確率微分方程式の逐次近似解の収束条件に関する考察

Title

確率微分方程式の逐次近似解の収束条件に関する考察

Author(s)

川畑茂徳

Citation

福岡工業大学研究論集　第44巻1号（通巻67号） P13-P16

Issue Date

2011-9

URI

http://hdl.handle.net/11478/1287

Right

Type

Departmental Bulletin Paper

Textversion Publisher

福岡工業大学　機関リポジトリ　

FITREPO

確率微 方程式の逐次近似解の収束条件に関する 察

川

畑

茂

徳

On the successive approximation of solutions of stochastic differential equations

Shigetoku K

(Department of Information Electronics)

Abstract

We consider the problem of successive approximation for solutions of stochastic differential equations. It is well known that in Ito s classical theory of stochastic differential equations with Lipschitz continuous coefficients, the successive approximation method plays an essential role in the construction of solutions as well as in the uniqueness problem.

We show that conditions which guarantee pathwise uniqueness of solutions also imply the convergence of successive approximations to the solutions in quadratic mean. The proof is due to a result from the theory of ordinary differential equations.

To ensure the pathwise uniquness of the solutions we need to impose the conditions on the variation of the function σ ， relative to ， .

Keywords:stochastic differential equations, pathwise uniqueness, successive approximation

１ 序論 確率微 方程式の道ごとの一意的な解を逐次近似法で構 成する問題を える。確率微 方程式の強い解の一意的存 在のよく知られた十 条件は Lipschitz条件である。この ことは伊藤 によって逐次近似の方法で直接にしめされ， それは一つの標準議論となっている。連続係数の確率微 方程式の解の存在は Skorohod によって保証されている ので，道ごとの一意性を示せば，強い解の一意的存在が かる。Osgood条件を満たす場合には山田 によって示され た。我々は異なった観点から常微 方程式に対する手法を 利用し，道ごとの一意性を保証しかつ逐次近似解が真の解 に 収束する条件を求めてきた 。常微 方程式では逐 次近似解は収束するが一意性が成り立たない例，逐次近似 解は収束しないが一意性が成り立つ例がある。一方，確率 微 方程式では，道ごとの一意性を保証する条件のもとで 逐次近似解が 収束しない例はまだ発見されていない。 方程式 ＝ξ＋ σ ， ⑴ の係数 σ ， が ， の連続関数で ⑴ すべての ， ， ∈ 0， × × に対し σ ， −σ ， − ⑵ すべての ， ∈ 0， × に対し σ ， を満たすとき lim sup 0 − ＝0 ⑵ が成り立つことを示した 。上の条件で を で置き換え たとき，逐次近似解が 収束する条件を Rogersの論文 を参 に以下の節で 察する。 ２ 問題の定式化 いま σ： 0， × とする。与えられた σに対し 方程式 ＝σ ， ⑶ を える。係数 σに次の条件をおく。 σ ， は 0， × 上で連続 正定数 が存在し σ ， 1＋ ⑷ が成り立つ 平成23年５月30日受付

すべての ， ， ∈ 0， × × に対し σ ， −σ ， − ⑸ σ ， ＝ ，as →0 以下では ＞1を与えて区間 0， 上で 察する。方程 式⑶の逐次近似解を次のように定義する ＝ξ＋ σ ， ⑹ 0 ＝ξ ⑺ 定理を述べるためにはいくつかの準備が必要である。 2.1 準備 補題2.1 1とする。係数 σが条件 を満たすとする。 ある正定数 ， が存在し , 1＋ ξ ∈ 0， ⑻ , 1＋ ξ ∈ 0， ⑼ が成り立つ。 補題2.2 係数 σが条件 を満たすとする。正定数 （以 下，単に定数というときは， ， ， ， ， ξ の みに依存する数）が存在し − − が成り立つ。ここで と は⑶の解である。 証明 ， は本質的に同じであるから のみ示す。 − ＝ σ ， −σ ， より − ＝ σ ， −σ ， ＝ σ ， −σ ， 2 σ ， ＋2 σ ， 2 1＋ ＋2 1＋ ここで補題2.1を用いた。 いま Λ ＝ − とおいて Λ と λ を Λ ＝lim sup Λ λ ＝lim sup − によって定義する。 補題2.3 関数族 Λ は正規族である。すなわち Λ 2 Λ −Λ 2 − が成り立つ。 証明 ＞ とする。 − ＝ σ ， − ＝ σ ， ＝ σ ， 1＋ − ゆえに − − ， ∈ 0， 同様にして − − ， ∈ 0， ＞ とすると Λ ＝ − − ＋ − ＋ − Λ ＋2 − と を入れ換えて Λ −Λ 2 − ＝0， ＝ とおくと Λ 2 補題2.4 次の条件を満たす Λ ，λ が存在する。 ⑴ Λ ，λ は連続である。 ⑵ 任意の ∊＞0に対し，正定数 ∊ が存在し ∊ ならば Λ Λ ＋∊， ∈ 0， 証明 最初に Λ の連続性を示す。 Λ は同程度連続で，一 様有界であるから一様収束する部 列がとれる。その極限 関数を とする。 で極限関数全体をあらわすと き， Λ ＝sup 従って任意の ∊＞0に対し， が存在し点 で ＋∊ 2＞Λ となる。 の一様連続性より，ある正定数 δ∊ が存在 し， − ＜δ∊ − ＜∊ 2 従って Λ −∊ 2＞Λ −∊ と を入れ換えて Λ Λ −∊ ゆえに − ＜δ∊ Λ −Λ ＜∊。Λ が連続 であるから λ も連続である。 0， 上で一様連続であ るから，任意の ∊＞0に対し適当な δ∊ を定めて ， ∈ 0， が − ＜δ∊ である限り 確率微 方程式の逐次近似解の収束条件に関する 察（川畑) 14

Λ −Λ ＜∊ 3， Λ −Λ ＜ ∊ 3 が成り立つ。 0， の 割 δ＝ 0＝ ＜ ＜…＜ ＝ を とり， δ＜δ∊ とする。 Λ の定義より各点 に対し正 定数 が存在し ＞ Λ Λ ＋∊₃ となる。 ＝max0 とすると， Λ Λ ＋∊₃ ＝0，1，…， ∈ 0， を固定すると − ＜δ∊ となる 点 が存 在する。この と に対し一様連続性より Λ −Λ ＜∊ 3， Λ −Λ ＜ ∊ 3 従って Λ Λ ＋∊ 3 Λ ＋2 3∊ 一方 Λ −∊ 3 Λ Λ ＋ ∊ 3 より ならば Λ Λ ＋∊ 3＋ 2 3∊＝Λ ＋∊ 補題2.5 λ は次の条件を満たす。 λ λ ， ∈ 0， λ ＝ ，as →0 証明 条件 より − ＝ σ ， − σ ， ＝ σ ， − σ ， − 補題2.5より任意の ∊＞0に対し正定数 ∊ が存在して ∊ Λ Λ ＋ε λ ＝ − とおくと λ ＝Λ Λ ＋∊ λ ＋2 ∊＋∊ よって λ λ λ ＋2 ∊＋∊ Lebesgueの有界収束定理より ∊→0として λ λ lim sup をとって λ λ また，条件 より →0のとき λ ＝ − ＝ σ ， − σ ， ＝ σ ， −σ ， 2 σ ， ＋2 σ ， 2 ∊ ＋2 ∊ ＝4∊ ゆえに

lim supλ ＝λ ＝ ，as →0 補題2.6 λ が３つの条件を満たすとする。 ⑴ λ は区間 0， 上で非負の連続関数である。 ⑵ λ λ ⑶ λ ＝ ，as →0 このとき，λ 0が成り立つ。 証明 ＝ 1 λ とおく。 ＞0に対し， で微 すると ′ ＝1λ 1 。これより ′ 0，したがっ て は非増加関数である。∊＞0に対し，⑶から充 小さい に対し ＝ 1λ 1∊ ＝∊. これより lim ＝0，これはすべての ＞0に対し， 0を意味する。従って 0。一方 は非負 であるから 0。条件⑴より λ 0が従う。 ３ 主要定理 定理3.1 係数 σが条件 ， ， ， を満たすとき，方程 式⑴の強い解が一意的に存在する。 証明 と を 0 ＝ 0 となる⑴の解とする。 λ ≡ − ＝ σ ， − σ ， ＝ σ ， −σ ， − λ

また，条件 より →0のとき λ ＝ − ＝ σ ， −σ ， ＝ σ ， −σ ， 2 σ ， ＋2 σ ， 2 ∊ ＋2 ∊ ＝4∊ ゆえに λ ＝0 ，as →0 補題2.6より λ 0。 定理3.2 係数 σが条件 ， ， ， を満たすものとする。 ξ ＜ である限り⑹の逐次近似解は収束し lim sup 0 − ＝0 が成り立つ。 証明 補題2.5より λ ≡lim sup − とおくと λ λ ∈ 0， λ ＝ ，as 0 が成り立つ。さらに，補題2.6から λ ≡0， ∈ 0， が 導かれる。また sup 0 − sup 0 σ ， − σ ， . Doob のマルチンゲール不等式から sup 0 − 4 σ ， −σ ， 4 − λ ＝lim − ＝0で あ る か ら で → にすると lim sup 0 − ＝0 が示される。 最後に，条件 ， ， ， を満たす例を以下に示す。 例3.1 σ ， ＝ 2 ， 0 ， ＜ ＋ ，0 ，0 ， 0 ，− ＜ 0 参 文献

［１］ K.Ito,On a stochastic integral equation,Proc.Japan Acad. 22 (1946), 32-35

［２］ S. Kawabata, On the successive approximation of solutions of stochastic differential equations, Stochas-tics and StochasStochas-tics Reports, Vol. 30 (1990), 69-84. ［３］ S. Kawabata：確率微 方程式の逐次近似解に関す

る研究, 九州大学大学院, 工学研究科, 応用理学専 攻, 1990

［４］ T. Yamada, On the successive approximation of solutions of stochastic differential equations, J. Math. Kyoto Univ. Vol. 21, No.3 (1981), 501-515

［５］ T. Rogers, On Nagumos condition, Canad. Math. Bull. 15 (1972), 609-611

［６］ A. V. Skorohod, Studies in the theory of random processes , Addison-Wisley, 1965 (Originally publi-shed in Kiev).