引用題２次数学セレクション

(1)

−−

１［98 大阪大］ Dをより大きい実数とする。以上の任意の実数[に対して次の不等式が成り立つことを示せ。

ORJ₊[ORJ_D_≦ORJ₊_D[ ORJ_≦ ₊[ ORJ_{D [}₊ ORJ _D ただし対数は自然対数である。

Q= "に対して DQ Q Q =§ +

©¨ ·¹¸ とおく。の不等式を用いて極限 OLP

(2)

−−

２［98 九州大］以下において I [ はすべての実数[において微分可能な関数とし

) [ ₌H[_I [ _とおく。

定数関数でない関数I [ で

条件$すべての[に対してI[+=I [ であるをみたすものの例をあげよ。

関数I [ が

条件%すべての[に対して_I′ [ +_I [ ≦であるをみたすとき D E＜ならば) D ≧) E であることを示せ。

関数I [ がの条件$をみたすとき ) [ Q + （ただしQは正の整数）を ) [ を用いて表せ。

関数I [ がの条件$%をともにみたすとする。 ① I F ≧となるFが存在すれば I F =であることを示せ。

(3)

−−

３［98 神戸大］関数I [ J [ はいずれも[≧において連続でかつJ [ ＞であるとする。さらに[≧において関数+ [ * [ を+ [ =

³

[_I W _J W GW

* [ =

³

[_J W GW

と定義する。次の各問いに答えよ。 E＞が与えられたとき [≧において関数3 [ を

3 [ =* E + [ −+ E * [ と定義すると 3 F′ = ＜＜となる実数 F E Fが存在することを示せ。

E＞ならば + E_{* E} =_I F ＜＜F Eとなる実数Fが存在することを示せ。

関数I [ が[＞において単調増加なら関数+ [

* [ も[＞で単調増加であることを示せ。

(4)

−−

４［99 名古屋大］

曲線& \ [ = 上を動く点3 W W（ただし W_≠）がある。点 3 における & の接線と&とのもう一つの交点を4とし点4における&の接線と&とのもう一つの

(5)

−−

５［99 京都大］

(6)

−−

６［99 東北大］

[＞において関数I [ を

I [ = [+ORJ[+ + [− −[ORJ[

で定める。対数は自然対数である。

導関数I′ [ が単調増加であることを示せ。

I [ ≧であることを示し I [ =となる[を求めよ。

正の実数STについて不等式

S T S T _{S T} S S T T

+ +

− − + +

ORJ ≧ ORJ ORJ

(7)

−−

７［99 東京工大］

正の実数DESに対して $ D E S

= + と% =S−DS +ESの大小関係を調べよ。

(8)

−−

８［2000 神戸大］

関数I FRV VLQ

[ [

[

=

− を考える。≦[≦πとする。次の問いに答えよ。

I [ の導関数を求めよ。

I [ の最小値を求めよ。またその最小値を与える [に対して FRV[の値を求め

よ。

\=I [ のグラフの [ 軸より下方にある部分と [ 軸とで囲まれる部分の面積を

(9)

−−

９［2000 筑波大］

(10)

−−

10 ［2000 東京工大］辺の長さがの正三角形を底面とし高さがの三角柱を考える。この三角柱を

平面で切りその断面が辺とも三角柱の側面上にある直角三角形であるようにする。

そのような直角三角形の面積がとりうる値の範囲を求めよ。

(11)

−−

11 [名古屋大] H を自然対数の底とする。H≦S＜Tのとき不等式ORJORJT−ORJORJS＜T−_HSが

(12)

−−

12 [東京大] 実数 W＞に対し[\ 平面上の点2 3 4

(

W _W

)

を頂点とする三角形の面積をDWとし線分 23 24 と双曲線[\=とで囲まれた部分の面積をEWとする。このときFW=_DEW_Wとおくと関数FWは W＞においてつねに減少するこ

(13)

−−

13 [筑波大] Dを正の定数とし関数I[を以下のように定める。

D [ [ [ ORJ + =

I [＞

このとき次の問いに答えよ。

_HD_と_HD_の間に_I_′_F₌_となる_F_{が存在することを示せ。}

(14)

−−

14 [名古屋大] [を正数とするとき ORJ

(

+_[

)

と

+

[ の大小を比較せよ。

(

)

+

(

)

(15)

−−

15 [金沢大] 以下の問いに答えよ。

すべての正の数 [\ に対して不等式[ORJ[−ORJ\≧[−\が成り立つことを証明せよ。また等号が成り立つのは[ = \の場合に限ることを示せ。

正の数[ " [Qが

=

¦

_L₌Q [L を満たしているとき不等式 [ [ _Q Q

L

LORJ ORJ

≧

¦

₌

が成り立つことを証明せよ。また等号が成り立つのは[ ="=[Q =_Qの場合に限ることを示せ。

(16)

−−

16 [名古屋大] 2 を原点とする座標平面上の半径の円周 _$ _[ ₊_\ ₌_と直線_O _\₌_G

(17)

−−

17 [東北大] 対数は自然対数でありH はその底とする。関数_I[₌[₊ORJ[_[+_に対して

次の問いに答えよ。

I[は[＞で単調減少関数であることを示せ。 OLP

[

[→+ I および[OLP→+∞I[を求めよ。 _I[=を満たす[が

＜[＜

(18)

−−

18 [東京工大] 関数IQ[ Q= "を次の漸化式により定める。

[=[

I IQ+[=IQ[+[IQ[ ただし N_[

Q

I はIQ[の第N次導関数を表す。

IQ[はQ+次多項式であることを示し [Q+の係数を求めよ。

Q

(19)

−−

19 [神戸大]

(20)

−−

20 [東京工大]

DEを正の実数とする。

区間D＜[における関数

D [[ [ − =

I の増減を調べよ。

区間 D＜[ における関数

[E D [ [ − − =

J のグラフと相異なる点で交わる

(21)

−−

21 [金沢大]

座標平面上で半径 U のつの円22の中心をそれぞれU U−U −U

とする。円2の内部と円2の内部の少なくとも一方に属する点からなる領域を'とし領域'の面積を6とする。以下Uは＜U≦の範囲を動くとする。

円2と円2が接するときの半径Uの値を求めよ。円2と円2が点 3 4で交わるとする。 32 4

∠ =

θ とおいて半径Uと面

積6をθ を用いて表せ。

(22)

−−

22 [大阪大]

座標平面上に直線O [VLQθ +\FRVθ =

(

)

＜θ＜π がある。不等式 [≧\≧

FRV VLQθ \ θ≧

[ + が表す領域を'不等式[≧\≧ [VLQθ +\FRVθ≦が表す領

域を'′とする。

' 内に半径5のつの円&&を&はOと\ 軸に接し&は Oと[ 軸に接しさらに&と&が外接するようにとる。また'′内に半径 U のつの円&′&′を&′ はOと\軸に接し&′はOと[軸に接しさらに&′と&′が外接するようにとる。

5U をθ で表せ。 θが

＜θ＜π の範囲を動くとき

(23)

−−

23 [広島大] 次の問いに答えよ。

関数_I_[₌_[ ₋_[₊_{の増減を調べて極値を求めよ。}

公式FRVθ =FRVθ −FRVθを用いて

FRV π

=

N は方程式_I[=の解である

ことを示せ。

N＞であることを示せ。

方程式FRV[=[の解をαとするとき

π α π ＜

＜を示せ。ここで

(24)

−−

24 [東北大] Dを＜D＜を満たす定数とし FRV_FRV

+ − =

[

D [

[

I とする。

I[が≦[≦πで減少関数となるDの範囲を求めよ。

(25)

−−

25 [京都大] Nを正の整数とし Nπ≦[≦N+πの範囲で定義された曲線

[ \

& =FRV

[ [ \ & + − =

を考える。

&と&は共有点をもつことを示しその点における&の接線は点を通ることを示せ。

(26)

−−

26 [東京大] 関数I[を_I_[₌_[

{

₊_H−[−

}

_{とする。ただしH}_{は自然対数の底である。}

＞

[ ならば≦I′[＜であることを示せ。

[を正の数とするとき数列

{

[Q

}

Q= "を [Q+ =I[Qによって定める。[＞であれば OLP =

∞

→ Q

引用題 ２次数学セレクション

³

³

(

)

(

)

(

)

(

)

¦

¦

(

)

{

}

{

}

引用題２次数学セレクション