一次元熱伝導方程式

第３章 二次元定常熱伝導

 伝熱工学の基礎： 伝熱の基本要素、フーリエの法則、ニュートンの冷却則

 １次元定常熱伝導： 熱伝導率、熱通過率、熱伝導方程式

 ２次元定常熱伝導： ラプラスの方程式、数値解析の基礎

 非定常熱伝導： 非定常熱伝導方程式、ラプラス変換、フーリエ数とビオ数

 対流熱伝達の基礎： 熱伝達率、速度境界層と温度境界層、層流境界層と 乱流境界層、境界層厚さ、混合平均温度

 強制対流熱伝達： 管内乱流熱伝達、円柱および球の熱伝達、管群熱伝達

 自然対流熱伝達： 垂直平板自然対流熱伝達、密閉層内自然対流、共存対 流熱伝達

 輻射伝熱： ステファン-ボルツマンの法則、黒体と灰色体、輻射率、形態係数

 凝縮熱伝達： 鉛直平板膜状凝縮、凝縮数、水平円管膜状凝縮、滴状凝縮

 沸騰熱伝達： 沸騰曲線、気泡力学、沸騰熱伝達率

一次元熱伝導方程式

x q k T x

c T  







 











 

様々な初期条件、境界条件下で、要素内の 温度分布温度変化を予測することができる。

各座標系における三次元熱伝導方程式

 熱伝導率が一定とした場合、（ ：熱容量）

温度伝導率（Thermal Diffusivity）： [m2/s]とすると、

 直交座標系：

 円筒座標：

 球座標：

 c

c q z

T y

T x

T T

 









 



 _

 











  

 2

2 2

2 2

2

c q z

T T

r r r T r r T

 









 



 _{ }











   



 







 

2 2 2

2 2

1 1

c k 

 

c q T

r T

r r r T r r

T

 



 

 





 

 



   









  



 



 



 







 

2 2 2

2 2

2

2 sin

sin 1 sin

1 1

２次元定常熱伝導における基礎方程式



熱源のある非定常３次元熱伝導方程式



熱源のない定常２次元熱伝導の場合



解くべき方程式 ラプラス方程式

c q z

T y

T x

T T

2 2 2

2 2

2













 



 _

 



 



  





 



 

 ² ₂ ²₂ y

T x

0 T







 

y 0 T x

T

2 2 2

2  









第3章 2次元定常熱伝導

2次元熱伝導の数学的解析(その１)

矩形平板

３つの板端の温度： T₁ 上端の温度分布： f(x)

T=f(x)

T=T₁

T=T₁

T=T₁

x y

H

W

2 0

2 2

2 



 





y T x

T

境界条件(その１)

1 1

1 1

sin 0

0

W T T x

T H

y

T T

W x

T T

x

T T

y

m 

















で  で で で 基礎方程式：

基礎式の変形

仮定した解Tを、基礎方程式に代入

2 2 2

2 1

1

dy Y d Y dx

X d

X 



x,yはそれぞれ独立であり、両辺はある定数^に等しくなけれ ばならない。よって、

0 ,

0 ₂ ²

2 2

2

2    Y 

dy Y X d

dx X

d  

XY

T  ただし

 

 

Y Y

x X X



 変数分離法

分離定数の適合性(x方向に正弦関数の境界条件)



 



T

y C C

Y

x C C

X

4 3

2 1

4 3

2 1

2 0















 のとき





 ^

^

T

y C

y C

Y

e C e

C X

x x

x x



















sin cos

sin cos

0

8 7

6 5

8 7

6 5

2



















のとき 

この関数は境界条件に適合しないのでは不適な条件である

この関数は境界条件に適合しないのでは不適な条件である

適合する分離定数



 



T

e C e

C Y

x C

x C

X



















12 11

10 9

12 11

10 9

2

sin cos

sin cos

0





















のとき

この条件は境界条件に適合する。 として境界条件 を代入する。境界条件は

T1

T 

 

W T x

H y

W x

x y

m

 







sin 0

0 0

0 0

















で で で で

未定係数の決定

    

  ^{ }

    ^{ }



 

 ^{ }

W T x

c e

C e

C W C

W C

b e

C e

C C

a C

C x C

x C

H H

m

y y

y y















  





12 11

10 9

12 11

10 9

12 11

9

12 11

10 9

sin cos

sin

sin cos

0 0

sin cos

0





























この境界条件を適用すると、

9 0

12 11





 C

C

(a)より C

(b)より

(c)より ^{0  C}10^C12 ^sinW



  sin  W  0

よって、

分離定数を整数であるとすると、 ^





W n



解の決定

W y n W

x C n

T T

n

n



 sin  sinh

1

1











最後の境界条件(d)を適用すると、

これより、n>1に対しC_n=0でなければならない。よって W

H n W

x C n

W x T n

n

n m





 sin sinh

sin

1







 





sinh

/

sinh T

W x W

H W T y

T  _m 

 





求める微分方程式の解は、異なるnに対する一般解の和 として記述することができる。すなわち、

0 ,

sinh sin

sin  ₁ C₂  C₃   

W H W

C x W

T_m x  

境界条件(その２)：

2 1 1 1

0 0

T T

H y

T T

W x

T T

x

T T

y

















で で で で

W y n W

x C n

T T

n n



 sinh sin

1 ^1

 



境界条件の最初の3式より、

次式の解が得られる。

2次元熱伝導の数学的解析(その２)

T=T₂

T=T₁

T=T₁

T=T₁

x y

H

W

解の決定

温度差T₂-T₁を区間0<x<W上のフーリエ級数に展開する。

 

 



 

 





1

1 1

2 1

2 2 1 1sin

n

n

W x n T n

T T

T 



第4の境界条件を代入すると

W H n W

x C n

T T

n n



 sinh sin

1 1

2 ^

 



この2式を比較すると、

     

n w

H T n

T C

n n

1 1

/ sinh

1

2 ¹

1 2



 









よって、最終的な解は、

   





W x n n

T T

T T

n

n

/ sinh

/ sin sinh

1 1

2

1

1

1 2

1







 ^





 

 





関数展開による熱伝導方程式の解法

関数展開の原理

関数F(x) が既知関数

^

 











1

2 2 1

1

) (

) ( )

( )

( )

(

k k k

m m

x c

x c

x c

x c

x F







 _{ }

) ( ,

), ( ),

( ₂

1 x  x _m x

 _

線形結合によって記述されるとする。

係数

c

, c

,  , c

任意関数F(x) は、既知関数 ^{_m^(x)}

によって記述できたことになる。

関数展開のために望ましい性質

 ^{m n} 

dx x

b

x

a m n

 



 ( )  ( ) 0

１．直交条件(orthogonal)：

) ( )

(x _n x

m 

  のときノルム(norm)が定義できる

 _a^b _m

m  ² (x)dx



2．正規化条件(normalize)：

正規直交関数

正規直交関数による展開係数の決定

_a^b







正規直交関数







 

) (

0

) (

1

k m

k m

mk クロネッカのデルタ関数

dx x x

c dx

x F

b x

a k

b

a m k

k

 m ^ 

  1

) ( )

( )

( )

(  



m b

a

b

a m

k

m x F x dx  c x dx  c

  ( ) ( )   ² ( ) ここで

} {c_m

定数の正弦波(sin波)による展開





1 )

(x   x  u

区間[0 1]における関数





) 1 2

sin(

1 ) (

1









 ^



x x

m c

x u

m

m 

を正弦波で展開すると、

ここで、展開係数c_m は、





  c_m m

長方形を展開するのに十分な展開項数は？

Program: ORTHG

２次元熱伝導方程式の厳密解

２次元熱伝導方程式(Laplace方程式)：





2 0

2 2

2     



 



 x y

y u x

u

境界条件：

（解）

     

     

^





 

1

sin sinh sinh

1 1

, 2

m

m

x m y

m m t m

x

u  





   

   

   

 ,1 1 0 1

1 0

0 0 ,

1 0

0 ,

1

1 0

0 ,

0

























x x

u

x x

u

y y

u

y y

u

（Dirichlet条件）

Program: POLAX

差分法による熱伝導方程式の数値解法

差分法における空間の記述

連続的な空間(x,y)を等間隔に

x方向にi番目、

y方向にj番目 おける変数を u(ix,jy)

で分割。

x方向にx y方向にy

と記述する。

j

u

∆x

∆y

i

i-1 i+1

x y

j j-1

j+1

境界点 内点

 

^{ }

x u x u

O x

x u x

u u

x

u _{i j i j}

j i j

i j

i j

i



 

 





 

 



 



  2 1, ,

, 2 , 2

, 1

, 2

1



 

 

 

 

 

 

  3

, 3 3 2

, 2 2

, ,

,

1 6

1 2

1 x

x x u

x x u

x u u

u

j i j

j i i j

i j

i

空間の前進差分近似

u_i+1,jを点(i,j)においてxについてTaylor展開

j ,

x i

/ u 

 について解く

これは、導関数 u /x を表現する差分商_{u / x} の1つが

 

x O u u

x u x

u _{i j i j}



 

 



 



 1, ,

であることを示している。これを空間の前進差分近似

（forward space difference）という。

 

^{ }

x u x u

O x x

u x

u u

x

u _{i j i j}

j i j

i j

i j

i



 

 





 

 



 



  2 , 1,

, 2 2 ,

1 ,

, 2

1



 

 

 

 

 

 

  3

, 3 3 2

, 2 2

, ,

,

1 6

1 2

1 x

x x u

x x u

x u u

u

j i j

j i i j

i j

i

空間の後退差分近似

u_i-1,jを点(i,j)においてxについてTaylor展開

j ,

x i

/ u 

 について解く

これは、導関数 u /x を表現する差分商 u / x の1つが

  ^x

x O u u

x u x

u

 



 



 





であることを示している。これを空間の後退差分近似

（backward space difference）という。



 

 

 

 

 

 

  3

, 3 3 2

, 2 2

, ,

,

1 6

1 2

1 x

x x u

x x u

x u u

u

j i j

j i i j

i j i

空間の中心差分近似

u_i+1,j 、u_i-1,jを点(i,j)においてxについてTaylor展開

上式から下式を差し引く



 

 

 

 

 

 

  3

, 3 3 2

, 2 2

, ,

,

1 6

1 2

1 x

x x u

x x u

x u u

u

j i j

j i i j

i j i



 

 



 

 



 _

 3

, 3 3

, ,

1 ,

1 6

2 1

2 x

x x u

x u u

u

j j i

i j

i j

i

j ,

x i

/ u 

 について解くと

 

, 1 ,

1

, 2 O x

x u u

x

u _{i j i j}

j i



 

 



  

これは、導関数u / x が

 

, 1 ,

1

2 O x

x u u

x u x

u i j i j



 

 



 



  

であることを示している。



 

 

 

 

 

 

  3

, 3 3 2

, 2 2

, ,

,

1 6

1 2

1 x

x x u

x x u

x u u

u

j i j

j i i j

i j

i

２階の導関数の差分商（1/2）

u_i+1,j 、u_i-1,jを点(i,j)においてxについてTaylor展開

上式と下式を足し合わせる



 

 

 

 

 

 

  3

, 3 3 2

, 2 2

, ,

,

1 6

1 2

1 x

x x u

x x u

x u u

u

j i j

j i i j

i j

i

j , i 2 2u / x

 について解く

 

2

, 1 ,

, 1 ,

2

2 2

x O x

u u

u x

u i j i j i j

j i



 



 



  



 

 



 _

 2

, 2 2 ,

, 1 ,

1 2 x

x u u

u u

j i j

i j

i j

i

 

2

j , 1 i j

, i j

, 1 i 2

2

x x O

u u

2 u

x

u 

 ^



 





２階の導関数の差分商（2/2）

であることを示している。これを空間の中心差分近似

（centered space difference）という。

これは、導関数 u /x を表現する差分商 u / x の1つが

空間の差分商（1/2)

n

ui の時空間の点(i,n)における空間についての差分商

 

2

1 1

2

2 2

x O x

u u

u x

u _iⁿ _iⁿ _iⁿ



 



 



 _{ }

 

x O u u

x

u _iⁿ _iⁿ



 

 



 _{1 （前進差分近似）}

 

x O u u

x

u _iⁿ _iⁿ



 

 



 _{1 （後退差分近似）}

 

1 1

2 O x

x u u

x

u _iⁿ _iⁿ



 

 



 _{ }

（中心差分近似）

Poisson方程式の差分スキーム

Poisson方程式

y g u x

u 



 





2 2 2

2

空間に中心差分近似を用いた差分方程式

j i j

i j

i j

i j

i j

i j

i g

y

u u

u x

u u

u

2 ,

1 , ,

1 , 2

, 1 ,

,

1 2 2



 



 





 _{  }



j i j

i j

i j

i j

i j

i u u u u x g

u _1,  _1,  4 _,  _{, 1}  _{, 1}   ² _,

 _{   }

x=yとする。

5点差分スキーム

(Five-term recurrence scheme)

j i j

i j

i j

i j

i j

i u u u u x g

u _1,  _1,  4 _,  _{, 1}  _{, 1}   ² _,

 _{   }

x=yとした場合のPoisson方程式の差分近似式





j

i u u u u x g

u _{, 1, 1, , 1 , 1} ² _, 4

1     

 _{   }

u_i,jについて整理すると、

変数、u_i+1,j, u_i-1,j, u_i,j+1, u_i,j-1 が既知の場合、u_i,j の値が

求まることを示している。

・表計算による熱伝導方程式の解法

・Ｃ言語による数値解析

問題3-1

平均熱伝導率が、k_A=1.3[W/m・K]の材料で作られた厚さ ΔX_A=10[mm]の壁がある。この壁に、平均熱伝導率が、

k_B=0.35[W/m・K]の断熱材をつけ、1m²当たりの熱損失を 1830[W]以下にしたい。壁の内側の表面温度を1300℃と し、断熱材の外側の温度を30[℃]と仮定するとき、必要と なる断熱材の厚さΔX_Bをもとめなさい。

問題3-2

一様な熱源q(W/m

)が分布した厚さ2L、熱伝導

率が、ｋ[W/m・K]の平板壁がある。片面の温度

をT

[℃]とし、もう一方の面の温度をT

[℃]に

保つとき、平板壁内での温度分布を導け。

問題3-3

長さが20m、直径3.2cmのステンレス鋼製針金に100V の電圧がかかっている。針金の外表面温度が93℃で あるとき、針金の中心温度を計算せよ。ただし、ステン レス製の針金の熱伝導率を k=22.5[W/m･K]とし、鋼の 比抵抗を70[μΩ･cm]とする。