数 学 特 論
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楕円関数入門
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2013 Fall Semester N. Yamada Version:2013.9.3
目次
Chapter 0. Preliminalies (1–3) 曲線、弧長、線素 Chapter 1. 楕円の弧長 (4–16) 楕円の弧長、楕円積分、正弦曲線、レムニスケートの弧長 Chapter 2. 楕円積分 (17–29) 楕円積分、円環のポテンシャル、非線形バネ、単振り子 Chapter 3. ヤコビの楕円関数 (30–49) ヤコビの楕円関数、楕円関数の微分、楕円の性質 Chapter 4. なわとびのひも (50–63) 楕円関数の弧長、等速円運動、なわとびのロープ、変分原理 Chapter 5. 加法定理 (64–70) 加法定理、別の表現 Chapter 6. 複素変数への拡張 (71–82) 純虚数への拡張、複素数への拡張、2 重周期性 参考書： 戸田盛和、楕円関数入門、日本評論社、2011, ISBN 978-4-535-60128-4. The latest version is available from the URL:http://www.sm.fukuoka-u.ac.jp/ nyamada/講義ノート 1むにゃむにゃ想 定 問答集： Q: せ ん せ 先生、ものすごいページ数でっせ。あのぉ、これご っ つ ほ ん ま本当に全部講義しはるんでみ な すかぁ？っ A: うぅん。 せ そうやなぁ、どないしょううするかなぁ。まぁ、でたとこ所勝負と言うか、っちゅ 行きあたりばっい たりと言うか…っちゅ Q: 試験も やりはる あ る んですやろ？ A: そらぁ、 せ な しないといけないことになっとるがな。あ か ん Q: よろしゅうたのんまっせぇ。 A: せ そうやなぁ何処のどっか えらいさん× × みたいに peanuts,よっしゃ peanutsよっしゃ っちゅ というわけにはいかんからなぁ、さ か い んんん、まぁ、ぼちぼち や り 講義しながら考えるわ。 Q: (この せんせ 先 生、 よぅまぁこんなあほなこと、問答考えてはるわ。)やっ
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準備
平面上の曲線は、パラメータ t を用いて (x(t), y(t)), a ≦ t ≦ b と表される。 (x(a), y(a)) から測った弧長は s = ∫ t a √( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt で求められる。これは、 [a, b] の分割 a = t0 < t1 <· · · < tn= b によってできる曲線の分点 {(x(ti), y(ti))}ni=0 を結んでできる折れ線の長 さの極限である。 弧長を s(t) とすると ds dt = √( dx dt )2 + ( dy dt )2 である。 ds = √( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt を (パラメータ t で表された) 線素 (line element) という。線素はパラ メータに依存しないので、 ds =√( dx)2 + ( dy)2 と表すと便利である。 この記法を用いると s = ∫ s 0 ds =∫ t a √( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt と簡明に表される。曲線のパラメータとして弧長 s をとることができる。 これを弧長パラメータという。 曲線 (x(t), y(t)) の (一つの) 接ベクトルは T (t) = ( dx dt, dy dt )である。その長さは ∥T (t)∥2 = ( dx dt )2 + ( dy dt )2 = ( ds dt )2 と求められる。曲線が弧長パラメータで表されているときには ∥T (s)∥2 = ( dx ds )2 + ( dy ds )2 = (( dx dt )2 + ( dy dt )2) ( dt ds )2 = ( ds dt )2( dt ds )2 = 1 となり、接ベクトルは単位ベクトルになる。 例題 0.1 曲線が関数 y = f (x) のグラフになっているときの線素は ds =√1 + ( dy)2 である。 曲線が極座標で (r(t), θ(t)) と表されているときには
x(t) = r(t) cos θ(t), y(t) = r(t) sin θ(t)
なので dx dt = dr dt cos θ− r sin θ dθ dt dy dt = dr dt sin θ + r cos θ dθ dt となり、線素の記号で表すと dx = dr cos θ− r sin θ dθ dy = dr sin θ + r cos θ dθ
となり、
( ds)2 = ( dx)2+ ( dy)2
= ( dr)2cos2θ− 2r dr sin θ cos θ dθ + r2sin2θ( dθ)2
+ ( dr)2sin2θ + 2r dr sin θ cos θ dθ + r2cos2θ( dθ)2
= ( dr)2+ r2( dθ)2 である。従って線素の極座標表示は ds =√( dr)2+ r2( dθ)2 である。 例題 0.2 原点中心、半径 ρ の円周は極座標で r(θ) = ρ, θ = θ と、パラメータ θ を用いて表されるので、線素は ds =√0 + ρ2 = ρ で ある。従って円周の長さが s = ∫ 2π 0 ds = ∫ 2π 0 ρ dθ = 2πρ という周知の関係式が得られる。 問題 0.1 弧長パラメータに関する線素を求めよ。これにより曲線の線素 ds がパラメータに依存しないことがわかる。 問題 0.2 √x +√y = 1 (0≦ x ≦ 1) で定まる曲線の線素を求め、全長を 求めよ。 問題 0.3 x-y 平面内で、傾き m の直線の線素を求めよ。これがピタゴラ ス2の定理 (3 平方の定理) を表していることを説明せよ。 2Pythagoras (circa 750B. C.–??)
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楕円の弧長
平面上の楕円の方程式は x2 a2 + y2 b2 = 1 である。パラメータ θ を用いて x = a cos θ, y = b sin θ とも表される。 周知のように円柱を平面で切った切り口は楕円になる。 例題 1.1 具体的に円柱 x2+ y2 = 1 と平面 −y + z = 0 で考える。 平面上の直交ベクトル (1, 0, 0), (0, 1, 1) と法線ベクトル (0,−1, 1) ででき る直交行列は P = 1 0 0 0 1/√2 1/√2 0 −1/√2 1/√2 であり、上の三つのベクトルをそれぞれ e1, √2e2, √ 2e3 に写す。切り口 の曲線はx = cos θ, y = sin θ, z = sin θ
で表される。この曲線を P で変換 (合同変換！) すると P cos θ sin θ sin θ = cos θ √ 2 sin θ 0 となる。像は x-y 平面上の楕円である。
楕円の面積は、次のように求められる。 S = 4 ∫ a 0 b √ 1− x 2 a2 dx ( x a = u, dx = a du) = 4ab ∫ 1 0 √ 1− u2du (u = sin θ, du = cos θ dθ) = 4ab ∫ π/2 0 cos2θ dθ = 4ab ∫ π/2 0 1 + cos 2θ 2 dθ = abπ これに対して、楕円の弧長を考える。 y 軸の正の部分から右回りに (いつもと異なる) 測った角度 φ によって、 楕円は x = a sin φ, y = b cos φ (a > b) と表される。
これを用いて弧の長さ s は s = ∫ φ 0 √( dx dφ )2 + ( dy dφ )2 dφ = ∫ φ 0 √ a2cos2φ + b2sin2φ dφ = ∫ φ 0 √ a2(1− sin2φ) + b2sin2φ dφ = a ∫ φ 0 √ 1−a 2− b2 a2 sin 2φ dφ = a ∫ φ 0 √ 1− k2sin2φ dφ ( k = √ a2− b2 a2 ) と表されるが、この不定積分は一般には求まらない。 問題 1.1 この計算を、線素を用いて行ってみよ。 定義 1.1 E(k, φ) = ∫ φ 0 √ 1− k2sin2φ dφ
を k を母数 (modulus) とする第 2 種不完全楕円積分 (imcomplete
el-liptic integral of the second kind) という。特に、
E ( k,π 2 ) = E(k) = ∫ π 2 0 √ 1− k2sin2φ dφ
を第 2 種完全楕円積分 (complete elliptic integral of the second
kind) という。 変数変換 sin φ = z を行うと、 φ = arcsin z, dφ = √ dz 1− z2 なので E(k, φ) = ∫ sin φ 0 √ 1− k2z2√ dz 1− z2 = ∫ sin φ 0 √ 1− k2z2 1− z2 dz E(k) = ∫ 1 0 √ 1− k2z2 1− z2 dz とも表される。
問題 1.2 母数 k = 0 のときに対応する楕円はどんな図形か？また E(0) の値はいくらか？ 問題 1.3 楕円 x 2 9 + y2 4 = 1 の全長を楕円積分を用いて表せ。 問題 1.4 楕円 3x2+ 2y2 = 6 の全長を楕円積分を用いて表せ。 問題 1.5 方程式 x2+ xy + y2 = 2 で表される曲線が楕円であることを確 かめ、その全長を楕円積分を用いて表せ。 問題 1.6 E(k) の z による積分表示は z = 1 で広義積分になっている。 その収束を示せ。 例題 1.2 (正弦曲線の弧長) 正弦曲線 y = b sinx a (b : 振幅、2πa : 周期、 1 a : 振動数) の長さを考えよう。 原点から P (x0, y0) までの長さ s は s = ∫ x0 0 √ 1 + ( dy dx )2 dx = ∫ x0 0 √ 1 + ( b acos x a )2 dx = ∫ x0 0 √ 1 + b 2 a2 − b2 a2 sin 2 x adx 変数変換：ϕ = x a, ϕ0 ≡ x0 a , dϕ = 1 adx = ∫ ϕ0 0 a √ 1 + b 2 a2 − b2 a2 sin 2ϕ dϕ = ∫ ϕ0 0 √ a2+ b2− b2sin2ϕ dϕ ( k2 = b 2 a2+ b2 ) =√a2+ b2 ∫ ϕ0 0 √ 1− k2sin2ϕ dϕ =√a2+ b2E(k, ϕ 0)
と求められる。第 2 種楕円積分が用いられている。 特に、x0 a = π 2 のときは ϕ0 = π 2 となるので s =√a2+ b2E(k) と、第 2 種完全楕円積分で表される。 問題 1.7 この計算を、線素を用いて行え。
定義 1.2 第 1 種不完全楕円積分 (imcomplete elliptic integral of the
first kind) を次のように定義する。 F (k, φ) = ∫ φ 0 dφ √ 1− k2sin2φ (0≦ k < 1) k を母数 (modulus) と呼ぶ。特に、 φ = π 2 のとき K(k) = F ( k,π 2 ) = ∫ π/2 0 dφ √ 1− k2sin2φ
を第 1 種完全楕円積分 (complete elliptic integral of the first kind) という。 この前にも行ったように、変数変換 z = sin φ を行うと dz = cos φ dφ だから ∫ φ 0 dφ √ 1− k2sin2φ = ∫ z 0 1 √ 1− k2z2 dz cos φ (積分の上端 z は φ に対応する z = (sin φ) の意味) = ∫ z 0 1 √ 1− k2z2 1 √ 1− sin2φdz より F (k, φ) = ∫ z 0 dz √ (1− z2)(1− k2z2) とも表される。
問題 1.8 次の関係式を確かめよ。 K(0) = ∫ π/2 0 dφ = ∫ 1 0 dz √ 1− z2 = π 2 問題 1.9 0 < k < 1 に対して K(k) の z による積分表示を求めよ。また、 それが広義積分として収束することを示せ。 例題 1.3 (レムニスケートの弧長) レムニスケート (lemniscate) は、極座 標で r2 = a2cos 2θ と表される曲線である。
x-y 座標で表すと、 x = r cos θ, y = r sin θ なので x2+ y2 = r2
x2− y2 = r2(cos2θ− sin2θ) = r2cos 2θ を用いて x2+ y2 = a 2 r2(x 2− y2) より (x2+ y2)2 = a2(x2− y2) と表される。 もっと別の表し方もできる。 x2+ y2 = a2cos2ϕ, x2− y2 = a2cos4ϕ
と置くことにより (どこからこんなことを思いつくのだろう) x2 = a 2 2 (cos 2ϕ + cos4ϕ) = a 2 2 cos 2ϕ(1 + cos2ϕ) = a 2 2 cos 2 ϕ(2− sin2ϕ) = a2cos2ϕ ( 1− 1 2sin 2ϕ ) y2 = a 2 2 (cos 2ϕ− cos4ϕ) = a 2 2 cos 2ϕ(1− cos2ϕ) = 1 2a 2cos2ϕ sin2ϕ となる。すなわち x = a cos ϕ √ 1− 1 2sin 2ϕ y = √a 2sin ϕ cos ϕ と表される。ϕ = 0 のとき (a, 0), ϕ = π 2 のとき (0, 0) である。 さて、このパラメータ表示を用いてレムニスケートの弧長を求めよう。 これまでの計算と問題を解いてみて分かったように、線素を用いる計算 が簡明である。線素を計算しよう。 dx = −a sin ϕ √ 1−1 2sin
2ϕ + a cos ϕ − sin ϕ cos ϕ 2 √ 1− 12sin2ϕ dϕ = √ a sin ϕ 1−12 sin2ϕ ( − ( 1−1 2sin 2ϕ ) − 1 2cos 2ϕ ) dϕ = √ a sin ϕ 1−12 sin2ϕ ( −3 2 + sin 2ϕ ) dϕ dy = √a 2(cos 2ϕ− sin2ϕ) dϕ = √a 2(1− 2 sin 2 ϕ) dϕ
なので ( ds)2 = ( dx)2+ ( dy)2 = { a2sin2ϕ 1− 1 2sin 2ϕ ( −3 2+ sin 2 ϕ )2 + a 2 2(1− 2 sin 2 ϕ)2 } ( dϕ)2 となる。ここで {· · · } のなかを取り出して計算する。 a 2 1− 12sin2ϕ を くくりだしたとして、残るものを計算すると sin2ϕ ( −3 2 + sin 2 ϕ )2 +1 2(1− 2 sin 2 ϕ)2 ( 1− 1 2sin 2 ϕ ) = sin2ϕ ( 9 4− 3 sin 2ϕ + sin4ϕ ) + 1 2(1− 4 sin 2ϕ + 4 sin4ϕ) ( 1− 1 2sin 2ϕ ) = sin2ϕ ( 9 4− 3 sin 2ϕ + sin4ϕ ) + 1 2 ( 1− 9 2sin 2ϕ + 6 sin4ϕ− 2 sin6ϕ ) = 1 2 (これは驚いた！！) となる。これより ( ds)2 = a 2 1− 12sin2ϕ 1 2( dϕ) 2 ds = √a 2 dϕ √ 1− 12sin2ϕ なので、レムニスケートの弧長は s = √a 2 ∫ ϕ 0 dϕ √ 1− 1 2sin 2ϕ = √a 2F ( 1 √ 2, ϕ )
と表される。2 つのループをまわる全長は、 ϕ = π 2 のときの 4 倍で s(全長) = 4√a 2 ∫ π/2 0 dϕ √ 1− 12sin2ϕ = 4√a 2K ( 1 √ 2 ) と求められる。 注意: (ここからの小さい文字の部分は、時間があれば話すことにする。） レムニスケートは、 x = az + z 3 1 + z4, y = a z− z3 1 + z4 というもう一つのパラメータ表示を持っている。実際、 x2+ y2= 2a 2(z2+ z6) (1 + z4)2 = 2a2z2 1 + z4 x2− y2= 4a 2z4 (1 + z4)2 なので (x2+ y2)2 = a2(x2− y2) をみたしている。このパラメータによる線素を計算すると dx = a (1 + z4)2(1 + 3z 2− 3z4− z6) dz dy = a (1 + z4)2(1− 3z 2− 3z4+ z6) dz なので ( ds)2 = ( dx)2+ ( dy)2 = a 2 (1 + z4)4{(1 + 3z 2− 3z4− z6)2+ (1− 3z2− 3z4+ z6)2}( dz)2 = 2a 2(1 + z4)3 (1 + z4)4 ( dz) 2 = 2a 2 1 + z4(dz) 2 となる。先述のパラメータ表示 x2+ y2 = a2cos2ϕ, x2− y2= a2cos4ϕ
との関係をみてみよう。パラメータの変域はϕ : 0 → π2 と z : 1→ 0 が、方向 を込めて対応しているので、dϕと dzは符号が異なることに注意する。 ds = √a 2 dϕ √ 1−12sin2ϕ であったので a √ 2 dϕ √ 1− 12sin2ϕ =− √ 2a √ 1 + z4 dz dϕ √ 1− 12sin2ϕ =−√ 2 1 + z4 dz である。これより、 s = √a 2 ∫ ϕ 0 dϕ √ 1− 12sin2ϕ = √a 2F ( 1 √ 2, ϕ ) に代入して ∫ ϕ 0 dϕ √ 1−12sin2ϕ =−2 ∫ z 1 dz √ 1 + z4 = F ( 1 √ 2, ϕ ) より、符号と積分区間に注意して ∫ 1 z dz √ 1 + z4 = 1 2F ( 1 √ 2, ϕ ) が得られる。ϕと zの対応は、 x2+ y2 の表示式より cos ϕ = √ 2z √ 1 + z4 である。 パラメータ表示 x = az + z 3 1 + z4, y = a z− z3 1 + z4 の図形的意味を考えよう。 x + y = 2a z 1 + z4 x2+ y2 = 2a2 z 2 1 + z4
より x2+ y2= az(x + y) ( x−az 2 )2 + ( y−az 2 ) = ( az √ 2 )2 なので、レムニスケート上の点 (x, y) は、この円上にもある。この円は中心 (az 2 , az 2 ) で原点を通るので、円とレムニスケートの（原点以外の）交点になっ ている。 さて、定積分 ∫ c 0 dx √ 1− x4 を考えよう。 x2 = 1 − η2 と変数変換すると x dx = −η dη で、x : 0 → 1, η : 1→ 0であるから ∫ c 0 dx √ 1− x4 =− ∫ √ 1−c2 1 η xdη √ 2η2(1−1 2η2) = √1 2 ∫ 1 √ 1−c2 dη √ (1− η2)(1−1 2η2) (η = sin φ, dη = cos φ dφ) = √1 2 ∫ π/2 ϕ dφ √ 1−12sin2φ (c = cos ϕ) = √1 2 { F ( 1 √ 2, π 2 ) − F ( 1 √ 2, ϕ )}
である。これより ∫ 1 c dx √ 1− x4 = 1 √ 2F ( 1 √ 2, ϕ ) ∫ 1 0 dx √ 1− x4 = 1 √ 2F ( 1 √ 2, π 2 ) = √1 2K ( 1 √ 2 ) が得られる。z での表現と見比べると 1 √ 2F ( 1 √ 2, ϕ ) = ∫ 1 c dx √ 1− x4 = √ 2 ∫ 1 z dz √ 1 + z4 が得られる。ただし、 c = cos ϕ = √ 2z √ 1 + z4 である。 これらの考察より、レムニスケートの弧長は ∫ dz √ 1 + z4 や ∫ dz √ 1− z4 によっても表せる。 f (x) = ∫ x 0 dx √ 1− x4 の逆関数をガウス3のレムニスケート関数という。楕円積分の逆関数を考えるこ とは第3 章で本格的に考察する。ガウスとレムニスケートについては 高木貞治、近世数学史談、岩波文庫、2008 に興味深い記述がある。この本は 高木貞治、近世数学史談／数学雑談：復刻版、共立出版、2012 高木貞治、近世数学史談–3版、共立全書、2006 としても出版されている。数学の内容はとても難しい。 最初に、レムニスケートを極座標表示で r2 = a2cos 2θ と紹介した。このままで弧長を計算することもできる。 ds =√( dr)2+ (r dθ)2 = √ 1 + ( rdθ dr )2 dr 3F. Gauss (1777—1855)
なので 2rdr dθ =−2a 2sin 2θ rdr dθ =−a 2√1− cos22θ =−a2 √ 1−r 4 a4 rdr dθ =− √ a4− z4 1 r dθ dr =− 1 √ a4− r4 rdθ dr =− r2 √ a4− r4 より ds = √ 1 + r 4 a4− r4 dr = √ a4 a4− r4 dr = a2 √ a4− r4dr であるから、原点から測って s = ∫ r 0 a2 √ a4− r4 dr となり、全長は s(全長) = 4 ∫ a 0 a2 √ a4− r4dr (r = aσ, dr = a dσ, r : 0→ a, σ : 0 → 1) = 4 ∫ 1 0 a2 a2√1− σ4a dσ = 4a ∫ 1 0 dσ √ 1− σ4 = √4a 2K ( 1 √ 2 ) と求められる。
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楕円積分
すでに第 1 種と第 2 種の楕円積分を定義したが、ここで第 3 種も含め て、あらためてまとめて定義する。 定義 2.1 楕円積分を次のように定義する。 ∫ dz √ (1− z2)(1− k2z2) (第 1 種楕円積分) ∫ √ 1− k2z2 1− z2 dz (第 2 種楕円積分) ∫ dz (1 + nz2)√(1− z2)(1− k2z2) (第 3 種楕円積分) ここで k (0≦ k < 1) を母数、 n をパラメータという。この表記をルジャ ンドル4-ヤコビ5の標準型という。 すでに計算したことがあるように、 z = sin φ によって変数変換すると dz = cos φ dφ, √ dz 1− z2 = dφ なので、各々の楕円積分は F (k, φ) = ∫ φ 0 dφ √ 1− k2sin2φ E(k, φ) = ∫ φ 0 √ 1− k2sin2φ dφ π(k, n, φ) = ∫ φ 0 dφ (1 + n sin2φ)√1− k2sin2φ とも表される。特に、区間 [0,π 2] 上での楕円積分は K(k) = ∫ π/2 0 dφ √ 1− k2sin2φ (第 1 種完全楕円積分) E(k) = ∫ π/2 0 √ 1− k2sin2φ dφ (第 2 種完全楕円積分) 4A. M. Legendre (1752—1833) 5C. G. J. Jacobi (1804—1851)と呼ばれている。 楕円積分で表される自然現象を計算するために、ポテンシャルについ て解説する。 力の場 (ベクトル場) F (x, y, z) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)) が スカラー関数 (実数値関数) U (x, y, z) によって F =−∇U すなわち f1 =− ∂U ∂x, f2 =− ∂U ∂y, f3 =− ∂U ∂z と表されるとき U を F のポテンシャル (potential) という。力の場とし ては、質点に働く万有引力 (重力)、電荷に働くクーロン力など、いろい ろなものが考えられる。重力のもとになるポテンシャルは、位置エネル ギーとも呼ばれる。 たとえば、原点に質量 1 の質点があるときに生ずるポテンシャルは、 原点から距離 r にある点 P (x, y, z) では U (x, y, z) = 1 r = 1 √ x2+ y2+ z2 である。このポテンシャルによって点 P では −∇U = (x r3, y r3, z r3 ) の力が働く。ベクトルの方向は原点と P を結ぶ直線上で、その大きさは ∥∇U∥ = 1 r2 であり、万有引力の法則「2 点を結ぶ直線に沿って、距離の 2 乗に反比 例する」を表している。 例題 2.1 (円輪 (リング) のポテンシャル) 一様な線密度をもつ円輪が垂 直な平面内にあるときの万有引力のポテンシャルを求めよう。 円輪は線密度 (単位長さあたりの質量) 1 で、 y-z 平面内にあり、原点 中心、半径 r とする。円輪上の点 Q は Q(0, r cos θ, r sin θ) と表される。 x-y 平面上の点 P (a, b, 0) におけるポテンシャルを求めよ う。(円輪上に電荷がある時の電場を求めると考えても同じである。)
円輪上の点 Q による P でのポテンシャルは 1 P Q である。 P Q = √ a2+ (b− r cos θ)2+ r2sin2θ =√a2+ b2+ r2− 2br cos θ =√a2+ (b + r)2 − 2br(1 + cos θ) = √ a2+ (b + r)2 − 4br cos2 θ 2 であり、円輪全体によるポテンシャルは、円輪にそって積分すればよい。 半径 r の円の線素は r dθ なので U = ∫ 2π 0 r P Qdθ = 2 ∫ π 0 r P Qdθ となる。ここで上下対称であることを用いている。従って U = 2r ∫ π 0 dθ √ a2+ (b + r)2− 4br cos2 θ 2 である。 k2 = 4br a2+ (b + r)2 とおき、 θ = π− 2φ と変数変換する。 dθ = −2 dφ であることと cosθ 2 =
cos(π2 − φ) = sin φ に注意すると U = √ 2r a2+ (b + r)2 ∫ π 0 dθ √ 1− k2cos2 θ 2 = √ 4r a2+ (b + r)2 ∫ π/2 0 dφ √ 1− k2sin2φ = 4r k 2√br ∫ π/2 0 dφ √ 1− k2sin2φ = 2k √ r bK(k) と、求めるポテンシャルが完全楕円積分を用いて表される。 例題 2.2 (非線形バネ) バネは伸びたり縮んだりすると元に戻ろうとする 力が働く。バネの変位 (伸び、縮み) と力が比例すると考えるのがフック6 の法則である。Newton7の運動方程式「力 = 質量× 加速度」をバネの振 動にあてはめると、次のように考えられる。 静止したバネの終端 (おもりの位置) を原点とし、 x 軸に沿って運動す るものとする。摩擦は考慮しない。 おもりの変位を x(t) とすると x′(t) : 速度 x′′(t) : 加速度 6R. Hooke (1635—1703) 7I. Newton (1642—1727)
である。従ってフックの法則は x′′(t) =−αx(t) で表される。 α は比例定数 (バネ定数) である。符号は復元力であること から定まる。これは 2 階定数係数線形常微分方程式であり、基本解が x1(t) = cos √ αt, x2(t) = sin √ αt 一般解が x(t) = Ax1(t) + Bx2(t) と求められる。 バネによる力 f (x) が f (x) =−(αx + βx3) と与えられる場合を考える。その理由を説明する。一般に f (x) は複雑 な関数である。しかし、 f (0) = 0 は仮定してよい。変位がなければ力 も働かないからである。f (x) を x ＝ 0 でテイラー8展開して近似する と、第 1 近似は f (x)≈ −αx となる。符号は力がもとに戻るように働く ことを表している。これがフックの法則である。次のオーダーの近似は f (x)≈ −αx − βx3 となる。バネによる力は変位 x と符号が異なる (復元 力) ので x2 の項は現れない。 従って運動方程式は md 2x dt2 =−(αx + βx 3) となる。 β ̸= 0 の場合を考えているので √ α mt = s (√ α m dt ds = 1 ) と変数変換して dx ds = dx dt dt ds = √ m α dx dt d2x ds2 = m α d2x dt2 8B. Taylor (1685—1731)
より d2x ds2 = m α ( −α mx− β mx 3 ) =−x − β αx 3 となる。さらに、 √ β αx = ξ とすると d2ξ ds2 = √ β α ( −x − β αx 3 ) =−(ξ + ξ3) と簡単な式になる。あらためて ξ → x, s → t と記号を変えれば、運動方程式は d2x dt2 =−(x + x 3) となる。このように独立変数 t, 従属変数 x に定数倍の変数変換を加える ことをスケール変換という。時間や長さを測る基準を変えることに相当 する。数学ではこのようにうまくスケール変換を行って方程式を簡明な 形に書き換えて考察することが多い。 これに対して、具体的な問題を扱う物理や工学の分野ではスケール変 換で実際の問題の感覚が失われることを懸念してもとの方程式のままで 扱うことも多いようである。 ここでは以後 d2x dt2 =−(x + x 3) を考える。そして、最後にスケールをもとに戻してみることにする。 方程式の両辺に dx/dt を掛けて不定積分をとる。 ∫ dx2 dt2 dx dtdt = ∫ −(x + x3)dx dtdt
左辺に部分積分を用いて計算すると 1 2 ( dx dt )2 = E−x 2 2 − x4 4 が得られる。 E は積分定数であるが、物理的には全エネルギーを表して いる。 1 2 ( dx dt )2 : 運動エネルギー U = x 2 2 + x4 4 : 位置エネルギー である。また、この関係式は E が時間に関して一定であること、すなわ ち、エネルギー保存則を表している。このように運動方程式に dx/dt を 掛けて積分し、何らかの情報を得る方法を (広い意味で) エネルギー法と 呼んでいる。 さて、 dx dt =± √ 2E− x2−x 4 2 t =± ∫ x dx √ 2E− x2− x4 2 である。実際の運動は、根号内が正の範囲で実現する。dx dt = 0 となるの は振幅が最大となるときである。これは、 U = E (全エネルギーが位置 エネルギーで実現される) のときと言っても同じである。このときの x を a とする。
つまり、 2E− a2− a 4 2 = 0 すなわち a4+ 2a2− 4E = 0 より a2 =−1 +√1 + 4E である。これより、 2E− x2− 1 2x 4 = 1 2(a 2− x2)(2 + a2+ x2) と因数分解できる (一つの解が a2, 解の和が−2 であるから)。 そこで、 x = a cos φ と変換すると dx =−a sin φ dφ x2 = a2cos2φ = a2(1− sin2φ) より a2 − x2 = a2sin2φ 2 + a2+ x2 = 2 + a2+ a2(1− sin2φ) = 2(1 + a2)− a2sin2φ なので t =±√2 ∫ φ −a sin φ a sin φ√2(1 + a2)− a2sin2φdφ =±√2 ∫ φ dφ √ 2(1 + a2)− a2sin2φ =±√ 1 1 + a2 ∫ φ dφ √ 1− k2sin2φ where k2 = a 2 2(1 + a2) =± √ 2 a kF (k, φ)
となる。振動の周期 T は φ が 2π = 4· π 2 となるときなので T = 4 √ 2 a kK(k) である。 もとのスケールに戻そう。 √ α mt = s, √ β αx = ξ だったので dx dt = √ α β dξ ds ds dt = α √ mβ dξ ds E(x) = m ( dx dt )2 = α 2 β E(ξ) より、もとのスケールに戻るには 時間 t(ξ で測った) に √ m α を掛ける エネルギー E(ξ で測った) は β α2 で置き換える ことになる。 もとのスケールで t, x, E を t(x), x(x), E(x), 変換したスケールで s = t(s), ξ = x(ξ), E(ξ) などと表すことにする。 a2 は x2 に関する方程式の解であるから a は x と同じ (物理) 次元をも つ。(これが x = a cos φ と変換した根拠である。 φ は無次元量である。) 従って a の変換も x に準じて a(x)2 = α βa(ξ) 2 なので a(x)2 = α β ( −1 + √ 1 + 4β α2E(x) ) = 1 β ( −α +√α + 4βE(x) )
と表される。さらに k(ξ)2 = a(ξ)2 2(1 + a(ξ)2) = β αa(x) 2 2(1 + βαa(x)2) = βa(x) 2 2(α + βa(x)2) = k(x)2 を用いて t(x) =± √ m αt(ξ) =± √ m α 1 √ 1 + a(ξ)2 ∫ φ dφ √ 1− k(ξ)2sin2φ =± √ m α 1 √ 1 + βαa(x)2 ∫ φ dφ √ 1− k(x)2sin2φ =± √ m √ α + βa(x)2 ∫ φ dφ √ 1− k(x)2sin2φ と表される。これより、周期 T は T = 4 √ m √ α + βa2 ∫ π/2 0 dφ √ 1− k2sin2φ = 4 √ m √ α + βa2K(k) と求められる。 β = 0 のときがフックの法則に従う線形方程式で md 2x dt2 =−αx である。基本解は cos √ α m, sin √ α m なので、解の周期は T0 = 2π √ m α である。 β > 0 のときの周期 T = 4 √ m √ α + βa2K(k) ( k2 = βa 2 2(α + βa2) )
で β → 0 とすると k → 0 なので K(0) = π 2 より T0 = 4√m √ α π 2 = 2π √ m α と、連続的に結ばれている。 例題 2.3 (振り子の振動) 単振り子 (重さの無視できるひもに下げられた 質点が平面内を運動する振り子) を考える。最大の振れ角を α とし、角 変数を θ(t) とする。 糸の長さを ℓ, 質量を m とすると 運動エネルギー : m 2 ( ℓdθ dt )2 位置エネルギー : mgℓ(1− cos θ) と与えられるので、全エネルギーは m 2 ( ℓdθ dt )2 + mgℓ(1− cos θ) = E で与えられる (g は重力加速度)。 θ = α のときには運動エネルギーが 0 になるので E = mgℓ(1− cos α) である。 m 2 ( ℓdθ dt )2 + mgℓ(1− cos θ) = mgℓ(1 − cos α)
より cos θ− cos α = 2 ( sin2 α 2 − sin 2 θ 2 ) を用いて dθ dt = 2 √ g ℓ √ k2− sin2 θ 2 である。ここで k2 = sin2 α 2 と置いた。 sinθ2 ≦ k なので sinθ 2 = k sin φ とおくことができて dθ dt = 2 √ g ℓk cos φ と表せる。また、 θ = 2 arcsin(k sin φ) と表せるので dθ = √ 2k cos φ 1− k2sin2φdφ であり t = ∫ t 0 dt = ∫ dt dθdθ = ∫ 1 2 √ ℓ g dθ k cos φ = 1 2 √ ℓ g ∫ 1 k cos φ 2k cos φ √ 1− k2sin2φdφ = √ ℓ g ∫ dφ √ 1− k2sin2φ より ∫ φ 0 dφ √ 1− k2sin2φ = √ g ℓ ∫ t 0 dt = √ g ℓt
となるので t = √ ℓ gF (k, φ) と表される。周期 T は θ = 0 から θ = α すなわち φ = 0 から φ = π 2 ま での 4 倍だから T = 4 √ ℓ gK(k) と求められる。 振幅 α が十分小さいときは、k が十分小さいことに対応する。 k → 0 とすると T0 = 2π √ ℓ g が得られる。具体的に地表では g = 9.8 (m/s2) である。 π≈ 3.14 を用い、 ℓ = 0.25 (m) とすると T0 = 1.0030 (s) と求められる。振り子時計の振り子が約 25 cm である理由はこれで理解 できる。もっとも、現代の振り子時計はクォーツで制御されていて、振 り子は単なる飾りにすぎない。振り子の長さを微妙に調節して時計の進 み遅れを調整するなどという行為は想像できないだろう。 問題 2.1 電卓を用いて T0 を実際に求めて、上の数値を確かめよ。 問題 2.2 月面上での重力定数は 1.617 m/s2 であるという。月面上の振り 子が 1 秒の周期を持つようにするには、振り子の長さをどれくらいにす ればよいか？
3
ヤコビの楕円関数
正弦関数 (sin) は最初、三角比として習い、続いて円を用いて一般の関 数として定義した。逆三角関数はその後になって導入し、それらの微分、 積分が計算できるようになった。 これに対し、まず定積分 y = ∫ x 0 dx √ 1− x2 (−1 ≦ x ≦ 1) によって関数 y = arcsin x を定義し、この逆関数として x = sin y を定義することが考えられる。 問題 3.1 上の広義積分が収束することを示せ。また逆関数が定義できる ことを示せ。 これだけでは新しいことができたわけではないが、この発想の転換を 参考にして次のようにして考えることができる。 定義 3.1 関数 u = sn−1x を u = ∫ x 0 dx √ (1− x2)(1− k2x2) = sn −1x によって定義する。母数も明記するときには u = sn−1(x, k) (0≦ k < 1) と表す。この逆関数を考えて関数 sn を x = sn u = sn (u, k) と定義する。これをヤコビの sn 関数という。 u = sn−1x の定義域は−1 ≦ x ≦ 1 であり、値域は −K(k) ≦ u ≦ K(k) である。三角関数のときと同様に (sn u)2 を sn2u と表す。これから導入 する他の楕円関数についても同じである。 問題 3.2 sn−1 の広義積分が収束すること、逆関数が定義できることを確 かめよ。 sn の定義域、値域を確かめよ。問題 3.3 sn(−K(k), k), sn (0, k), sn (K(k), k) の値を求めよ。 関数 x = sn u の定義域は −K(k) ≦ u ≦ K(k) である。これを拡張す ることを考える。 K(k)≦ u ≦ 3K(k) の範囲では sn(u, k) = sn(2K− u, k) とおくと u = K に関して対称に拡張していることから u = K(k) で連 続で sn(3K, k) =− sn(K, k) = −1 = sn(−K, k) となるので、周期関数としてR 上に拡張することができる。以下、拡張 したものも同じ記号で sn(u, k) と表す。 定義 3.2 ヤコビの楕円関数の仲間である cn u = cn(u, k), dn u = dn(u, k) を次のように定義する。 cn u = √1− sn2u (−K(k) ≦ u ≦ K(k)) or cn2u = 1− sn2u dn u = √1− k2sn2u (−K(k) ≦ u ≦ K(k)) or dn2u = 1− k2sn2u 特に k ＝ 0 の場合は K(0) = π 2 であり sn(u, 0) = sin u cn(u, 0) = cos u dn(u, 0) = 1 である。 問題 3.4 k = 0 の場合について上の関係式を確かめよ。 問題 3.5 cn(−K(k), k), cn (0, k), cn (K(k), k), dn(−K(k), k), dn (0, k), dn (K(k), k) の値を求めよ。
これまでからなじみ深かった三角関数の拡張としてヤコビの楕円関数 が得られた。これらの関数が面白い (興味深い) 性質を持ったり、数学の いろいろな分野と関連をもっていることが分かると「数学的に豊かな内 容をもっている」と評価され、広く、深く研究されるようになる (実際に そうである)。さらにこれらの関数が、物理学を始めとする自然現象の解 析に役立つことが分かれば、なお一層興味深い。これらについても述べ ていきたい。 周期関数として sn u を拡張したように cn u, dn u も周期関数に拡張で きる。 cn(u, k) =− cn(u − 2K, k) (K ≦ u ≦ 3K) dn(u, k) = dn(u− 2K, k) (K ≦ u ≦ 3K) と拡張し、他の区間でも同様にする。これによって sn(u, k), cn(u, k) は周期 4K(k), dn(u, k) は周期 2K(k) となる。 問題 3.6 cn u, dn u について周期を確かめよ。 この拡張で 3 つの関数はいずれもR 上の滑らかな関数になる。今のと ころは周期の端点 (−K, K など) では連続に拡張しただけだが、後に述 べる (予定の) 微分や加法定理を用いると滑らかさが確かめられる。 母数について、k = 1 の場合も考えたいので、準備として双曲線関数 を復習する。 sinh x = e x− e−x 2 , cosh x = ex+ e−x 2 とおく。 cosh2x− sinh2 = 1
(sinh x)′ = cosh x, (cosh x)′ = sinh x がなりたつ。
tanh x = sinh x
cosh x, sech x = 1 cosh x
とおく。 (tanh x)′ = 1 cosh2x = sech 2 x, 1− tanh2x = 1 cosh2x がなりたつ。これらは簡単に確かめられる。 それぞれのグラフは上のようになっていて、tanh x の逆関数について d dxtanh −1x = cosh2 y = 1 1− tanh2y = 1 1− x2 である。 さて、 u = ∫ x 0 dx √ (1− x2)(1− k2x2) で k = 1 とすると u|k=1 = ∫ x 0 dx 1− x2 = tanh −1x なので sn(u, 1) = tanh u である。また、 cn(u, 1) = dn(u, 1) = 1 cosh u もすぐにわかる。 問題 3.7 これらを確かめよ。
sn(u, k), cn(u, k), dn(u, k) のグラフの概形は Maple や Maxima などの ソフトウェアを用いて描くことができる。たとえば Maple のコマンドは
plot(JacobiSN(u,0.5), u=-5..5); plot(JacobiCN(u,0.5), u=-5..5);
plot(JacobiDN(u,0.5), u=-5..5, y=0..1);
である。実際に描いてみると次のようなグラフが得られる。
sn(u, 0.5)
cn(u, 0.5)
K(0.5) = 1.685750355 . . . (これも Maple で求めた) なので周期も確かめ られる。 振幅関数について述べる。 u = ∫ x 0 dx √ (1− x2)(1− k2x2) = sn −1x において x = sin ϕ と変数変換すると dx = cos ϕ dϕ で u = ∫ sin ϕ 0 cos ϕ dϕ √ (1− sin2ϕ)(1− k2sin2ϕ) = ∫ sin ϕ 0 dϕ √ 1− k2sin2ϕ = sn −1(sin ϕ) と表される。 u が ϕ の関数として表された。この逆関数を am u と表し、 振幅関数 (amplitude) という。すなわち u = ∫ sin ϕ 0 dϕ √ 1− k2sin2ϕ = am −1ϕ ϕ = am u = am(u, k) であり、さらに x = sin ϕ = sin(am u) u = am−1ϕ = sn−1(sin ϕ) sn u = sin ϕ = sin(am u) が成り立っている。また、 cn u =√1− sn2u = √ 1− sin2(am u) = cos(am u) である。 x = sn u は最初、−1 ≦ x ≦ 1, −K ≦ u ≦ K に対して定義され、周期 4K をもつように拡張された。変数の対応は −π 2 ≦ ϕ ≦ π 2 x=sin ϕ ←→ −1 ≦ x ≦ 1 sn u ←→ −K ≦ u ≦ K
となっているので sn u = sin ϕ = sin(am u) より ϕ = am u は −K ≦ u ≦ K の範囲で −π 2 ≦ ϕ ≦ π 2 が対応し、単調増加である。 K ≦ u ≦ 3K のときは π 2 ≦ ϕ ≦ 3π 2 が対応すると考えると
sin ϕ = sin(π− ϕ) = sn u = − sn(u − 2K)
=− sin(am(u − 2K)) = sin(− am(u − 2K))
π− ϕ = − am(u − 2K) ϕ = π + am(u− 2K) = am u となり、単調増加関数9として接続できる。特に am(2K) = π am(3K) = π + am K = 3π 2 であり、一般には am(nK(k)) = nπ 2 (n∈ Z) が成り立っている。 ヤコビの楕円関数の導関数を考えよう。定義に戻ると x = sn u⇐⇒ u = ∫ x 0 dx √ (1− x2)(1− k2x2) であるから du dx = 1 √ (1− x2)(1− k2x2) である。逆関数の微分公式から dx du = √ (1− x2)(1− k2x2) =√(1− sn2u)(1− k2sn2u) = cn u dn u 9Maple の振幅関数は、−K ≦ u ≦ K を超えた区間では単調増加にはなっていない ので使う際には注意が必要である。
となる。すなわち d sn u du = cn u dn u である。特に k = 0 なら、周知の (sin u)′ = cos u である。さらに、 d cn u du = d du √ (1− sn2u) = −2 sn u 2√1− sn2u d sn u du =− sn u dn u (k = 0 のときは (cos u)′ =− sin u) d dn u du = d du √ 1− k2sn2u = −2k 2sn u 2√1− k2sn2u d sn u du =−k2sn u cn u が得られる。公式としてまとめて書いておこう。 定理 3.1 (ヤコビの楕円関数の微分) (sn u)′ = cn u dn u (cn u)′ =− sn u dn u (dn u)′ =−k2sn u cn u 問題 3.8 sn u, cn u, dn u について u = 0, u =±K での導関数の値を求 めよ。これから周期関数として拡張した関数の滑らかさが確かめられる。 問題 3.9 d 2sn u du2 , d2cn u du2 , d2dn u du2 を求めよ。 もう一度定義に戻ると sn−1x = ∫ x 0 dx √ (1− x2)(1− k2x2) であった。 cn−1x や dn−1x に対してもこれに対応する積分表示を求め
ることができる。次のように計算する。 (cn u)′ =− sn u dn u =−√1− x2√1− k2(1− x2) (here, x = cn u) dx du =− √ 1− x2√1− k2(1− x2) =−√1− x2√k′2+ k2x2 (where k′2= 1− k2) u =− ∫ x 1 dx √ (1− x2)(k′2+ k2x2) (積分の下端 x = 1 は u = 0 のとき x = cn 0 = 1 であるから) u = ∫ 1 x dx √ (1− x2)(k′2+ k2x2) と計算できる。また、dn2u = 1− k2sn2u より sn2u = 1 k2(1− dn 2 u) cn2u = 1− sn2u = 1 k2(dn 2 u + k2− 1) = 1 k2(dn 2 u− k′2) (here, k′2 = 1− k2) なので、(dn u)′ =−k2sn u cn u より dx du =−k 21 k √ 1− x21 k √ x2− k′2 =− √ (1− x2)(x2− k′2) (where x = dn u) u =− ∫ x 1 dx √ (1− x2)(x2 − k′2) (積分の下端 x = 1 は u = 0 のとき x = dn 0 = 1 であるから) = ∫ 1 x dx √ (1− x2)(x2− k′2) と計算できる。積分表示をまとめておこう。
定理 3.2 (楕円関数の逆関数の積分表示) sn−1(x, k) = ∫ x 0 dx √ (1− x2)(1− k2x2) cn−1(x, k) = ∫ 1 x dx √ (1− x2)(k′2+ k2x2) dn−1(x, k) = ∫ 1 x dx √ (1− x2)(x2− k′2) (where k′2= 1− k2) 第 1 種楕円積分 F (k, φ) = ∫ φ 0 dφ √ 1− k2sin2φ は、変数変換 u = sin φ により、 du = cos φ dφ なので F (k, φ) = ∫ u 0 du √ 1− u2√1− k2u2 と表された。すなわち、 F (k, φ) = sn−1u であり、第 1 種楕円積分は sn u に他ならない。第 2 種、第 3 種楕円積分 についてはどうだろうか？ 第 2 種楕円積分 E(k, ϕ) = ∫ ϕ 0 √ 1− k2sin2ϕ dϕ において sin ϕ = sn u と変換すると、cos ϕ = cn u に注意して cos ϕ dϕ = cn u dn u du なので dϕ = dn u du である。また、 √ 1− k2sin2ϕ =√1− k2sn2u = dn u
より E(k, ϕ) = ∫ u 0 dn2u du が得られる。ここで、積分の上端 u は sin ϕ = sn u により定まっている。 ここに現れた ε(u) = ∫ u 0 dn2u du をヤコビのエ (イ) プシロン関数という。 第 3 種楕円積分 π(k, n, φ) = ∫ φ 0 dz (1 + nz2)√(1− z2)(1− k2z2) については z = sn u とおくと dz = cn u dn u du = √1− z2dn u du 1 (1 + nz2)√(1− z2)(1− k2z2) = 1 (1 + n sn2u)√1− z2dn u より π(k, n, φ) = ∫ u 0 du 1 + n sn2u と表される。 まとめておこう。 定理 3.3 (楕円積分の表示式) F (k, ϕ) = sn−1u (第 1 種楕円積分) E(k, ϕ) = ∫ u 0 dn2u du (第 2 種楕円積分) π(k, n, φ) = ∫ u 0 du 1 + n sn2u (第 3 種楕円積分) 楕円 x2 a2 + y2 b2 = 1 (a≧ b > 0) に戻って、楕円関数を用いてその性質を調べよう。
パラメータ ϕ を用いて、この楕円を x = a sin ϕ, y = b cos ϕ とパラメータ表示する。パラメータの意味は次の図のようになっている。 ϕ = am(u, k) とおくと x = a sin(am(u, k)) = a sn(u, k) y = b cos(am(u, k)) = b cn(u, k) と表される。 ここで母数 0≦ k < 1 は任意である。微分については dx = a cn u dn u du dy =−b sn u dn u du なので、弧長の線素は ds =√a2cn2u + b2sn2u dn u du となる。特に k2 = a 2− b2 a2 と選ぶと ds = a √ 1− a 2− b2 a2 sn 2u dn u du より ds = a dn2u du となる。これを用いると弧長は s = a ∫ u 0 dn2u du = aε(u) = aE(k, ϕ)
と表される。楕円の弧長を求めようとして楕円積分、楕円関数の考察を はじめたのであったことを思い起こすと、当然の結果であるといえる。 楕円のパラメータ表示 x = a sn(u, k), y = b cn(u, k) において k2 = a 2− b2 a2 とする。このとき k = √ a2− b2 a = e を離心率 (eccentricity) という。 0≦ e < 1 である。 e = 0 のときが円、 e が大きくなるに従って楕円は長く伸びて行く。
2 点 S(ae, 0), S′(−ae, 0) を楕円の焦点 (focus) という。
図の記号を用いる。 BS =√a2e2+ b2 =√a2 = a OS = ae である。 P (x, y) を楕円上の点とすると P S2 = (OS− x)2 + y2 = (ae− a sn u)2+ b2cn2u = a2(e− sn u)2+ b2(1− sn2u) = a2(e− sn u)2+ a2(1− e2)(1− sn2u) = a2(1− 2e sn u + e2sn2u)
であるから P S2 = a2(1− e sn u)2 である。また、 P S′2 = (OS + x)2 + y2 = a2(e + sn u)2+ a2(1− e2)(1− sn2u) = a2(1 + 2e sn u + e2sn2u) であるから P S′2 = a2(1 + e sn u)2 である。これより P S + P S′ = a(1− e sn u) + a(1 + e sn u) = 2a :一定 が得られる。楕円の最も基本的な性質である。 次の図を見てほしい。 ℓ を S を通る OA に垂直な半径とする。 OB = b = a√1− e2 = ae′ (where e′ = k′ =√1− e2) である。 P S ⊥ OS となる楕円上の点 P (x, y) について x = a sn u = OS = ae より e = sn u であるから ℓ の長さは P S = ℓ = y = b cn u = ae′√1− sn2u = ae′2
と求められる。 次の図を見ながら、原点から接線への距離 (接線におろした垂線の長さ) を求めよう。 円のときと異なり、楕円上の点 P (x, y) での接線に原点からおろした垂線 の足は P とは一致しない。 x = a sn u, y = b cn u と表されているので、 接線の傾きは dy dx = dy/du dx/du =− b a sn u cn u =−e ′sn u cn u であり、接線の方程式は y− b cn u = −e′sn u cn u(x− a sn u) b cn u + ae′sn 2u cn u = ae′ cn u(cn 2u + sn2u) = ae ′ cn u より y =−e′sn u cn ux + ae′ cn u となる。一般に直線 y = px + q への原点からの距離は √|q| 1 + p2 であっ たから ℓ2 = a2e′2 cn2u 1 + e′2 sncn22uu = a 2e′2 cn2u + e′2sn2u = a 2e′2 1− (1 − e′2) sn2u = a2e′2 1− e2sn2u = a 2e′2 dn2u (note that k 2 = e2)
と計算できて、 ℓ の長さは ℓ = ae ′ dn u と求められる。 ところで、焦点を「焦点」と呼ぶ理由を知っているだろうか？図を見 ながら計算しよう。 いつもの通り、楕円上の点を P (x, y) とし、パラメータ表示 x = a sn u, y = b cn u を用いる。先ほど計算したように dy dx =−e ′sn u cn u である。これより 法線の傾き: cn u e′sn u = tan θ0 SP の傾き: b cn u a sn u− ae = e′cn u sn u− e = tan θ+ S′P の傾き: b cn u a sn u + ae = e′cn u sn u + e = tan θ− と求められるので tan(θ0− θ±) = tan θ0− tan θ± 1 + tan θ0tan θ± = sn u cn u∓ e cn u − e ′2sn u cn u e′sn u(sn u∓ e) + e′cn2u = (1− e ′2) sn u cn u∓ e cn u e′∓ ee′sn u = e cn u(e sn u∓ 1) e′(1∓ e sn u) =∓ e e′ cn u
である。すなわち、 S, S′ は P での法線の両側の等しい角度の上にある。 従って、 S から出て P に達した光はここで反射して (入射角と反射角が 等しい)、 S′ に達する (vice versa)。これが「焦点」と呼んだ理由である。 注意: (ここからの小さい文字の部分は、時間があれば話すことにする。） 例題 3.1 (ザイフェルト10の球面螺旋) 半径Rの球面上の点を極座標で(R, θ, φ) と表す。 x = R sin θ cos φ y = R sin θ sin φ z = R cos θ である。 球面上の曲線 s(t) は
s(t) = (R sin θ(t) cos φ(t), R sin θ(t) sin φ(t), R cos θ(t))
と表される。線素は
( ds)2= ( dx)2+ ( dy)2+ ( dz)2
= (R cos θ cos φ dθ− R sin θ sin φ dφ)2 + (R cos θ sin φ dθ + R sin θ cos φ dφ)2 + R2sin2θ( dθ)2
= R2sin2θ(dφ)2+ R2( dθ)2
と求められる。r = R sin θ と書くと
( ds)2 = (r dφ)2+ (R dθ)2 であり、r の定義から dr = R cos θ dθ なので ( dr)2 = R2cos2θ( dθ)2 = R2(1− sin2θ)( dθ)2 = (R2− r2)( dθ)2 となり ( ds)2 = (r dφ)2+ (R dr) 2 R2− r2 と書き直せる。 この球面上で、弧の長さ s(t)が φに比例するスパイラルを考える。 Rφ(t) = ks(t) と表される。 k は比例定数で、 k = 0のとき φ(t) = 0 だからこれは x 軸の上にある子午線である k = 1のとき s(t) は大円の弧長に等しい k < 0は k > 0と対称である という性質があるから、考えるべきk の範囲は 0≦ k ≦ 1 である。曲線を微分の形で表すと dφ = k Rds なので、線素の表現から (ds)2 = k 2r2 R2 ( ds) 2+ (R dr)2 R2− r2 (ds)2 = R 4 (R2− r2)(R2− k2r2)(dr) 2 ( ds)2 R2 = R2( dr)2 (R2− r2)(R2− k2r2) となる。ここで、 x = r R
とおく。( dr)2= R2( dx)2 に注意すると ( ds)2 R2 = R4( dx)2 (R2− r2)(R2− k2r2) = ( dx) 2 (1− x2)(1− k2x2) であるから、 θ = 0 (極) から積分して s R = ∫ x 0 dx √ (1− x2)(1− k2x2) である。逆関数をとると ( x ) = r R = sn s R であり、また、 z2 = R2− r2 = R2cn2 s R なので z R = cn s R dn s R = √ 1− k2sn2 s R = √ 1− k2r 2 R2 = √ R2− k2r2 R と求められる。 幾何学的な様子がよく分かるようにk を消去したい。線素の式より R4 ( dr ds )2 = (R2− r2)(R2− k2r2) Rdr ds = √ R2− r2 √ R2− k2r2 R であり、また、球面上の線素の式より dr dθ = √ R2− r2 である。したがって Rdr ds = √ R2− k2r2 R dr dθ Rdθ ds = √ R2− k2r2 R となる。 Rdθ ds は半径 R の球面上の極からみた角 θ を曲線に沿って微分したものであ る。図のように
α を曲線と子午線の交わる角度とすると Rdθ ds = cos α と表される。したがって sn s R = r R cn s R = z R dn s R = cos α とすべてスパイラルの幾何学的量で表すことができた。
4
なわとびのひも
準備として、楕円関数のグラフで定まる曲線 y = b snx c の長さを計算する。 b, cを定数として関数 y = b snx c を考える。 dy dx = b ccn x c dn x c である。弧長 sについては、 ( ds)2 = ( dx)2+ ( dy)2 より ( ds dx )2 = 1 + ( dy dx )2 = 1 + ( b c )2 cn2 x cdn 2x c (cn2u = 1− sn2u = 1− 1 k2(1− dn 2u)) (dn2u = 1− k2sn2u≧ 1−k2) = 1− ( b c )2 1− k2 k2 dn 2 x c + ( b c )2 1 k2dn 4 x c と計算できる。ここで特に、b = 2k 1− k2cととると ( ds dx )2 = 1− 4 1− k2 dn 2x c + ( 2 1− k2 )2 dn4 x c となる。符号に注意すると ds dx = 2 1− k2dn 2 x c − 1 が得られる。原点からの弧長は s = ∫ x 0 ds dxdx = ∫ x 0 ( 2 1− k2dn 2 x c − 1 ) dx = 2 k′2 ∫ x 0 dn2 x c dx− x (where k ′2= 1− k2) と表せる。もう少し準備の計算を続ける。 ε(u) = ∫ u 0 dn2u duで、積分の変数変換 sin ϕ = sn u を考える。 √ 1− k2sin2ϕ = dn u cos ϕ dϕ = cn u dn u du cos ϕ = √ 1− sin2ϕ =√1− sn2u = cn u であるから dϕ = dn u du である。これより ε(u) = ∫ u 0 dn2u du = ∫ u 0 dn u dn u du = ∫ ϕ 0 √ 1− k2sin2ϕ dϕ = E(k, ϕ) と第2種楕円積分を用いて計算できる。(同じ計算をすでにしたような気がする。) 積分の端点と積分変数の混乱を避けて ∫ x 0 dn2 ξ cdξ と表すと ξ c = u, dξ = c du ξ : 0→ x, u : 0 → x c から ∫ x 0 dn2 ξ cdξ = c ∫ x/c 0 dn2u du = cε (x c ) となる。これより、先ほどの弧長について s = 2c k′2ε (x c ) − x と表せることがわかる。 x = 0 の次に曲線が x 軸と交わる点をx = 2a とする。 x = 2a⇔ sn u = 0 ⇔ u = 2K(k)
と対応しているので x c = 2a c = 2K(k) である。ただし、K(k)は第1種完全楕円積分である。したがって 1 c = K(k) a が成り立ち、変数の対応は x : 0→ 2a ⇔ u : 0 → 2K(k) ⇔ ϕ : 0 → π (by sin ϕ = sn u) となっているので、第2種楕円積分は E = E(k) = ∫ π/2 0 √ 1− k2sin2ϕ dϕ = ∫ K 0 dn2u du = ε(K) である。よってx＝0から x = 2a までの弧長の全長は ℓ = 2c k′22E− 2a = 4aE Kk′2 − 2a と求められる。 話題を変える。質点が x(t) = r cos ωt y(t) = r sin ωt に従って運動しているとする。 x2+ y2 = r2: 定数 ω : 定数 であるから、この運動は等速円運動である。ω を角速度という。また 振幅: r, 周期: T = 2π ω , 振動数: ν = ω 2π である。この運動の速度は v(t) = (x′(t), y′(t)) = (−rω sin ωt, rω cos ωt) = rω(− sin ωt, cos ωt)
と求められ、方向は円の接線方向、速度の大きさがrω である。また、この質点 に働く加速度は f = v′(t) =−rω2(cos ωt, sin ωt) であり、円の中心に向かう方向で大きさrω2 である。 質点に働く力は(質量)× f で求められる。これを向心力という。その反作用 が遠心力で、円の中心から外側に向かう方向に、大きさ(質量)× rω2 で働く。 なわとびのロープの形を考える。両端を固定し、その両端を結ぶ直線をx 軸 としてロープが一定の角速度で回転しながら、常に平面内にあるとする。回転し ている平面内のロープの形を考えることで単純化されたなわとびを考えている。 固定端を結ぶ直線をx 軸、固定端をx = 0, x = 2a とする。ロープの線密度を ρとし、角速度 ω で回転しているとする。 ロープの各点に働く力のつり合いを考える。各点に働く力は次の通りである。 張力 T : これは接線方向に働く 遠心力: これは今の仮定から y 軸方向に働く ロープに働く重力は考えないものとする。 これらがx 軸方向、y 軸方向でそれぞれつり合っている。
