集計回帰式の決定係数について

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集 計 回帰 式 の決 定係 数 につ いて

堀   本   三   郎

1  は   じ  め  に

  集 計 問 題 の 一 つ と し て,Grunfeld&.  Griliches[2]は,実 証 的 観 点 か ら, ミク ロ変 量 間 の 個 別 回 帰 式 に お け る 決 定 係 数(R')と 集 計 回 帰 式 に お け る 決 定 係 数:(R'a)の 比 較 を 強 調 し た 。 同 時 に,個 別 回 帰 式 か ら合 成 さ れ た 決 定 係 数: (coefficient of composite  determination)珊 とR'dの 比 較 も お こ な わ れ た 。 Grunfeld&Griliches[2],佃[4],  Sasaki[3]に お い て は,ミ ク ロ変 量 間 の 確 率 モ デ ル を 前 提 に し て,こ れ ら の 決 定 係 数 の 比 較 が 議 論 さ れ て い る 。   本 稿 に お い て は,2変 量 の 個 別 時 系 列 デ ー タ,お よ び 集 計 さ れ た 時 系 列 デ ー タ を 有 す る と き,そ れ ら の 相 関 係 数 に つ い て,ま た,驚 とR'dに つ い て,記 述 的 関 係 を 検 討 す る 。

∬  集 計 デ ー タ 間 の相 関 係 数

  二 つ の ミク ロ変 量XとYに つ い て,個 別 費 こ関 す る 丁 個 の 時 系 列 デ ー タ を, Xff, Yf`(i=1,2,…,N;'=1,2,…,T)で あ らわ す 。 さ らに,ベ ク トル で

 

 

 

 

 

篠li/…1劉

      ただ ・ 瓦 一票

、_ 

TXu>yr=-E 

1'rtT 

tai

とあ らわ す。 そ して,集 計 され た時 系 列 デ ー タを

      ハア         エ 

      κ=Σ

κわ 〃=Σ

〃ま

      零菖1       婁一!

      集計回帰式 の決定係数 についで  61

とあ らわ す 。

  この と き,集 計 デ ー タ2と.〃

の 相 関 係 数(γyの は

・

…)翫

一ゾ轟

両

 

 

 

 

 

 

 

一

穂轟

轟}・ 癖

       一{毒

、・… 触}幽

と 分 解 さ れ る 。 こ こ で (、.、)切,、 。 。吻 ・,当 物 、.、

          Σ γ'弼    ゴ

冨1

      ゴ冨1       ガ

         Σ ゾ嚥

(2・3)・ ∠・ 一`一 砺 ≧1 で あ る 。 そ し て,〃fと 〃,に 適 当 な"synchronization"効 果 が 飯 定 さ れ る な ら ば,す な わ ち,あ る δ>0に 対 し て

(・・4)ゾ

諾

誓 砺;一

  ・

〉 ・〉・

が 仮 定 さ れ る な ら ば,集 計 さ れ る 数N→ 。。 の と き,  (2.3)よ り       ハド エ 

       

Σ Σ 〃傷〃,

・

…

∠

・→4÷

・

  翻 撫

砺

      `キノ        と な り,  (2.1)よ り

⑫ ・

・

伍 →

傷

・

濡 一嵩    

、

と な る こ と が 知 れ る 。(2.6)に お い て,γ 地/ゾ γyが1に 近 い な ら ば,Tyixの

1)・

霧  

1耀 留 蛎

・

一

・  子・糖

雇砺 。

        ロ      ゴキゴ 割 れ ば,1▽ → 。。 の と き,分 母,分 子 の 第1項 は0に 近 づ く。 し た が っ て,(2.5)を   得 る 。

62        ラ き 

大 き さ に関 係 な く,集 計 デ ー タ間 の 相 関(Tyx)は

非 常 に 高 くな るで あ ろ う。

  当然 な が ら,以 上 の こ とは2変

量 回 帰 式 に お け る 決 定 係 数 に つ い て も 言 え

る。説 明変 数 に κ を考 え る と き の個 別 回 帰 式 を

      ム   (2.  7)     〃f=κ ∂f十 歪)`;   f=1,2,…   ,N       ム

      ∂F画

集 計 回 帰 式 を

       

く     く  N〈     ハr

  (2,8)  〃=κ う十a;  う=7b,v=Ev;       f■1      ご=1       ム       ρ=捉 ∂ と あ ら わ す と き,  (2.8)に お け る 決 定 係 数 は       N       NN

      〈,〈  Σ ρ、

ρ`+Σ Σ ρ励

⑫ ・・R2-b-U-i_1-i*i一一a-bly N  NN

E  ll,Us+z  Eyiyi       ゴー1      ゴキゴ と 分 解 さ れ る 。 〃fと 〃,に"synchronization"効 果 が あ る な ら ぽ,そ し て,〃'〃         ハ

に対 す る Σ 〃∼

肋

の寄 与 が 無 視 で き る程 十 分大 きなNに 対 し

        ゴー1       NN       Σ Σ ρ亀9, (2.10)  a""NN

      Σ Σ 〃㌃〃∫

      iii の 近 似 式 が 成 立 す る 。 す な わ ち,R乙 は"synchronization"効 果 の 説 明 力 を あ らわ す 指 標 と し て 解 釈 さ れ る。       バ        バ   い ま,代 表 的 な 個 別 ゴ,ゴ を 考 え る と き,さ らに δ,と δ,は 同 符 号 で あ り, aR yiy.=珊,。 と す れ ば

(2.11) 

単 色=巡

璽L

      〃↓〃'       γッ切 と な り,(2.7)に お け る 個 別 決 定 係 数   2Ryisと 〃`と 〃」 の 内 部 相 関 係 数 が 等 2)雇 と γ〃は 独 立 に 値 が 決 ま るわ け では な い 。 雇 と 伽 の比 較 が 意味 を持 つ た   め に は,各 γ躍 が 同 符 号 で あ る こ とが仮 定 され ね ば な らな いで あ ろ う。 3)  γン、が高 くな るた め の必 要 条 件 と して,  (2.4)の"synchronization"効 果 の仮 定   が あ るわ け では な い 。 多 くの時 系 列 デ ー タ に おい て"synchronization"効 果 が認 め ら   れ るた め で あ る。

      集 計 回 帰式 の決 定 係 数 につ い て    63 し い な らば,(2.10)に お い て,.醜 は1に 近 い 値 を と る で あ ろ う。   Boot&.  Witt[1;PP.27∼28]に 掲 載 さ れ て い る デ ー タ を 用 い て,以 上 の こ と を 調 べ て み よ う。Yf,=布(粗 投 資),  Xif=C;,ト1(資 本)と し て 利 用 す る 。   表1に 見 られ る よ うに,7ン`、 と γン潟 に は 不 等 号 の 特 定 な 関 係 は 見 い 出 さ れ

・ ご1・  一㍗

噺

一 ・84・ ・斎 一昇    

一・8・

・r毒

多  

一 ・

…

γッ∫=.923,γy`./ゾ γッ=.966,γ 戸.76の 数 値 が 得 ら れ た 。 集 計 数Nが 増 加 す れ

ば,τy。 は よ り大 き くな るで あ ろ う。 決 定 係 数 に つ い て は,(¥¥猷9の/(

ｸ

i

〃 の 冨.760,(Σ Σ ρ1ρ,)/(Σ Σ 函 〃,)=.903,Σ 酬 肌/〃'〃=.358で あ る 。       ゴ       ゴキぎ         ゴキゴ N=10の た め,Σ 猷 ρ`/Σ 幽 肋 が い く ら か 寄 与 し て い る こ と に な る 。 し か       き         ゴ し,い ず れ に せ よR'aの 増 大 傾 向 は 認 め られ る 。   以 上 に よ り,Grunfeld&.  Griliches[2;p.4]に お い て もL指摘 さ れ て い る よ うに,Rnこ 対 し て,"synchronization"効 果 の 役 割 が 大 き い こ と が 示 さ れ た 。   〃`と 〃ゴ に"syncronization"効 果 が 存 在 す る と き,〃,と 〃,の 動 き と し て, 図1に 見 ら れ る 二 つ の タ イ プ を 考 え る こ と が で き る 。 ㈹,(B)ど ち らに お い て も,幽 〃,>0で あ る が,多 くの 年 次 別 経 済 時 系 列 デ ー タ に お い て は,(B)の タ イ プ が 多 い で あ ろ う。 す な わ ち,ト レ ン ドを 含 ん だ 時 系 列 デ ー タ で あ る。 こ の と       表   1

企

業

G.M. U.S.  Steel G.E. Chrysler Atlantic  Richfield γ多槻 .823 .298 .655 .836 .515 γ長∫ .808 .474 .688 .776 .564

企

業

1.B.  M Union  Oil Westinghous Goodyear Diamond  Match .2ryist .902 .739 .574 .569 .643 2r y=零 .947 .755 .638 .450 ,692

Rl=.852

4)補 助 回 帰 式 鵡=κaε+9を 考 え る と き,γy槻=7y、 ・γ耀+翫 ・乞・1/1一 孟.と あ ら わ   され る 。 短qの 符 号 に 影 響 さ れ る で あ ろ う。

64 図   1 ン`,ツ' y` 9 ・ツ` ' (B) '     ,1 9`,.' o ' θ ' '   一〇" , ' ` き,U+と 〃,の"synchronization"効 果 を 説 明 す る 変 量 と し て,時 間 変 量'が あ げ られ る で あ ろ う。   (2.7),(2.8)の 回 帰 式 に お い て,κ に 代 わ りfを 用 い,(2.11)に お け る 猷 動/擁 肋=2」t/ry」yjがiに 近 い 値 で あ る な ら ば, R勤 が 低 い と し て も,  ER v t は1に 近 い 値 を と る こ と に な る 。 コ ン ピ ュ ー タ に よ り,こ の よ う な デ ー タ を つ く る と と は 可 能 で あ る 。 た と え ば,正 規 乱 数U;eに よ り,時 系 列 デ ー タy露       yf置=α+bt+U;t;Uit。 。 N(0,σ 乙)       E(びf`σ ノ8)=0 を 作 成 す る 。 そ し て,わ れ わ れ の 実 験 結 果 で は,a=o.,う=1.,魂=665/T,T=20,

窺:::薫

矯 諜犠 継 議 蕪蝋 弁難

  集 計 デ ー タが 強 い ト レ ン ドを 含 む こ と は し ぼ し ば 指 摘 さ れ る こ と で あ る 。 回 帰 式(2.7)に お け る 〃∫ とx;が と も に(B)タ イ プ の"synchronization"効 果 を 有 す る 系 列 で あ る と き,集 計 デ ー タ 〃 と ん は,と もに 強 い ト レ ン ドを も つ こ と が 予 想 さ れ,当 然 珊 は 高 くな る で あ ろ う。

皿 研  と 濫

  近 年Sasaki[3]に お い て は1∼ る の 定 義 と し て,二 つ の 定 義 が と り あ げ られ た 。 5)  滋 賀 大 学 計 算 セ ン タ ー,HITAC  8250を 利 用 し た 。

      集 計 回帰 式 の決 定 係 数 に つ い て    65   個 別 ∫の 回 帰 式 を   (3. 1)    〃`=謝`β,十u;;   f=1,2,…  ,N       ハ      ム

      〃`=x`β`

とあ らわ す と き,一 つ は,ガ 〃 の変 動 の説 明 力 を 示 す指 標 と して の決 定 係 数

      ハr     ムr       (Σ ρf)'(Σ ρf)   (3.2)    R匙1=  ゴ■1  ,ゴー1       〃 〃 で あ り,あ と 一 つ は,予 測 値 と実 現 値 の 乖 離 の 平 方 和 を 示 す 指 標 と し て,Gru・ nfeld&.  Griliches[2]に よ り       ハア    エ        (Eu;)'(Eu,) (…)RるF・ 一'一1ガ が 冨1 と 定 義 さ れ た 。・   まず,(3,2)のR駈 に つ い て 分 子 は       N     N     N            N1>                     _       (Σ ρf)'(Σ ρf)=Σr多 μ蹟 〃ε+EEり 慨 プンゴηγ∫吻 γ〆房 万71/〃 ン〃ゴ       ゴ屋1       ゴ≒ノ       ゴ51    ゴ冒1 と展 開 さ れ る 。 こ こ で,簡 単 化 の た め,γ 継,=rx>0を 仮 定 す れ ば,

      (甑)(海).,嬉, 

ゾ嚥}・+(、 一,漉

。

多

、

魂

、

      ∫一1       '曝1       ゴ菖1    `梛1 と 変 形 さ れ る 。 し た が っ て,Nが 十 分 大 き い と き, (3.4)  R急1霜(γ 。碗)・ ・ユL       γッ に よ っ て 近 似 され る。 い っぽ う (3.5)R乞 弼(諏)・ ・1       γン で あ る か ら,ryix>γ ン`μな ら ば,近 似 的 にR乞>R駈 が 言 え る 。 五 で 使 用 した デ ー タ に お い て は,γyμ=.842>γ ン両=.817で あ る。 ま た(3.4)よ り γ。〉 γジ な らば,近 似 的 にR駈 〉(γン碗)2が 成 立 す る 。   つ ぎ に,(3,3)のR駈 に つ い て は,(2.8),お よ び 萌 に 関 す る 補 助 回 帰 式 笛=Axa;十e;に よ り       エ       ノ        ハ

      Σ 毎=〃 一Σ 断 β`

      卜1       ぎ目1       〈   Aア  ^    2V  〈       =x(δ 一7,aipi)一 Σ θfβr+∂       ゴ零1       卜1

66 と 変 形 さ れ る 。 κ'e;=0,κ'分=0で あ る か ら       1>     1V   (3.6)    (Eu;)(Eu;)一 分'3       '喀1       ゴー1       〈   」V   〈     」V  〈     亙   く       〃   〈       =κ'κ(6ゴ ー Σ α,β)2+(Σ θrβ`)'(Σ θ,βf)一2(Ee,p;)'v       ゴー1       8回1       `騨1       ゴ■1       1>  〈

と な る 。 こ こで   Ee;  は 方 程 式 のaggregation  biasで あ り・ 集 計 回 帰 式 の

      ぽ

残 差 倉 と負 の 相 関 を もつ とき,R乞>R亀1の

不 等 号 が 成 立 す る。

  皿,皿 に お け る決 定 係 数 に関 す る分 析 は,3変

量 以 上 の モ デ ル に お い て も成

立 す る とは 限 らな い 。今 後 の課 題 とした い 。

      参 考 文 献

[1コBoot,  J. C. G.&。  G.  M.  Witt;"lnvestment  Demand:An  Empirical  Contribution   to the  Aggregation  Problem"International  Economic  Review,1,1960.

[2]  Grunfeld,  Y.&.  Z.  Griliches;  `ls  Aggregation  Necessarily  Bad?",  R2ηfoω 〔ゾ   Economics  and  Statistics,42,1960.

[:3コ   Sasaki,  K.;"An  Empirical  Analysis  of  linear  Aggregation  Problems",  Journal   of  Econometrics,7,1978.

[4]  佃 良 彦;"線 型 回 帰 分 析 の 集 計 問 題 に お け る 決 定 係 数 に つ い て",山 形 大 学 紀 要(社   会 科 学),7,1977.