１
[2014 北海道大]
とする。
関数 の極大値と極小値，およびそのときの を求めよ。
曲線 に 点 ， と ， で接する直線の方程式を求め よ。
解説
から
とすると ， ，
… … … …
の増減表は右のようになる。
よって， は で極小値 ， で極大値 ， で極小値 をとる。
， ， ， とする。
より，直線 は 軸に平行でないから，直線 の方程式を とする。
このとき，曲線 と直線 は 点 ， で接するから
…… ① とおける。
右辺
であるから，① の両辺の係数を比較すると
より
より
ゆえに ，
よって，求める直線の方程式は
２
[2012 大阪大] 整数問題
次の つの条件 ， を満たす自然数 について考える。
は素数ではない。
， を でも でもない の正の約数とすると，必ず である。
が偶数のとき， ， を満たす をすべて求めよ。
が の倍数のとき， ， を満たす をすべて求めよ。
の範囲で， ， を満たす をすべて求めよ。
解説
が偶数のとき， は自然数 とおける。
より でないから， は 以上である。
このとき， と は でも でもない の約数であるから， より
と 以外の の約数
満たす
， 満たす
， 満たす
すなわち
よって， は ， ， のいずれか。
これらが を満たすかどうかを 調べると，右の表のようになる。
以上から，求める の値は ， ，
が の倍数のとき， は自然数 とおける。
の には の倍数がないから， は奇数である。
また， より でないから， は 以上である。
このとき， と は でも でもない の約数であるから， より
と 以外の の約数
， 満たす
満たす
， ， ， 満たさない すなわち
よって， は ， ， のいずれか。
これらが を満たすかどうかを 調べると，右の表のようになる。
以上から，求める の値は ，
が偶数のときは， から ， ， 以下， が奇数の場合について調べる。
が奇数のとき， の最小の素因数を とすると， より は 以上の奇数，
とおける。このとき， と は でも でもない の約数であるから， より
であるから， は ， のいずれか。
したがって または のとき
この形で を満たすものは
， ， ， ， ， ， ， ， ， これらはすべて を満たす。
のとき
この形で を満たすものは
･ ， ･ ， ･ ， ･ ， ･ ， ･ ， ･ ， ･ ， ･
このうち， が素数である ･ ， ･ ， ･ ， ･ ， ･ は を満たすが，
が素数でないものは より小さい素因数をもつから， を満たさない。
以上から，求める の値は
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
-1-
３
[2016 大阪市立大] 場合の数
さいころの つの面の中から 面を選んで赤色に塗る。残った 面の中から 面を選んで 黒色に塗る。最後に残った 面は白色に塗る。なお，色を塗っても，さいころの目は判別 できるものとする。
上のような各面への色の塗り分け方は全部で何通りあるか。
赤い面が向かい合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか。
赤い面が隣り合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか。
同じ色の面がすべて隣り合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか。
同じ色の面がすべて向かい合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか。
解説
色を塗ってもさいころの目は判別できるから，回転させて同じになるような塗り方は存在 しない。
赤に塗る 面の選び方は 通り
残りの 面から，黒に塗る 面の選び方は 通り 残りの 面は白に決まる。
よって，求める塗り方の総数は 通り さいころの向かい合う 面は 組ある。
よって，赤い面が向かい合うとき，赤に塗る 面の選び方は 通りある。…… ① 残りの 面から，黒に塗る 面の選び方は 通り
残りの 面は白に決まる。
よって，求める塗り方の総数は 通り 赤の 面が隣り合うのは，赤の 面が向かい合わないときである。
よって， ， から，求める塗り方の総数は 通り
面から 面を選び赤に塗ったとき，赤の 面が隣り合う塗り方は，① から 通り
そのおのおのに対して，残りの 面を黒と白に塗り分ける方法は， 通りあるが，
そのうち， 通りは黒の 面が向かい合い， 通りは白の 面が向かい合う。
よって，残りの 面を同じ色の面が隣り合うように塗る方法は 通り
ゆえに，求める塗り方の総数は 通り
さいころの向かい合う 面は 組ある。
その 組に赤，黒，白のどの色を塗るかを考えればよいから，求める塗り方の総数は 通り
４
[2002 神戸大] 通過領域
実数 に対して， 平面上の直線 は， の値によらずある円 に 接しているものとする．
円 の方程式を求めよ．また，接点の座標を求めよ．
が の範囲を動くとき，直線の通過する範囲を図示せよ．
解説
