線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群
p
進簡約群 構造
今野 拓也 [email protected] http://knmac.math.kyushu-u.ac.jp/konno/ 九州大学大学院数理学研究院 第 21 回整数論 「p 進簡約群 表現論入門」 今野 p進簡約群 構造 1/25 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 基本概念 Lie環 冪単群 可解群線型代数群
F;標数 0 体 G;線型代数群/F def ⇐⇒ ∃F [G];被約有限生成可換 F 代数G :AlgF $ R %−→ HomF-alg(F [G], R)∈ Gp 関手
F;標数 0 体 G;線型代数群/F
def
⇐⇒ ∃F [G] ; 被約有限生成可換 F 代数 &Hopf代数
G :AlgF $ R %−→ HomF-alg(F [G], R)∈ Gp 関手
f : G→ H ; 線型代数群 /F 準同型⇐⇒ 自然変換 ←→ fdef !: F [H]→ F [G] ;Hopf射
f : G !→ H ;埋 込 ⇐⇒ fdef !;全射
f : G! H ;全射⇐⇒ fdef !;単射
例 1
1 GLn:AlgF $ R %−→ Mn(R)×∈ Gp, F [GLn] = F [(xi,j), y]/(det(xi,j)y− 1).
2 det : GLn→ Gm:= GL1 全射． (det!: F [G m]$ f(x, y) %→ f(det(xi,j), y)∈ F [GLn];単射) 今野 p進簡約群 構造 2/25 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 基本概念 Lie環 冪単群 可解群
係数 操作
E/F;体拡大，G ; 線型代数群 /F E 係数拡大 GE:AlgE$ R %−→ G(R) ∈ Gp E/F;有限次拡大，G ; 線型代数群 /E Weil係数制限 RE/FG:AlgF $ R %−→ G(E ⊗FR)∈ Gp例 2 E/F;二次拡大，Gal(E/F ) = +σ,, G ; 線型代数群/F,G˜:= R E/F(GE). σG: ˜G(R) = G(E⊗FR)G(σ⊗idR)−→ G(R)˜ F自己同型 α : E⊗FE→ E∼ ⊕2s.t. [E = E ⊗FF !→ E ⊗FE α → E⊕2] = [z%→ (z, σ(z))] !=⇒ αG: ˜GE(R) = G(E⊗FR) = G(E⊗FE⊗ER) G(α⊗idR) ∼ −→ G(E⊕2⊗ER) = (GE× GE)(R) E同型 αG(σG)(g1, g2) =(g2, g1) 今野 進簡約群 構造 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 基本概念 Lie環 冪単群 可解群
連結成分
G; F線型代数群． ∃π0(F [G])⊂ F [G] ; 最大 F代数 部分 Hopf 代数 ． π0(G);有限線型代数群 s.t. F [π0(G)] = π0(F [G])(連結成分 群) G−→ π全射 0(G) ←→ π0(F [G]) !→ F [G]. G0:= ker[G! π 0(G)];連結線型代数群 (G 単位成分) 今野 進簡約群 構造線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 基本概念 Lie環 冪単群 可解群
Jordan
分解
(ρ, V ); G 有理表現⇐⇒ V ; 有限次元 Fdef 空間，ρ : G → GLV ;準同型 命題 1 (Jordan 分解) (i) ∀g ∈ GLn(F ), ∃!gs, gu∈ GLn(F )s.t. gs;半単純 gu;冪単(⇔ gu− 1n 冪零); g = gsgu= gugs. (ii) G ;線型代数群 /F . ∀g ∈ G(F ), ∃!gs, gu∈ G(F ) s.t. g = gsgu= gugs; ∀ρ : G → GLV 有理表現, ρ(gs) = ρ(g)s, ρ(gu) = ρ(g)u. g∈ G(F ) 半単純⇐⇒ g = gdef s. g∈ G(F ) 冪単⇐⇒ g = gdef u. 今野 p進簡約群 構造 5/25 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 基本概念 Lie環 冪単群 可解群Lie
環
f∈ F [G], x ∈ G(F ) = HomF-alg(F [G], F ),f (x):= x(f )∈ F . L(g)f (x):= f (g−1x), R(g)f (x):= f (xg), g∈ G(F ), f ∈ F [G]. DerF(F [G]):={X ∈ EndF(F [G])| X(fg) = X(f)g + fX(g)}, [X, Y ] := X◦ Y − Y ◦ X F-Lie環 g(F ):={X ∈ DerF(F [G])| L(g) ◦ X ◦ L(g−1) = X, g∈ G(F )}, Ad: G−→ GL(g) 随伴表現，defined by Ad(g)X = R(g) ◦ X ◦ R(g−1). 例 3 G = GLn ， Mn(F )$ X %−→Ä
f ((xi,j))%→ d dtf ((xi,j)(1 + tX))!!
!
t=0ä
∈ DerF(F [GLn]) Mn(F )→ gl∼ n(F ) 与 ． [X, Y ] = XY− Y X, Ad(g)X = gXg−1. 今野 p進簡約群 構造 6/25 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 基本概念 Lie環 冪単群 可解群 X(G):= Hom(G,Gm);指標群，有限生成 群． 例 4 Z $ n%−→ [g %→ (det g)" n]∈ X(GL n);同型． G 対角化可能⇐⇒ X(G)def F [G] 生成 ⇐⇒ X(G) 2 Z⊕r⊕"s
i=1Z/diZ G(R)2 Hom(X(G), R×)2 Gm(R)r× s#
i=1 µdi(R). G 乗法型⇐⇒ Gdef F¯ 対角化可能 X∗(G):= X(GF¯) Γ := Gal( ¯F /F )! X∗(G) 決 ． T ⇐⇒ 乗法型 連結 i.e., Gdef F¯2 Grm. ˆ T= X∗(T )⊗ C× Γρ! ˆTT 決 ． ∃!AT⊂ T ; 部分 s.t. X(AT) = X∗(AT) = X∗(T )Γ,free. (分裂成分) 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 基本概念 Lie環 冪単群 可解群冪単群 可解群
U;線型代数群 /F 冪単⇐⇒ 任意 有理表現 (ρ, V )def 単位表現 含 ． ⇐⇒ GL(V )→ GL∼∃ ns.t. ρ(U) ⊂
Ñ
1 ∗ ... 1é
命題 2 1 G;線型代数群 /F 最大 正規冪単部分群UG 持 (G 冪単根基)． G 簡約⇐⇒ Udef G= 1. 2 ∃L ⊂ G ; 簡約部分群 (Levi成分) s.t. G = L " UG(Levi分解). ∃D(G) = Gder:= G/N 最小 N & G. (G 導来群) G 可解⇐⇒ Ddef n(G) = 1, ∃n 5 0. D1(G) := D(G), Dn(G) := D(Dn−1(G)), n > 1.線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 Borel部分群 分裂
Borel
部分群
F = ¯F 代数閉体 ． G;線型代数群 /F = ¯F B⊂ G Borel部分群⇐⇒ 極大連結可解部分群def 定理 3 1 ∀B, B'⊂ G ; Borel 部分群 !=⇒ B'= Ad(g)B := gBg−1, ∃g ∈ G( ¯F ), NG(B) = B. 2 G =*
B; Borel部分群 B. 3 ∀T ⊂ G ; 極大 ，T ⊂ ∃B ⊂ G ; Borel 部分群．NB(T ) = T, B = T " UB. 4 Ω(T ) = ΩG(T ):= N G(T )/T; T Weyl群(有限鏡映群) Ω(T )$ w %−→ w(B) := Ad( ˙w)B∈ {B'; Borel部分群 | B'⊃ T } ˙ w∈ NG(T ) w 代表元． 今野 p進簡約群 構造 9/25 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 Borel部分群 分裂 G;連結 簡約線型代数群 /F = ¯F(B, T );Borel対i.e., B ⊂ G Borel部分群，T ⊂ B 極大 ． R(G, T ):={α 7= 0, ∈ X∗(T )| α !→ (Ad|T, g)} ; T 集合 gα:={X ∈ g | Ad(t)X = α(t)X, t ∈ T }, α ∈ R(G, T ). R(B, T ):={α ∈ R(G, T ) | gα⊂ b := LieB)} ;B正 集合 ∆(B, T ):={α ∈ R(B, T ) | R(B, T ) 複数 元 和 書 } ; B単純 集合 spl = (B, T,{Xα}α∈∆(B,T )) G 分裂⇐⇒ Xdef α7= 0, ∈ gα( ¯F ). 命題 4 G 随伴群 Gad( ¯F ):= (G/ZG)( ¯F )2 Int(G)( ¯F ) G 分裂 集合 単純推移 的 作用 ． 今野 p進簡約群 構造 10/25 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 Borel部分群 分裂 α∈ R(G, T ). Gα:= [Z G(kerα)0 導来群 ] !=⇒ gα2 sl2 ∃!α∨∈X ∗(T ):= Hom(Gm, T )(α ) s.t. +α, α∨, = 2, i.e., α ◦ α∨(x) = x2; imα∨⊂ T ∩ Gα. ∆∨(B, T ):={α∨| α ∈ ∆(B, T )} RD(spl):= (X∗(T ), ∆(B, T ), X∗(T ), ∆∨(B, T )), RD(G) = (X∗, ∆, X∗, ∆∨):= lim←− spl RD(spl). 命題 4 補題 5 RD(G) 基底付 ． + , , : X∗⊗ X∗→ Z 標準双対性 1 spanR∆, spanR∆∨ + , , 互 双対空間． 2 (∆, ∆∨) + , , 被約 系 生成 ． 今野 進簡約群 構造 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 Borel部分群 分裂
Chevalley
定理
定理 6 (Chevalley) 次 全単射：+
連結簡約線型代数群 / ¯F 同型類,
$ G %−→ RD(G) ∈+
基底付 同型類,
∃!Gˆ= ˆG(C) ; 連結簡約線型代数群 /C s.t. RD( ˆG) = RD(G)∨:= (X∗, ∆∨, X∗, ∆). (G Langlands双対群) 今野 進簡約群 構造線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 Borel部分群 分裂 例 5 Bn⊂ GLn;上三角元 Borel部分群，Tn⊂ Bn;対角元 極大 ，
Ä
X∗(Tn) = n -i=1 Z'i, X∗(Tn) = n -i=1 Z'∨ iä
# Sn= Ω(Tn) 'i(diag(t1, . . . , tn)) = ti, '∨i(t) = diag(1, . . . , i ∨ t , . . . , 1).Ad(diag(t1, . . . , tn)) (xi,j)i,j=
.
tit−1j xi,j/
i,j R(GLn, Tn) ={'i− 'j| 1 ≤ i 7= j ≤ n}, ('i− 'j)∨= '∨i − '∨j, R(Bn, Tn) ={'i− 'j| 1 ≤ i < j ≤ n}, ∆(Bn, Tn) ={αi:= 'i− 'i+1| 1 ≤ i ≤ n − 1}.特 RD(GLn) =
Ä"n
i=1Z'i,{'i− 'i+1},"n
i=1Z'∨i,{'∨i − '∨i+1}ä
0
GLn= GLn(C). 今野 p進簡約群 構造 13/25 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 放物型部分群 制限 L群 極大 部分群 分解定理放物型部分群
G;連結簡約線型代数群 /F ; 標数 0 非 局所体 P⊂ G 放物型部分群⇐⇒ G/Pdef 射影多様体 ⇐⇒ PF¯⊃ ∃B ; GF¯ Borel部分群M⊂ G Levi部分群⇐⇒def 放物型部分群 Levi 成分
命題 7 1 P⊂ G ; 放物型部分群 !=⇒ NG(P ) = P. 2 P0, P0'⊂ G ; 極小放物型部分群 !=⇒ P0'= Ad(g)P0, ∃g ∈ G(F ). 注意 P0∈ P(M0) 取 ， F(P0):={P ∈ F | P ⊃ P0} 放物型部分群 G(F ) 共役類 代表系 M0⊂ G ; 極小 Levi 部分群 固定． F = F(M0):={P ⊂ G 放物型部分群 | P ⊃ M0} L = L(M0):={M ⊂ G Levi 部分群 | M ⊃ M0} P(M):={P ∈ F | M ⊂ P Levi 成分 } 今野 p進簡約群 構造 14/25 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 放物型部分群 制限 L群 極大 部分群 分解定理
例：準分裂
群
例 6 E/F;二次拡大，Gal(E/F ) = +σ,. ˜ G = ˜Gn:= RE/F(GLn,E). σGLn 例 2 例 2 通 ，ε = εn:= RE/F(θn)◦ σGLn∈ Aut( ˜G). θn: GLn$ g %−→ Ad(In)tg−1∈ GLn, In:=Ö
1 −1 ... (−1)n−1è
. G(R) = Gn(R):= ˜Gε(R) ={g ∈ GLn(E⊗FR)| gIntσ(g) = In}, R ∈ AlgF. ( 形式 (v, v') := vIntσ(v') 群) 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 放物型部分群 制限 L群 極大 部分群 分解定理 例 6 (続 ) l := [n/2] ． 極大放物型部分群 Pr= MrUr⊂ G (1 ≤ r < l, n0:= n− 2r) G(F )共役． Mr=®
mr(a; g) :=Ç
a g εr(a)å!!
!!
!
a∈ ˜Gr, g∈ Gn0´
, Ur=
1
1r b c−(−1) n−r 2 bIn0tσ(b)Ir 1n0 (−1)n−rIn0tσ(b)Ir 1r2!!
!!
!!
b∈ RE/FMr,n0 c = (−1)n−r+1Ad(Ir)tσ(c) ∈ RE/FMr
極小放物型部分群 上三角 Borel 部分群B0= T0U0 G(F )共役． T0 n 奇数 d(a1, . . . , al; t) := diag(a1, . . . , al, t, σGm(al)−1, . . . , σGm(a1)−1), 偶数 d(a1, . . . , al) := diag(a1, . . . , al, σGm(al)−1, . . . , σGm(a1)−1) (ai∈ RE/FGm,E, t ∈ G1) ．線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 放物型部分群 制限 L群 極大 部分群 分解定理
分裂成分
AG; ZG0 分裂成分 分裂成分 (G 分裂成分)X(G)$ χ %−→ χ|AG∈ X(AG) gives X(G)⊗ Q ∼= X(AG)⊗ Q,
aG:= Hom(X(G),R), a∗G:= X(G)⊗ R (互 双対) M∈ L 対 次 可換: X(G) −−−−−→ X(A制限 G) 制限
4
5
制限 X(M )−−−−−→ X(A制限 M) !=⇒ a∗ G⊂ a∗M, aG" aM 直和因子: aM= aG⊕ aGM, a∗M= a∗G⊕ a G,∗ M , (互 双対), aGM:= (a∗G)⊥⊂ aM, aG,M∗:= (aG)⊥⊂ a∗M. 今野 p進簡約群 構造 17/25 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 放物型部分群 制限 L群 極大 部分群 分解定理制限
M∈ L,ΣM:={α 7= 0, ∈ X(AM)| α !→ (Ad|AM, g)}P = M U∈ P(M),ΣP:={α ∈ X(AM)| α !→ (Ad|AM, u)}, u := Lie U.
命題 8 1 Σ0:= ΣM0⊂ X(A0) (被約 限 ) 系 ．特 集合 Σ∨ 0 ={α∨| α ∈ Σ0} ⊂ X∗(A0) 定 ． 2 P0∈ P(M0) 関 ΣP0内 単純 集合∆P0 ∆∨P0 :={α∨| α ∈ ∆P 0} a G,∗ 0 = a G,∗ M0 a G 0 := aGM0 基底 ． P = M U⊃ P0= M0U0 対 ∆P:={(α0|AM)| α0∈ ∆P0$ ∆P0∩M} ⊂ ΣP “単純 ” 集合 α∨:= [α∨ 0 ∈ aM0 ⊕ aGM aGM成分]， (α = (α0|AM)∈ ΣM, α0∈ Σ0:= ΣM0) a+P :={X ∈ aM| α(X) > 0, α ∈ ∆P}, +aP:= aG⊕
6
α∈∆P R>0α∨, a∗,+P :={λ ∈ a∗M| α∨(λ) > 0, α∨∈ ∆∨P}, +a∗P := aG⊕6
α∈∆P R>0α 今野 p進簡約群 構造 18/25 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 放物型部分群 制限 L群 極大 部分群 分解定理 例 7 G = GL3. (P0, M0) := (B3, T3). ∆P0={α1= '1− '2, α2= '2− '3}. ( , ); a0= aT3上 Ω(T3)不変内積 (i.e., ('i, 'j) = δi,j) ;αi; = √ 2, (α1, α2) =−1 ，aG 0 右 図 ． 例 分 a+P 0=7
P0⊂P ⊂G a+P 一般 a+P =7
P⊂Q⊂G a+Q +a P⊃ a+P 成 立 ． Figure :GL3 今野 進簡約群 構造 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 放物型部分群 制限 L群 極大 部分群 分解定理 例 8 例 6 記号 G = G3 例 6．δ ∈ E×s.t. TrE/F(δ) = 0 固定 ．M0= T0={diag(a, t, σ(a)−1)| a ∈ RE/FGm,E, t∈ G1},
A0={diag(a, 1, a−1)| a ∈ Gm}, X(A0) =Z', g(F ) =
®Ç
z b cδ b' uδ σ(b) c'δ σ(b') −σ(z)å!!
!!
!
z, b, b'∈ E, c, c', u∈ F´
!=⇒ Σ0={2α, α, −α, −2α}, α := ' BC 型 (非被約) 系 gα(F )2 E, g2α= δF. 今野 進簡約群 構造線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 放物型部分群 制限 L群 極大 部分群 分解定理
L
群
仮定 G 準分裂， (F上定義 ) Borel対 (B0, T0) 持 ． !=⇒ ∃splG= (B0, T0,{Xα}α∈∆(B0,T0));F 分裂(Γ := Gal( ¯F /F )安定分裂) Γ! X∗(T0)!=⇒ ρG: Γ→ Aut(RD(spl G)) = Aut(RD(G));作用 ˆ G; Langlands双対群，splGˆ= (B, T , {Xα∨}α∨∈∆(B,T ));分裂 固定 !=⇒ρG: Γ−→ Aut(RD(G)) = Aut(RD( ˆG))−→ Stab(spl∼ Gˆ, Aut( ˆG)) L作用 LG:= ˆG% ρGWF G L群, ρG: WF!→ Γ ρG → Aut( ˆG) 注意 9 ( 局所 Langlands 対応) T; !=⇒ ˆT = X∗(T )⊗ C× 作用 ρT 位相的 WF 加群． H1 cont(WF, ˆT ) ∃!自然 同型 ∼ −→ Irr T (F ) 今野 p進簡約群 構造 21/25 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 放物型部分群 制限 L群 極大 部分群 分解定理 例 9 例 6 G = Gn.例 2 同型 例 2 αGLn: ˜GE−→ GL∼ 2n,E, αGLn(RE/Fθ) = θ× θ GE= ˜GεE!→ ˜GE 合成 β: GE−→ {(g, θ∼ n(g))| g ∈ GLn,E} pr1 ∼ −→ GLn,E. ˆ G = GLn(C), splGˆ= (Bn(C), Tn(C), {Ei,i+1}1≤i≤n−1). 次 αGLn(σ)(g1, g2) = (σ(g2), σ(g1)) ，β(σ)(g) = θn(σ(g)), g ∈ GLn(E). σ('i)(diag(t1, . . . , tn)) = σ◦ 'i◦ β(σ−1)(diag(t1, . . . , tn))
=σ
.
'i(diag(σ(tn)−1, . . . , σ(t1)−1))/
= 'n+1−i(diag(t1, . . . , tn)) ∴ LG = GL n(C) %ρGWF, ρG(w) =ß
id w∈ WE θn 以外 今野 p進簡約群 構造 22/25 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 放物型部分群 制限 L群 極大 部分群 分解定理複素
A
Gˆ HG: G(F )→ aG;準同型 次 定 : +χ, HG(g), = log |χ(g)|F, χ∈ X(G), g ∈ G(F ). G(F )1:= kerH G⊂ G(F ),aG,F := imHG⊂ aG; Z 格子 a∗G,F:={λ ∈ a∗G| λ(aG,F)⊂ Z} 双対格子 !=⇒ AGˆ:= a∗G,C/2πia∗G,F $ λ%−→ e" λ(HG(·))∈ Irr(G(F )/G(F )1);同型 M∈ L ， ˆAG$ χ %−→ χ|M (F )∈ ˆAM; C 埋 込 L群 関係．Z0 ˆ G dual ←→DG:= G/Gder,AGˆ= (ZGΓˆ) 0. 例 10 ˜G = RE/FGLn 例 6, X( ˜G) =ZNE/F(det).
AGˆ˜=C
¿
Z 2πi
log qE $ λ %−→ exp(λ log | det(·)|E
)∈ Irr( ˜G(F )/ ˜G(F )1). 線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 放物型部分群 制限 L群 極大 部分群 分解定理
極大
部分群 分解定理
B(G/F ) =8
g∈G(F )App(Ad(g)A0); G(F ) Bruhat-Tits # G(F ) App(A0); A0 (a0 空間), s ∈ App(A0); 点 !=⇒ K:= Stab(s, G(F ));A0 位置 極大 部分群 注意 実簡約群 場合 違 ，A0 位置 極大 部分群 G(F ) 共 役類 一 ． 定理 10 1 ∀P ∈ F 対 ，岩澤分解G(F ) = P (F )K 成 立 ． 2 M0(F )∩ K = M0(F )1 ，Cartan分解 G(F ) =7
a∈H−10 (−a+P0)/M0(F )1 KaK 成 立 ．記号：H0= HM0: M0(F )→ a0 例 7線型代数群 代数閉体上 簡約群 p進簡約群 放物型部分群 制限 L群 極大 部分群 分解定理 例 11 G :=不分岐二次拡大 E/F 付随 G2 例 6 E×=O×E× .FZ, NE/F(O×E) =O×F, NE/F(.ZF) = .2FZ. K := G(F )∩ GL2(OE), K':=
