第５回授業づくり研究会報告

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１．はじめに第 5 回中学校数学授業づくり研究会を以下の日時と場所で実施した．日時：令和 2 年 2 月 8 日（土）会場：世田谷区立用賀中学校参加者は全部で187名あった．その内訳は，会員86名，学生会員22名，一般63名，一般学生16名である．今回の授業づくり研究会のテーマは「データの活用領域における数学的活動の充実を目指して」と設定し，1 年生 2 つ，2 年生 2 つの公開授業を実施した．1 年生は，データの活用の 1 時間目，2 年生は確率の 1 時間目という位置づけで，次の 4 名を授業者として授業を行った．公開授業 1 年（データの活用）授業 1 ：武藤純輝（世田谷区立用賀中学校）授業 2 ：柘植守（松江市立本庄中学校）公開授業 2 年（確率）授業 1 ：岩田拓実（八王子市立由井中学校）授業 2 ：近藤俊男（筑波大学附属中学校）当日の授業に至るまでに，4 つの授業について指導案の検討を行った．柘植教諭の授業については，指導案をメールで送ってもらい，定例の幹事会で検討し，その結果をフィードバックし改善につなげた．また，授業者の地元である島根県の地域の学習会でも指導案について検討を加えていただいた．その他 3 名の授業については，定例の実践研究推進部中学校部会幹事会の中で 3 回ほど検討し，当日実践することができた．以下では，各授業の報告を中心として，第 5 回授業づくり研究会の報告を行う．（鈴木誠）２．公開授業 1 年 ⑴ 授業 1 ① 授業計画の概要ア．課題について今回の学習指導要領の改訂で新しく「データの活用」の領域が新設された．「データの活用」領域の意義として，中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編には，以下のように示されている．「急速に発展しつつある情報化社会においては，確定的な答えを導くことが困難な事柄についても目的に応じて資料を収集して処理し，その傾向を読み取って判断することが求められる．この領域では，そのために必要な基本的な方法を理解し，これを用いてデータの傾向を捉え考察し表現できるようにすることが中学校数学科における指導の大切なねらいの一つであり，統計的に問題解決する力を養うことにつながる．」（p.54）中学生はなんでも平均をとって比べればいい，と考えがちであるが，平均値が代表値として本当にふさわしいのかどうかは，データの分布を見て判断しなければいけなないということを気付かせたいと考えた．代表値などを利用して資料の傾向を読み取り，自分の考えを主張することが，現状の課題となっている．イ．数学的活動を充実させる手立て今回の授業では，生徒が学習課題を身近なものとして捉えながら取り組むことができるように，片足立ちの記録を自らで収集したデータを扱った．手立てとしては，以下のことを考えた． 1 年生のクラスとは別に 2 年生のクラスでも同じようにデータを収集していたことを伝え，生徒に 2 つのクラスのデータを使ってどんなことを調べたいか聞く．

第５回授業づくり研究会報告

実践研究推進部中学校部会

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報

告

実践研究推進部中学校部会 *実践研究推進部中学校部会実践研究推進部部長：太田伸也，同副部長・中学校部会長：鈴木誠実践研究推進部部長：太田伸也，同副部長・中学校部会長：鈴木誠幹事：五十嵐淳，石井勉，岩田拓実，小岩大，近藤俊男，菅達徳，高村真彦，高山琢磨，藤原大樹，牧下英世幹事：五十嵐淳，石井勉，岩田拓実，小岩大，近藤俊男，菅達徳，高村真彦，高山琢磨，藤原大樹，牧下英世

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平均値だけで集団を比較することは難しいため，資料をどのように整理すればよいかを考えさせ，データの分布の様子を調べさせる．（出てこない場合は，平均値のデメリットなどを説明する）小学校の時に学習したグラフを復習しながら，ヒストグラムを全員で確認しながら作成する．最初は個人でそれぞれのヒストグラムを比べて，分布を調べ，どちらのほうが片足立ちがより長く立っていられるクラスかを予想する．次に班で，個人で考えた意見を話し合い，グループとしての予想を考察し，全体で共有する．本時のまとめ ② 授業の実際今回は片足立ちのデータを収集して授業を行ったが，本当の意味で生徒たちの興味・関心を惹くならば，なぜ片足立ちのデータを取る必要があるのかを示す必要があった．また，2 つの集団を比較する手段として，予想していた「平均値」というワードは出てきたが，その値だけで集団の良し悪しを判断してしまい，分布の傾向に目を向けるという発想はなかなか出てこなかった．その際に平均値は，はずれ値に影響されやすいことを簡単な例を用いて説明することにより，平均値だけで集団の良し悪しを判断するのは難しいという考えを持つ生徒が増えた．時間配分としては， ∼ までで，25分， ∼ で23分ぐらいかかってしまい，最後のまとめの部分は丁寧に指導することができなかった．また，の全体で発表する場面では，根拠を用いて，「○ ○だから，□□である」のように説明するように，強調して指導する必要があると感じた．生徒からは「結局どちらのほうが片足立ちが長くできているの？」という感想が多く出ていたが，今回の授業では根拠を用いて適切に説明できていればどちらの集団でも良いこととした．（武藤純輝） ⑵ 授業２ ① 授業計画の概要ア．課題について本授業では，ある中学校で，各クラスから 1 名の代表選手が出場して飛距離を競い合う「ハンドボール投げ大会」の場面を設定した．あるクラスでは，大会に出場する選手 1 名を決めようとしており，3 名の候補者がいる．生徒は，この 3 名それぞれがこれまでに 5 回行ったハンドボール投げの記録に出会う．本時は，単元の導入にあたる第 1 時であり，「代表値」などの概念の理解は，第 2 時以降で扱う．本時では，平均やちらばりなどの小学校までの既習事項や，最頻値に近い考えなど生徒が素朴にもつ考えを活かしながら，多様な視点でデータを捉えたて判断したり，生徒どうしや教師とコミュニケーションしたりすることに主眼をおいた．1 名につき，5 回の記録では，統計的な分析を行うには，データの値の個数が小さいと感じられるかもしれない．データの扱いに慣れていない状況で，大きいデータの値の個数に出会わせた場合，逆に，データの特徴を見失ってしまう可能性がある．このため，あえてデータの値の個数が小さい場面を設定した．＜問題＞ほんじょう中学校では，毎年，ハンドボール投げ大会を行っています．大会では，各クラスの代表が出て，飛距離を競い合います．優勝者は学校代表として，市の大会へ参加します． 1 年 3 組では，はるきさん，そうたさん，けんごさんの 3 人の中から，ハンドボール投げ大会に出場する選手 1 人選ぼうとしています． 1 年 3 組のみんなはクラス代表が優勝し，学年の学校代表になって欲しいと願っています．〇以下の表は，これまで 5 回行った，この 3 人のハンドボール投げの結果です．あなたなら，どの選手を選びますか．ただし，全部で 8 クラスあるので，大会で投げるのは 1 回のみです．ちなみに昨年度の優勝者の記録は27mで，2 位は25mでした． 28m 28m そうた 16m 32m 27m 16m 24m はるき５回目４回目３回目２回目１回目 25m 25m 22m 27m 26m けんご 18m 24m 27m 図１問題

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イ．数学的活動を充実させる手立てある生徒が，例えば選手Ａを選んだ場合，選手ＢやＣを選んだ人の立場になって，選んだ根拠を考えて表現する．これにより，自分が着目していなかった点に注目することができる．他者の考えた根拠を推し量る活動＜ねらい＞生徒が他者の考えた根拠を，他者が推し量ることによって，多角的に（異なる立場から）事象を捉えることができ，自分の考えた根拠を批判的に考察することにつながる．＜指導の流れ＞問題を把握し，自分の考えを持つ．他の人の多様な考えを知る．自分が考えた人とは異なる人を選手として選んだ人がなぜそう考えたのか，根拠を推し量って書く（自分が考えた選手を選んだ根拠は書かない）．各班それぞれのメンバーで，(iii)の活動の結果を共有し，ホワイトボードにまとめる．ホワイトボードを黒板に貼って，学級全体で共有する．再度自分の考えを見直し，その根拠を書く．一連の活動を通して，自分の考えが「変わらない」，「変わった」，「分からなくなった」のどれかを尋ね，考えの変容を自覚する．本時を振り返る．他者の考え方の「よさ」を自然に考えることで，自分がその選手を選んだ根拠が最初に考えたときに比べ，より確信のあるものになったり，よりよい判断をするために見直したりすると考えられる．このように批判的に考察したことを通して，自分の意見により自信をもつことができるようになる． ② 授業の実際授業では，問題提示後の個人思考への取り組み，生徒たちのグループによる熱心な協議と全体での共有場面への参加，そして全体を通しての振り返りなど，生徒たちの活動は素晴らしいものであった．これは，平素からの会場校の用賀中学校の先生方のご指導の賜物と実感している．生徒の感想からは，「はじめ考えたときは，自分の率直な考えで，あまり深くは考えなかったけれど，他の人の考えを聴くことによって，自分の考えが深まり，今日は，最後に（自分の）考えが変わったので面白かった．」「一つの数に注目し見ることも大切なんだと思いました．そして，平均を出すだけではなく，全てを見て考えることも大切だと友達の意見を聞くことによって，分かりました．」などがあり，特に，生徒の感想は，「考えることの楽しさ」を書いているものが多かった．今後も，生徒が批判的に思考し，判断・表現する力を高めるような授業づくりに取り組もうと考えている．（柘植守） ⑶ 研究協議授業 1，2 ともに，挑戦的な提案性と生徒や授業への真な姿勢が高評価であった．統計的問題解決力の育成に向けた重要と思われる意見，論点について列挙する．・生徒が考えてみたいと感じられる問題で，解決の結果，行動や判断が変わるものが望ましい．漠然たる大きな問いがまずあって，問題が明確化，焦点化されていくとよい．授業 1 では前提となる大きな問いがあるとよりよい．・取り上げるデータについては，ねらいに沿っていれば，実際のデータでも架空のデータでもよいが，そのためのねらいと手立て（発問，展開，板書など）が大切である．データ収集への批判的思考の育成には授業 1 のような授業が必要である．・統計の授業では，傾向の説明で統計的な表現を用いず日常的な表現にとどまっていることがある．算数科に比べて中 1 でどう質の違いを求めていくのかがとても大切である．・算数科での，「∼結論について多面的に捉え考察する」（小 5 ），「∼妥当性について批判的に考察する」（小 6 ）と，中学校の「批判的に考察し判断する」，の前提の数学的な表現は何かを授業レベルで考えるべきである．4 つの集団で値が 5 つずつ（授業 2）は，小 5 程度でも対応できる．・個人や班，全体での結論が複数が出てきたときには，何に基づいてその結論になっているのかに着目して整理するとよい．最適解をどうつくっていくか，教師が練り込んでおく必要がある．・授業 1 で120cm以上の値を 1 つの階級にまとめ

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ていたが，単元では階級の設け方をよりよい問題解決のために考えさせていきたい．・他者の考えを数学的に推察する場面の意図的な設定は大切だが，問題解決の流れの中で生徒にとって必然性があればなおよい．・ポスターやレポートで終わらず，その結果どう社会が変わったか，個人の判断が変わったかを検証する取組に期待したい．・統計データの値の個数を増やす必要があるが，現実的な文脈と合わないことがある．このように授業で扱う教材は難しい．現場での知恵を本研究会などで今後も共有したい．（藤原大樹）３．公開授業２年 ⑴ 授業 1 ① 授業計画の概要ア．課題について統計的確率と数学的確率を関連付けやすい次のような導入問題を扱った（図 2）．導入問題 2 枚のコインを投げ，両方とも表が出たらＡ君の勝ち，表と裏が 1 枚ずつ出たらＢ君の勝ち，両方とも裏が出たらＣ君の勝ちというゲームをします．誰が一番勝ちやすいだろうか．直観で予想させた後，多数回の試行を行い，表と裏が 1 枚ずつの場合が起こりやすいことを確認した．どのくらい起こりやすいかに目を向けさせ，割合の考えを引き出させ，回数を増やしていくとその値が収束していき，その値を確率ということを確認した．その後，なぜ表と裏が 1 枚ずつ出る確率の方が高いのかを考えることを通して，統計的確率と数学的確率を関連付けた．イ．数学的活動を充実させる手立て上記の導入を直観で予想させると，どの場合が起こるのも同じくらいではないかと考える生徒が多い．しかし，実際に何回か行ってみると表と裏が 1 枚ずつ出ることが多いのではないかと思えてくる．そこから，「どのくらい多いのだろう．」「なぜ多くなるのだろう．」との疑問を抱かせ，興味・関心を高めるようにした． ② 授業の実際「 2 枚の硬貨を投げ両方とも表，1 枚が表で 1 枚が裏，両方とも裏のどの場合が一番でやすいか」を生徒に直観で予想させることから授業を開始した．この段階では，どの場合が起こるのも同じくらいではないかと予想する生徒が多かった．実際に 2 人で 1 組として，2 枚の硬貨を 1 回投げさせたところ，それぞれが起こった組の数はほぼ等しくなった．次に10回に回数を増やして行っても，違いは明確にならず，5 分間で可能な限り，硬貨を投げる実験を行った． 5 分間投げ続けた結果を各組に聞いていくと，すべての組で 1 枚が表で 1 枚が裏の場合が多くなり，この場合が多くなることが実感できた．「どのくらい勝ちやすいのか．」に目を向けさせて，合計が違う場合，どのように比べればよいかを問いかけたところ，「起こった回数を合計で割る」という回答が得られた．その値を割合ということも生徒から引き出すことができた．次に，各組でそれぞれの割合を求めた後，全体でそれぞれが求めた割合を確認していったが，投げた回数はまだ不十分で各班の割合にばらつきがある．時間の関係もあり，回数を続けていくと，Ａ君が勝つ割合は0.25，Ｂ君が勝つ割合は0.5，Ｃ君が勝つ割合は0.25に近づくことを教師から伝えてしまった．ここで，多数回の試行を行うと事柄の起こる割合が，一定の値に近づくことが生徒に実感させられなかったことが課題である．続いて，なぜ表と裏が 1 枚ずつ出る確率の方が高いのかを考えることを近くで話し合わせ，結果を全体で共有することにより，統計的確率と数学的確率を関連付けた．最後に，本時の振り返りを行い，授業を終えた．確率の導入として，「実際に多数回の試行を行うなどの経験を通して，ある事柄の起こる割合が，一定の値に近づくことを実感を伴って理解できるようにする」だけでなく，単元全体を見通すために「実際に多数回の試行によって得られた確率（統計的確率）と場合の数をもとにして求めた確率（数学的確率）を関連付ける」ことにも触れておきた図２導入問題

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いと考え，本授業を計画したが，やはり分量が多すぎたことから反省すべき点が多く生じた．特に，次の 2 点が課題としてあげられる． 1 点目は，2 枚の硬貨を投げ両方とも表，1 枚が表で 1 枚が裏，両方とも裏のどの場合が一番でやすいかを確かめるには，何回くらい投げればよいのか，10回投げたときの結果をどうみるのかを生徒に考えさせ，生徒自身に問題解決の方法を計画させる必要があった．教師主導で行ってしまった結果，振り返りの場面では，問題解決の方法に触れている生徒が少なかった． 2 点目は，2 枚の硬貨を区別して，場合の数を用いて，確率を求めることについては理解できていたが，多数回の試行を行うと事柄の起こる割合が，一定の値に近づくことが実感させられなかったことである．多数回の試行を行い，表やグラフを用いて，ある値に収束することのみに 1 単位時間を費やす必要があると感じた．（岩田拓実） ⑵ 授業２ ① 授業計画の概要単元「確率」の導入として，不確定な事象の起こりやすさを，相対度数を根拠に予測する場面を設定した．これは，量的データを扱う第 1 学年の学習と質的データを扱う第 2 学年の学習にギャップがあり生徒にとって唐突なのではないか，また，新学習指導要領で統計的確率を第 1 学年で扱うことになるためその接続をより大切にする必要があるのではないかという 2 つの問題意識からである．ア．既習の相対度数と関連付けた確率の導入相対度数を，起こりやすさを予測するための根拠として用いて判断する場面から確率の導入につなげる展開を考えた．平成24年度全国学力・学習状況調査のスキージャンプの問題を基にして，本授業ではパラスポーツのボッチャを題材に，目標となる球と投げた球の距離の 4 人の記録（図 3）と課題（図 4）を提示した．データは，それぞれの回数が異なり，また，平均値だけの判断に偏らないようなものにした．平均値が最も小さいのはＤであるが，最小値はＡ，中央値で比較するとＣである．そして，例えば30cm以下の累積相対度数は大きい順にＣ，Ａ，Ｄ，Ｂである．生徒が判断する際にこれらを根拠に用い，その中で判断の根拠に相対度数や累積相対度数を用いることができることに焦点化して確率の導入につなげていきたい．イ．根拠を明らかにし筋道立てて説明する 4 人の記録から代表を 1 人選んだ理由について，筋道立てて説明する場面を設定する．本時では，自力解決の後，グループでの議論を設定する．グループで議論する際には自分の考えの根拠を伝えるよう促す．また，グループの議論を全体で共有し，その根拠を発表することで，数学的な表現で根拠を明らかに説明する場面を設定していきたい．その中で「30cm以内の累積度数が大きい生徒を選出した」という発言に注目し，回数が違う場合に度数を比較するだけでは不十分なので相対度数(割合)に注目する必要があるなど相対度数を用いる意味の理解につなげることも含めたい． ② 授業の実際導入場面では，ボッチャを知る生徒もいて，用意したデータであったが課題解決にスムーズに向かうことができた．一方で，累積相対度数に注目できるようにするために代表者を選ぶ基準となる記録を明確にする必要があった．授業では「どんな子に代表者になってもらいたいか．」と問うたが，「手先が器用」「まっすぐ投げられる」などの答えとなり基準を意識させる問いとして不十分であった．さらに「それはどうしたら分かるか，比較しやすいか」などと問うことで「30cm以内になる回数が多い」といった具体的な数値を意識した上で課題解決に入れるとよかった．各グループの結論とその主な根拠は以下のようなものであった．カッコ内数字はグループの数．Ａ最高記録 ⑴ Ｂ少ない回数だが最後の記録が良い ⑴ 図３４人の記録課題 4 人から 1 人を選んで代表戦を行うとき，誰を代表として選出しますか．データを基に考えなさい．図４課題

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Ｃ後半記録の伸び，中央値，30cm以下の回数 ⑶ Ｄ平均値 ⑷，12回目までの50cm以下の数 ⑴ 全体的に根拠を明確にして導いた結論を発表できていた．より多くの生徒が自分たちの考えを発表できる場面を設定することと他のグループの考えを知ることを意図してそれぞれのグループの考えを順々に発表する形式とした．あるグループの考えを基に発表の中で出てきた数値や単語の意味，根拠の妥当性などについて全体で議論しながら進めるような展開も考えられる．その中で，最終的に相対度数に目を向けることができればよい．ある生徒の発表に「（記録が）1 桁になる確率」とあった．起こりやすさを表すために日常的に用いる「確率」という表現を何気なく使っていた．一方で「総回数が異なる中で回数をそのまま比較してよいか」という問いに対して，「相対度数」「確率」を用いると答えた生徒もいた．次時からの学習の中でそれらを結びつけながら確率の意味について考察し，数学的な「確率」の概念形成につながればよい．その意味で単元の導入で本時のような内容を扱う意味があったと考える．（近藤俊男） ⑶ 研究協議＜授業 1 について＞授業 1 は，統計的確率と数学的確率を 1 時間の授業の中でつなげることをねらいとして行った．このねらいを中心として協議を行い，主に次のような意見があった．・確率の導入場面としては盛り沢山で，多数回の思考についてもう少ししっかりと扱うことが必要であったのではないか．・生徒に多数回調べることの必要性が感じられるような展開が必要ではなかったか．収束していくことを視覚化することで理解を深めるために，表やグラフに表すことをするとよかったのではないか．・誰が勝ちやすいかということを予想するような場面をつくると，多数回調べようということにつながったのではないだろうか．・統計的確率と数学的確率を結びつけるには，同様に確からしいということの意識を持たせることが大切だと思うが，それをどのように考えさせるかを検討しておくことが必要だと思う．・PPDACそのものを教えるということではないが，少しずつこの大事なところを意識させることは大切だと思う．今日の授業であれば，実験で出てきた数値は何を表しているのかということを意識させていくということ．＜授業 2 について＞授業 2 は，相対度数をもとにして起こりやすさを根拠として予想することをねらいとして授業を行った．この授業についての意見の主なものとしては次のようなものがあった．・選手として誰を選ぶかということでねらいに迫れるだろうか．比べる基準（30cm以下が何回あったかなど）があったらねらいに近づけたのではないだろうか．・時系列で見る意識が強かったのではないか．練習をしてだんだんと上手くなっていき，最後は安定しているのがいいとなって，相対度数にはつながりにくい．ボッチャは，練習の効果などによって相対度数が変化し，大数の法則が使えるか分からない．データの分析の授業の教材としては面白い．・平均の見方から脱するには，何の起こりやすさを問題にするかということが大切．・授業の中で「確率」と言っている子がいた．このような発言を取り上げることで，「確率」とは何かを明確にしていくような展開もあったのではないか．両方の授業に係わるような意見として，次のようなものがあった．公開授業の様子

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・分布が偏ったデータを見たとき，どう考えたか真剣に向き合うような生徒の姿があって欲しい．自分たちのデータと向き合ったとき，他の班のデータも知りたい，1 回 1 回のデータを取ることに慎重になって欲しい，出てくる結果に対して慎重になって欲しい，そういったことは統計を考えるときに大切なことだと思う．・目的があってデータを集める，集めたくなるというような展開が大切．（鈴木誠）４．講演会「データの活用領域における数学的活動の充実」 −全国学力・学習状況調査を振り返って− 国立教育政策研究所教育課程研究センター佐藤寿仁先生会のテーマを受け，学習指導要領が目指しているもの，全国学力・学習状況調査結果に基づく指導の改善点，さらには具体的な授業実践例の紹介の 3 つの内容を中心に講話された．主体的・対話的で深い学びの実現に向け，単元や題材などの時間のまとまりを見通しながら，生徒の数学的な見方・考え方が鍛えられていくことが大切であること，数学的活動を示す問題発見・解決の過程は50分間の授業の型と捉えるのではなく，児童生徒の算数・数学の学びが濃密なものとなるための学びのプロセスとして考えて欲しいこと，「データの活用」領域においての指導の意義を確認するとともに算数・数学の 9 年間で学びを捉えていく必要があること，などが示された．全国学力・学習状況調査の結果からは，「資料の分布の様子から，資料の傾向を的確に捉えて判断すること」に課題が見られ，その改善点として，主として次の 2 つのことが指摘された．・資料の傾向を読み取り，それを説明する際には，ヒストグラムの形状や複数の階級の度数の大小関係などの数学的な表現に着目し，それらを基に説明できるようにすることが大切である．また，正答だけでなく誤答の記述にも着目し，生徒がどのような思考をしているかを教員が把握し，授業の中で指導していくことも必要である．さらには，生徒に説明させる際にはどのようなところに着目をしているかを問い直すなどして，説明について洗練させていくことも大切である．・代表値の必要性と意味の理解についても課題があるが，目的に応じて資料の特徴を表す代表値について検討し，どの代表値を用いるべきかを判断することにも課題が見られる．代表値の意味を確認するだけでなく，データの傾向やその特徴を伝えるための根拠としてふさわしい代表値を用いることができるようにすることが大切である．最後に，具体的な授業実践例が２つ紹介され，生徒の思考に寄り沿った授業づくりの大切さについて強調された．（山崎浩二）５．おわりに第 5 回中学校数学授業づくり研究会も，全国から187名と多くの参加者を迎えて開催することができた．実践研究の場として，本学会にとって重要な役割を担う取り組みになっている．本報告書は，今回の授業づくり研究会を振り返り，継続的な取り組みに活かしていく資料としても役立てていきたい．データの活用領域における数学的活動をテーマとし，第一学年「データの活用」，第二学年「確率」それぞれの第 1 時間目の授業を提案するという焦点の当て方について，また，学習指導案を提案された授業者の皆様，検討に加わった中学校部会の皆様にとって実践と協議を経て何を考えたか，どう深められたか等々が，今後の実践研究につながると考える．講習会

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ご講演をお引き受けいたたいた国立教育政策研究所の佐藤寿仁先生，ご参加いただいた皆様，そして本研究会を推進している中学校部会の皆様に感謝申し上るとともに，実践の場をご提供いただき，お忙しい中，準備や片付けまでご協力いただいた世田谷区立用賀中学校の草開宣晶校長先生はじめ教職員の皆様，ようがコミュニティークラブの皆様にあらためて御礼申し上げたい．（太田伸也）