数列の和から一般項を求める

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例題

4

数列の和から一般項を求める

解

初項から第   項  までの和   が，  

で表される数列 の一般項を求めなさい。

n a_n S_n S_n = 2n²+ n {a_n}

数列の和と一般項

数列 の初項   から第   項   までの  和を   とすると，

{a_n} a₁ n a_n S_n

初項   は a

a

= S

（Step1）（      ）を計算する

a

= S

（Step２）（      ）のときを調べる

（Step３） 初項（       ）のときも        成り立つことを述べる

（Step1） 初項   は，a₁ a₁ = S₁ = 2⋅ 1²+ 1 = 3

 のとき，

n ≧ 2

（Step２）

（Step３） ①より，  なので，この式は   のとき にも成り立つ。

a₁ = 3 n = 1

したがって，一般項は a_n = 4n² −2n+ 1

 のとき，

n ≧ 2 a

= S

− S

a

(n = 1) n ≧ 2

S_n = a₁ +a₂ +a₃+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+a_n−1+a_n

確認 ⁻⁾ S_n−1 = a₁+ a₂+ a₃ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a_n−1 S_n −S_n−1 = a_n

a_n = S_n− S_n−1

= 2n²+ n− {2(n −1)²+ (n− 1)}

= 4n²− 2n + 1

数

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