数学単元末テスト

(1)

世界一わかりやすい

数学単元末テスト

2 章連立方程式 k

氏名（）

中 2

の

(2)

(5点×2=10点)

(1) (2) Step１説明

1

単元末テスト２章連立方程式

Date ( )

Name ( ）

点数

１ _{(5点×2=10点)}

(1) (2)

１ ² 次の連立方程式を解きなさい。 ²

100

正しい正しくない

・・・①

・・・② (1)

(x,y) = (3,4) (x,y) = (−2,8) 次の連立方程式の解がで正しいか，

正しくないかを答えなさい。

(−4, 4)

(1)

{ − x + y = 8

y = x + 8

^・・・②

・・・①

①で， (左辺) =−(−4) + 4 = 4 + 4 = 8

(右辺) = 8

②で， (左辺) = 4

(右辺) =−4 + 8 = 4

①，②ともに(左辺) (右辺)が成り立つので，= よって，

正しい

(2)

①で， (左辺) = 2×(−4) + 4 = −8 + 4 = −4

(右辺) =−4

{ 2 x + y = − 4

x − y = 10

^・・・②

・・・①

②で， (左辺) = −4−4 = −8

(右辺) = 10

よって，②で(左辺) (右辺)なので，≠ ^{正しくない}

{ 3 x − y = 5 2 x + y = 10

①＋②より,

3x −y = 5 +)2x +y = 10

5x = 15 x = 3

これを②に代入する

よって,

2× 3 +y = 10 6 +y = 10 y = 4

(x,y) = (3,4)

(1)

①＋②より,

・・・①

・・・②

x +y = 6 +)3x −y = −14

4x

{ x + y = 6

3 x − y = − 14

= −8 x = −2

これを①に代入する

よって,

−2 +y = 6 y = 6 + 2 y = 8

(x,y) = (−2,8)

(3)

3 _{(5点×2=10点)}

(1) (2) 次の連立方程式を解きなさい。 3

・・・① (1) ・・・②

(2)

(x,y) = (1,−2) (x,y) = (−1,−2)

{ 2 x − y = 4 5 x + 3 y = − 1

6x −3y = 12 +)5x + 3y = −1

11x = 11 x = 1

① × ３より,

3(2x −y) = 4× 3

6x + 3y = 12 ^{・・・①’}

①’ と②より,

よって,

2×1−y = 4 2−y = 4

y = −2

(x,y) = (1,−2)

① × ３より, これを①に代入する

よって,

・・・①

・・・②

9x −3y = −3

−)2x −3y = 4 7x

{ 3 x − y = − 1 2 x − 3 y = 4

= −7 x = −1

3×(−1) −y = −1

−3−y = − 1

−y = 2

(x,y) = (−1,−2) 9x −3y = −3 ^{・・・①’}

①’ と②より,

y = −2

4 次の連立方程式を代入法で解きなさい。ただし，計算過程もかきなさい。

(1)

{ y = x − 1

・・・②

2 x + y = 5

・・・①

(2)

{ x = − 2 y + 2

3 x + y = 11

^・・・②

・・・① (5点×2=10点)

①を②に代入すると，

2x + (x− 1) = 5 3x − 1 = 5

3x = 6 x = 2

これを①に代入する

y = 2− 1

y = 1

よって,

(x,y) = (2,1)

3(−2 y + 2) + y = 11

①を②に代入すると，

−6 y + 6 + y = 11

−5 y = 5 y = − 1

これを①に代入する

よって,

x = − 2 × (−1) + 2 x = 4

( x , y ) = (4, − 1)

(4)

5 次の連立方程式を代入法で解きなさい。ただし，計算過程もかきなさい。(5点×2=10点)

(1)

{ − x + y = − 1

・・・②

2 x + y = 5

・・・①

(2)

{ 2 x + 5 y = − 1

・・・②

2 x + 9 y = 3

・・・①

2 x + ( x − 1) = 5

①’を②に代入すると，

x = 2

①より,

y = x − 1 ^{・・・①’} これを①’に代入する

y = 2 − 1 y = 1

よって， ( x , y ) = (2,1)

(− 5 y − 1) + 9 y = 3

①’を②に代入すると，

y = 1

①より,

2 x = − 5 y − 1 ^{・・・①’}

これを①’に代入する

2 x = − 6 x = − 3

よって, ( x , y ) = (− 3,1) 2 x = − 5 × 1 − 1

6 次の連立方程式を解きなさい。

(1)

(2)

・・・①

・・・②

これを①’に代入する

①より,

① ‘と②より,

(5点×2=10点)

(1) (2) 6

(x,y) = (15,−3) (x,y) = (2,3)

{ 4 x + 7 y = 39

・・・②

2( x − y ) = 3 x + 3 y

・・・①

x = 15

−x −5y = 0

これを②’に代入する

−x −5×(−3) = 0

−x + 15 = 0

−x = −15

②より,

2x −2y = 3x + 3y

・・・②’

よって, (x,y) = (15,−3)

① と②’×４より,

4x + 7y = 39 +)− 4x −20y = 0

−13y = 39 y = −3

{ 5( x + y ) − 2 y = 19 5 x − 4 y = − 2

5x + 3y = 19 5x + 5y −2y = 19

・・・①’

5x + 3y = 19

−)5x −4y = −2 7y = 21

y = 3

5x + 3×3 = 19 5x = 10 x = 2

よって, (x,y) = (2,3)

(5)

7 _{(5点×2=10点)} (1)

(2)

7 8

次の連立方程式を解きなさい。

(1)

(2)

(x,y) = (−4,−10) (x,y) = (2,−3)

9 9 (5点×1=5点)

(a,b) = (6,7)

(5点×1=5点) 8

(x,y) = (−2,1)

・・・①

{

・・・② x

4

−

^y₅

= 1

3 x + 4 y = − 52

①×20より,

5x −4y = 20 ^{・・・①’}

①’と②により,

{ 5 x − 4 y = 20 3 x + 4 y = − 52

5x −4y = 20 +)3x + 4y = −52

8x = − 32 x = −4

y = −10

よって, (x,y) = (−4,−10)

{ 0.3 x − 0.1 y = 0.9

・・・②

2 x + y = 1

・・・①

3x −y = 9 ^{これを②に代入する} 2×2 +y = 1

4 +y = 1 y = −3

①×10より,

・・・①’

よって, (x,y) = (2,−3) 3x −y = 9

+)2x +y = 1

= 10 x = 2

①’と②より,

5x

方程式 2x −5y = x + 3y−10 =−9 を解きなさい。

{ 2 x − 5 y = − 9

・・・②

x + 3 y − 10 = − 9

・・・①

x + 3y = 1 ^{これを②’に代入する} x + 3× 1 = 1

x + 3 = 1 x = −2

②より,

・・・②’

よって, (x,y) = (−2,1) 2x −5y = −9

−)2x + 6y = 2

−11y = −11 y = 1

①と②’×２より,

連立方程式

・・・①

・・・②

の解が(x,y) = (−5,4)であるとき，a，bの値を求めなさい。

{ ax + 5 y = − 10

− 2 x + by = 38

を①と②に代入すると，

(x,y) = (−5,4)

・・・①’

・・・②’

{ −5a+ 20 = −10 10 + 4b = 38

①'より， −5a = −30 a = 6

②’より，

4b = 28 b = 7

よって, (a,b) = (6,7)

(6)

(5点×2=10点)

(1) (2)

10

50円切手枚 80円切手枚

10 次の問題を解きなさい。

(1)

(2) 2けたの自然数がある。もとの数と位の数字を入れかえてできる数と

の和は110である。また，この数の十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は，もとの数より36大きい。もとの自然数を求めなさい。

50円切手と80円切手を合わせて20枚買ったところ，代金が1390円でした。買った50円切手と80円切手の枚数をそれぞれ求めなさい。

もとの自然数の十の位の数を a

一の位の数を b とすると，2けたの自然数は

10a+b と表される。

また，十の位の数と一の位の数を入れかえできる数は，

10b+a となる。

もとの数と位の数字を入れかえてできる数との和が110より，

(10a+b) + (10b+a) = 110

この数の十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は，

もとの数より36大きいので，

10b+a = 10a+b+ 36

よって,

{ 10 a + b + 10 b + a = 110 10 b + a = 10 a + b + 36

これを解くと,

よって，もとの2けたの自然数は, 37

(a,b) = (3,7)

50円切手を枚，80円切手を枚とすると， x y

これを解くと,

よって, 50円切手7枚、80円切手13枚

{ x + y = 20

50 x + 80 y = 1390

(x,y) = (7,13)

37 7

13

(7)

(5点×2=10点)

(1) (2)

(1)

(2) ある中学校のバスケットボール部は，昨年度の部員数が 50人であっ

た。今年度は昨年度よりも，男子は20%増加し，女子は10%減少して，全体の部員数が51になった。このバスケットボール部の昨年度の男子と女子の部員数をそれぞれ求めなさい。

昨年度の男子の部員数を x 人，女子を y 人とすると，

昨年度の部員数が50人なので，

今年度は男子が20%増加，女子が10%減少したので，

x+y = 50 ・・・①

120

100x + 90100y = 51 ・・・② よって,

まこと君が家から3kmはなれた駅まで行くのに，途中のコンビニまでは時速4kmで走り，そのコンビニからは時速2kmで歩いたところ，1時間かかった。家からコンビニまでの距離とコンビニから家までの距離をそれぞれ求めなさい。

これを解くと,

よって, 昨年度の男子20人、女子30人

{

x + y = 50

120100

x +

₁₀₀⁹⁰

y = 51

・・・①

・・・②

(x,y) = (20,30)

これを解くと,

家からコンビニまでの距離をx km，

よって, 家からコンビニまでの距離が 2 km,

コンビニから駅までの距離が 1 km になる。

よって,

コンビニから駅までは, 家からコンビニまでは,

{

x + y = 3

x

4

+

^y₂

= 1

コンビニから駅までの距離を kmとすると，y 時間かかり, x

4

時間かかったことになる。

y 2

(x,y) = (2,1)

11

家からコンビニ km

昨年度男子人

昨年度女子人

コンビニから駅 km

20 30

2

1

(8)

(5点×2=10点)

2

単元末テスト２章連立方程式

Date ( )

Name ( ）

点数

１ _{(5点×2=10点)}

(1) (2) 次の連立方程式の解がで正しいか，

(−2, 3) ^１ ² 次の連立方程式を解きなさい。 ²

100

正しい

正しくない (x,y) = (3,−8) (x,y) = (1,−1)

・・・①

・・・②

①で，

②で，

よって, ①，②ともに(左辺) (右辺) =

・・・①

・・・② よって, ①で(左辺) (右辺) ≠

①で，

(左辺)= 3×(−2)−3 =−6−3 =−9 (右辺) = 3

正しくない

(左辺)=−2−3 =−5 (右辺) =−5

(左辺)= 2×(−2) + 3 =−4 + 3 = −1 (右辺) =−1

正しい (1)

(2)

{ 3 x − y = 3 2 x + y = − 9

{ x − y = − 5 2 x + y = − 1

(1)

①−②より,

・・・①

・・・②

4x +y = 4

−)x +y = −5 3x

{ 4 x + y = 4 x + y = − 5

= 9 x = 3

よって,

3 +y = −5 y = −5−3 y = −8

(x,y) = (3,−8)

①−②より, これを②に代入する

よって,

・・・①

・・・②

x + 3y = −2

−) x −y = 2

{ x + 3 y = − 2 x − y = 2

x −(−1) = 2 x + 1 = 2

(x,y) = (1,−1) 2y = 6

y = 3 x = 1

(2)

(9)

3 _{(5点×2=10点)}

(1)

(2)

(x,y) = (−6,−3) (x,y) = (−1,−2)

(1)

(2)

①を②に代入すると，

・・・①

・・・② これを②に代入する

よって,

・・・①

・・・②

4x −5y = −9

−)4x − 8y = 0

{ 4 x − 5 y = − 9 x − 2 y = 0

3y = −9 y = −3

x −2×(−3) = 0 x + 6 = 0

x = −6

(x,y) = (−6,−3) 4x −8y = 0

② × ４より,

・・・②’

① と②’より,

よって,

・・・①

・・・②

2x −3y = 4

−)2x + 6y = −14

{ 2 x − 3 y = 4 x + 3 y = − 7

−9y = 18 y = −2

x + 3×(−2) =−7 x −6 =−7 x = −1 (x,y) = (−1,−2) 2x + 6y = −14

② × ２より,

・・・②’

① と②’より,

{ y = 2 x − 7

・・・②

3 x − 2 y = 8

3x −4x + 14 = 8 3x −2(2x −7) = 8

・・・①

①を②に代入すると，

−x = −6 x = 6

よって,

y = 2×6−7 y = 12− 7 y = 5

(x,y) = (6,5)

{ y = 3 x − 5 x + y = 7

4x −5 = 7 x + (3x −5) = 7

4x = 7 + 5 4x = 12

x = 3 ^よって, y = 3×3−5 y = 9−5 y = 4

(x,y) = (3,4)

(10)

5 次の連立方程式を代入法で解きなさい。ただし，計算過程も

かきなさい。(5点×2=10点) ⁶

(1)

(2)

(1)

(2)

・・・①

・・・②

②より,

(5点×2=10点)

(1) (2) 6

(x,y) = (−7,2) (x,y) = (−2,3)

{ x + y = 4

・・・②

− 2 x + 5 y = − 1

・・・①

−2x + 5(−x + 4) = −1

①’を②に代入すると，

−2x −5x + 20 = −1

−7x = −1−20

①より,

y = −x + 4 ^{・・・①’}

{ 5 x + 2 y = 4

・・・②

x − y = 5

・・・①

5(y + 5) + 2y = 4

②’を①に代入すると，

7y = −21

②より,

x = y + 5 ・・・②’

y = −3 + 4 y = 1

x = 3

よって,

(x,y) = (3,1)

y = −3

x = 2

よって,

(x,y) = (2,−3) x = −3 + 5

{ − 3 x + y = 9

2( x − y ) − x = − 8

x −2y = −8 2x −2y −x = −8

・・・②’

3x +y = 9 +)3x −6y = −24

−5y = −15 y = 3

x −2×3 =−8 x −6 = −8 x = −2

よって,

(x,y) = (−2,3)

{ x + y = − 5

・・・②

3( x + y ) = 2 x − 1

・・・①

x + 3y = −1

x + 2 =−5 x = −7

②より,

3x + 3y = 2x −1

・・・②’

よって,

(x,y) = (−7,2)

① と②’より,

x +y = −5

−)x + 3y = −1

−2y = −4 y = 2

① と②’×３より,

(11)

7 _{(5点×2=10点)} (1)

(2)

7 8

(1)

(2)

(x,y) = (3,−6) (x,y) = (−5,−8)

9 9 (5点×1=5点)

(a,b) = (3,−1)

(5点×1=5点) 8

(x,y) = (1,−3)

{

・・・② x

3

+

₂^y

= − 2 3 x − y = 15

・・・①

3×3−y = 15 9−y = 15

①×６より,

2x + 3y = −12 ^{・・・①’}

よって, (x,y) = (3,−6) 2x + 3y = −12

+)9x −3y = 45

= 33 x = 3

①’と② ×３より,

11x

−y = 6 y = −6

{ x − 3 y = 19

・・・②

0.2 x − 0.5 y = 3

・・・①

2x −5y = 30 ^{これを①に代入する} x −3×(−8) = 19 x + 24 = 19 x = −5

②×10より,

・・・②’

よって, (x,y) = (−5,−8) 2x −6y = 38

−)2x −5y = 30

−y = 8 y = −8

①×２と②’より,

方程式 6x −y = 3x −2y = 9 を解きなさい。

{ 6 x − y = 9 3 x − 2 y = 9

12x −2y = 18 ^{これを①に代入する} 6×1−y = 9

6−y = 9

−y = 3

①×２より,

・・・①’

よって, (x,y) = (1,−3) 12x −2y = 18

−)3x −2y = 9

= 9 x = 1

①’と②より,

・・・②

・・・①

9x y = −3

連立方程式

・・・①

・・・②

の解が(x,y) = (2,1)であるとき，a，bの値を求めなさい。

(x,y) = (2,1)

・・・①’

・・・②’

①'より， ②’より，

2a = 6 a = 3

b = −1

よって,

{ ax + 2 y = 8 x + by = 1

{ 2 a + 2 = 8 2 + b = 1

(a,b) = (3,− 1)

(12)

(1)

(2) 2つの数の和が100で，一方の数が他方の数の2倍より10 大きいとき，

この2つの数を求めなさい。

1本100円のボールペンと1本150円のシャーペンを，合わせて15本買うと，代金が1700円になりました。買ったボールペンとシャーペンがそれぞれ何本か求めなさい。

これを解くと,

2つの数をx,yとする。

よって, 2つの数は, 70 と 30 2つの数の和が100より，

一方の数が他方の数の2倍より10大きいので，

よって,

・・・①

・・・②

・・・①

・・・②

x +y = 100

x = 2×y + 10

{ x + y = 100 x = 2 y + 10

(x,y) = (70,30)

買ったボールペンを本，買ったシャーペンを本とすると， x y

これを解くと,

よって, ボールペンが11本，シャーペンが4本合わせて15本買ったので，

代金が1700円になったので，

・・・①

・・・②

・・・①

・・・②

x +y = 15

100x + 150y = 1700

{ x + y = 15

100 x + 150 y = 1700

よって,

(x,y) = (11,4)

(5点×2=10点)

(1) (2)

10

ボールペン本シャーペン本

30, 70 11

4

(13)

(1)

(2) はると君のクラスは2日間開催される高校の文化祭で，飲み物の販売

をすることになった。初日はお茶とスポーツドリンクが，合計で400 本売れた。2日目は初日よりもお茶は20%，スポーツドリンクは10%

それぞれ減少したので，合計で345本しか売れなかった。初日売れたお茶とスポーツドリンクの本数をそれぞれ求めなさい。

しょうご君は家から6kmはなれた図書館に行くために，午後1時に家を出発した。はじめは自転車で時速20kmで進んでいたが，途中にある駄菓子屋さんで30分休憩した。その後，上り坂が続いたため時速4kmの速さで進み，午後2時に図書館に着いた。しょうご君が家から駄菓子屋さんまで進んだ道のりと駄菓子屋さんから図書館まで進んだ道のりをそれぞれ求めなさい。

初日に売れたお茶をx本，

2日目が初日よりもお茶は20%，スポーツドリンクは10%

それぞれ減少して，合計345本なので，

x +y = 400 ^・・・①

80

100x + 90

100y = 345 ^・・・②

よって,

初日はお茶とスポーツドリンクが合計400本売れたので，

{

x + y = 400

10080

x +

₁₀₀⁹⁰

y = 345

これを解くと, (x,y) = (150,250)

スポーツドリンクをy本とすると，

よって, お茶が150本, スポーツドリンクが250本

これを解くと, 家から駄菓子屋さんまでの距離をx km，

よって, 家から駄菓子屋さんまでが5 km，

駄菓子屋から図書館までが1 km また，家から駄菓子屋さんまでは

x +y = 6 ^・・・①

x 20 + y

4 + 12 = 1 ^・・・②

よって,

家から図書館までは6 km 離れているので，

駄菓子屋さんから図書館までの距離をy kmとすると，

時間 , x

駄菓子屋さんから図書館までは20 y 時間なので，

4

{

x + y = 6

x

20

+

₄^y

+

¹₂

= 1

⁽^x^,^y^{) = (5,1)}

(5点×2=10点)

(1) (2)

11

家から駄菓子屋さん km

お茶本

スポーツドリンク本駄菓子屋さんから図書館 km

150 250

5

1

(14)

(5点×2=10点)

3

単元末テスト２章連立方程式

Date ( )

Name ( ）

点数

１ _{(5点×2=10点)}

(1) (2) 次の連立方程式の解が(8，2)で正しいか，

１ ² 次の連立方程式を解きなさい。 ²

100

正しい正しくない

(x,y) = (1,−1) (x,y) = (−2,1)

①で，

②で，

よって, ①，②ともに(左辺) (右辺) =

・・・①

・・・②

①で，

・・・①

・・・② (左辺)= 8 + 4×2 = 8 + 8 = 16 (右辺) = 16

(左辺) = 2×2 = 4 (右辺) = 8−4 = 4

正しい

(左辺) = 8−2 = 6 (右辺) = −6 (1)

(2)

{ x + 4 y = 16 2 y = x − 4

{ x − y = − 6

− x + y = 6

よって, ①で(左辺) (右辺) ≠ ^{正しくない}

(1)

① − ②より,

・・・①

・・・②

x + 3y = −2

−)x −y = 2

{ x + 3 y = − 2 x − y = 2

4y = −4 y = −1

よって,

x −(−1) = 2 x + 1 = 2

x = 2− 1

(x,y) = (1,−1) x = 1

(2)

・・・①

・・・②

−x −3y = −1 +)2x + 3y = −1

{ − x − 3 y = − 1 2 x + 3 y = − 1

①＋②より,

x = −2

よって,

−(−2)−3y = − 1 2−3y = −1

−3y = −1−2

(x,y) = (−2,1)

−3y = −3 y = 1

(15)

3 _{(5点×2=10点)}

(x,y) = (3,1) (x,y) = (2,−1)

(1)

(2)

・・・①

・・・② (1)

(2)

よって,

・・・②

7x + 15y = 36

−)7x + 28y = 49

{ 7 x + 15 y = 36 x + 4 y = 7

−13y = −13 y = 1

x + 4×1 = 7 x + 4 = 7 x = 3

(x,y) = (3,1) 7x + 28y = 49 ^{・・・②’}

よって,

10x −2y = 22

−)3x + 2y = 4

{ 5 x − y = 11 3 x + 2 y = 4

5×2−y = 11 10−y = 11

−y = 11−10

(x,y) = (2,−1) 10x −2y = 22

① × ２より,

・・・①’

・・・①

・・・②

・・・①

①’ と②より,

② × ７より,

① と②’より,

= 26 13x

−y = 1 y = −1

x = 2

よって,

{ 3 x + 2 y = − 5

・・・②

y = 5 − 4 x

3x + 10−8x = −5 y = 5−12 y = −7

(x,y) = (3,−7) 3x + 2(5−4x) = −5

・・・①

②を①に代入すると，

−5x = −15 x = 3

{ 4 x + y = − 7 2 x = 3 y + 7

6y + 14 +y = −7 2(3y + 7) +y = −7

7y = −7−14 7y = −21

②を①に代入すると，

y = −3

2x = −9 + 7 2x = 3×(−3) + 7

2x = −2 x = −1

よって, (x,y) = (−1,−3)

(16)

6

(1)

(2)

(1)

(5点×2=10点)

(1) (2) 6

(2)

・・・①

・・・②

①’ と②’×２より,

・・・①

・・・②

{ 3 x + y = − 2

・・・②

x + 3 y = 10

・・・①

x + 3(−3x −2) = 10

−8x −6 = 10

−8x = 16

①より,

y = −3x −2 ^{・・・①’}

x = −2

y = −3×(−2)−2 y = 4

よって, (x,y) = (−2,4)

{ 2 x − y = 4 5 x + 3 y = − 1

5x + 3(2x −4) = −1

11x −12 = −1 11x = 11

①より,

y = −2x −4 ^{・・・①’}

x = 1

y = 2× 1−4 y = −2

よって, (x,y) = (1,−2)

{ y − ( x − 2 y ) = 6

・・・②

y − 5( x − y ) = 21

・・・①

−5x + 6y = 21

②より,

y −5x + 5y = 21

・・・②’

−x + 3y = 6

①より,

y −x + 2y = 6

・・・①’

−2x + 6y = 12

−)−5x + 6y = 21

= −9 x = −3

①’ ×２と②’より,

3x

y = 1

−(−3) + 3y = 6 3 + 3y = 6 3y = 3

よって,

(x,y) = (−3,1)

{ 2 y + 11 = 3( x − 1) 2 x − (5 + y ) = 0

2x −y = 5

②より,

2x −5−y = 0

・・・②’

−3x + 2y = −14

①より,

2y + 11 = 3x −3

・・・①’

−3x + 2y = −14 +)4x −2y = 10

x = −4

y = −13 2×(−4) −y = 5

−8−y = 5

−y = 13

よって, (x,y) = (−4,−13)

(x,y) = (−3,1)

(x,y) = (−4,−13) 5 次の連立方程式を代入法で解きなさい。ただし，計算過程も

かきなさい。(5点×2=10点)

(17)

7 _{(5点×2=10点)}

(1) (2)

7 8

(1)

(2)

(x,y) = (10,−16)

9 9 (5点×1=5点)

(5点×1=5点) 8

(x,y) = (−2,−3) 方程式

を解きなさい。

3y + 8 = 7x −3y + 4 = 3x −y + 2

(a,b) = (3,4)

・・・② 23

x −

¹₃

y = −

¹₆

19

x −

¹₉

y = 1

・・・①

②×９より,

x −y = 9 ^{・・・②’}

4x −2y = −1

①×６より,

・・・①’

①’と②’ ×２より,

4x −2y = −1

−)2x −2y = 18

= −19 x = − 19

2 2x

−19

2 −y = 9

よって,

(x,y) = (− 19

2 ,− 37 2 ) y = − 37

2

(x,y) =(− 19 2 ,− 37

2 )

{ 0.03 x + 0.01 y = 0.14

・・・②

2 x + y = 4

・・・①

3x +y = 14 ^{これを②に代入する} 2×10 +y = 4

20 +y = 4 y = −16

①×100より,

・・・①’

よって, (x,y) = (10,−16) 3x +y = 14

−)2x +y = 4 x = 10

①’と②より,

{ 7 x − 3 y + 4 = 3 y + 8

・・・②

3 x − y + 2 = 3 y + 8

・・・①

3x −4y = 6

②より,

・・・②’

7x −6y = 4

①より,

・・・①’

①’と②’より,

・・・②’

{ 7 x − 6 y = 4 3 x − 4 y = 6

・・・①’

14x −12y = 8

−)9x −12y = 18

①’×２と②’×３より,

= −10 x = −2 5x

7×(−2)−6y = 4

−14−6y = 4

−6y = 18

よって,

(x,y) = (−2,−3) y = −3

連立方程式

・・・①

・・・②

の解が(x,y) = (−2,3)であるとき，a，bの値を求めなさい。

{ bx + ay = 1 ax + by = 6

(x,y) = (−2,3)

・・・①’

・・・②’

{ 3a−2b = 1

−2a+ 3b = 6

①’×２と②’×３より,

6a−4b = 2 +)−6a+ 9b = 18

5b = 20 b = 4

3a−2× 4 = 1 3a = 9

よって, (a,b) = (3,4)

a = 3

(18)

(1)

(2) 2けたの自然数がある。この数の十の位の数字と一の位の数字の和の2倍は，一の位の数字の6倍と等しい。また，十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は，もとの数より18小さいとき，もとの自然数を求めなさい。

あるお店で違う日に，ショートケーキとチーズケーキを買いました。2月14日には，ショートケーキを1個とチーズケーキを2 個買ったら，代金が800円でした。また，3月14日に，ショートケーキを3 個とチーズケーキを1個買ったら，代金が1600円でした。ショートケーキをとチーズケーキをそれぞれ何個ずつ買ったか求めなさい。

もとの自然数の十の位の数を a

一の位の数を b とすると，2けたの自然数は

10a+b と表される。

また，十の位の数と一の位の数を入れかえできる数は，

10b+ a ^となる。

十の位の数字と一の位の数字の和の2倍は，一の位の数字の6倍に等しいので，

この数の十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は，もとの数より18 小さいので，

・・・①

・・・②

2(a+b) = 6b

10b +a = 10a+b−18

よって,

{ 2( a + b ) = 6 b

10 b + a = 10 a + b − 18

これを解くと,

よって, もとの2けたの自然数は, 42

(a,b) = (4,2)

・・・①

・・・②

買ったショートケーキをx 個，買ったチーズケーキをy 個とすると，

これを解くと,

よって, ショートケーキが480円，チーズケーキが160円ショートケーキ1個とチーズケーキ2個で, 800円なので，

ショートケーキ3個とチーズケーキ1個で, 1600円なので，

・・・①

・・・②

・・・①

・・・②

x + 2y = 800

3x +y = 1600

{ x + 2 y = 800 3 x + y = 1600

(x,y) = (480,160)

(5点×2=10点)

(1) (2)

10

ショートケーキ円チーズケーキ円

42 480

160

(19)

(1)

(2) あるお店でズボンとシャツを定価で買うと，合計の金額は6300円で

あったが，ズボンは2割引き，シャツは3割引きだったので，合計の金額が4600円になった。ズボンとシャツの定価をそれぞれ求めなさい。

1周の長さが1500mの池のまわりを，A君とB君が走った。お互いに反対方向に同時に出発すると，5分後に出会った。同じ方向に走ると，30分後にA君がB君に追いついた。A君とB君の走る速さをそれぞれ求めなさい。

ズボンの定価を円，シャツの定価を円とすると， x y

よって, ズボンの定価が1900円, シャツの定価が4400円

ズボンが2割引き，シャツが3割引きのとき，合計が4600円なので，

x +y = 6300 ^・・・①

80

100x + 70

100y = 4600 ^・・・②

よって,

定価で買ったときの合計が6300円なので，

{

x + y = 6300

10080

x +

₁₀₀⁷⁰

y = 4600

これを解くと,

(x,y) = (1900,4400) ^{これを解くと,}

A君の速さを分速 m，B君の速さを分速 mとすると， x y

よって, A君が分速175m， B君が分速125mとなる。

また，同じ方向に走ると30分後に A君がB君に追いついたので，

2人の走った距離の差が1500mとなる。

5x + 5y = 1500 ^・・・①

30x −30y = 1500 ^・・・②

よって,

反対方向に出発すると，5分後に出会ったので，

2人で5分かけて1500mを走ったことと同じなので，

よって，

{ 5 x + 5 y = 1500 30 x − 30 y = 1500

(x,y) = (175,125)

(5点×2=10点)

(1) (2)

11

A君の分速 m

ズボンの定価円

シャツの定価円 B君の分速 m

数学単元末テスト

世界一わかりやすい