博 士 （ 理 学 ） 梅 津 裕 志
学位論文題名
Quantization of GeneraliZedChern ―SimonS ACtionSinTWODimenSionS
（2 次元における一般化されたチャーン―サイモン作用の量子化）
学位論文内容の要旨
重力理論の量子化は素粒子論における重要な問 題のーつである。¥1Tit．t，enは三次 元 の ア イ ン シ ュ タ イ ン 重 カ があ る適 当な ゲー ジ代 数を とっ たChern，Simons理 論に よっ て記 述さ れ得 るこ とを 示し た。 ．三 次 元に おけ るChern‑Simons重 力理 論の 重要 な特 徴は その 理論 がカ 学的 な自 由度 を含 ま ない 、即 ちト ポロ ジカ ルだ とい うこ とで ある。
数 年 前 、KawamotoとWatabikiはChern‑Simons理 論 を 任 意 の 次 元 に 拡 張 し た 理 論 （ 一 般 化 さ れ たChern・Simons理 論 ）を 提唱 した 。そ の理 論の 作用 は従 来の Clle工lIトSimons作用と同じ代数的榊造を持ち、 時空の計量に依存しない。しかし任意 の次 元に 拡張 する ため に、 可能 な全ての階数の反対称テンソル場を含む一般化 された ゲー ジ場 が導 入さ れて いる 。そ の結果、理論のゲージ対称性は従来のゲージ理 論のも のに 比べ て非 常に 大き い。 古典 論の 範囲 内 では 既に この 一般 化さ れたChern‑Simons 理論 につ いて いく っか 研究 がな され てお り 、二 次元 、三 次元 及び 四次 元で はこ の理 論 に よ っ て ト ポ ロ ジ カ ル な 重 力 理 論 が 記 述 さ れ 得 る と いう こと が示 され てい る。
この 論文 にお いて 我々 は一 般化 され たChern・Simons理論の量子化を二次 元にお いて行う。まず、ゲージ代数としてゴI三可換代数をとったときに一般化されたChern． Sim110ns理論 はニ つの 特徴 を持 っていることを示す。その特徴のーっは理論の ゲージ 対称 性が 無限 階可 約で ある こと であ る。 無 限階 可約 なゲ ージ 対称 性を 持つ 理論 とし ては 、超 対称 性を 持つ 粒子 の理 論と同じく超対称性を持つ弦の理論などが今ま でに知 られ てい る。 特徴 のニ つ目 はこ の理論から現れる拘束条件が正則ではないとい うこと であ る。 これ らの ため に、 可約 なゲージ対称性を持つ理論を量子化する方法と して知 られているBat.alin‑WilkoViskvのラグランジュ形式及びBatalin−FradkinーVilkovisk¥‑
の ハ ミ ル ト ン 形 式 が こ の 理 論 に 対 し て 適 用 で き る か ど う か は 明 白 で は な い 。 我 々はまずラグランジュ形式による量子化を行う 。Bat alinとVilkovisl〈、 の方法 に従 うと 、ゲ ージ 対称 性の 無限 階可 約性 に 対応 して 無限 個の ゴー スト 場を 導入 し、
マス ター 方程 式を 解か なけ れば ならないのだがそれを解くことは非常に困難で ある。
我々 はこ の理 論に おい て重 要な 役割 を果 た して いる 一般 化さ れた ゲー ジ場 を用 いて 無限 個の 場を 統一 的に 扱い 、マ スタ ー方 程 式を 直接 解か ずに その 解を 得る 方法 を示 す。そのカ￥は無限tVjJの場を含んだ一般化されたゲージ場によって定義されたCliern・
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SimoIIs形式である。これによって全ての場に対する13RST変換が定義され、I3RST 変 換 の 下 で 不 変 な ゲ ー ジ 晒 ｜ 定 さ れ た 作 川 を 作 る こ と が 可 能 に な る 。 さらにハミル卜ン形式による量子化を行う。ハミルトン形式を用いることにより、
この理論の拘束条件と物理的な自山度の数がより明離に理解される。拘束条rlニの取 ルカは一通りではないのだが、正則でない拘束条件をとったときに、ハミルトン形 式をJnいて得られるゲージ幽定された作用がラグランジュ形式の結果と一致するこ とを示す。この場合においても、無限f固のゴースト場を一般化されたゲージ場を川 いて統一 的に扱うことが可能である。ここで示される重要な点のーっは、BRST変 換の生成子が奇数次元で定義されたフウルミオニックな一般化されたCllern・Simons 形式によって与えられることである。
我々はさらに、ゲージ固定された作用を用いて一般化されたCherri・Simons理論 の摂動的な解析を行う。無限佃の場による寄与を適当に正則化することにより、こ の理論は紫外発散を持たないことを示す。特に、トポ口ジカルな理論であることを 反映して分配関数は1になる。また場の数が無限f固であることに起因する無限大の 量が 現 れ るの は 、非 物 理 的な 相 関 関数 に おい てだ けである ことも示 される。
最後に、ここで用いた量子化の方法が4次元の一般化されたChern−Simons理論 に対しても有効であることを示す。その結果、この方法は任意の偶数次元において 適応できると思われる。
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学位論文審査の要旨
主 査 教 授 石 川 健 三
副査 教授 河本 副査 教授 和田
昇 宏 副 査 講 師 末 廣 一 彦
学位論文題名
Quantization of Generalized Chern‑Simons Actions in Two Dimensions
（ 2 次元における一般化されたチャーンサイモン作用の量子化）
奇 数 次 元 で 定 義 さ れ た チ ャ ー ン サ イ モ ン ゲ ー ジ 理 論 は 物 理 学 で 多 く の 応 用 を 持 っ ト ポ ロ ジ カ ル な 場 の 理 論 の ー つ で あ る が 、 偶 数 次 元 に 拡 張 す る の は 自 明 で な い 。 偶 数 次 元 に 拡 張 で き れ ば 、 現 実 世 界 で の 重 力 理 論 に 適 用 さ れ る 可 能 性 を 持 つ 興 味 深 い も の で あ る 。 古 典 論 の 範 囲 で 偶 数 次 元 に 拡 張 さ れ た 一 般 化 さ れ た チ ャ ー ン サ イ モ ン ゲ ー ジ 理 論 で 重 カ の 古 典 論 へ の 応 用 が 議 論 さ れ て き た が そ の 量 子 論 と し て の 議 論 は 今 ま で な さ れ て い な か っ た 。 著 者 は 本 論 文 で2次 元 に お け る 一 般 化 さ れ た チ ャ ー ン サ イ モ ン 作用 の量 子 化 を 行 な い 、 こ の 理 論 の 量 子 論 と し て の 解 明 を 行 な っ た 。
ア イ ン シ ュ タ イ ン
Fradkin−Vilkoviskyに よる ラグ ラン なっ た。
量 子 化 に 際 し て 生 ず る ー つ の 困 難f し た 無 限 個 の ゴ ー ス ト 場 が現 われ 、 で あ る 。 ラ グ ラ ン ジ ュ 形 式で 著者 は 的 に 取 り 扱 い 、 マ ス タ ー 方程 式を 解 化 さ れ た ゲ ー ジ 場 は や は ルチ ャー ン
よ 、 無 限 階 可 約 な ゲ ー ジ 対 称 性 を 持 っ こ と に 対 応 そ れ ら の マ ス タ ー 方 程 式 を 解 く の が 難 し い こ と 一 般 化 さ れ た ゲ ー ジ 場 を 使 っ て 無 限 個 の 場 を 統 一 か ず に 同 等 の こ と が 行 な え る こ と を 示 し た 。 一 般 サ イ モ ン 作 用 で 記 述 さ れ 、 こ れ が 従 うBRST変 換 が 定 義 さ れ 量 子 化 が 行 な え る こ と が 示 さ れ た 。 ハ ミ ル ト ン 形 式 で も 同 様 な こ と が 示 さ れ た 。さ ら に 、 量 子 論 と し て 定 義 さ れ た 以 上 の 結 果 に 基 づ き 、 摂 動 論 に 基 ず く 解 析 が な さ れ た 。 当 初 の 目 論 み 通 り 、 こ の 理 論 が 紫 外 発 散 を 持 た な い こ と が 確 か め ら れ る と 共 に 、 ト ポ ロ ジ カ ル な 重 力 理 論 で あ る こ と を 反 映 し て 分 配 関 数 が ー で あ り 、 物 理 量 が 有 限な 値 を と る こ と が 示 さ れ 、 矛 盾 の 無 い 量 子 論 が 出 来 上 が っ て い る こ と が 示 さ れ た 。
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これ を 要 する に 、著 者 は2次 元におけ る一般化 されたチ ャーンサイ モン作用 の量子化 を行ない 、これが 紫外発散を持たず、分配関数がーであるトポ口ジカルな重力理論であ ることを 確かめた 。これは場の理論の理解に対して貢献するところ大なるものがある。
よっ て 著 者が 北 海道 大 学 博士 （ 理 学） の 学位 を 授 与さ れる資格あ るものと 認める。
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