ∞

Ⅳ一十()〇 (2･6)

となるものが存在す る(Kahne,Katznelson,1965年).

(3)fが周期21でトl,i)上でルベーグ積分可能で も,いたるところで(2.6)が成 り立っ よ うなものが存在す る(Kolmogolov,1923年)･

ゆえに,一般 の連続 関数 をすべての点でフー リエ級数展開す ることはあき らめ なければな らない. しか し,点∬で次のよ うな条件が満た されていれば,∬でフー

リエ級数展開が可能 になる.

定理 2.1.fをR上の周期21の連続 関数 とす る･ もしある点x∈[‑I,i)で

I(I+h)‑

I

x )

が十分小 さな ∂>0に対して

成り

l i

Ⅳ

(2･7)

(2･8)

この定理 を証明す るために,ベ ッセルの不等式 を証明す る.まず はベ ッセル の 不等式の証明で用い る基本公式 をあげてお く.

命題 2.1.

u ̲lleikwxdx‑日 詰≡ 訂 ,士2,i3,･･･),

証明.k‑0の ときは明 らかである.k≠0の ときは,y‑wxと変数変換 をす るこ とによ り,

eikwxdx= 1

27T 1

27T

r qei^kyd y

rqcos(ky)d y ･i左 上 ^sin(ky)dy ‑0

を得 る.

補題 2.1.(ベ ッセルの不等式)fをR上の周期21の関数 で,トl,i)上で2乗可積 分,す なわち

曝 L f ( I )

を満 たす もの とす る. この とき,fの複素 フー リエ級数ck(f)^は

k星 ･ck(I).2≦ a ̲ll.I(I)･2dx

を満 たす.

(2･9)

(2^.1⁰⁾

証明.軸【月とJとの差 の積分 を評価す ると次の よ うに して求 める不等式が得 られ る.

0<‑1

‑21 ^lsNlf](x)^{‑ f}(I)l2dx

a ̲ll(^IsNlf](x)L2･^If(x)I2‑2Re(sNlf](x)77g )^dx･ (2^･11) ここで,

1

函

一方,

/̲ll,sNlf,(I,･^2dx ‑a^̲l^{l (k}f^NCk^(f,e

i k w

ck(I)ck,(I)

ck(I)ck(I)‑

;.̲tl

ei(k‑k′)wxdx

∑ 〟

k=‑N

u ̲llSN^{l f ]}

〟

(I )爾 d x ‑ ∑ ck(I)

k=‑N ^{爾 eikwx}dx

Ⅳ

k∑=‑Nck(I)ck(f)

〟

∑ ^Ick(I)I2<∞

k=‑N

である.以上の式 を(2.ll)に代入 してまとめると

O

‑ <a

を得 る.ここでNJ (刃 とすれば,ベ ッセルの不等式が導かれ る.

ベ ッセルの不等式のひ とつの帰結 として次が得 られ る.

系 2.1.fをR上の周期21の関数で,[‑i,i)上で2乗可積分であるとす る.この とき,

limck(I)‑lim IklJ∞ nJ∞

inh‑+m00

I^(x)si

n n w

I(I)cosnLJXdx‑0.

証明･fl(x)‑Ref(I),f2(I)‑Imf(I)とお く･If3･(I)1≦げ(x)I(i‑1,2)である か ら,

/̲lllfj(^I)[2dx≦/̲lllf(‑ <‑

が成 り立ち,各 f()○ jが2乗可積分であることがわかる･ したがって,ベ ッセルの不 等式 より,k∑=‑^(x)lck(fj)[2<∞ が成 り立つ･この級数 は絶対収束 しているので,

00

lco(fj)I2+∑k=1^{(lck(fj)t2+ic‑ k(fj)t2)}

1im(Ick(fi)I2+Ic̲k(fi)1²)‑o kJ(X)

lim

図1∞^lc鵡 )l2‑⁰

と表せ る.ゆえに,

つま り,

でなければな らない. したがって,

f

lim ck(f3･)‑0となる･また, 囲う∞

fj(i)coskLJidt であるか ら, これ よ り求 める系を得 る.

以上のことをふまえて,定理の証明にとりかかる.

̲

<lck(fj)I

定理2.1の証明.証明の方針は,sNlf](I)がこれか ら定義す るデ ィリク レ核 とよば れ るある関数DN(I)によ り,

sNlf](I)‑ DN(x‑i)f(i)dt (2･12)

と積分で表せ ることを示 し,次に,sNlf](x)‑i(I)の大きさをこの積分 を使 った 不等式にもち込んで評価す るとい うものである.まず はDN(x)を求めることか ら 始める.

〟

sNlf](x)‑ ∑ ck(I)eikwx

k=‑N kf N去 /̲llI(i)e‑ikwtdi･eikwx

去/̲ll(kf N eikw(x弓 f(i)di･ したがって,

〟

DN(x)‑∑ eikwx

k=‑N

とすれば,これが求めたかったものであ り,ディリク レ核 とよばれ る関数である.

ここで次の二つの ことを証明 してお く :

去 /̲llDN(x‑i)dt‑u̲llDN(i)dt‑^{1, (2113)}

DN(i)‑ sin(N+喜)Lot

(2.14) (2.13)の一番 目の等号は,DNが周期21の関数であ り,DN(‑i)‑DN(i)である ことか ら,

u̲^{llDN(x‑i)di}‑a^{̲ll‑̲XxDN(i)di}‑u̲llD^N(i)dt･ 二番目の等号は^{,次のように}計算す^る.

/̲llDN(i,di‑kf Nu ̲lleikwtdi‑1･ (2.14)は少 し技巧的な変形 を用いて証明す る :

DN(i)‑e‑iNwt(1+^eiwt+^･･･+C2iNwt)

‑e‑iNwt

‑ e‑iNwt

1‑ei(2N+1)wt

1‑eiwt

1‑ei(2N+1)wt

eiwt/2(e‑iwt/2‑eiwt/2) e‑i(N+1/2)wt‑ei(N+1/2)wt

e‑iwt/2‑eiLJt/2

sin(N+喜)Lot (2.13),(2.14)を使 って,

sNlf](I)‑I(x)う0 (Nう∞)

を証 明す る.(2.13)よ り,

sNlf](I,‑f(I,‑u̲^ll^{DN(I‑i,I(i,dt一去/̲llDN(t,di･f(I,}

FluJhu″r古了･古lt別ll別

DN(i)(I(I‑i)‑I(x))di sin(N+喜)Lot

sin

f(x‑i)‑f(x)

wⁱ

sill‑{

g(i)

ここで,

とおく. 回 が 十分小さいとき ,

が成 り立っか ら,定理 の条件 (2.7)よ り,

/

･/^̲66

(I(I‑i)‑ I(x))dt･

LJltl

>‑4

ある∂>0が存在 して,

lf(I‑i)‑I(x)I2

I(I‑i^{)‑I(I) 16}

dt･誘く∞･ また,Ig(i)l2は非負値 可測 関数 だか ら,

/̲llLg(i,I2dt‑ I :6lg(i,.2di･/̲66,g(i,I2d^{tILl.g(i).2dt<‑}

が成 り立つ.したがって,a(i)は [‑i,i)で 2乗可積分である･

さて,三角関数 の加 法定理 を用いることにより,

sNlf](‑ (I,‑ 紀 llSin(N +去)wt･g(i)dt

11割+

である. ここで,g(i)がトl,i)で2乗可積分である COS‑wt

2 Lot

Sln‑2^･g(ⁱ) LJi

となり,cosす･g(i),siⁿ より,

wf 2

了古

lg(i)12dt<∞ ,

Ig(i)l^2df<∞

g(i))dt

･g(i)もトl,i)で2乗可積分.^{ゆえに,先に示した系} fllSi^nNwt(cos等･g(i))dt‑0 (^N‑‑),

/^̲l^lCO^SNwi(sin等･g(i,)di^{‑ 0 (N‑‑)}

を得 る. よって,

sNlf](x)‑f(x)10 (Nぅ∞).

□ 次に,フー リエ級数が絶対かつ一様収束す るための一つの十分条件 を示 してお く.

定義 2.1.(ヘルダー連続性) α>oとし,JをR上の関数 とす る･JがR上で一 様 にα次ヘルダー連続であるとは,ある正定数M が存在 し,すべての x,y∈Rに 対 して,

lf(x)‑I(y)l≦Mlx‑ylα ^(2･15)

が成 り立っ ことである.

任意のE>0に対 して,6‑(E/M)1/αとすれ ば,lx‑al<6を満 たすすべての

∬に対 して

If(x)‑I(a)l<̲Mtx‑alα<E

が成 り立っか ら,一様 にα次‑ル ダー連続 な関数 は連続 関数 である. さらに次の ことが成 り立つ.

命題 2.2.fを周期21の関数 とす る.

(1)0<α<β≦1とす る･Jが一様 にβ次‑ル ダー連続 な らば,一様 にα次‑

ル ダー連続である.

(2)JがC1級 関数 な らば,一様 に1次‑ル ダー連続 である･

(3)Jが一様 にα次‑ル ダー連続 な関数 とす る･α>1/2であれ ば,Jはすべて の点∬で条件(2.7)を満 たす.

証明.(1)fが周期21であることか ら,任意 のx,y∈Rに対 して,ある x',y'∈ 上目 )が存在 して,

f(I)‑f(x'),f(y)‑I(y'),^Lx'‑y'J≦lx‑yl

を満たす.また,x',y′∈トl,i)に対 して,

lx'‑y'l

であるか ら,

が成 り立 ち, したがって,

を得 る.以上 よ り,

匝 ′‑y^'Iβ ≦(2¹)β‑α匝′‑ y'Ia

If(x)‑f(y)I‑げ(x')‑I(y')l≦Mlx'‑yllβ

≦(21)β‑αMIx'‑y′lα≦(21)β αMIx‑ylα.

よって示 された.

(2)JはC1級 関数 よ り,J′はト刷 上で連続 であるか ら有界関数 である･ した がって,任意 のx,y∈Rに対 して,積分の平均値 の定理 よ り,あるC∈Rが存在

して,

Tf(x)‑I(y)l‑

‑If'(C)IIx‑yt

≦ suplf'(i)=x‑yl.

綻トl,i)

以上 よ り結論 を得 る.

(3)α>1/2の とき,十分小 さい∂>0に対 し,積分の収束性

より, I(I+h)‑I(x)

2^{dh≦/̲66M2.h,2(a‑1)dh}

九2(α‑1)助 <∞

M2h2(α‑1)dh<∞ .

ここで,次の定理 を証明す るために必要 となる優級数定理 を示 してお く.

定理2･2･(優級数定理)I上で定義 された関数列00 (fn(x))に対 し,次の(i),(ii)を満 たす定数an(n‑1,2,‑ )が存在すれば,∑ fn(I)Eまある関数 に一様収束す る･

n=1 (i) If0n0(x)I^≦an (x∈I),

(ii) ∑ anは収束す る･

n=1

証明･Eを任意に与え られた正の数 とす る.この とき,(ii)よ り,あるN >0が存 在 し,

m,ⁿ>N⇒ lam+1+am+2+･･･+anI<E を満たす.ゆえに,

m,ⁿ>N⇒ Ifm+1(x)+fm+2(x)+･･･+fn(I)I

≦lfm+1(I)I+Ifm+2(x)I+･･･+tfn(x)I

≦am+1+am+2+･‑+an<E となるので,題意は示 された.

定理 2.3.1/2<α≦1とす る.fがR上の周期21の一様 にα次‑ル ダー連続な 関数な らば,sNlf](I)^はf(I)^にR上で一様絶対収束 してい る･

証明.優級数定理 よ り (X)

∑ lck(f)l^<∞

k=‑(x)

を示せば,定理が証明 され る･p(I)‑f(x+h)‑I(x‑h)とお くと, ck(p)‑a̲llI(叶^{ikw(x‑h)‑e‑ikw(x+h))dx}

‑ck(f)le^ikwh‑e‑ikwh]‑2ick(I)sinkLJh.

ベ ッセルの不等式 と(2.15)よ り,

kを 2ick(I,sinkwh･2≦ u ̲ll･p(I)‑2dx≦4αM2･h･2a･

n‑0,1,2^,.‥とす る.2n≦LkL≦2n+1に対 して,h‑2n‑21を考 えると,7T/4≦ IkwhI≦7T/2であるか ら,lsinkLJhL≧1/2である･ゆえに,

∑ Ick(I)l2̲<M212α22n^α･

2n≦困≦2n+1

ここで,M12‑M²¹²αとお く･す ると,シュヴァルツの不等式 よ り, 2n≦^l∑^kI<2n+1 ･ck(I)t211′2｢

∑ 2n̲<固く2n+1

<M12‑(α‑1/2)n

00 ^(X)

∑ Icn(I)[≦Ml∑ 2(α‑1/2)n+lco(f)[<∞･

n=‑(x) n=0 よって,

[コ

2.3 平均2乗誤 差

いままでは,‑ル ダー連続性 といった,かな り強い連続性 をもつ関数のフー リ エ級数展開について述べてきた.ここでは,連続関数 あるいはもっ と弱い不連続 関数のフー リエ級数展開について考えてい く.

定義 2.2.I:RI Cが周期21の関数で積分可能であるとき,形式的に,

ENlf'‑(a ^̲l^l.f(x,‑ ^N lf'(I,･2

d

を考える.この とき,ENlf]をfとsNlf]との平均2乗誤差 とい う.

ENlf]う 0(N ぅ ∞)となるとき,これはげ‑sNlf]I2のグラフの面積が0に収 束す ることを意味 してい る. したがって,Jと_Nli‑lomo軸[月はだいたい同 じ形のグ ラフをもつ ことがわかる･ENlf]1 0(N J ∞)となることを,fは L2の意味で フー リエ級数展開可能,あるいはフー リエ級数はfにL2収束 す るとい う.

L2の意味でのフー リエ級数展開に関 して次が成 り立っ.

定理 2.4.fはR上の周期21の関数で,ト l,i)上で2乗可積分であるとす る.この とき,

ENlf]10 (Nう ∞) である.

この定理の証明には,い くつか補題が必要になる.まずはそれ をみてお く.

ここで,本論文でよく使 う記号を定義 してお く.

E⊂Rdをルベー グ可測集合 とす る.E上のCまたは ト∞,∞]に値 をとるル ベーグ可測関数f(I)に対 して,次のよ うな量を定める :

1≦p<∞ に対 して,

･f,,LP(E,‑(/E.f(I,Ipdx)1/p･

またp‑∞ に対 しては,

IげIIL‑(E)‑inft入:入>0^,md(ttfI>入))‑0)･

ただ し, ここでmd(E)は E の d次元ルベー グ測度 を表す.

さて,L(E)をE上のCまたはRに値 をとるルベーグ可測関数全体 のなす集合 とす る.そ して,1<̲p≦∞ に対 して,

LP(E)‑(f･･f∈L(E),‖fHLP(E)<∞)

と表す ことにす る.

命題 2.3.f∈L∞(E)な らば,

lf(I)I≦lげIIL‑(E) a･e･X∈E･

証明･md(くけt>Hf‖L当E)))>0と仮定 し,矛盾 を導 く･

An‑(I:XEE" (x)I,=flIL‑ ,･三〉 (n‑ 1,2,‑･), A‑(x:x∈E,lf(x)I>IrfHL‑(E))

とお く･Al⊂A2｡^{･ ･ ･ ,}A‑UAnよ り

n l i m u

n

十分大 きなnに対 してmd(An)>0となる.このことか ら,

IIf‖L‑(E)‑inf(A:入>0,md((Ifl>入))‑0)≧lLfIIL

‑ ( E ) + ‑ n 1

でなければな らない.これは矛盾である.

補題 2.2.a>̲0^,b≧0の とき,

al/pbl/q<̲a1 +lb. P q

この補題 は,相加平均 ･相乗平均の不等式の一般化 になってい る.

証明.b‑0な らば明 らかなので,b>0の ときを考える･この ときi‑a/bとす る と,示すべき不等式は,

1 1

il/p<‑i+‑

P q となる.tの関数f(i)

立はi●=1の ときで,

tl/p ̲̲t1｣ はt=1の とき最大値 Oをもつか ら,等号成 P q

この不等式が成 り立っ.

命題 2.4.(ヘルダーの不等式)1≦p≦∞,1≦q≦∞ が

‑ + ‑1 1‑ 1

P q ^(2･16)