Thomas Piketty『 21世紀の資本』に関するノート

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(1)研究ノート. . Thomas Piketty『21 世紀の資本』に関するノート新飯田宏. この小論の目的は，T. Piketty が大著『21 世紀の. ら，Piketty 命題が Harrod・Domar モデルから必. 資本』で明らかにした実証分析の命題，〔r ＞ g であ. 然的に導出されるのかを検討する．以上の分析の補. れば，所得格差は拡大する（資本からの所得が労働. 足として，最後の第Ⅲ節は，大著の後に発表された. からの所得との格差を大幅に上回る〕が，果して理. G. Zucman との共同論文において，Piketty らは資. 論的にも導出される命題であるかどうかを検討する. 本分配率を労働と資本との間の代替の弾力性と関連. ことにある（ここで，r = 資本の収益率；g = 経済成. づけて論じているので，その理論的な推論にコメン. 長率）．. トすることに充てられている．. 国民所得計算から国民所得（Y）は資本に帰属される所得r K と労働に分配される所得w L の合計（つまり，Y = r K +w L）であるから，Piketty の命題が. Ⅰ R．Solow の新古典派成長モデルによる説明（１）Solow の均衡成長モデル. 成立するためには，経済成長のプロセスで，r ＞ g. Solow のオリジナル・モデルは，資本（K）と. であれば，長期的に資本（富）からの所得が労働か. 労働（L）の２生産要素を input とするマクロの. らの所得より大きくなることを証明することである. 生産関数を通して，生産量（GDP）の動学経路を. （ここで，Y = GDP； K = 資本量；ｗ= 賃金率；L =. 分析しているが，ここでは，もう一つの生産要. 労働量である）．ただ，Piketty の資本の定義は，通. 素として知識（技術進歩 A）を加えた生産関数を. 常の経済理論での，生産活動における input として. 利用した成長モデルを考えよう．ただし簡単化. の資本とは異なること，また格差の定義（格差をど. のため，技術進歩は労働効率を上昇させるとす. のように測るかの基準）が必ずしも明確でないので，. る Harrod 中立的な技術進歩を仮定して，t 時. 以下では，賃金率と資本収益率の関係や資本分配率. （K t ，点の生産関数を次のように書く．Y t = F. と労働分配率の関係を通して，彼の命題が理論的に. A t L t）．つまり，１単位の労働は技術進歩によって，. 成立するかどうかを検討することにしたい．. 時間の経過とともに効率が A t 倍だけ増加すると仮. Piketty の命題は，① r ＞ g の条件の下では，②. 定する．したがって，A t L t は効率単位で測った１. 資本所得比率（いわゆる彼が定義する β ≡K / Y）. 人当たりの労働量である．ここで，生産関数 F は１. が上昇することを通して，長期的に所得に占める. 次同次で，生産要素である資本 K と効率労働 AL に. 資本のシェア α（= rK / Y）が上昇する , というも. ついて，通常の収穫逓減の仮定を満たすものとする．. のである．以下では，まず第 I 節において，代表的. なお以下では，煩雑さを避けるために，時点を示す. な新古典派成長モデルである Solow モデルに基づ. t を省略する．. いて，Piketty の所得格差命題が長期的に成立し得. さて，１次同次生産関数から，Y = F （K, AL）=. るのかを理論的に検討する．この過程で，彼の条. AL・F （K/AL, １）．つまり， Y/AL = F （K/AL,1）である．. 件①と②の妥当性を明らかにする．次いで第Ⅱ節. いま，効率単位で測った労働者 1 人当たりの産出量. では，Piketty が利用する「資本主義の第 2 基本法. Y/AL ≡ｙ，同じく効率労働者 1 人当たりの資本量. 則」（β = s／ｇ；ここで，s = 貯蓄率）は，そもそ. K/AL ≡ｋおよび F （K/AL, １）≡f （k）と定義すれば，. も Harrod・Domar の成長モデルそのものであるか. 生産関数は次のように書かれる．. 『エコノミア』第 66 巻第 2 号（2015 年 11 月），31-41 頁［Economia Vol. 66 No.2（November 2015），pp. 31-41］.

(2) . fig. 1. ｙ=ｆ（k）. ①. したがって，効率労働者１人当たりの産出量ｙは. 明するためのグラフである．そこには，横軸に効率労働 1 人当りの資本量ｋを，. 効率労働者 1 人当たりの資本量ｋだけの関数である. 縦軸に効率労働者 1 人当たりの生産量 f（ｙ）を図っ. から，ｙの経路を辿るにはｋの動学経路を追えばよ. た 2 次元グラフに，収穫逓減法則に従うｆ曲線とｓ. いことになる．. ｆ曲線（現実の総投資曲線），および各ｋの水準を維. ２（AL）〔 AL・dK/dt − K・d （AL） /dt〕 dk/dt = １／. = dK/dt ／（AL） −. 持するのになされなければならない必要投資額を示す勾配（ a + n + δ）ｋの直線が描いてある．. ２〔A K/ （AL）（dL/dt）. +L （dA/dt）〕. さて，⑤が示すように，効率労働者 1 人当たり資. = dK/dt ／（AL） − K/AL）〔（dA/dt）／A. 本量は，時間の経過とともに k に収斂する．何故＊. ②. なら，いま効率労働者 1 人当たりの現実の資本量ｋ. ここで，Solow モデルにしたがって粗投資は貯蓄. ，⑤式が示が k より大きければ（つまり，k ＜ｋ）. に等しいと仮定すれば，資本の純増分である純投資. すように dk/dt ＜０となり，ｋは k に向かって減. は減価償却を引いた残りとして，次のように書かれ. 少して行く．他方，もし効率労働者 1 人当たりの現. る．. ，dk/dt 実の資本量が k より少なければ（k ＞ｋ）. + （dL/dt）／ L〕. dK/dt =ｓY − δK. ＊. ＊. ＊. ＊. ③. ＊. ＊＞０となり，ｋは k に向かって増加して行く．した. この③式を②式に代入して整理すれば，②式は次. がって，どのようなｋから出発しても，k に向かっ. のようになる．. て収斂するのである．つまり，新古典派成長モデルでは，伸縮的な価格機構の下で，資本量に対する需. dk/dt =（s Y−δK）／（AL） −ｋ〔（dA/dt）／A +（dL/dt）／ L〕. ＊. ④. 給を通じて資本収益率ｒが変化することで，効率労. ここで，労働，技術知識の水準（ストック）が時. 働者 1 人当たり資本量（ｋ）が伸縮的に変化し，k に. 間の経過とともに，どのように変化するかについては，. （y）は収斂するのである．k では，現実の投資額 sf. ＊. ＊. それぞれ外生的に与えられる n，a の率で指数函数的. 技術進歩と人口増加と資本減耗のすべてを過不足な. に増加すると考えよう．つまり，L（t）= L（0）ent；. く賄うに必要な投資額と等しくなる均衡点 E に対応. （L （0），A （0）は 0 時点に与えられるパ A （t） =A （0） eat；. する（効率労働者１人当たりの）資本量である．しか. ラメーター）であると仮定しよう．. も E が安定的な均衡点であることは以上の説明の通. この仮定を利用して④式を整理すれば，最終的に. りである．つまり，ｄk/dt = ０である k は安定的. 次の式が導かれる． ∴ dk/dt = sf （k） − （a + n + δ）ｋ. ＊. な均衡資本量であることが確かめられる．均衡点 E ⑤. は，効率労働者 1 人当たりの資本量も，効率産出量. Fig.1 は Solow モデルの動学経路を示す⑤式を説. ｙで一定になる定常均衡が成立すもそれぞれ，k ，＊. ＊.

(3) . る状態である．定常均衡では，産出量，資本量，効. 人当たりの産出量は，一定（つまり，成長率はゼロ）. 率労働は，すべて a + n の率（%）で成長する均衡成. である．. 長の状態である．. （ⅲ）効率労働は（a + n）で成長する．. さて，ここで若干の脱線をして，Solow の成長モ. （ⅳ）均衡成長の状態では，産出量（Y）と資本（K）は. デルとの，すぐ後に説明する Harrod・Domar の成. ともに（a + n）の率で成長し，貯蓄率（s）からは独. 長モデルと関係を明らかにするため，⑤式から定常. 立である．. 均衡の状態を別の視点から説明しておく．⑤式にお. （ⅴ）労働者 1 人当たりの資本量は技術進歩率 a で. いて，効率労働者１人当たりの資本量の変動が止ま. 成長する．. る定常均衡では，dk/dt = ０であるから，sf （k）― （n. 〔∵ K および Y は（AL）と同じ a + n の率で成長. + a + δ）ｋ= ０，つまり sf （k）／ｋ= n + a + δ が成. するが，ｋ= K/L の成長率は K の成長率−L の成長. 立している．この式の左辺を書き換えれば，ｓy L. 率として計算されるからである（すなわち，a + n. ／ｋL = ｓ／（K/Y）= ｓ／ β．ここで β は piketty の（純）資本産出量比率，つまり資本の生産性の逆数. − n = a）〕．（ⅵ）労働者 1 人当たりの産出量は技術進歩率 a で. であり，Harrod の定義する（減価償却分を控除した）. 成長する．. 必要資本係数c r である．したがって，左辺はｓ/ c r. 〔∵ Y は（a + n）で成長するから，ｙ= Y/L の成. であり，Harrod の定義する適正成長率Ｇｗに他な. 長率は a + n n = a である）〕．. らない．他方，右辺は（減価償却部分を控除した左. さて，以上の分析から，Solow モデルから Piketty. 辺に対応させれば），労働人口の成長率 n と技術進. の所得分配に関する長期命題を説明するとすれば，. 歩率 a の和である自然成長率 n + a である．つまり，. 経済が到達する長期均衡の定常均衡の状態における. Solow モデルの定常均衡の状態では，Harrod の保. 賃金率と資産所得を比較することになる．いま，す. 証された適正成長率 G w と自然成長率が等しい G w. の賃金所べての所得を労働から得ている人（労働者）. = Gn が成立しているのである．. 得と，蓄積してきた富から所得のすべてを得ている. 本題に戻ろう．定常均衡といっても，一定になる. 不労所得者の資産所得を比較すれば，資本収益率が. のは効率労働者 1 人当たりの産出量 Y ／（AL）で. 経済成長率より大きい（r ＞ g）限り，後者（不労所得. あって，産出量（Y）そのものではない．すなわち，. 者）の所得と富は前者（典型的な労働者）の所得より. 定常状態では，産出量 Y は（AL）と同じ率で成長す. 急速に成長することは，次のように説明されるであ. るから，Y ／（AL）は一定になる．つまり，効率労働. ろう．賃金率は労働者の生産性にほぼ等しく決まる. が a + n の率で成長し，産出量 Y も a + n の成長率. から，労働の生産性が技術進歩率 a％で成長してい. で成長することで一定になるのである．このことは，. る以上，賃金率も a％で成長すると考えられる．他方，. 資本についても同じで，効率労働者 1 人当たりの資. 経済全体の GDP （Y）の成長率ｇは（a + n）％であり，. （AL）が一定になるのは，AL の成長率 a + 本量 K/. 労働生産性（= 賃金率）の成長率 a％より大きい．し. n と同スピードで資本量 K も a + n の率で成長する. たがって，GDP に含まれる労働所得以外の資産か. からである．. らの所得の成長率の方が大きいことを意味する．つ. 以上の結果から，効率労働者 1 人当たりに対応す. まり，r ＞ g の条件から，ｒ＞ｇ= a + n ＞ a が成立. る数値だけではなく，労働者 1 人当たりについての. するからである．. 諸変数の数値も容易に導くことができる．そこで，. ただし，誤解を避けるために，ここで次の 2 点. 均衡成長経路の特徴を要約すれば，次のようになろ. を指摘しておかなければならない．まず第１に，. う（成長率の％記号は省略してある）．（ⅰ）労働力は人口成長率 n で成長し，技術は進歩率 a で成長する．（ⅱ）効率労働者 1 人当たりの資本量と効率労働者 1. Solow モデルが到達する均衡成長経路の特徴が示すように，均衡成長経路上では資本量も産出量も共に a + n の率で成長するから，資本・所得比率（β）が増加することはなく，一定のままである．したがっ.

(4) . て，β の増加を通して資本所得が労働所得より急速. れば，必ず収穫逓減の法則が成立しｒは逓減して行. に上昇することを理由に，不労所得者と労働所得者. くから，最終的にはｒ＞ｇの条件が満たされ続ける. 間の所得格差が拡大して行くという Piketty の結論. か疑問である．もちろん，ｒの減少に対応してｇも. を Solow モデルから導出することはできない．. 変化すると考えられるが，長期にわたって，ｒ＞ｇ. もう一点は，新古典派成長モデルから，労働と資. が成立する必然性は理論的には納得し難い．このこ. 本の分配率について，Piketty の命題（労働分配率. とは，Piketty が資本（K）をどのように定義している. が低下するという命題）が成立するわけではないこ. かの問題と密接にかかわっている．生産活動の基本. とである．その理由を簡単に述べれば，次のように. 的な投入物ではない資本（例えば，絵画，骨董品，. なろう．. 貴金属製品などの文化的資産や遊休の土地などの. まず，労働人口は n で成長するから，労働分配分. 資産）の収益率が存在するとすれば，Piketty 命題. （πL = wL）の成長率は賃金の成長率と労働人口の. 自体を通常の経済理論の枠組みで説明しようという. 成長率との合計 a + n （以下，％を省略）であり，そ. 試みは，そもそも意味のない問題になろう．なお，. れは GDP（Y）の成長率 a + n に等しい．したがっ. Piketty の実証分析では，長期的に成長率ｇの低下. て，定常均衡の状態では労働の分配率（w L ／ Y）. によって，ｓ / ｇから決まる資本所得比率（β = K/Y）. は一定となり，成長率はゼロとなる．言い換えれ. が増大することを通して，不労所得者と労働所得者. ば，均衡成長の状態では，労働の分配率は上昇する. の格差が拡大するとしているが，低い成長率の経済. ことも，低下することもない．他方，資本の分配分. で，果たして貯蓄率が低下しないと仮定できるのか. （πｋ= rK）から計算される資本分配率（α =ｒ K ／. という問題も生じる筈である． 2）. Y）の成長率は，資本収益率（r）の成長率＋資本の成長率 a + n の合計から GDP （Y）の成長率ｇ= a + n を差し引いた値として求められるから，資本収益の成長率分だけの差が生じる．したがって，一般的には，. （２）労働の分配率が減少傾向を持つとすれば，どのような条件が必要か．生産要素としての労働の分配率は，分配分ｗ L の. 資本の収益率の成長率の数値如何によって，資本分. GDP（Y）に対する比率である．ところで，GDP は. 配率は上昇することも，変化しないことも，減少す. 産出量を時価で評価したものであるから，物価の. ることもありうる．しかし，通常の経済理論に立つ. 動きを明示して，GDP を物量単位で測った産出量. 限り，労働分配率+資本分配率= １であるから，労. Y と物価水準（ｐ）の積でとして，Y = ｐ Y と書け. 働分配率に変化がない限り，資本分配率も変化しな. ば，労働の分配率はｗ L ／ｐ Y =（ｗ / ｐ）／（Y/. いと考えざるを得ない．したがって，Piketty の命題. L）である．すなわち，実質賃金を労働の生産性で. を分配率の観点から導くことは不可能である．すな. 割算したものである．したがって，Piketty の所得. わち，上の推論で言えば，ｒの成長率はゼロでなけ. 格差が拡大するという命題が労働の分配率に関して. ればならないからである．. も成立するためには，労働生産性の上昇率が実質賃. さらに付言しておけば，例えｒ＞ｇという条件を. 金の成長率より大きくなければならない．つまり，. 1）. 仮定しても，資本収益 rK の一部が投資し続けられ. 1）ｒが一定になることは，より直接的には，次のように説明されよう．生産要素としての資本の収益率は資本の限界生産物であるから，ｋが定常均衡での効率労働者 1 人当たりの資本量ｋ＊に安定的にとどまる限り，資本の限界生産性は変化することはない．つまり r は一定であり，成長率はゼロである． 2）投資は貯蓄に等しいとする Solow モデルにおいて，資産からの所得が増加して不労所得者の貯蓄. 率が上昇し，結果的に経済全体の貯蓄率ｓも上昇するとすれば，ｓｆ関数が上方シフトするから，新し＊い均衡点はｋより上昇して，効率労働者 1 人当たりの資本量は増加することは明らかであろう．しかし，新しい均衡点が新しい安定均衡点，つまり長期の定常均衡点になるだけで，これまでの説明が変更されることはない．.

(5) . d（ｗ / ｐ） /dt ／（ｗ / ｐ）＜ｄ（Y/L） /dt ／（Y/L）. Harrod の適正成長率 Gw に他ならない．いま，資本. が成立することである．例え実質賃金が上昇しても，. の完全利用の状態で，しかも労働力などの他の生産. 労働生産性の上昇率がそれよりも急速に上昇してい. 要素も完全利用されているとすれば，生産能力の最. れば，労働の分配率は低下して行くのである．他方，. 大が実現される．いま，生産要素として資本と労働. 労働生産性の上昇率と同じスピードで実質賃金が上. に集約されているモデルであれば，資本も労働も完. 昇するのであれば（たとえその上昇率が若干低くて. 全利用されている状態で，最大生産量が実現される．. も），労働の分配率は低下することはない．. したがって，資本も労働も完全利用の均衡成長の状. Ⅱ Harrod・Domar モデルと Piketty 命題（１）Piketty の「資本主義の第 2 基本法則」β ＝ｓ/ｇ. 態では，Harrod の G w = G n が成立している状態に他ならない． 4）. したがって Domar のモデルは，３つの成長率（G, G w, Gn）の相互関係を通して景気循環を説明する. この式は，Harrod の成長方程式 G = ｓ／ｃに. Harrod の分析方法と同じではないが，長期の経済. 他ならない（何故なら，ここで，G は経済成長率で. 成長を分析する問題では，基本的に両者は同じモデ. Piketty のｇ，ｓは貯蓄率，ｃは資本係数（資本産出. ルに立っているので，以下では一括して Harrod・. 量比率：つまり，Piketty の β）．そこで，ここでは. Domar モデル（以下簡略化して H・D モデル記す）. Harrod の成長モデルの観点から，Piketty の命題を. として検討する．. 理論的に導出できるのかを検討することにしよう．. さて，技術進歩を考慮した H・D モデルが明らか. まず，Harrod モデルと Domar モデルの関係を簡. にした均衡成長の条件は，sσ = a + n（Harrod の資. 単に説明しておく．Domar は Harrod と同じく，投. 本係数ｃで書けば，ｓ / ｃ= a + n）である．つまり，. 資の生産能力増大と投資の乗数効果との二重性に着. 社会的かつ心理的な貯蓄性向（s）と生産技術から決. 目して，投資の生産能力増大が需要の増大とバラン. まる資本の集中度を示す σ =１/ ｃとの積が，人口. スするためには，所得と投資が同一の成長率で成長. 学的な要因から決まる労働人口の成長率（n）と技術. していかなければならこと，そして，その成長率 G. 進歩率（a）との合計に等しいという条件である．し. はｓと σ の積（ここで，σ は資本の生産性；つま. かも，Harrod も Domar も，これらの全く異質な要. り，資本係数ｃの逆数）に等しいという均衡成長の. 因からなる 4 個のパラメーターｓ，σ，a，n は相互. 基本方程式 G = sσ を導く．もしも，出発時点で. に独立な外生変数として扱っているから，これら４. 資本の完全利用による生産能力いっぱいの最大生産. つのパラメーターが均衡条件を満たすのは偶然の場. 量を実現している状態であれば，資本の完全利用状. 合しかあり得ない．この点が，伸縮的な価格メカニ. 態を持続して行く成長が続く．したがって，それは. ズムを仮定（内生変数化）している Solow の成長モデ. 3）Domar による均衡成長の条件は次のように導かれる．投資（I）の生産能力の増大が需要の増大に吸収されるためには，ｄ Y/ ｄ t ＝ σI（t）の関係を満たすように所得（Y）が増加しなければならない．その所得の増加と投資の増加の間には，乗数効果の関係 dY/dt ＝（１/s） dI ／ dt から，（dI/dt）＝ s σI, すなわち， dI/dt ／ I ＝ sσ が成立．他方， I＝S＝ｓ Y の関係から， dY/dt ＝ σ ｓ Y，すなわち G ＝（dY/ dt）／ Y ＝ sσ が成立する．つまり，所得 Y と投資 I は同一の成長率 σs で成長しなくてはならないのである． 4）もしも完全利用されていない生産要素があれば. （例えば，労働力に失業が存在すれば），その要素価格（賃金率）はゼロになる．固定係数型の生産関数であれば，L 字型の等量曲線の横軸（ないし縦軸）に平行な直線上の点で生産が行われることになり，生産要素間の代替の弾力性がゼロの状態になっている．なお，Solow モデルの可変的な生産関数であれば，資本係数ｃ（Piketty の β）はｋの増加関数であることに注意．何故なら，β ＝ｋ / ｆ；∴ dβ/dk ＝（１/f ２（）f − kf ’ ）＞ 0．〔ｆ−ｋｆは産出量から資本利得（利子所得）分を差し引いた賃金所得分であるからプラスである．詳細は第Ⅲ節⑦式の説明を参照〕．. 3）.

(6) . ルとは決定的に異なる．. 少するから所得格差は拡大するのに対し，後者の場. この点は，先に Solow モデルの基本方程式である. 合は，資本からの所得が減少するから所得格差は縮. ⑤式から求められる定常均衡の状態は H・D モデル. 小する筈である．したがって，Piketty の格差命題. における G w = G n 条件と同じであることを説明した. が妥当するのは，明らかに前者の G w ＜ G n のケー. ことに関連している．⑤式は G w ＞ G n ならば，資. 5）スである．しかし，所得分配に関する Piketty の. 本産出量比率ｋが上昇して利子率（r）が下落し，資. 命題は景気循環過程における所得格差の問題ではな. k の下落，本が労働を代替する．逆に Gw ＜ Gn ならば，. く，資本主義の長期的な成長経路に関する問題であ. ｒの上昇を通して，資本が労働に代替されることを. るから，以下では，G w = G n の場合につい検討して. 意味している．しかも，資本産出量比率 β（Harrod. 行こう．. （k）はｋの増加関数での必要資本係数c r ）= ｋ / ｆ. さて，自然成長率 G n はこの経済が生産可能な最. あるから（④）参照），ｋの上昇はc r の上昇を通して. 大限の成長率であるから，それは労働人口の成長率. G w を減少させる．逆にｋの下落はc r を減少させ，. と労働生産性に化体された技術進歩率の合計に等し. Gw を上昇させる．いずれの場合も，長期的に Gw は. い成長率，a + n である．他方，適正成長率 Gw は企. G n に収斂して，資本と労働の代替プロセスは終焉. 業家の投資がもたらす生産の増大が，その同じ投資. し，ｋに到達して適正成長率と自然成長率とが一. が生み出す需要の増大によって，過不足なく吸収さ. ＊. 致する定常均衡の安定な成長経路を成立させるので. れるという意味で，資本の完全利用が持続的に保証. ある．まさに Solow モデルでは，資本と労働の代替. される成長率である．したがって，適正成長率で進. 過程を通して資本産出量比率を伸縮的にしているの. 行する成長経路上では，企業家はそれ以外の投資行. である．（２）Gw ＝ Gn：適正成長率と自然成長率が等しい場合の所得分配本題に入る前に，Gw ≠ Gn の場合の所得分配について簡単に説明しておこう．いま，適正成長率が自然成長率と乖離しているときには，剃刀の刃の両側から滑り落ちるように，一方的な不況（長期的停滞，慢性的失業の G w ＞（慢性的な G n）になるケースか，一方的なブームインフレになる G w ＜ G n）に突入するというのが， Harrod の資本主義経済の不安定性を内包する景気循環論の骨子であり，彼の成長モデルの最も特徴的な結論である．どちらの場合も，均衡成長経路から一度乖離すれば，現実の資本係数（c）は永久に必要に収斂することはなく，政策的にc r へ資本係数（c r ）の調整が必要とされる．この景気循環の過程では，理論的には，G w ＜ G n の時には，労働が過剰となり失業が発生するから，賃金率はゼロに向かって低下する．他方，G w ＞ Gn の時には，資本過剰の状態にあるから収益率（利潤率）はゼロに低下して行く．つまり，どちらの場合も，所得分配の問題は一方的な結果になる．前者の場合は，労働からの所得が減. 5）しかし，G w と G n の関係が不安定であるという H・D モデルの結論は，理論的に必然なものではない．それは，生産要素間の代替が可能でない固定係数タイプ（例えば，レオンチエフ・タイプの L 字型）の生産関数の仮定や，生産要素価格が硬直的であるという仮定に依存しているからである．G w ＜ G n の場合には，資本は完全利用されるが，労働は過剰となるから，横軸に労働量，縦軸に資本量を図ったレオンチエフの L 字型生産関数で言えば，等量曲線は水平となり，一部の労働者は失業する．逆に， G w ＞ G n の場合は，労働は完全利用されるが資本は過剰となるから，等量曲線は垂直となっている状態となり，資本の稼働率は 100％以下に落ちる． G w ＝ G n の均衡成長の時には，L 字型等量曲線の頂点に位置する状態で，資本も労働も完全利用される状態になる．Solow の均衡成長モデルのように，代替可能な生産関数であれば G w ＞ G n の時には，生産要素価格が硬直的でない限り，資本の収益率ｒが低下することを通して，より資本集約的な生産方法が採用されることで，Gw ＝ Gn が実現される．逆の G w ＜ G n の場合も，同様に論じることができることは言うまでもあるまい．ただし，すでに言及したように，Harrod の成長モデルにとって，G w と G n が両立するかどうかは重要な問題とは思えない．その意味では，G w ＝ Gn という条件に立つて所得分配を論ずることの意義については，正直のところ，私自身は極めて懐疑的である．.

(7) . 動をとる誘因を全く持たない資本の完全利用の成長. り小さくなり，資本の分配率（α = rβ）は増加すると. 率が実現し，その成長率は H・D モデルが示すよう. いう結論を導いている．厳密な証明がなされている. に，Gw =ｓ / c r である．. わけではないが，代替の弾力性の性質から自明であ. 初期時点で，資本の完全利用と労働の完全利用が. るという意味であろう．. 同時に満たされる均衡成長経路では，Gw = G n が実. しかし，よく知られているように，CES 生産関数. 現しているから，この経済の成長率 G はｓ / c r ＝. の代替の弾力性は，産出量の水準や生産要素価格に. a ＋ n である．この時，労働賃金は労働の生産性（限. 依存することなく，常にある一定値であるという特. 界生産物）に等しいから，賃金率は労働生産性の増. 殊な（便利な）関数である．そこで，以下では，上に. 加率 a で増加している．このとき，経済はそれより. 説明してきた Solow モデルに従って，規模に関して. も大きい成長率 a + n で成長しているから，資本利. 収穫一定の 1 次同次生産関数に即して，Piketty の. 得者への配分は賃金所得者への配分より大きいと考. 推論を辿ることにしよう．. えられる．したがって，資本利得者と労働者の所得. 資本の分配率 α は資本利潤率ｒと資本・産出量. 分配の格差は拡大して行くことになろう．その意味. 比率 β との積として，α = rβ =（K/Y） r と書かれ. では，Solow モデルでの一般的な所得格差について. る．したがって，資本の蓄積が進み，K が増加して. の結論と同じである．. β が増加するとき，資本分配率 α が増加すること. ただし，資本も所得も a + n の成長率で成長する. を証明するためには，rβ が増加することを証明す. から，資本・所得比率 β が上昇することはない．. ればよい．経済学的には，資本・産出量比率の増加. したがって，β の上昇を通じて所得格差が拡大す. によって，資本分配率の限界収入が増加するかどう. るという Piketty の結論は成立しない．また，労働. かという問題である．それを決定するのが，資本と. の分配率（ｗ L ／ Y），資本の分配率（ｒ K ／ Y）は，. 労働の間の代替の弾力性である．. ともに G w = G n の均衡成長の状態が続く限り変化す. まず，資本投入の増加によって，資本の限界生産. ることはない．したがって，分配率の観点から所得. 物= 資本の収益率ｒは逓減して行く（収穫逓減の法. 分配が変化することはない．つまり，所得格差が拡. 則）から，生産費を最小にする資本 K と労働 L の組. 大するという Piketty の格差命題は成立しない．. 合せ（K/L =ｋ）はより資本集約的（ないし，労働節約的）な方向に変化し，ｋを増加させる．つまり，資. Ⅲ 若干の追加的補足：（１）代替の弾力性と資本分配率. 本の増加は，資本の収益率（= 資本の限界生産物）ｒの低下を通して，労働と資本の限界生産物の比率（賃金・レンタル比率；ｗ /r）を上昇させるが，その最. Piketty は G. Zucman との共同論文“Capital is. 適な労働と資本の組合せを決めるのが，資本と労働. Back: Wealth-Income Ratios in Rich Countries 1700-. の間の代替の弾力性（σ）に他ならない．その結果. 2010 , QJE , 2014（参照文献）において，最近急速に. として，資本分配率の限界収入が増加するかどうか. 整備されてきた先進諸国の海外投資を含めた国富関. が決まる．記号を簡略化するため，賃金・レンタル. 連のストック・データを UN の SNA 統計と整合さ. 比率 w/r ≡ ω と記号化すれば，σ は次のように定. せつつ，1870 ∼ 2010 の国富・資産・所得を結ぶ長. 義される．. 期分析，とくに国富所得比率，資本産出量比率の動. σ =−〔△（K/L）/（K/L）／△（w/r）/（w/r）〕. 向を分析し，1950 年代以降，先進諸国は共通して国. =−〔（△ｋ / ｋ）／（△ ω/ω）〕. 富産出量比率を急速に上昇させてきたことを明らか. ここで，簡単化のため，Solow のオリジナル・モ. にしている．理論的にも，CES 生産関数を利用して，. デルにしたがって，規模に関して収穫一定のマクロ. 代替の弾力性 σ ＞１であれば，資本・産出量比率. の生産関数を Y =F （K,L）と書いておこう（言うまで. （β = K/Y）の増加につれて収穫逓減の法則から資本. もなく，簡単化のため省略した技術進歩の効果を. 収益率は下落するが，その下落率は β の増加率よ. 除けば，これまでの生産関数と全く同じである）．F. ①.

(8) . fig. 2. は一次同次関数であると仮定しているから，Y. その後で，資本分配率が増加するという命題を検討. = LF（K/L, １）である．ここで，Y/L ≡ｙ；K/L ≡. することにしたい．. ｋと定義して，マクロ生産関数を次のように書いて（２）資本の増加と資本収益率の関係. おこう． Y = Lf （k）. ②. まず，σ を介して資本の増加によって，β，ｋ，. F 関数の性質から，ｆ（k）＞ 0; ｆ（k）＜ 0 が仮定. ｒの関係がどのように変化するかを，2 つの生産要. されている．そこで，簡単な代数的な操作によって，. 素 K―L 平面上に描いた等産出量曲線のグラフを. 資本 K と労働 L との間の代替弾力性①に関係する. 使って直感的に説明することから始めよう．. ｋと ω の関係を導いておく．. Fig. ２には，資本と労働の 2 変数からなる生産関. まず，賃金率 w が労働の限界生産物であり，利子. 数を想定し，一定の産出量 Y を生産するのに必要な. 率ｒが資本の限界生産物であることから，w と r を. 異なる 2 本の等産出量曲線を描いてある．一方は等. 求めると次のようになる．. 産出量曲線の曲がり方の小さい（代替の弾力性の大. ）. w =∂ Y/ ∂ L =（k）−ｋｆ f （k）ｒ=ｆ（k） ∴ ω = ｗ /r =〔ｆ（k）／ｆ（k）〕 −ｋ. きい）F と，もう一方は曲がり方の大きな（代替のｂ. ③ ④. （それぞれの生産関数は弾力性の小さい）F であるｓ. 一般的な生産関数であれば十分であり，代替の弾力. ＫとＬとの間の代替の弾力性を求めるため，④を. 性が一定な CES 生産関数である必要はない）．ここ. 利用して，ω とｋとの関係を求めれば，次のように. で簡単化のため，資本が増加する前の生産量 Y の生. なる〔以下では，記号の煩雑さを避け，f （ｋ）を単純. 産には，どちらの生産技術の場合も，資本・労働の. にｆと表記する〕．. 投入の組合せは同じ A 点（L １, K １）であるとしよう．. dω/dk =−ｆｆ／（ｆ）＞０２. ⑤. つまり，生産量 Y を生産するのに，どちらの生産技. ⑤式は ω がｋの増加関数であること，したがっ. 術を利用する場合でも，資本・労働の組合せを A 点. て，資本蓄積が増大しｋが増加するにつれて ω が. に選ぶことによって，賃金・レンタル比率 ω1 の下で，. 増加することを示している．つまり，利子率（資本. 最小の生産コストを達成していると仮定する．. の限界生産物）ｒは低下する．このｒの減少がどの. さて，この状態から資本への投資が△ K だけ増加. 程度かは，資本と労働の間の代替の弾力性（σ）の. し，K １から K ２へ資本量が増加したとしよう．資. 値によっていろいろに異なる．この問題に対して，. 本投入量の増加によって，生産関数を通して生産量. Piketty 達は CES 生産関数を使って，σ ＞１であれ. は増加するから，新しい生産点はより高い等産出量. ば，ｒの減少は資本産出量比率 β の増加より小さ. 曲線に移動する．しかし，それは生産のスケールだ. いと結論している．まず，この部分を簡単に説明し，. けの問題なので，ここでは煩雑さを避けるため，変.

(9) . 化前の生産量 Y の等産出量曲線上で，資本投入の増. 替の弾力性が大きい生産技術の場合の方が，資本. 加が投入ベクトルをどのように変化させるかを説明. と労働の代替の弾力性の小さい生産技術の場合よ. することにしよう．. りも，資本収益率ｒの減少は小さい．いま，代替弾. まず，資本投入量の増加に対応して資本の収益率. 力性の大きい F を σ ＞１である CES 生産関数の. （= 資本の限界生産物）ｒは逓減するから，産出量 Y. 等産出量曲線，代替弾力性の小さい F ｓを σ ＜１の. の等量曲線上での最適な投入の組合せは，どちらの. CES 生産関数の等産出量曲線と置き換えれば，資. ｂ. 生産技術の場合も A 点から，より資本集約的（労働. 本の限界生産性（収益率）の減少は，代替の弾力性. 節約的）な投入ベクトルに移動する（資本・労働比率. が σ ＞１の生産関数の方が代替の弾力性が σ ＜. ｋの上昇）．代替の弾力性の大きなＦの場合には B. １の生産関数の場合よりも小さい，という Piketty・. へ，代替の弾力性の小さな F の場合点（L ２ｂ , K ２）. Zucman の主張も明らかになったであろう．. ｂ. ｓ. には C 点（L ２ｓ , K ２）へ移動する．もちろん，B 点も C 点もそれぞれの生産技術の下で，最小の生産コ. （３）資本分配率と代替の弾力性の関係. ストをもたらす（最適な）労働・資本の組合せである. しかし彼らの主要な結論「σ ＞１であれば，資本. から，資本投入量の増加に対応して低下する資本収. 蓄積が増加するかぎり，資本分配率は増加して行く」. 益率の下で，上昇する賃金・レンタル比率と首尾一. を導くためには，これまでのグラフによる説明だけ. 貫していなければならない．Ｆの場合には，ω1 で. では完全ではない．資本の分配率を代替の弾力性と. あった A 点での賃金・レンタル比率（= 労働の限界. 関係づけた代数的な説明を必要とする．. ｂ. 生産物と資本の限界生産物の比率）は，B 点での接. そこで，資本の蓄積によって上昇する資本労働比. 戦の勾配 ω2b に上昇する．言い換えれば，B 点は新. 率ｋが資本分配率をどう変化させるかの関係を見よ. しい ω2b の下での生産費を最小にする労働と資本の. う．資本分配率 α ＝ rβ であるから，Solow モデル. （労働節約組合せとして，k2b というより資本集約的. にしたがってこれを標示すれば，次のように書かれ. 的）な生産方法を選択する．. る．. 他方，代替の弾力性の小さい F の場合について. α =（k） r K ／ Y =ｆｋ L ／（ｆ L）. も同じ推論が適用される．△ K だけの資本の増加. =ｋｆ／ｆ. ｓ. ⑥. に対応して，Ｆの場合と同じように，資本・労働. そこで，資本の増加による資本分配率の限界生産. 比率は k1 から k2s に上昇し，賃金・レンタル比率. 物を求めると，次のようになる．. は ω1 から ω2s に上昇する．しかし，ｋと ω の変. ２）（ｆ + kf ）ｆ−ｋ（ｆ）〕 ∂α/∂k =（１/ ｆ２〔. ｂ. 化の程度はＦと F とでは全く異なる．すなわち，ｂ. ｓ. ２）（ｆｆ +ｋｆｆ −ｋ（ｆ）〕 =（１/ ｆ２〔. 代替の弾力性の小さな F の場合には，A 点から C. ）（ｆ（ｆ−ｋｆ） +ｋｆｆ〕 =（１/ ｆ２〔. 点に移動することで最適な資本と労働の組合せを. ここで，⑦式の分子内の第 1 項の小括弧の（ｆ−. 達成している．つまり，C 点における等産出量曲線. ｋｆ）は，均衡点における労働者一人当たりの産出. （賃金・レンタル比率）の下 F の接戦の勾配 ω2s. 量から資本利得分を差し引いた残差，つまり賃金支. で，生産費を最小にする最適な資本労働の組合せは. 払い額に等しいから，プラスの数値であることに注. ｓ. ｓ. ⑦. k2s であるのに対し，代替の弾力性の大きな B 点に. 意しよう．. おける接戦の勾配 ω2b は ω2s より大きく，最適な. 次に①に示した代替の弾力性 σ を展開すると次. 資本労働の組合せｋ2b はｋ2s より大きい．. のようになる．. 以上の結果は，次のように要約される．資本蓄積. σ =（dk /ｋ）／（dω/ω）=（dk/dω）（ω/ ｋ）. の増加による資本収益率の逓減を通して賃金・レン. ２ / ｆｆ〕〔（ｆ / ｆ） −ｋ／ｋ〕 =− 〔（ｆ）. タル比率は低下するが，その低下に関しては |ω2b|. ２ =−〔ｆｆ −ｋ（ｆ）〕／（ｋｆｆ）. ＜ |ω2s| が成立し，投入ベクトルについては k2b ＞. =−ｆ（ｆ−ｋｆ）／ｋｆｆ＞０. k2s が成立する．したがって，資本と労働の間の代. さて，⑧式の分母のｆ＜０であるから，代替の弾. ⑧.

(10) . 力性 σ はもちろんプラスである．そこで，Piketty. （４）Piketty らの長期定常均衡の考え方について. らの代替の弾力性についての σ ＞１を仮定すれば，. Piketty は実証分析の出発点として，定常均衡の. ｆ（ｆ−ｋｆ）> −ｋｆｆであるから，次式が成立. 国富所得比率（β）を各期の貯蓄率と成長率が長期. する．. にわたって安定するs t = ｓの貯蓄率と，g t = ｇの成. ｆ（ｆ−ｋｆ）+ｋｆｆ＞０. ⑨. ⑨の結果を⑦式に代入すれば，資本分配率の限. 長率の状態を想定し，ｓ / ｇ=β を求めている．〔Harrod・Domar モデルで言えば，G =ｓ / c r から. 界生産物はプラスであること，言い換えれば，資本. Piketty の資本産出量比率 β）を求め資本係数c（= r. と労働の間の代替の弾力性 σ が１より大きければ，. ている〕．確かに，外生的に与えられる貯蓄率s t が. 資本蓄積の増加を通して，資本分配率は上昇して行. ｓに安定し，内生的に決まる成長率がg t= ｇに安定. くという Piketty らの主張は，より一般的な Slow の. する状況になれば，長期的に国富は産出量（所得）と. 成長モデルでも証明されることが分かろう．. 同じスピードで上昇する長期の定常均衡の状態と考. さて，以上の説明から明らかなように，たとえ. えられよう．しかし，外生的に与えられる貯蓄率ｓ. r ＞ g の仮定が満たされているとしても，Piketty の. の下で，均衡経済成長率ｇが決定されるためには，. 格差拡大の命題が成立するためには，資本と労働を. 資本係数の伸縮的な変動（資本・労働比率の変動）を. 生産要素とするマクロの生産関数における要素間の. 通している筈であり，安定的な均衡成長率ｇに収斂. 代替の弾力性 σ が１より大きくなければならない．. する時間的な経過が必要である．もちろん，長期の. しかし，いろいろの産業から構成されるマクロ経済. 定常均衡に達すれば，一定のｓの下で，ｇと資本係. の生産関数について，代替の弾力性が 1 より大きい. 数（資本産出量比率） β は反比例するから，成長率. ことは決して自明なことではない．もちろん，この. が低下する状況では β は上昇し，Piketty の資本分. 検証には先進諸国のマクロ生産関数についての詳細. 配率が上昇するという格差命題が導かれることは明. な計量分析の結果に待たなければならない．しかし，. 白であろう．もしも，長期の定常均衡に収斂するま. 代替の弾力性がゼロであるレオンチエフ型の固定. での時間がそれほど急速でないとすれば，その時間. 係数モデルに対する批判に対して，かってレオンチ. 的経過が先進諸国の国富所得比率の上昇期間に対応. エフはアロー・チェネリー・ミンハス・ソローによ. する 1950 年から 2010 年に含まれていると考えられ. る（ACMS 論文として著名） CES 生産関数の産業別. るのではないか．もちろん，どのくらいの時間で均. データを使用して，産業別の生産関数を推定し，要. 衡に到達するかの分析には，第 I 節の Solow モデル. 素間の代替が生じる範囲は極めて限られ，資本・労. の成長経路を描いた（Fig. 1 に示されている） ⑤式に. 働比率がある一定値まで上昇すると代替の弾力性は. ついて，Taylor 級数を展開して 1 次近似を用いれば. ゼロになることを計測し，固定係数モデル批判に反. 計算は可能だが，ここでは問題点を指摘するに止め. 論していたことが思い出される（参照文献を参照）．. たい．Solow モデルに即して言えば，定常均衡の一. σ＜１であれば，もちろん Piketty 命題は成立しない．. ＊人当たり資本量がｋより小さいｋから出発した経. マクロの生産関数についての最近の実証分析結果. ＊済が定常均衡成長を実現する資本労働比率ｋに上. に不案内な筆者だが，Piketty 命題との関連で重要. 昇する期間が，まさに Piketty が主張する資本産出. な点は，生産要素間の代替の弾力性が短期的な弾力. 量比率の上昇期間に含まれているように思える．結. 性なのか，長期的な弾力性なのかという問題である．. 果的に Piketty の長期とは長い期間にわたる国富所. 技術革新の激しい世界で，最適な技術を選択しなけ. 得比率（ないし，資本産出量比率）の実証分析という. ればならない企業行動を前提にすれば，技術を化体. 意味と同じに思える．. する設備投資に及ぼす政策の変化やグローバル経済. 既に説明したように，ハロッド・モデルでは，適. の長期的な変化の動向と無関係に，単純に σ> １で. （資本の完全利用成長率）と自然成長率正成長率 G w. あれば資本分配率が長期的に上昇するという推論に. n と技術進歩率 a の合計）が異なれ G（人口成長率 n. は，多くの疑念が生じて当然ではあるまいか．. ば，資本が過剰になって遊休資本が発生するか，労.

(11) . 参照文献. 働が過剰になって失業が発生することで，剃刀の刃から滑り落ちるように，両者が一致することはない．それ故，長期の定常均衡の分析は，G w = G n からスタートすると考えなければならない．また，Solow の新古典派成長モデルでは，任意の資本量 k からスタートした経済は，時間の経過とともに，安定的に均衡成長を実現する定常均衡の資本量ｋに収斂し，＊. 長期の定常均衡の成長経路が実現する．したがって，このノートでは，長期の定常均衡の分析をｋ点か＊. らスタートさせているのである．. Domar, E.D.,“ Capital Expansion, Rate of Growth, and Employment” , Econometrica , April 1946. Harrod, R.F., Towards a Dynamic Economics ， 1948（高橋長太郎・鈴木諒一訳『動態経済学序説』,1953． Leontief, W.,“An Inter national Comparison of Factor Costs and Factor Use” , American. Economic Review , June 1964 Piketty, T., Capital in the Twenty-First Century , 2013 （translated from the French original; 山形・寺岡・森本訳『２１世紀の資本』，2014．）, Piketty, T., and G. Zucman,“Capital is back : WealthIncome Ratios in Rich Countries 1700-2100 ”,. Quarterly Journal of Economics , Aug., 2014 Solow, R.M.,“A Contribution to the Theor y of Economic Growth”, Quar terly Journal of. Economics , Feb., 1956. （脱稿：2015 年７月 20 日）（横浜国立大学名誉教授）.

(12)