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(1)

微分方程式の不確定特異点

望月拓郎

0 はじ めに

今回の公開講座を 担当する こ と になっ た時, 高次元の不確定特異点について の最近の研究状況を 紹介し て みたいと 思いま し た. 1次元の場合の不確定特異点の研究の歴史は長く,そのスト ーク ス構造やモノ ド ロ ミ ーに関する 優れた研究も 数多く なさ れてき ま し た. 一方,高次元の場合の研究は1次元の場合ほどに はなさ れて いま せんが, 最近になっ て 代数的ホロ ノ ミ ッ ク D-加群の研究の過程で比較的大き な進展があ り, 基礎と なる べき 「 変わり 目点の解消定理」 が確立さ れま し た. 川ノ 上さ んの講座で,代数幾何におけ る 最も 重要な 礎の一つである 「 特異点の解消定理」 が解説さ れま すが, 「 変わり 目点の解消定理」 は代 数的ホロ ノ ミ ッ ク D-加群の研究において 「 特異点の解消定理」 のよ う な役割を 果たす重要な定理です. ま た, 2次元の(代数的な)場合の証明は, 古典的な代数幾何の手法を 使っ て でき る のですが, 正標数の世 界に還元し て,p-曲率と よ ばれる 量を 使っ て 平坦接続の“固有値のよ う なも の”を 制御し て いく 議論はそ れなり に面白いのではないかと 思われま す. そのあたり のこ と を 解説し て みたい, と いう のが当初の目論 見でし た.

し かし, 高次元の話の多く は1次元の話を 大前提にし て いま す. 1次元での結果を ど のよ う にし たら 拡張でき る か(ある いはでき ないか)が高次元での研究の出発点にな り ま す. ま た,証明を する 時にも, 1 次元の結果を 当たり 前のよ う に使いま す. ですから,こ の講座でも ま ず1次元の古典的な話を 解説する こ と にし ま し た. 不確定特異点の形式的な 構造に関する Hukuhara-Levelt-Turrittinの定理と, 不確定特異 点を モノ ド ロ ミ ーと スト ーク ス構造で記述する (一般化さ れた)リ ーマン ・ ヒ ルベルト 対応を 説明する こ と が,最初のゴールになり ま す. 話の順序と し て, 非特異な場合や確定特異点の場合について も 説明を い れま し た.

その上で, 2次元の場合にど のよ う に拡張さ れる かを 概説し ま す. 1次元の不確定特異点の理論は,形 式的理論と 漸近解析の二つの部分から な り ま す. 漸近解析に関し て は[9], [10]によ っ て 高次元化はだい たいなさ れて いま し た. 一方,形式的な部分に関し て は, 変わり 目点の存在が大き な障害になっ て いたの ですが,既に触れた通り 「 変わり 目点の解消定理」 が最近になっ て証明さ れま し た. こ れがどのよ う な主 張である かを 紹介する のが二つめのゴールになり ま す. 証明に関し て はほと んど 述べら れま せんでし た. 簡単に計算で確かめら れる こ と や標準的な事実など を 「 問題」 と し てあり ま す. 解く 必要はあり ま せ ん. 多く はすぐ にでき る と 思いま すが, 知識がな いと 難し いも のも 混ざっ て いる かも し れま せん. ま た, 単純に私がう っ かり し て いる と こ ろ も ある かも し れま せんのでご注意く ださ い.

1 いろ いろ な関数

1.1 関数論の復習

正則関数の定義と 簡単な例 z0∈Cを 中心と する 半径ǫ >0の開円板を B(z0, ǫ)であら わすこ と にし ま す. すな わち, B(z0, ǫ) :=

z ∈ C|z−z0|< ǫ . 境界も 含む時には, B(z0, ǫ)であら わし ま す. 複素領 域と はガウ ス平面の開集合を 意味し ま す. すなわち,U ⊂Cが複素領域である と は, 任意のz0 ∈U に対 し て 十分小さ な ǫ > 0を と る と, B(z0, ǫ)⊂U が満たさ れる こ と です. (本当は高次元の時も 考え たいの ですが, し ばら く は1次元の場合を 考え ま す.) 任意のz0, z1 ∈U に対し て, 連続写像γ : [0,1]−→U で

(2)

γ(0) =z0,γ(1) =z1を 満たすも のがと れる 時, Uは連結である と いいま す. (こ う いう も のを z0と z1を つなぐ 道と いいま す.) つま り,U のある 点から 別の点へ, U内を 通っ てたどり 着ける こ と です. 一般の複 素領域は, 連結成分の和と し て あら わさ れま す.

正則関数に関する 基本事項を 復習を し ま す. よ り 詳し いこ と は関数論の教科書を ご覧く ださ い. 複素 領域U上の複素数値関数fが正則である と は,各z∈U において

f(z) = lim

h0

f(z+h)−f(z)

h (1)

が存在する こ と でし た. 導関数fを df /dzのよ う にあら わすこ と も 多いです. 例え ば, f(z) = 3z2+ 2z+ 1

と する と, f はガウ ス 平面上の正則関数で, f(z) = 6z+ 2と な り ま す. よ り 一般に, 複素数ai (i = 0,1, . . . , N)を と る と, 多項式

f(z) =a0+a1z+a2z2+· · ·+aNzN

は正則関数を 与え, f(z) =a1+ 2a2z+· · ·+N aNzN1と なり ま す. 負ベキがある 場合,例え ば f(z) = 3z2+z1+ 1 + 2z+ 4z2

はC\ {0}上の正則関数を 与え ま す. すなわち, z= 0では(素朴には)値が定義さ れま せんが, それ以外 では正則になっ て いま す.

数列aj (j= 0,1, . . . ,)が, ある R >0に対し て, P

j=0ajRj <∞を 満たすと し ま す. こ の時 f(z) =

X j=0

ajzj

を 収束ベキ級数と いいま す. fは自然に B(0, R)上の正則関数を 与え ま す. (実際には, も っ と 大き な領域 B(0, R0)上の正則関数を 与え ま す. ただし,R0 = limpn

|an|.) そし て,f(z) =P

j=1 j ajzj1 が成り 立 ち ま す. 例え ば指数関数

exp(z) = X n=0

zn n!

は重要な 正則関数であ り, 導関数は exp(z)自身と な り ま す. こ れは多く の著し い性質を 持っ て いま す. z1, z2 ∈ Cに 対し て exp(z1 +z2) = exp(z1) exp(z2) が成り 立ち ま す. zを 実部と 虚部に 分け て z=x+√

−1y (x, y∈R)のよ う にあら わすと,

exp(z) =ex cos(y) +√

−1 sin(y) と なり ま す. 特に, exp(z+ 2π√

−1) = exp(z)が成り 立ち ま す. ま た,指数関数が0以外の全て の値を と る こ と も わかり ま す.

他に典型的な 例と し て は指数関数の“逆関数” と し て 得ら れる 対数関数log(z)も あり ま す. ただし, 逆と いっ ても 指数関数が一対一ではあり ま せんので, 注意が必要です. ま ず指数関数は0を 値にと り ま せ んので, log(0)は(特別な約束を し ない限り)考え ま せん. ま た, exp(w) = exp(w+ 2π√

−1)でし たから, 0でない複素数zに対し て, exp(w) =zと なる 複素数wは無限に存在し ま す. こ のよ う な場合, 複数の値 を も つ「 多価関数」 と し てと ら える のが一つの見方です. ある いは定義域を 適当に制限し て,その上の枝 を と る こ と で一価関数を さ だめま す. (こ のよ う な性質は慣れないと 少し 扱いにく いかも し れま せん. こ

(3)

こ ではおおら かに考え る こ と にし ま し ょ う. 厳密な意味付けは関数論の教科書を ご覧く ださ い.) log(z) の導関数はz1です.

正則関数の一般的な性質を 少し だけ思い出し て おき ま す. 正則関数の合成も ま た正則になり ま す. す な わち, fを 複素領域U 上の正則関数と し,gを 複素領域V 上の正則関数と し ま す. も し も,f(U)⊂V であれば, g◦f :U −→Cが定ま り ま すが, こ れも 正則になり ま す. ですから,例え ば

exp 2z1+ 1 ,

はC\ {0}上の正則関数を 与え ま す. ま た,多価になり ま すが, exp2

3logz

(2) も 正則関数になり ま す. 一般に複素数α∈Cに対し て, exp

αlogz

を zαのよ う にあら わし たり も し ま す. こ れはαが整数であれば, 普通のベキznと 一致し ま す.

正則関数の最も 著し い特徴の一つは, 導関数が再び正則関数にな る こ と です. 実関数の時には, 微分 可能性を 仮定し ても 導関数は一般には微分可能になら なかっ たのと は対照的です. こ のこ と よ り, 正則関 数は自動的に無限回微分可能になり ま す. 以下では, 正則関数f のn階導関数を dnf /dznある いはf(n) であら わすこ と にし ま す. (すなわち,f(0)=fであり,f(n)= (f(n1)).)

正則関数は局所的には常に収束ベキ級数であら わさ れま す. すなわち,fを 複素領域U 上の正則関数 と し,z0∈Uに対し て R >0を B(z0, R)⊂Uのよ う にと る と, z∈B(z0, R)に対し て,

f(z) = X n=0

1

n!f(n)(z0)×(z−z0)n (3) のよ う にあら わさ れま す. (右辺が絶対収束級数になり ま す.) こ れも 実関数の場合には,C-級関数のテ イ ラ ー級数が,一般には収束せず, 収束し て も 元の関数と 一致する と は限ら な かっ たのと は対照的です. こ れよ り 特に,二つの正則関数f, gのz0における テイ ラ ー展開が一致すれば, z0の近傍上でf =gが成 り 立つこ と も わかり ま す. (よ り 強く, z0を 含むUの連結成分上で一致する こ と がわかり ま す. さ ら に解 析接続について も 触れる べき かも し れま せんが, こ こ では述べないこ と にし ま す.)

有理型関数 B(z0, ǫ) :=B(z0, ǫ)\ {z0}と おき ま す. B(z0, ǫ)上の正則関数fが与え ら れた時,z0を f の孤立特異点と いいま す. 孤立特異点には, 除去可能特異点, 極,真性特異点の三つのタ イ プがあり ま す.

z0がfの除去可能特異点である と は,

zlimz0

(z−z0)f(z) = 0

が成り 立つこ と でし た. こ の時,実はfはB(z0, ǫ)上の正則関数を 与え ま す. (リ ーマン の除去可能定理.) すな わち, B(z0, ǫ)上の正則関数feが存在し て, f(z) =fe(z) (z ∈B(z0, ǫ))と なっ て いる こ と がわかり ま す. ですから,ふつう は初めから z0でも fが定義さ れて いる と みなし て し ま いま す.

z0がfの極である と は,

zlimz0

f(z) =∞

が成り 立つこ と でし た. こ のと き,z0はf(z)1の除去可能特異点です. ま た,B(z0, ǫ)上の正則関数gと 自然数nを う ま く と る と,

f(z) = (z−z0)ng(z)

(4)

と あら わさ れま す. ですから, 極のま わり での挙動はと て も 制御し やすいと いえ ま す. z0がf の極である 時,f は収束ロ ーラ ン ベキ級数によ っ て

f = X j=n

aj(z−z0)j (aj ∈C) (4)

のよ う にあら わさ れま す.

上の二つの条件のど ち ら も 満たさ れない場合, z0はfの真性特異点である と いいま す. 例え ば,z0は exp((z−z0)1)の真性特異点です. 真性特異点のま わり での振舞を 制御する こ と は難し く な り ま す. 有 名なピカールの大定理によ る と, 任意の0< ǫ < ǫに対し て,C\f(B(z0, ǫ))が高々 一点と なり ま す. こ の印象的な定理の主張する こ と は, 真性特異点のま わり では, いく ら 領域を 小さ く し て も 値域はほぼガウ ス平面全体に広がっ てし ま う, と いう こ と ですから, 少く と も 素朴な意味では挙動を ほと んど 制御でき な い,と いう こ と を 保証し て いま す.

問題 exp(z1)の場合に,ピカールの大定理の主張を 確認し て みて く ださ い.

fがU上の有理型関数である と は,離散集合D⊂Uがあっ て,fはU \D上の正則関数であっ て, D の各点が除去可能特異点か極になっ て いる こ と を 意味し ま す. (リ ーマ ン 球面を 導入すれば, Uから リ ー マ ン 球面への正則写像と も 表現でき ま す.) Dを 指定する 時は, (U, D)上の有理型関数と いう 言い方も し ま す.

正則関数や有理型関数のなす可換環HU,MU,D 複素領域U上の正則関数全体を HUであら わすこ と に し ま す. α, β ∈C f, g∈ HUに対し て,自然に α f+β g∈ HUが定ま り,複素数体上のベク ト ル空間と なり ま す. さ ら に,f, g∈ HUに対し て, 積f·g∈ HUが定ま り,HUは可換環になり ま す. “可換環”と は 整数全体や多項式全体のよ う に,和と 積が自然に定ま っ て いて, 結合律や分配律など が成り 立つ代数系で す. 有理数全体や複素数全体も 可換環を な し ま すが, 0以外での割り 算ができ る, と いう よ り 強い性質を 満たす“体”と いう 代数系を なし て いま す.

少し 余談になり ま すが, こ のC上の可換環HUはUについて の情報を 豊富に含んでいま す. 例え ば, 複素領域U, V が与え ら れた時,ϕ:U −→V と いう 正則な写像が与え ら れる と,ϕ(f) :=f◦ϕと おく こ と で, C上の環準同型ϕ :HV −→ HU が得ら れま す. (U から V への正則写像と は, こ こ では, U 上の 正則関数でf(U)⊂V ぐ ら いの意味にと っ て く ださ い.) 逆に,次のこ と も 成り 立ち ま す

問題 C上の環準同型F :HV −→ HUに対し て,F =ϕと なる よ う な正則写像ϕ:U −→V が存在する こ と を 示し て みて く ださ い.

特に,HV と HUがC上の可換環と し て 同型なら ば, U と V が正則に同型です. し たがっ て,HUと いう 代数的対象によ っ て U を 理解でき る こ と になり ま す.

U を 複素領域と し, Dを U上の離散的な部分集合と し た時, U上の有理型関数で極が Dに含ま れる も の全体を MU,Dであら わすこ と にし ま す. (Dの全て の点が極である こ と を 課し て いる わけ ではあり ま せん. 特に,HU ⊂ MU,Dです.) MU,Dも HUの場合と 同様に,自然に C上の可換環になり ま す. 1.2 形式ベキ級数

収束する と は限ら ない

X j=0

ajzj

X j=n

ajzj

(5)

と いう 形のも のを, zを 変数と する 形式ベキ級数や形式ロ ーラ ン ベキ級数と いいま す. (後者では負ベキ を 許し て いま す.) zを 変数と する C上の形式ベキ級数全体を C[[z]], 形式ロ ーラ ン ベキ級数全体を C((z)) であら わすこ と にし ま す. C[[z]]は自然な和と 積で C上の可換環になり ま す.

Xajzj

+X

bjzj

=X

(aj+bj)zj XajzjX

bjzj

= X j=0

X

k+ℓ=j

akb zj

C((z))も 自然に可換環になり ま すが, さ ら に強く “体”になり ま す. すなわち, 次のこ と が成り 立ち ま す. 問題 f ∈C((z))が0でなければ, f·g=g·f = 1を 満たすg∈C((z))が存在する こ と を 示し て みて く だ

さ い. 問題 f =P

j=0fjzj ∈C[[z]]と し ま す. f ·g =g·f = 1を 満たすg∈C[[z]]が存在する ための必要十分 条件は,f06= 0である こ と を 示し て みて く ださ い.

少し 余談を し ま す. 形式ベキ級数や形式ロ ーラ ン ベキ級数は素朴な意味では“関数”ではあり ま せん. し かし,こ れを 関数だと 思っ て し ま う, と いう 立場も あり ま す. 漠然と し た話になり ま すが, 空間Xが与 え ら れる と, その上の(適当な条件を 満たす)関数全体のなす可換環A(X)が得ら れま す. 前節では複素 領域に対し て,その上の正則関数全体を 考え ま し た. 位相空間Xに対し て は, 連続関数全体C0(X)を 考 えま すし,C-級多様体Xに対し ては,C-級関数全体C(X)を 考えま す. こ の可換環から 元の空間を 復元でき る 場合がし ばし ばあり ま す. こ の空間(幾何学)と 可換環(代数)の対応は相互に豊かな実り を も たら すも のでし た. そのため, 逆に可換環(ある いはよ り 一般に非可換な 環)が与え ら れたら, それを な んら かの意味で, ある 「 空間」 上の関数環と みな す,と いう のが今では標準的な 考え 方になっ て いま す. 例え ば,整数全体Z SpecZと いう 空間上の関数環と みな し, 幾何学的直観を 用いて 整数論を 研究し て いく, と いう のはと て も 強力な 手法です. こ のよ う な立場では, 形式ベキ級数環C[[z]]はzを 中心と する

「 無限に小さ い円板」 と みなし,C((z))は「 穴のあいた無限に小さ い円板」 と みなし ま す. ただし,補足し ておき ま すと,「 無限に小さ い円板」 などは言葉と し て あま り 良く なく て, 収束ベキ級数全体のなす環や 収束ロ ーラ ン ベキ級数全体のな す体も,対応する 「 空間」 を 言葉でいう な ら ば無限に小さ な 円板や穴の あいた無限に小さ な円板, と いう こ と になり ま す. (形式的な場合の方がよ り 小さ いと みなせま す.) 1.3 漸近展開可能関数と 実ブロ ーア ッ プ上の正則関数

例え ば次のよ う な微分方程式を C[[z]]上で考え る と, 解と し て 収束し ないベキ級数があら われま す. z3f′′(z) + (z2+z)f(z)−f(z) = 0 (5) 問題 形式ベキ級数P

j=1(−1)j1(j−1)!zj が(5)を 満たすこ と を 示し て みて く ださ い. 逆に(5)を 満た す形式ベキ級数はP

j=1(−1)j1(j−1)!zjの定数倍である こ と を 示し て みて く ださ い.

漸近展開可能関数 収束し な いのでは, そのま ま では解と し て の意味を 持ち ま せん. 収束し な い形式解 と 真の解がど のよ う な 関係にある のかを 理解する ために, ポアン カレ は漸近展開と いう 概念を 導入し ま し た. こ れは,伝統的な漸近解析でよ く 使われる 概念です. θ0 < θ1と 0< r0に対し て,

S[θ0, θ1, r0] :=

z∈Cθ0 ≤arg(z)≤θ1, 0<|z|< r0

と いう 形を し た領域を 扇形領域と よ びま す. f を S =S[θ0, θ1, r0]上の正則関数と し ま す. (すなわち, S を 含む領域上の正則関数の制限になっ て いる と し ま す.) fb=P

j=0ajzjを 形式ベキ級数と し ま す. 各自

(6)

然数nについて 適当な Cn>0を と る と f−

Xn j=0

ajzj

≤Cn|z|n+1 (6) が成り 立つ時,fの漸近展開は fbである と いいま す. S上の全ての正則関数が漸近展開を 持つわけではな いこ と を 注意し て おき ま す.

問題 f := exp(z1)が漸近展開を 持つのは, S上で Re(z1)<0が成り 立つ時である こ と を 示し て みて く ださ い. さ ら に, こ のと き f の漸近展開が0である こ と を 示し て みて く ださ い.

上の問題でも みら れる よ う に, S上の相異なる 正則関数f1と f2が同じ 漸近展開を 持つ場合も あり ま す. こ れは,テイ ラ ー展開から 元の関数を 復元でき たのと は対照的です.

漸近展開可能な関数を 用いる と, 形式解と 真の解と の関係は次のよ う に述べら れま す.

• 線形常微分方程式に形式解fbが存在する 時, 小さ な扇形領域Sを と る と, S上の真の解fSで漸近 展開fbを 持つも のが存在する.

問題 次の関数が方程式(5)の(多価な)解を 与え る こ と を 示し て みて く ださ い. 軸{arg(z) = 0}を 含む 適当な扇形領域上では,z→0での漸近展開がP

z=1(−1)j1(j−1)!zjである こ と を 示し て みて く ださ い.

−exp(z1) Z

z1

etdt t

実ブローア ッ プ上の正則関数 伝統的な漸近展開の概念は, 常微分方程式の漸近解析の理論を 構築する のに有効でし た. こ れを, 高次元の場合に拡張し たいと いう のは自然な 問題意識です. し かし,上に述べ たよ う な意味での漸近展開を そのま ま 高次元化する のは,かなり 厄介です. それはMajimaの仕事[9] に よ っ て 実現さ れて いる のですが, 複雑な定義になら ざる を 得ま せんでし た. 一方, Malgrangeは“漸近展 開可能関数”が実ブロ ーアッ プ上の正則関数と し て と ら え ら れる,と いう こ と に着目し ま し た. こ の定式 化では,高次元の場合への拡張も 理解し やすいも のにな り ま す [10]. (実際に必要な Borel-Rittの定理な ど を 証明する 議論に関し て は, [9]に負う と こ ろ が大き いよ う ですが.) こ こ では, 1次元の場合にど のよ う に考え る のかを 紹介し て おき ま す.

簡単のために X = {z ∈ C| |z| < 1}と し ま す. [0,1[:= {0 ≤ r < 1}, S1 :=

z ∈ C|z| = 1 = {e}と おき ま す. そし て, X(0) = [0,e 1[×S1 と おき, ̟ :X(0)e −→ Xを ̟(r, e) = r eに よ っ て 与え ま す. ̟:X(0)e −→Xを 「 Xの0に沿っ た(有向)実ブロ ーアッ プ」 と いいま す. (川ノ 上さ んの講義や,こ の講義の後の方で, 複素曲面のブロ ーアッ プと いう も のが登場し ま す. 上の実ブロ ーアッ プと は,別物と 思っ てく ださ い.) 直感的には,Xから 0を と り 除いて, 小さ な円周を つけ加えたも のです. U ⊂X(0)e を 開集合と し ま す. U上の関数がC-級である と は, 変数(r, θ)に関し て 無限回微分可能 と いう こ と です. そこ で,U ⊂X(0)e 上のC-級関数fが正則関数である と は, fのU ∩̟1(X\ {0})へ の制限が正則と いう 意味です.

S =S[θ0, θ1, r0]を 扇形領域と し,Sを X(0)e における 閉包と し ま す. すなわち, S =

(t, e)0≤t≤r0, θ0≤θ≤θ1 . そし て,fを S上の正則関数と し ま す. fの変数rに関する テイ ラ ー級数

X j=0

fj(θ)rj (7)

(7)

を 見て みま す. fがコ ーシー・ リ ーマ ン 方程式

r ∂

∂r +√

−1 ∂

∂θ

f = 0 (8)

を 満たすこ と よ り, (7)も 形式的に (8)を 満たすこ と がわかり ま す. し たがっ て, j fj+√

−1dfj dθ = 0

ですから, fj(θ) =aje1j θ (aj ∈C) と あら わさ れま す. 形式的にr e =zと する と, (7)は X

j=0

ajzj (9)

と あら わさ れま す. テイ ラ ー展開の意味を 考え る と, (9)がf の漸近展開を 与え る こ と がわかり ま す. 逆 に,S上の正則関数fが漸近展開可能であれば, 自然にS上のC-級関数に延びて,し たがっ て S上の正 則関数を 与え る こ と も わかり ま す. 一般論を 展開する 上で大事な のはBorel-Rittの定理と よ ばれる 定理 です. こ れは,任意の fb∈C[[z]]と 任意の扇形領域Sに対し て, fbを 漸近展開に持つよ う な S上の正則関 数f が存在する こ と を 保証し ま す.

開集合U ⊂ X(0)e に対し て, U 上の正則関数全体を HU であら わし ま す. ま た, MU,0 :=

znf ∈ HU\̟1(0)

n∈Z, f ∈ HU と おき ま す. こ れら は自然に可換環になり ま す.

1.4 ベク ト ルと 行列

以下ではCmm次元数ベク ト ル空間を あら わし ま す. つま り,m個の複素数を 並べたも の全体を あら わし ま す. 同様に,HXの元を m個並べたも の全体を HmXによ っ てあら わし ま す. (Xは複素領域.) こ れ は,Xから ベク ト ル空間Cmへの正則関数全体と みなすこ と も でき ま す. MmX,D,C[[t]]m,HmU なども 同様 です. (C[[t]]mの元は素朴には関数と はみなせま せんが.) ゼロ ベク ト ル(成分が全て0である も の)を 0で あら わし ま す.

複素数を 成分に持つm次正方行列全体を Mm(C)であら わし ま す. ま た,逆行列を 持つm次正方行 列全体を GLm(C)であら わし ま す. ゼロ 行列(成分が全て 0である も の)を 0であら わし ま す. ま た, 単 位行列(対角成分が1で,それ以外の成分が0である m次正方行列) を Imであら わし ま す. (単にIであ ら わすこ と も あり ま す.)

問題 A= (aij)∈Mm(C)に対し て, A := maxi,j|aij|と おき ま す. こ の時, A+B≤A+B, A B≤mAB が成り 立つこ と を 示し て みて く ださ い.

A∈Mm(C)に対し て, exp(A)∈Mm(C)を exp(A) =

X n=0

1 n!An

で与え ま す. 上の問題に注意する と,こ の級数は絶対収束する こ と がわかり ま す. A, B∈Mm(C)が可換 (すなわち,AB−BA= 0)なら ば, exp(A+B) = exp(A) exp(B)が成り 立ち ま す. (可換でない時には, 一般には成り 立ち ま せん.)

(8)

Xを 複素領域と し ま す. Mm(HX)によ っ て, HX の元を 成分に持つ m次正方行列全体を あら わし ま す. Mm(MX,D),Mm(C[[t]]),Mm(HU) など も 同様の意味で使いま す.

A ∈ Mm(HX)が可逆である と は, A B = B A = I を 満たすB ∈ Mm(HX)が存在する こ と を 意味 し ま す. こ の時, Bを A1 であら わし ま す. Mm(HX)の可逆な 元全体を GLm(HX)であら わし ま す. GLm(MX,D), GLm(C[[z]]),GLm(HU)など も 同様です.

問題 A ∈Mm(HX)は自然に Xから Mm(C)への正則関数と みな せま す. A ∈GLm(HX)である のは 各A(z) (z∈X)が逆行列を 持つ時である こ と を 示し て みて く ださ い. 類似のこ と を GLm(MX,D), GLm(HU)について 考え て みて く ださ い.

問題 A =P

j=0Ajzj ∈ Mm(C[[z]])がGLm(C[[z]])である のはA0 ∈ GLm(C)の時である こ と を 示し て みて く ださ い.

A∈Mm(C)に対し て, f(z) = exp(z A)と おく と, f はガウ ス平面上で定義さ れた Mm(C)に値を と る 正則関数になり ま す. すなわち,f(z)∈Mm HC

と なり ま す. そし て, df

dz =A f (10)

を 満たし ま す. 微分方程式(10) と 初期条件f(0) = Imによ っ てexp(zA)を 特徴づける こ と ができ ま す. 簡単な場合に計算し て みま すと,

A=

a 0 0 b

, exp(zA) =

exp(az) 0

0 exp(bz)

A=

0 1 0 0

, exp(zA) =

1 z 0 1

2 非特異な連立一次微分方程式

複素領域X上の連立一次微分方程式系

dg

dz +Ag= 0 (11)

を 考え て みま し ょ う. こ こ で,A∈Mm HX

であり,未知関数gはと り あえ ずHXmの元だと 思っ て おき ま す. 方程式(11)自体が重要ですし,高階の線型常微分方程式を (11)の形のも のに帰着でき る こ と も あ り, 非常に詳し く 研究さ れて き ま し た. 例え ば,

d2f

dz2 +a1df

dz +a0= 0 と いう 方程式を 調べる には, g= (g0, g1)と Aを

g0 :=f, g1:= df

dz, A=

0 −1 a0 a1

と する と, (11)を 調べる こ と に帰着さ れる のでし た.

(9)

変換 方程式(11)を 解く にはど う すれば良いでし ょ う か. ある いは,方程式(11)を よ り 良く 理解する に はど う すれば良いでし ょ う か. 初期値を 決めて, 直接(11)を 解いて も 良いのですが, こ こ では(11)を よ り 簡単な形に変換し て みま す.

線形代数で類似の問題を 思い出し て みま す. m次正方行列Aを 理解する ための一つの有効な方法は, 適当な可逆行列Bを B1ABが対角型,ある いはよ り 一般にジョ ルダン 標準形と な る よ う にと る こ と で し た. 対角型と は,対角成分以外は0 (すなわち,ai,j = 0 (i6=j))である よ う なも のでし た. 対角型の行 列は,演算に関し て 普通の数と 同じ よ う に扱え ま し た. 例え ば,

a 0 0 b

n

=

an 0 0 bn

, exp

a 0 0 b

=

exp(a) 0

0 exp(b)

対角行列Γに対し て は,

v ∈CmAv = 0 も 容易に求ま り ま す. 一般の行列は対角型にする こ と はで き ま せんが, ジョ ルダン 行列に変換でき ま す. 念の為に思い出し て おく と, ジョ ルダン 細胞 J(ℓ, a)と は, ℓ次正方行列で, (i, i)-成分がa, (i, i+ 1)-成分が1,それ以外の成分は0,と いう 条件で定ま る 行列でし た. ジョ ルダン 行列と は, ジョ ルダン 細胞の直和になっ ている 行列のこ と です. こ れも 線形代数的な扱いは比 較的容易です. (よ り 詳し いこ と は線形代数の適当な教科書を ご覧く ださ い.) そし て, Γ =B1ABの時, v=Bwと する と,vに関する 方程式Av= 0を,よ り 簡単なwに関する 方程式Γw= 0に変換でき る の でし た.

問題 次の等式を 示し て く ださ い. a 1

0 a n

=

an n an1

0 an

, exp

a 1 0 a

=

ea 0 0 ea

1 1 0 1

対角化, ある いはジョ ルダン 標準形への変換と 類似のこ と を 方程式(11)で考え て みま し ょ う. G ∈ GLm HX

と し,g=Ghと する と, dg

dz +Ag= d(Gh)

dz +AGh=Gdh

dz +dG

dz +AG h

し たがっ て(11)はhに関する 次の方程式に変換さ れま す. dh

dz +

G1dG

dz +G1AG h= 0

ですから, G1dG/dz +G1AGを よ り 簡単な 形にし たい, と いう 問題にな り ま す. 線形代数の時と は, G1dG/dzの項だけ 違っ て き ま す. 仮に, G1dG/dz +G1AG = 0のよ う にと れたと し ま す. する と, g=Ghによ っ て (11)は

dh

dz = 0 (12)

に変換さ れま す. こ の(12)と いう 方程式は非常に簡単なので, 自明な系と よ ぶこ と にし ま す. ま た, (11) を (12)に変換する よ う な Gを 自明化と よ ぶこ と にし ま す. 簡単のために Xが連結である と 仮定する と, (12)の解は定数関数し かあり ま せんから, (11)の一般解はGc(c∈Cm)で与えら れる こ と がわかり ま す. (Xが連結でない場合には, 各連結成分ごと にみま す.) そこ で, (11)を (12)に変換でき る かどう かが問題 になり ま す.

問題 Gと G Hがと も に自明化である と し ま す. こ の時, Hは定数を 成分にも つこ と を 示し て みて く だ さ い.

(10)

ど こ で解く か こ こ ま で方程式(11)を g∈ HmX について の方程式だと 思っ て き ま し た. つま り, Xと い う 領域上の方程式と し て 考え て き ま し た. こ れを 大域的な問題と いいま す. 考え る gの範囲を 変え る こ と ができ ま す. z0 ∈Xを 固定し,U =B(z0, ǫ) ⊂Xと なる よ う に ǫ >0を と る と, (11)はg∈ HmU の方 程式も 与え ま す. こ れを (z0における)局所的な問題と いいま す. さ ら に, g∈C[[z−z0]]mの方程式も 与 え ま す. こ れを (z0における)形式的な問題と いいま す. ど こ で考え る かによ っ て, 方程式(11)が解ける かどう かは変わっ て き ま す. 変換のために考え る 行列Gは,局所的な場合はGLm HU

から と り ま すし, 形式的な場合はGLm C[[z−z0]]

から と る こ と になり ま す.

結論から いいま すと, 局所的,ある いは形式的に考え る 時には, (11)は常に自明な方程式系(12)に変 換さ れま す. 一方, 大域的に考え る 時には, Xの位相幾何学的な 性質が関係し て き ま す. Xが単連結で あれば(すなわち, 穴があいて いなければ) 自明な系に変換さ れま すが, 一般には(12)には変換さ れない 場合も あり ま す. つま り, 解ける か解けないかでいう と, 一般には解けないのですが, 基本群のモノ ド ロ ミ ー表現によ っ て(11)を 理解でき る こ と になり ま す.

形式的な問題 ま ず形式的な 問題を 考え て みま し ょ う. 簡単のため, z0 = 0の場合に 述べま す. G ∈ Mm C[[z]]

に関する 微分方程式 d

dzG+AG= 0, G(0) =I (13)

を 解いて みま す. G=I+P

j=1Gjzj と し,Aの0における テイ ラ ー展開を A=P

j=0Ajzjと する と, X

j=1

j zjGj+ X j=1

X

p+q=j1

ApGqzj = 0 (14)

なので,zj (j≥1)の係数を と り だすと,

j Gj+ X

p+q=j1

ApGq = 0 (j≥1) (15)

と いう 関係式が得ら れま す. (15)よ り, Aが与え ら れて いる 時, G1 = −A0 であ り, 帰納的に Gj は G1, . . . , Gj1であら わさ れま す. し たがっ て, (13)の解Gが一意的に存在する こ と がわかり ま す. (Gの 可逆性に注意.)

局所的な問題 次に,方程式(13)がG∈Mm HU

に対し て解ける こ と を みて みま す. それには,既に得 ら れて いる 形式的な解が収束する こ と を 示せば十分です.

問題 G∈Mm HU

が(13)を 満たせば,

ddet(G)

dz + Tr(A) det(G) = 0 が成り 立つこ と を 示し て みて く ださ い. 特に, G∈GLm HX

を 示し て みて く ださ い.

収束に関し て 議論し て みま し ょ う. 簡単のため, Xが閉円盤B(0,1)を 含んでいる 場合を 考え ま す. 問題 こ の時,適当な定数C >0によ っ て|Aj| ≤C (∀j)のよ う に抑えら れる こ と を 示し て みて く ださ い. 問題 (15)を 用いて,j|Gj| ≤C+C

j1

X

p=1

|Gp|を 示し て みて く ださ い.

(11)

そこ で,実数列aj (j= 1,2, . . .)を j aj =C+C

j1

X

p=1

ap によ っ て 定めま す. 問題 |Gj| ≤aj を 示し て みて く ださ い.

形式ベキ級数Q(z) = 1 +P

j=1ajzj を みて みま し ょ う. aj のと り かたよ り, Q(z)は微分方程式 z d

dzQ(z) =C z 1−zQ(z)

を 満たすこ と がわかり ま す. こ れよ り,Q(z) = (1−z)C である こ と がわかる ので, Q(z)は収束半径が 1の収束ベキ級数である こ と がわかり ま す. こ れよ り,I +P

j=1GjzjがB(0,1)で収束する こ と がわか り ま す. (優級数の方法と いわれる 議論を 用いま し た.)

問題 上で述べたこ と を 用いて, B(0, ǫ)⊂Xなら ば,形式解I+P

j=1Gjzj がB(0, ǫ)上で収束する こ と を 示し て みて く ださ い.

大域的な問題 ま ず, 領域U1, U2 ⊂Xが与え ら れて いて, 各Ui (i= 1,2)上で自明化Gi ∈GLm HUi

が存在する と 仮定し ま す. する と, U1 ∩U2 上で二つの自明化が得ら れる こ と に な り ま す. U1 ∩U2 が 連結な ら ば, そ の違いは 定数行列に よ っ て 与え ら れま す. すな わち, H := G21G1 は定数行列です. G2H ∈ GLm HU2

も U2上での自明化を 与え て いま す. そこ で, G ∈ GLm HU1U2

を, G|U1 = G1, GU2 =G2Hによ っ て 定める と,U1∪U2上での自明化を 与え て いる こ と がわかり ま す.

U1∩U2が連結でない場合ど う かと いう と, 各連結成分から 定数を 成分に持つ行列が出て き て し ま い ま す. こ れら が全て等し ければ, 上と 同じ よ う に補正する こ と でU1∪U2上の自明化を と る こ と ができ ま すが,一般にはでき ま せん. 簡単な例と し て, X=C\ {0}上で,g∈ HXに関する

dg dz − g

2z = 0 と いう 微分方程式を みて みま す.

U1=

z∈X −2π/3<arg(z)<2π/3 , U2 =

z∈Xπ/3<arg(z)<5π/3

と する と, U1, U2上ではそれぞれ, z1/2の適当な分枝が解を 与え ま す. と り あえ ず, U1上ではf1(1) = 1 と なる 分枝を と り, U2上ではf2(−1) =√

−1と なる 分枝を と り ま す. U1∩U2は Z1 =

z∈Xπ/3<arg(z)<2π/3 , Z2 =

z∈X −2π/3<arg(z)<−π/3

の和と し て あら わさ れま す. f1と f2はZ1上では一致し, Z2上では(−1)倍のずれが生じ ま す. ですか ら, こ の場合はX上では(素朴な意味では) 解けないと いう こ と になり ま す.

こ の例から も, X内ではつぶせないループの存在が, X全体で解ける ための障害になっ て いる こ と が みてと れま す. 領域の位相的性質に関する 言葉を 一つ用意し ま す. 連結な領域Xが単連結である と は,z0 と z1を つなぐ 道γi (i= 0,1)が与え ら れた時,γ0と γ1を つなぐ ホモト ピーが存在する こ と です. すなわ ち, 連続写像F : [0,1]×[0,1]−→UでF(s,0) =γ0(s),F(s,1) =γ1(s), F(0, t) =z0,F(1, t) =z1 を 満 たすも のが存在する こ と を 意味し ま す. する と, 一般論と し て 次のこ と がわかり ま す.

• Xが単連結なら ば, (11)は自明な系に変換でき る.

(12)

直感的には簡単です. z0 ∈Xを 一つ固定し ま す. z0のま わり で,自明化Gz0 を と っ たと する. z∈X を と っ たと き,zのま わり での自明化Gzを と る ために次のよ う な操作を 考え ま す. z0から zへの道γを と り ま す. 簡単のために, 自分自身と は交わら ないも のを 考え ま す. (つま り,γ(s) =γ(s)と なる s6=s は存在し ないと し ま す.) 適当に 0 =s0 < s1< s2 <· · ·< sN = 1と,ǫi>0 (i= 0, . . . , N)を と る と,

γ([0,1])⊂ [N i=0

B(γ(si), ǫi)⊂X, B(γ(si), ǫi)∩B(γ(sj), ǫj) =∅ (|i−j|>1)

のよ う にでき ま す. する と,B(γ(s0), ǫ0)上の自明化から 始めて,順々 にB(γ(si), ǫi)上の自明化を 構成で き ま す. 特に, z=γ(sN)のま わり での自明化Gz,γが得ら れま す. こ の自明化が道のホモト ピ ー類のみ に依存する こ と がわかり ま す. つま り, γ1と γ2がホモト ピッ ク なら ば, Gz,γ1 =Gz,γ2 がわかり ま す. こ れも 直感的にはほぼ明ら かで,上の道γを 少し ずら し て も,Gz,γが変わら ないので, 連続的に動かす分に は変わら ない, と いう こ と になり ま す. γに依存し ないので Gzと かく こ と にし ま し ょ う. zがzに十分 近ければ,GzはGzと 一致する こ と も わかり ま す. ですから,大域的な自明化を と れる,と いう こ と にな り ま す.

Xが単連結でな い場合も, Gz,γがγのホモト ピ ー類のみに依存する,と いう こ と ま では同じ ですが, γ1と γ2がホモト ピッ ク でな い場合には, 一般にはGz,γ1 6= Gz,γ2 と な り ま す. こ の場合, 方程式系(11) の複雑さ を はかる 量と し て モノ ド ロ ミ ー表現があり ま す. γを z0から 出発し て z0に帰っ て く る 道だと し ま す. こ の時,Gz0 =Gz0Hγのよ う にHγ∈GLm(C)が定ま り ま す. こ こ では詳細は省き ま すが, 始 点と 終点がz0である よ う な 道のホモト ピ ー類全体を π1(X, z0)であら わし, Xの基本群と よ びま す. こ れには自然に群構造が入り ま す. そし て, γ 7−→Hγは準同型 ρ:π1(X, z0)−→GLm(C)を 与え ま す. こ れを モノ ド ロ ミ ー表現と いいま す. 二つの準同型ρ1, ρ2が与え ら れた時, ある B ∈GLm(C)があっ て, ρ1(γ) =B1ρ2(γ)Bと なる 時,ρ1と ρ2は共役である と いいま す. Xが連結であれば,次のこ と がわかり ま す.

• π1(X, z0)の基本群の表現の共役類と X上の連立一次微分方程式の同型類が自然に一対一対応する.

こ れはいわゆる リ ーマ ン ・ ヒ ルベルト 対応の最も 素朴な 場合です. 微分を 使っ て 記述さ れる データ と, 位相的な情報だけ で記述さ れる データ の間の (簡単ですが)非常に美し い対応です. 具体的に与え ら れた方程式に対し て モノ ド ロ ミ ーを 実際に計算する, と いう のは一般には難し い問題です. (例え ば, [3], [6]など を ご覧く ださ い.) それでも, ど のよ う な量を 調べれば, その微分方程式を 理解でき る のかに関す る 一般的な指針を 与え て いる と いえ ま す.

微分加群 少し 余談になり ま すが,微分加群について触れておき ま す. 行列の対角化やジョ ルダン 標準形 への変換は基底のと り かえ によ っ て 線型写像の表示を 簡単化する 操作と みなせたこ と を 思い出し ま し ょ う. V を m次元ベク ト ル空間と し,F :V −→V を 線形写像と し ま す. V の基底(v1, . . . , vm)を 一つと る と, F(vj) =Pm

i=1aijviと あら わさ れる こ と から 行列A = aij

が定ま り ま す. こ の行列を F の基底 (v1, . . . , vm)に関する 行列表示と いいま す. V の基底を (v1, . . . , vm)から (v1, . . . , vm)Bにと り かえ る こ と で,F の行列表示がAから B1A Bに変換さ れる のでし た.

同様に,V =HmX と し て,P :V −→V を

P(g) = dg dz +Ag によ っ て 定めま す. こ れは,

P(fg) =f P(g) + df

dzg (∀f ∈ HX,∀g∈ HXm)

を 満たし ま す. V の標準基底を (e1, . . . , em)と し ま す. こ れを (e1, . . . , em)Gにと り かえた時に Pの行列 表示がG1dG/dz +G1AGと なり ま す. (特に特異性を 持つ場合には) こ のよ う な見方を し た方が, わ かり やすく なる 面も あり ま すが, 今回はあま り 触れないこ と にし ま す.

(13)

3 特異性のある 連立一次微分方程式

前章では, 方程式 (11)で A ∈ Mm HX

の場合を 考え ま し た. 次に, D ⊂ X を 離散的と し, A ∈ Mm MX,D

の場合を 考え て みま す. 前章と 同様に, 大域的, 局所的, 形式的, のよ う に いく つかのレ ベルに分け て 考え ら れま す. 局所的な 問題に関し て よ く わかれば, 大域的な 問題に関し て は非特異の場 合と 同様に議論でき ま す. ですから,局所的な問題や形式的な問題だけを 考え る こ と にし ま す. 以下では X =B(0,1), D={0}と し ま す. X := X\Dと おき ま す. 引用のために, も う 一度方程式を 書いて お き ま す. (A∈Mm MX,D

です.)

dg

dz +Ag= 0 (16)

3.1 超越的な変換

原点0ま わり の挙動は気にし な いこ と に し て, (16)を 単純に X上の方程式と 思っ た時には, モノ ド ロ ミ ーによ っ て 理解でき る こ と にな り ま す. すなわち, γ : [0,1]−→Xを γ(s) =ǫexp(2π√

−1s) によ っ て 与え て おく と, こ のγに沿っ たモノ ド ロ ミ ーによ っ て X上の方程式系を 分類でき る こ と にな り ま す. こ の粗い分類を ま ず見て おき ま す. 標準的な も のを 用意する ために, 天下り 式に な り ま すが, B ∈ Mm(C)と し,

dg dz +1

zBg= 0 (17)

と いう 方程式を みて みま す. こ の方程式の一般解は (多価性に関し て はおおら かに),

exp(−Blogz)c (c∈Cm) (18)

と なり ま す. し たがっ て,γに沿っ たモノ ド ロ ミ ーはexp(−2π√

−1B)と なり ま す. 逆にモノ ド ロ ミ ーが Cである よ う な X上の微分方程式系(16)は, exp(−2π√

−1B) =C と なる よ う な Bを 一つ選ぶと, 適 当なG∈GLm HX

によ っ て(17)に変換さ れま す.

こ こ でBの選び方が一意的ではないこ と を 注意し て おき ま す. 例え ば,p, q∈Z,a, b∈Cと する と, exp a 0

0 b

= exp a+ 2π√

−1p 0

0 b+ 2π√

−1q

でし た. つま り, Bの固有値の選び方に任意性があり ま す. 一つの標準的な 選び方は, Bの固有値αが 0≤Re(α)<1を 満たす, と いう 条件を つけて おく こ と ですが, ど う し て も こ う でな け ればいけ な い, と いう こ と ではあり ま せん.

と にかく, GLm HX

によ る 変換で, (16)を (17)のよ う な 標準形にでき る こ と がわかり ま す. し か し, こ のよ う な粗い分類では不十分です. HXには真性特異点を 持つよ う な関数も 含ま れて いま すので,

“適当な G∈ GLm HX

” と いう だけ では, 原点0のま わり での Gの振舞を ほと んど 制御でき ま せん. 元々MX,0と いう 比較的制御し やすいと こ ろ で考え て いた方程式を, HXと いう 非常に巨大な と こ ろ で 変換する のは, 望ま し いこ と ではないのです. 可能なら ばG∈GLm MX,0

によ る 変換で簡単な形にし たいと こ ろ です. (実際には, こ の素朴な希望は一般には満たさ れま せんが.) ま た,特異点は非特異な 点 に比べて 扱いが難し く な り ま すが, 逆にそれだけ 情報が凝縮さ れて いま す. 特異点を 無視する のではな く, 特異点における 情報を よ みと れれば方程式系を 理解する 上で有益です.

以下では, 前章と 同じ よ う に, (0における)形式的な問題を ま ず考え, それが解析的な問題と ど のよ う に関わる かを みて いき ま す. 以下で述べる よ う に, 対数的な場合にはそれが非常にう ま く いく のでし た. それ以外の場合にも, モノ ド ロ ミ ーと スト ーク ス構造によ っ て 理解でき る, と いう 一般的な指針は得ら れ ま す.

(14)

3.2 対数的な場合

対数的な場合と は, Aが高々1位の極を 持つ場合です. B :=zA∈Mm HX

と おく と, (16)は zdg

dz +Bg= 0 (19)

と いう 方程式になり ま す. 前節でも みたよ う に, Bが定数であれば(19)は非常に簡単なも のである と い え ま す. 一般の場合を Bが定数の場合に変換でき る こ と を みて みま し ょ う. こ こ で簡単のために次の条 件を 満たし て いる と し ま す.

(P) α, βを B(0)の相異なる 固有値と する と, α−βは整数でない. (B(0)はB ∈Mm HX

の原点0に おける 値.)

Bに対し て,微分方程式

zdG

dz +B G=G B(0), G(0) =I (20)

を 満たすG∈GLm HX

が存在し たと し ま す. こ の時, g=Ghと する と,

zd(Gh)

dz +B Gh=zGdh

dz +zdG

dz h+BGh=G zdh

dz +B(0)h よ り, (19)は

zdh

dz +B(0)h= 0 (21)

と いう 方程式に変換さ れま す. 問題 G∈Mm HX

が(20)を 満たせば,

z d

dzdetG+ TrB−TrB(0)

detG= 0 が成り 立つこ と を 示し て みて く ださ い. 特に, G∈GLm HX

である こ と を 示し て みて く ださ い. そこ で, (20)を 解いて みま す.

形式的な問題 テーラ ー展開B =P

j=0Bjzj と G=I +P

j=1Gjzj を (20)に代入し て, zjの係数を と り だすと,

[B0, Gj] +j Gj =− X

p+q=j q<j

BpGq, (j≥1) (22)

と いう 関係式が得ら れま す. (G0 = I と し て いま す.) こ こ で, B0 = B(0)な ので, 条件(P)よ り, G1, . . . , Gj1が与え ら れた時, (22)を 満たすGjが一意的に定ま り ま す. (下の問題を 参照.)

問題 N ∈Mm(C)と し ま す. 線型写像FN :Mm(C)−→Mm(C)を FN(Y) = [N, Y]によ っ て 定めま す. FN の固有値全体は,

α−βα, βはN の固有値 である こ と を 示し て みて く ださ い.

問題 j ≥1と し ま す. 任意のZ ∈Mm(C)に対し て, [B0, Y] +jY =Zと なる Y ∈Mm(C)が一意的に存 在する こ と を 示し て みて く ださ い. ま た,j, Zに依存し な い定数C > 0を 用いて,|Y| ≤C|Z| よ う に抑え ら れる こ と を 示し て みて く ださ い.

し たがっ て, 帰納的にGjが定ま り 形式解G=I+P

j=1Gjzj が得ら れま す.

(15)

局所的な問題 適当な 定数C >0を 用いて |Gj| ≤C 1 +Pj1 q=1|Gq|

と 抑え ら れま す. (上の問題を 参 照.) こ れよ り,優級数の議論を 用いる と Gの収束がわかり ま す. (非特異の場合を 参照.) し たがっ て,適 当なG ∈GLm(MX,D)の元を 用いて 方程式系(19)を 標準的な 場合(すな わち Bが定数の場合)に変換 でき る こ と, さ ら に, そのよ う な Gは(22)を 帰納的に用いれば計算でき る と いう こ と がわかり ま し た. ま た,標準形自体は特別な計算を し なく て も Bから B(0)を と り だすこ と で得ら れま すし, 0のま わり の ループに沿っ たモノ ド ロ ミ ーはexp −2π√

−1B(0)

と なり ま す.

つま り,対数的で条件(P)が満たさ れて いる も のは(局所的な問題に関し て いう と), 超越的な場合と 同様にモノ ド ロ ミ ーで分類でき ま すし, さ ら にそのモノ ド ロ ミ ーも 特異点である 原点におけ る データ だ けで簡単に計算でき て し ま いま す. ま た, 解の挙動に関し て も, Gを 具体的に計算し な く て も, 原点0の ま わり では正則関数と log(z)と zα (αはB0の固有値)によ っ て 表さ れる こ と がわかり ま す.

補足 対数型であれば, 条件(P)が満たさ れていない場合も 容易です. こ こ では詳細を 省き ま すが, 適当 にG∈Mm MX,D

を と り 変換g=Ghを 考え る と,条件(P)が満たさ れる よ う にでき る こ と を 示すの は難し いこ と ではあり ま せん. ま た,Gの標準的な構成法も あり ま す.

補足 対数的な連立一次微分方程式系と 確定特異点を 持つ常微分方程式の間には密接な関係があり ま す.

Fuchsの条件によ る と, 確定特異点を 持つ常微分方程式から 対数的な 連立一次微分方程式系を 自然に作

れま す. 逆に, 対数的な連立一次微分方程式系が与え ら れた時, サイ ク リ ッ ク ベク ト ルを と る と, 確定特 異点を 持つ常微分方程式が得ら れま す.

3.3 一般の場合

Aが対数的と は限ら ない場合を 考え て みま す. ま ず小手調べに m= 1の場合を 見て みま し ょ う. こ の時, a∈ MX,Dと 複素数αを 用いて A=da/dz+α/zと あら わさ れま す. し たがっ て, (多価性を 気にし ない こ と にし て)一般解はC exp(−a−αlogz) (Cは定数) のよ う にあら わさ れま す. ま た,モノ ド ロ ミ ーは exp(−2π√

−1α)と なり ま す.

m6= 1と する と, 一般には難し く なり ま す. し かし, Γ∈Mm(MX,D)を 対角型と し,N ∈Mm(C)を [Γ, N] = 0を 満たすも のと し, Aが

A= dΓ dz +N

z (23)

と いう 形を し て いる 場合には, m= 1の場合と 同様で, 比較的容易です. 実際,一般解は exp −Γ−Nlogz

c (c∈Cm) で与え ら れま すし, モノ ド ロ ミ ーはexp −2π√

−1N

と な り ま す. そこ で, Aが(23)のよ う な 形を し て いる 場合を 標準形と みなすこ と にし て, 一般的な場合を 標準形に変換でき る か, が問題になり ま す. 素朴 な希望と し て は,適当な G∈GLm MX,D

を 用いて 標準形に変換し たいと いう こ と になり ま す. でき な い場合も ある のですが, 順々 にみて いき ま し ょ う.

形式的な問題 ま ず,G1A G+G1(dG/dz)が(23)のよ う な 形にな る よ う に, G∈GLm C((z)) を と れない場合があり ま す. 一般の体上で線形代数を 考える と き, 行列の対角化やジョ ルダン 標準形に変換す る ためには固有値を 含む体にま で拡大する 必要があり ま し たが, こ れに類似し た現象です. Γの対角成分 は“固有値のよ う なも の”であり, こ れら がC((z))には一般には入っ て こ ないため, 体の拡大を する 必要 があり ま す.

体C((z))は多項式tm−zの根を 持ち ま せん. こ の根を (適当に一つ選んで) z1/mであら わすこ と にし ま す. C((z))にz1/mを 付け 加え て 得ら れる 体を C((z1/m))であら わし ま す. 事実と し て 次のよ う な こ と が知ら れて いま す.

(16)

定理 e:=r!と し ま す. Gb ∈GLm C((z1/e))

を う ま く と る と 標準形に変換でき る.

こ れは, Hukuhara-Turrittinの定理,ある いはHukuhara-Levelt-Turrittinの定理な ど と よ ばれま す. こ の定理の証明はかなり 手間がかかる ので, かわり に例を みて おき ま す. (証明の簡単な部分の説明にはな り ま す.)

次のよ う な方程式を 考え ま す. dg dz −z2

0 1 z1 0

g= 0 (24)

ζを zの2乗根と し ま す. (すなわち ζ2=z.) G1を 次のよ う な行列と し ま す. G1 :=

1 1 ζ1 −ζ1

g=G1g1と し て みる と, (24)は ζ4dg1

dζ +

−2 0

0 2

3B

g1= 0, B = 1 2

−1 1 1 −1

(25) に変換さ れま す. G2を 次のよ う な形の行列と し ま す.

G2 =

1 0 0 1

+

X m=1

Xmζm, Xm :=

0 am bm 0

そし て,h=G2g1によ っ て ζ4dh

dζ + −2 0

0 2

+X

m=1

Um·ζm

!

h= 0, Um =

xm 0 0 ym

と いう 形に変換し て みま す. そのための必要十分条件は, −2 0

0 2

+B·ζ3

·G24ζG2 =G2· −2 0

0 2

+X

m=1

Um·ζm

!

です. し たがっ て, X

m=1

−2 0

0 2

·Xm·ζm+Bζ3+ X m=1

B·Xmζm+3+ X m=1

m·Xm·ζm+3

= X m=1

Um·ζm+ X m=1

Xm

−2 0

0 2

+X

m

X

i+j=m,i,j1

Xi·Uj·ζm (26) ζ1と ζ2の係数を みる と,X1 = X2 =U1 =U2 = 0が得ら れま す. ζ3の係数を みる と, 次の式が得ら れ

ま す.

−2 0

0 2

, X3

−U3+B = 0 こ れを 満たすX3と U3が一意的に存在し ま す. 特に,

U3 = 1 2

−1 0 0 −1

参照

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