2 以上の整数 n に対して方程式

(1)

[ 東京工業大学 1996 年前期１ ]

2 以上の整数 n に対して方程式

x

₁

+ + + x

₂

" x

_n

= x x

_{1 2}

" x

_n

の正の整数解 ( , x x

₁ ₂

, "" , x

_n

) を考える。ただし，たとえば (1, 2, 3) と (3, 2, 1) は異なる解とみなす。

このとき次の問に答えよ。

(1) n = 2 および n = 3 のときの解をすべて求めよ。

(2) 解が 1 つしかないような n をすべて求めよ。

(3) 任意の n に対して解は少なくとも 1 つ存在し，かつ有限個しかないことを示せ。

(1) n = 2 のとき

1 2 1 2

x + x = x x ⇔ ( x

₁

− 1)( x

₂

− = 1) 1

1

,

2

x x は正の整数であるから ( x

₁

− 1, x

₂

− = 1) (1, 1)

よって ( , x x

₁ ₂

) = (2, 2)

n = 3 のとき

1 2 3

x ≦ ≦ x x として考える。

方程式 x

₁

+ + x

₂

x

₃

= x x x

_{1 2 3}

において

2

,

3 1

x x → x とすると x

₁

+ x

₂

+ x

₃

≦ 3 x

₃

2 1

x → x とすると x

₁

+ x

₂

+ x

₃

≧ x x x

_{1 1 3}

となるので

x x x

_{1 1 3}

≦ 3 x

₃

すなわち x

₁²

≦ 3 となることがわかる。しかがって x

₁

= 1

このとき， 1 + x

₂

+ x

₃

= ⋅ 1 x x

_{2 3}

⇔ ( x

₂

− 1)( x

₃

− = 1) 2

2

,

3

x x は正の整数であるから ( , x

₂

x

₃

) = (2, 3)

1

,

2

,

3

x x x を並び替えたものもすべて解になるので，求める解は

1 2 3

( , x x , x ) = (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2,1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

(2) x

₁

= x

₂

= " = x

_n

を満たさない解が１つでも存在すれば， x x

₁

,

₂

, " , x

_n

を並び替えることにより他

の解が存在することになるので，題意を満たさない。

よって x

₁

= x

₂

= " = x

_n

^{として自然数} x についての方程式 nx = x

ⁿ

^すなわち x

ⁿ⁻¹

= n を考える。

与えられた方程式の解が 1 つしか存在しないために，これがただ 1 つの解をもつことが必要であ

る。そのためには n = 2 でなければならない。

(2)

実際， n≧ 3 であるとすると，

任意の自然数 x ≧ 2 に対し， x

ⁿ⁻¹

> n ， 1

x = ^に対し， x

ⁿ⁻¹

< n となることから

1

x

n⁻

= n は成り立たない。

一方， n = 2 ^{のときは，} x

ⁿ⁻¹

= n ^は x = 2 を唯一の解としてもつ。

逆に n = 2 のとき，(1)より確かにただ 1 つの解をもつ。

よって求める n は n = 2 のみ。

(3) (ⅰ) [解の存在について]

x

₁

= x

₂

= " = x

_n₋₂

= 1 ^， x

_n₋₁

= 2 ^， x

_n

= n とすると

1 2 n 2 n 1 n

x + + + x " x

₋

+ x

₋

+ x

2

1 1 1 2

n

−

= + + + + + "

個

= 2n

1 2 2 1

2

1 1 1 2 2

n n n

n

x x x

₋

x

₋

x n n

−

= × × × × × =

" "

個

となるので，この ( , x x

₁ ₂

, " , x

_n

) は解の 1 つになっている。

(ⅱ) [解の有限性について]

1

,

2

, ,

_n

x x " x が x

₁

≦ ≦ x

₂

" ≦ x

_n

…（＊）を満たすとすると

1 2 n n

x + + + x " x ≦ nx

1 2 n 1 n n 1 n

x x " x

₋

x ≧ x

₋

x

であるから， x

_n₋₁

x

_n

≦ nx

_n

したがって x

_n₋₁

≦ n であることが必要である。

1 ≦ ≦ ≦ ≦ x

₁

x

₂

" x

_n₋₁

≦ n より，整数 x x

₁

,

₂

, " , x

_n₋₁

のとりうる値の可能性は有限個である。

ところで， x x

₁

,

₂

, " , x

_n₋₁

の値が決まれば，与えられた方程式

1 2 n 1 n 1 2 n 1 n

x + + + x " x

₋

+ x = x x " x

₋

x は（ x

₁

= x

₂

= " = x

_n₋₁

= 1 の場合を除いて）

x

n

についての 1 次方程式であるから，これを満たす正の整数 x

_n

は高々1 つである。

1 2 _n 1

1 x = x = " = x

₋

= のときは，与式が n + + 1 x

_n

= x

_n

となり解が存在しないので，

（＊）を満たす解 ( , x x

₁ ₂

, " , x

_n

) は，存在しても有限個である。条件（＊）を外しても，解の個数は高々 n ! 倍になるだけである。

(ⅰ)(ⅱ)より，題意は示された。

（証明終）

(3)

〔参考〕

(1)は不定方程式の問題。 n = 2 のときは，「積＝定数」の形に変形。

3 n = のときは，不等式を評価して x

₁

のとりうる値の範囲を絞っている。

(2)は，「 x

₁

+ + + x

₂

" x

_n

= x x

_{1 2}

" x

_n

を満たす自然数の組 ( , x x

₁ ₂

, " , x

_n

) がただ 1 つ存在する」

ために「 nx = x

ⁿ

^{を満たす自然数} x ^がただ 1 つ存在する」ことが必要という論理である。

(3)は，まず解の具体例を構成して示すことにより「存在」を証明し，その後，解が有限な領域に含

まれることを示すことにより「有限性」を証明している。

(4)

[ 東京工業大学 1996 年前期２ ]

cos 0

p = θ ^⎛ ⎜ < < θ π 2 ^⎞ ⎟

⎝ ⎠ ^とし， q r s , , を正数とする。また，行列 A を p q

A r s

⎛ − ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ^とする。

A で表される 1 次変換により，楕円

2 2

: x y 1

C a + b = ^{（ただし，} a b , > 0 ^{）上の点は} C ^{上にうつる} ものとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) 行列 A を θ , , a b を用いて表せ。

(2) 自然数 n ^に対し， A

ⁿ

^{を求めよ。}

(1) C 上の点 ( , 0) a の A による像は

0 p q a ap

r s ar

⎛ − ⎞⎛ ⎞ ⎛ = ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ^より ( ap ar , )

これが C 上にあることから

2 2

( ) ( )

ap ar 1

a + b =

2 2 2

2

1 p a r

+ b =

2 2 2 2

(1 )

a r = b − p

2

2 2

2

(1 )

r b p

= a −

2

2 2

(1 cos ) b

a θ

= −

2 2 2

sin b

a θ

= 0

r > ^より b sin r = a θ

また，点 (0, ) b の A による像は p q 0 bq

r s b bs

− −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ = ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ^より ( − bq bs , )

これが C 上にあることから

2 2

( ) ( )

bq bs 1

a b

− + =

2 2 2

2

1 b q s

a + =

2 2 2 2 2

b q + a s = a " ①

さらに， C 上の点 1 1 , 2 a 2 b

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ^の A による像は

1 ( )

1 2 2 1

( )

2 ap bq

p q a

r s b

ar bs

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎛ − ⎞⎛ ⎞ ⎜ = ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ + ⎟

⎝ ⎠

より

1 1

( ), ( )

2 ap bq 2 ar bs

⎛ ⎞

− +

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ^これが ^C ^{上にあることから}

(5)

2 2

2

1

2

1

2 2

( ) ( )

2 2

b ⎧ ⎪ ⎨ ap bq − ⎫ ⎪ ⎬ + a ⎧ ⎪ ⎨ ar + bs ⎫ ⎪ ⎬ = a b

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

b a p

²

(

² ²

− 2 abpq b q +

² ²

) + a a r

²

(

² ²

+ 2 abrs b s +

^{2 2}

) = 2 a b

² ²

cos , b sin

p r

θ a θ

= = を代入して

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( cos 2 cos ) ( sin 2 sin ) 2

b a θ − abq θ + b q + a b θ + b s θ + b s = a b b

2

で割って

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos 2 cos sin 2 sin 2

a θ − abq θ + b q + a θ + a s θ + a s = a

①より b q

² ²

= a

²

− a s

^{2 2}

として代入すると

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos 2 cos sin 2 sin 2

a θ − abq θ + b q + a θ + a s θ + a s = a

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(cos sin ) 2 cos 2 sin 2 0

a θ + θ − abq θ + a − a s + a s θ + a s − a = 2 abq cos θ 2 a s

2

sin θ 0

− + =

cos sin

bq θ = as θ

∴ bq = as tan θ " ②

①に代入して a s

^{2 2}

tan

²

θ + a s

^{2 2}

= a

²

2 2

(1 tan + θ ) s = 1

2 2

1 1

cos s

θ ⁼

2 2

cos

s = θ

0 s > より s = cos θ

したがって，②より bq = ⋅ a cos θ ⋅ tan θ a sin

q = b θ

よって

cos sin

sin cos

a A b

b a

θ θ

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(6)

(2)

cos sin

sin cos

a A b

b a

θ θ

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

に対し，ケーリー・ハミルトンの恒等式より

2

(cos cos ) cos cos a sin b sin

A A

b a

θ θ ^⎛ θ θ ^⎛ θ ^⎞ θ ^⎞

− + + ⎜ ⋅ − − ⎜ ⎟ ⋅ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⁼ ^O

∴ A

²

− 2 cos θ A E + = O ただし， E は単位行列， O は零行列である。

したがって A

²

= 2 cos θ A E −

cos sin

1 0 2 cos

0 1

sin cos

a b b

a

θ θ

θ

θ θ

⎛ − ⎞

⎜ ⎟ ⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟ ⎝ − ⎜ ⎟ ⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

2 cos 1 2 sin cos

2 sin cos 2 cos 1

a b b

a

θ θ θ

⎛ − − ⋅ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎜ ⋅ − ⎟ ⎟

⎝ ⎠

cos 2 sin 2

sin 2 cos 2 a b b

a

θ θ

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

となる。

cos sin

sin cos

n

n a n

A b

b n n

a

θ θ

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

と推定できるので，この推定が正しいことを数学的帰納法で証

明する。

(ⅰ) n = 1 のとき

1

cos sin

sin cos

a A b

b a

θ θ

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

より成り立つ。

(ⅱ) n = k のとき

(7)

cos sin

sin cos

k

k a k

A b

b k k

a

θ θ

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

であると仮定する。

このとき， A

^k⁺¹

= A

^k

⋅ A

cos sin cos sin

sin cos sin cos

a a

k k

b b

k k

a a

θ θ θ θ

⎛ − ⎞⎛ − ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

cos cos sin sin sin cos cos sin

sin cos cos sin cos cos sin sin

a a

k k k k

b b

a a

k k k k

b b

θ θ θ θ θ θ θ θ

⎛ − − − ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎜ + − ⎟ ⎟

⎝ ⎠

cos( ) sin( )

sin( ) cos( )

k a k

b

a k k

b

θ θ θ θ

⎛ + − + ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎜ + + ⎟ ⎟

⎝ ⎠

cos( 1) sin( 1)

sin( 1) cos( 1)

k a k

b

a k k

b

θ θ

⎛ + − + ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎜ + + ⎟ ⎟

⎝ ⎠

よって n = + k 1 のときも成り立つ。

(ⅰ)，(ⅱ)より

cos sin

sin cos

n

n a n

A b

b n n

a

θ θ

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(8)

[ 東京工業大学 1996 年前期３ ]

関数 f x ( ) = px x

⁷

( − α )( x − β ) が x = 1 ^で極値 1 をとり，さらに x 軸と曲線 y = f x ( ) で囲まれ面積が有限な 2 つの部分の面積が等しいとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) 0 < < α β のとき f x ( ) を求めよ。

(2) α < < 0 β のとき f x ( ) を求めよ。

f x ( ) = px x

⁷

( − α )( x − β ) に対し，

f ´( ) x = p {7 x x

⁶

( − α )( x − β ) + x x

⁷

( − α ) + x x

⁷

( − β )} となる。

( )

f x が x = 1 ^で極値 1 をとることから (1) 1

´(1) 0 f

f

⎧ =

⎨ =

⎩ ⇔ (1 )(1 ) 1

{7(1 )(1 ) (1 ) (1 )} 0

p p

α β

α β α β

− − =

⎧ ⎨ − − + − + − =

⎩

⇔ (1 )(1 ) 1

7 (1 )(1 ) {(1 ) (1 )} 0

p

p p

α β

α β α β

− − =

⎧ ⎨ − − + − + − =

⎩

(1 ) 1

7 (2 ) 0

p p

α β αβ α β

− − + =

∴ ⎨ ⎧ ⎩ + − − = ^" ^①

(1) 0 < < α β のとき

題意の条件が成り立つとすると

0^α

f x dx ( )

^β

f x dx ( )

= −

α

∫ ∫ ^すなわち ∫

0^β

f x dx ( ) = 0

よって ∫

0^β

f x dx ( ) = ∫

0^β

px x

⁷

( − α )( x − β ) dx

⁹ ⁸ ⁷

0

{ ( ) }

p

^β

x α β x αβ x dx

= ∫ − + +

10 9 8

0

( )

10 9 8

x x x

p

α β αβ

β

⎡ + ⎤

= ⎢ − + ⎥

⎣ ⎦

10 9 9

( )

10 9 8 0

p ⎧ β α β β + αβ ⎫

= ⎨ − + ⎬ =

⎩ ⎭

0 10 9 8

β α β + α

∴ − + =

5 β 4 α

∴ = " ②

①，②より 6 3 6 15

( , , ) 10, , , 98, ,

5 2 7 14

p α β = ^⎛ ⎜ ^{⎞ ⎛} ⎟ ⎜ − ^⎞ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

したがって，

⁷

6 3

( ) 10

5 2

f x x ⎛ x ⎞⎛ x ⎞

= ⎜ − ⎟⎜ − ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ^，

7

6 15

( ) 98

7 14

f x x ⎛ x ⎞⎛ x ⎞

= − ⎜ − ⎟⎜ − ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

x y

O ^a ^b

(9)

これらの f x ( ) は x = 1 ^で極値 1 を確かにとる。

(2) α < < 0 β のとき

題意の条件が成り立つとすると，

⁰

( )

0

( )

f x dx

^β

f x dx

− ∫

α

= ∫ ^すなわち ∫

α^β

^{f x dx} ^{( )} = ⁰

よって ∫

0^β

f x dx ( ) = ∫

0^β

px x

⁷

( − α )( x − β ) dx

⁹ ⁸ ⁷

0

{ ( ) }

p

^β

x α β x αβ x dx

= ∫ − + +

10 9 8

0

( )

10 9 8

x x x

p

α β αβ

β

⎡ + ⎤

= ⎢ − + ⎥

⎣ ⎦

¹ (

¹⁰ ¹⁰

) (

⁹ ⁹

) (

⁸ ⁸

)

10 9 8

p ^⎧ β α α β ⁺ β α αβ β α ^⎫

= ⎨ − − − + − ⎬

⎩ ⎭ = 0

(

¹⁰ ¹⁰

) (

⁹ ⁹

) (

⁸ ⁸

)

1 0

10 9 8

α β αβ

β α ⁺ β α β α

∴ − − − + − =

(

¹⁰ ¹⁰

) (

⁹ ⁹

) (

⁸ ⁸

)

36 β − α − 40( α β β + ) − α + 45 αβ β − α = 0

10 10 9 10 10 9 9 9

36 β − 36 α − 40 αβ + 40 α − 40 β + 40 α β + 45 αβ − 45 α β = 0

10 10 9 9

4 α − 4 β + 5 αβ − 5 α β = 0

10 10 9 9

4 β − 4 α = 5 αβ − 5 α β

(

¹⁰ ¹⁰

) (

⁸ ⁸

)

4 β α 5 αβ β α

∴ − = −

(

² ²

)(

⁸ ² ⁶ ⁴ ⁴ ⁶ ² ⁸

)

4 β α β α β α β α β α

∴ − + + + + ⁼ ⁵ ^{αβ β} (

²

⁻ ^α

²

)( ^β

⁶

⁺ ^{α β}

² ⁴

⁺ ^{α β}

⁴ ²

⁺ ^α

⁶

)

となる。

α ^と β は異符号であり ⁴ ( ^β

⁸

⁺ ^{α β}

² ⁶

⁺ ^{α β}

⁴ ⁴

⁺ ^{α β}

⁶ ²

⁺ ^α

⁸

) ⁼ ⁵ ^{αβ β} (

⁶

⁺ ^{α β}

² ⁴

⁺ ^{α β}

⁴ ²

⁺ ^α

⁶

)

となることはない。よって，この式が成り立つのは β

²

− α

²

= 0 ，すなわち α β + = 0 " ③のとき。

①，③より 7 3 3

( , , ) , ,

2 7 7

p α β = − ^⎛ ⎜ − ^⎞ ⎟

⎝ ⎠

したがって， 7

⁷ ²

9 ( ) 2 7

f x x ⎛ x ⎞

= − ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

この f x ( ) は x = 1 で極値 1 を確かにとる。

x y

O

a b

(10)

[ 東京工業大学 1996 年前期４ ]

関数 f x ( ) は微分可能で次の(イ)，(ロ)，(ハ)を満たすものとする。

(イ) x≧ 0 のとき f ´( ) x > 0 ， (ロ) f (0) = a （ただし， a > 1 ），

(ハ) 曲線 y = f x ( ) 上の点 P ( , t f t ( )) ( t≧ 0) における接線と x 軸との交点を Q ，法線と x 軸との交点を R としたとき，線分 QR の長さ F t ( ) は関係式 ( ) ( )

( ) ´( ) F t f t

f t = f t を満たす。

このとき次の問いに答えよ。

(1) x > 0 ^で f ´( ) x は単調増加で， h > 0 ^に対し， f x ( + − h ) f x ( ) ≧ a − 1 h を満たすことを示せ。

(2) 点 P が曲線 y = f x ( ) ( x ≧ 0) 上を動くとき F t ( ) の最小値を求めよ。

P における接線の方程式は y − f t ( ) = f t x t ´( )( − )

y = 0 として ( )

´( ) x t f t

− = − f t より ( )

´( ) x t f t

= − f t

したがって ( )

´( ) , 0 t f t

f t

⎛ ⎞

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

Q …①

また， P における法線の方程式は

( ) 1 ( )

y f t ´( ) x t

− = − f t − 0

y = として x t − = f t f t ´( ) ( ) より x = + t f t f t ´( ) ( )

したがって R ( t + f t f t ´( ) ( ), 0 ) …②

①，②より ( )

( ) { ´( ) ( )}

´( ) F t t f t f t t f t

f t

⎧ ⎫

= + − − ⎨ ⎬

⎩ ⎭

´( ) ( ) ( )

´( ) f t f t f t

= + f t である。

両辺を f t ( ) で割って ( ) 1 ( ) ´( ) ´( ) F t f t

f t = + f t

題意の条件より 1 ( )

´( ) ´( ) ´( ) f t f t

f t f t

+ =

f t ( ) = { ´( )} f t

²

+ 1

t → x として f x ( ) = { ´( )} f x

²

+ 1

´( ) 0

f x > より f ´( ) x = f x ( ) 1 − …③ を得る。

x y

O

P 0 t, f 0 1 t 1 a

Q F 0 1 t R

y=f 0 1 x

(11)

(1) h > 0 に対し， f ´( x + − h ) ´ ( ) f x = f x ( + − − h ) 1 f x ( ) 1 −

( ) ( )

( ) 1 ( ) 1

f x h f x

= + −

+ − + −

条件（イ）より f x ( ) は x≧ 0 において単調増加なので， f x ( + − h ) f x ( ) > 0

よって f ´( x + − h ) ´ ( ) f x > 0

したがって， f ´( ) x は x > 0 において単調増加。

また， f x ( ) は 0 ≦ ≦ x h で連続， 0 < < x h で微分可能であるから，平均値の定理より ( ) ( )

f x h f x ´( )

h f θ

+ − = ， 0 < < θ h をみたす実数 θ が存在する。

f ´( ) x は x > 0 で単調増加であるから， f ´( ) x が x≧ 0 で最小となるのは x = 0 のときで最小値は f ´(0) = f (0) 1 − = a − 1 である。

したがって ( ) ( ) f x h f x 1

h a

+ − ≧ −

よって， h > 0 に対し， f x ( + − h ) f x ( ) ≧ a − 1 h が成り立つ。（証明終）

(2) ③より ( ) ( ) ( ) ´( )

´( ) F t f t f t f t

= + f t ( ) ( ) 1 ( )

( ) 1 f t f t f t

= − + f t

−

1 1

2 2

( ){ ( ) 1} ( ){ ( ) 1}

f t f t f t f t

= − + −

−

よって

1 1

2

1

2

´( ) ´( ){ ( ) 1} ( ) { ( ) 1} ´( )

F t f t f t f t 2 f t f t

= − + ⋅ −

−

⋅

1 3

2

1

2

´( ){ ( ) 1} ( ) { ( ) 1} ´( )

f t f t f t 2 f t f t

−

⎛ ⎞

−

+ − + ⋅ − ⎜ ⎟ − ⋅

⎝ ⎠

( ) ´( ) ´( ) ( ) ´( )

´( ) ( ) 1

2 ( ) 1 ( ) 1 2{ ( ) 1} ( ) 1

f t f t f t f t f t

f t f t

f t f t f t f t

= − + + −

− − − −

2 ´( ){ ( ) 1}

2

( ) ´( ){ ( ) 1} 2 ´( ){ ( ) 1} ( ) ´( ) 2{ ( ) 1} ( ) 1

f t f t f t f t f t f t f t f t f t

f t f t

− + − + − −

= − −

3{ ( )}

2

´( ) 4 ( ) ´( ) 2{ ( ) 1} ( ) 1 f t f t f t f t

f t f t

= −

− −

(12)

( ) ´( ){3 ( ) 4}

2{ ( ) 1} ( ) 1 f t f t f t

f t f t

= −

− −

F t ( ) の増減は右表に従う。

f t ( ) ≧ a ( 1) > であるから， a と 4

3 の大小で最小値を場合分けする。

(ⅰ) 4

(1 ) < < a 3 のとき

F t ( ) が最小となるのは 4 ( ) 3

f t = のときで，

最小値は，

₄

( ) 3

4 4 4 3

( ) | 1

3 3 4

3 1

f t

F t

=

= − +

−

4 4 3

3 3 3

= + 16 3

= 9

(ⅱ) 4

a≧ 3 のとき

( )

F t が最小となるのは f t ( ) = a のときで，

最小値は， ( ) |

_{( )}

1

f t a

1 F t a a a

=

= − + a

−

2

1 a

= a

− f 0 1 t … 4

3 …

F - 0 1 t - 0 +

F 0 1 t : 9

2 以上の整数 n に対して方程式

[ 東京工業大学 1996 年前期 １ ]