種数２の超楕円曲線の因子に対する加法公式

(1)

種数２の超楕円曲線の因子に対する加法公式

An addition formula for divisors of a hyperelliptic curve of genus 2

数学専攻穴見典子

Noriko ANAMI

はじめに

山本芳彦著「数論入門」

(

岩波書店

)

の第１０章「超楕円曲線とヤコビ多様体」に基づいて総合報告をまとめた．また，「数論入門」の付録には楕円曲線の加法公式と種数

2

の超楕円曲線のヤコビ多様体の加法公式の数式処理ソフト

Mathematica

によるプログラムが付されているが，これを

Delphi

で実装し直した．

1 準備

定義

1.1. k

を代数的閉体，

C

を

k

の上に定義された非特異射影曲線とする．

C

の有限個の点に関する整数係数の形式的な和

D = ∑

P ∈ C

m P P (m P ∈ Z,

有限個のＰを除いて，

m P = 0).

を

C

の因子とよぶ．

C

の因子

D 1 = ∑

P m P P

と

D 2 = ∑

P n P P

に対して

D ₁ + D ₂ = ∑

P

(m _P + n _P )P

と定義することにより，

C

の因子全体の集合

Div(C)

は可換群となる．

Div(C)

を

C

の因子群とよぶ．

定義

1.2. C

の因子

D = ∑

P m _P P

に対して

deg D = ∑

P m _P

を

D

の次数という．このとき，

deg(D ₁ + D ₂ ) = deg D ₁ + deg D ₂

が成立する．さらに，写像

deg : Div(C) −→ Z

は全射である．

Div ⁰ (C) = Ker[deg : Div(C) −→ Z ] = { D ∈ Div(C) ; deg D = 0 }

と記す．

定義

1.3.

因子

D = ∑

P m P P

において，各

P

に対して

m P = 0

であるとき，

D

は整因子であるといい，

D = 0

と表す．

定義

1.4. h : C −→ P ¹ (k) = k ∪ {∞}

^{を写像とする．点}

P = (x, y)

における値

h(P )

が

x

と

y

の有理函数として表されるとき，

h

は

C

の有理函数であるという．

定義

1.5. h

を

C

の有理函数

̸ = 0

とし，

P ∈ C

とする．函数

h

の

P

における局所助変数

T = T _P

に関する巾級数展開が

h = b m T ^m + b m+1 T ^m+1 + · · · (b m ̸= 0)

1

(2)

の形になる，

m

は

h

の

P

における位数であるといい，

m = ord _P h

と表す．位数は局所助変数の選び方によらない．

m > 0

のとき，

P

は

h

の

m

位の零点であるといい，

m < 0

のとき，

P

は

h

の

− m

位の極であるという．また，

m ≥ 0

のとき，

h

は

P

のおいて正則であるという．

定義

1.6. C

の有理函数

h ̸= 0

に対して

div(h) = ∑

P

(ord P h)P

と定義する．このとき，

div(gh) = div(g) + div(h)

が成立する．

定理

1.7. h

を

C

の有理函数

̸= 0

^{とする．このとき，}

deg div(h) = 0

が成立する．

定義

1.8. C

を非特異射影曲線とする．

Div _l (C) = { div(h) ; h

は

C

の有理函数

̸ = 0 } , J(C) = Div ⁰ (C)/Div _l (C)

と定義する．

J (C)

を

C

の

Jacobi

多様体とよぶ．

2 Riemann-Roch の定理

定理

2.1. (Riemann-Roch

の定理

) C

を非特異射影曲線，

D

を

C

の因子とする．このとき，

dim L(D) = deg D + 1 − g + dim L(W − D)

が成り立つ．ここで，

g

は

C

の種数，

W

は

C

の微分因子．

系

2.2. deg D > 2g − 2

なら

dim L(D) = deg D + 1 − g

．

例

2.3. f (X) = (X − α ₁ )(X − α ₂ ) · · · (X − α _n ) (n

は奇数

= 3, α ₁ , α ₂ , . . . , α _n

は相異なる

k

の元

)

とし，

C

を

Y ² = f (X)

によって定義される超楕円曲線とする．このとき，

g = n − 1

2

^．

したがって，

l > 2g − 2 = n − 3

なら，

dim L(lP _∞ ) = deg lP _∞ + 1 − g = l − n − 1

2 + 1 = l − n − 3

2

^．

例

2.4. n = 3

のとき，

g = 1

．したがって，

l > 0

なら，

dim L(lP _∞ ) = l

．さらに，

L(P _∞ ) = ⟨ 1 ⟩ , L(2P _∞ ) = ⟨ 1, X ⟩ , L(3P _∞ ) = ⟨ 1, X, Y ⟩ , L(4P _∞ ) = ⟨ 1, X, Y, X ² ⟩

^．例

2.5. n = 5

のとき，

g = 2

．したがって，

l > 2

なら，

dim L(kP _∞ ) = l − 1

．さらに，

L(3P _∞ ) = ⟨ 1, X ⟩ , L(4P _∞ ) = ⟨ 1, X, X ² ⟩ , L(5P _∞ ) = ⟨ 1, X, X ² , Y ⟩ , L(6P _∞ ) = ⟨ 1, X ² .X ³ , Y ⟩

^．

2

(3)

3 ヤコビ多様体の加法公式

定義

3.1. C

を

k

の上の非特異射影曲線とし，

g = g(C)

とおく．

Div ^g ₊ (C) = { D ∈ Div(C) ; deg D = g, D > 0 }

と記すことにする．

D ₀ ∈ Div ^g ₊ (C)

とし，写像

ϕ _D

₀

: Div ^g ₊ (C) −→ J(C) = Div ⁰ (C)/Div _l (C)

を

ϕ D

0

(A) = [A − D 0 ]

によって定義する．

命題

3.2. C

を

k

の上の種数

g

の非特異射影曲線，

D ₀

を

C

の次数

g

の整因子とする．このとき，

写像

ϕ _D

₀

: Div ^g ₊ (C) → J (C)

は全射．

記号

3.3. k

は標数

̸ = 2

と仮定する．

α, β, γ

を相異なる

k

の元とし，

C

を

Y ² = (X − α)(X − β)(X − γ)

によって定義される楕円曲線とする．対応

P 7→ P

によって

C

は

Div ¹ ₊ (C)

に同一視できる．写像

ϕ _P

_∞

: C = Div ¹ ₊ (C) → J (C)

による

P ∈ C

の像

[P − P _∞ ]

を

(P )

と記すことにする．

定理

3.4. C

を

k

の上の楕円曲線とする．このとき，

(1)

写像

ϕ _P

_∞

: C → J(C)

は全単射．

(2) P, Q, R

を相異なる

C

の点とする．このとき，

J (C)

において

(P ) + (Q) + (R) = 0 ⇔ P, Q, R

が一直線上にある．

記号

3.5. k

は標数

̸= 2

と仮定する．

α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5

を相異なる

k

の元とし，

f (X) = (X − α ₁ )(X − α ₁ )(X − α ₂ )(X − α ₃ )(X − α ₄ )(X − α ₅ )

とおく．

C

を

Y ² = f (X)

によって定義される

k

の上の超楕円曲線とする．このとき，

g(C) = 2

．定義から

Div ² ₊ = { P + Q ; P, Q ∈ C }

^．写像

ϕ _2P

_∞

: Div ² ₊ (C) → J (C)

による

P + Q

の像

[P +Q − 2P _∞ ]

を

(P Q)

と表すことにする．このとき，

(P Q) = [P + Q − 2P _∞ ] = [Q + P − 2P _∞ ] = (QP )

．また，

(P _∞ P _∞ ) = 0

．

ϕ

が全射なので，ヤコビ多様体

J(C)

の点はすべて

(P Q) (P, Q ∈ C)

の形に表せる．

定理

3.6. C

を

k

の上の種数

2

の超楕円曲線とする．このとき，ヤコビ多様体

J (C)

において次が成立する．

(1) (P Q) = 0 ⇔ Q = P ^′

．

(2) (P Q) ̸ = 0

のとき，

(P Q) = (RS) ⇔ { P, Q } = { R, S } ⇔ P = R, Q = S

，または，

P = S, Q = R

．

系

3.7. P, Q ∈ C

とする．このとき，

(1) − (P Q) = (P ^′ Q ^′ )

．

(2) 2(P Q) = 0

で

(P Q) ̸ = 0 ⇔ P, Q

が相異なる分岐点．

定理

3.8. (

ヤコビ多様体の加法公式

) P , Q, R, S

を一般の位置にある

C

の点とし，

M, N ∈ C

とする．このとき，

(P Q) + (RS) + (M N ) = 0 ⇔ a, b, c, d ∈ k

が存在して

P , Q, R, S, M , N

は

a + bX + cX ² + dX ³ − Y

の零点となる．

3

(4)

アルゴリズム

3.9. P = (x ₁ , y ₁ ), Q = (x ₂ , y ₂ ), R = (x ₃ , y ₃ ), S = (x ₄ , y ₄ )

とおく．

a + bX + cX ² + dX ³

を

(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ), (x 4 , y 4 )

に対する

Lagrange

の補間多項式とする．このとき，連

立方程式







Y = a + bX + cX ² + dX ³ Y ² = f (X)

の解は

(x ₁ , y ₁ ), (x ₂ , y ₂ ), (x ₃ , y ₃ ), (x ₄ , y ₄ )

の他に

(x ₅ , y ₅ ), (x ₆ , y ₆ )

で与えられる．

M = (x ₅ , y ₅ ), N = (x ₆ , y ₆ )

とおけばよい．さらにこのとき，

M ^′ = (x ₅ , − y ₅ ), N ^′ = (x ₆ , − y ₆ )

．

x ₅ , x ₆

を求めるには

X

に関する代数方程式

(a + bX + cX ² + dX ³ ) ² = f (X)

の

x 1 , x 2 , x 3 , x 4

以外の解を見出せばよい．

4 _{プログラムの手順}

Step1. 4

点

P, Q, R, S

を通る

3

次式

Y = c ₀ + c ₁ X + c ₂ X ² + c ₃ X ³

を求める．そのために連立一次方程式



 

 

1 x ₁ x ² ₁ x ³ ₁ 1 x 2 x ² ₂ x ³ ₂ 1 x 3 x ² ₃ x ³ ₃ 1 x 4 x ² ₄ x ³ ₄



 

 



 

  c ₀ c 1

c 2

c 3



 

 



 

  y ₁ y 2

y 3

y 4



 

 

を掃出法によって解く．

Step2.

連立方程式







Y = c 0 + c 1 X + c 2 X ² + c 3 X ³ Y ² = X ⁵ + aX ³ + bX ² + cX + d

を解く．

Step2a. g(X) = (c ₀ + c ₁ X + c ₂ X ² + c ₃ X ³ ) ² − (X ⁵ + aX ³ + bX ² + cX + d)

とおく．

Step2b. g(X) = (X − x ₁ )(X − x ₂ )(X − x ₃ )(X − x ₄ )(pX ² +qX +r)

と因数分解する．

(pX ² +qX +r)

は組み立て除法によって計算する．

Step2c.

方程式

pX ² + qX + r = 0

を解く．

p = 0

なら一次方程式の解の公式を，

p ̸ = 0

なら二次方程式の解の公式を適用する．

Step2d. Step2c

で求めた方程式

pX ² + qX + r = 0

の解を

Y = c 0 + c 1 X + c 2 X ² + c 3 X ³

に代入する．

種数２の超楕円曲線の因子に対する加法公式