カルマン・フィルターモデル

カルマン・フィルターモデル

著者 田中 勝人

雑誌名 金沢大学経済論集 = The Economic Review of Kanazawa University

巻 18

ページ 172‑141

発行年 1981‑03‑31

URL http://hdl.handle.net/2297/37234

カルマン・フィルターモデル

田 中 勝 人

0．序

本論では，第1章の(1)式で定義されるカルマン・フィルター(KF)モデ ルの理論，及びその応用について議論したい。KFモデルに関する今までの 研究は，工学を中心に，物理学，経済学等，広汎な分野に及んでおり，これ らすべてを把握するのは，筆者には不可能である。又，経済学だけに限った としても，過去10年の間に，数多くの論文が出ており，これらをサーヴェイ するだけでも，相当の紙数を費す事になるので，本論では，統計学的視点か

ら，はなはだ主観的ではあるが，以下のトピックだけを取り上げる事にした

い。

まず第1章では,KFモデルを，回帰モデルの一つの拡張と考えて，その 統計的性質を議論する。ここでは，モデルに含まれる定数パラメーターを既 知として，時間と共に変化する回帰係数の，漸近的安定性に関する諸結果に

注目したい。

第2章では,KFモデルの応用として，季節変動を含むデータのモデル分 析を取り上げる。実際の分析においては，定数パラメーターは未知であるの で，推定の問題が生じるが，ここでは，シミュレーション，及び現実のデー

タを分析しながら議論を進める。そして，最後に予測を行なう。

第3章では,KFモデルが,Bo"‑兆九h航s(BJ)モデルの一つの拡張で ある，という視点に立って，二つの問題について論ずる。現在,BJモデル は，時系列解析における強力な分析手段となっており，その有効性は，数多 くの実証研究によって裏打ちされている。しかし，背後に横たわる仮定は，

回帰モデルと同様に，係数パラメーターは定数である，という事である。も ちろん，パラメーターを時間に依存させたKFモデルを考える事もできるが，

回帰モデルと違って,BJモデル固有の性質の故に，推定の手続き上，困難

な問題が生ずる。そこで，パラメーターが時間と共にある程度変化したとし

ても，その影響を敏感に受けないような推定方式が望まれる事になる。この

問題は，一般に，頑健性の問題と呼ばれるが,KFモデルを利用した，一つ

−171−

の頑健な推定方式を紹介したい。他方,BJモデルは，いわゆる ケチの原 理，に基いており，その単純さは，無視しがたいものである。我々は，常に KFモデルを使う必要もないのであり,BJモデルで事が進めば，それに越 した事はないから，データがBJモデルを許容しているかどうかを検定する 問題も，興味ある・本章では，この2点について議論したい。

1.KFモデルの性質

KFモデルは，工学のKα伽α (1960)に由来し，以後,制御理論の中核を なしており，応用面においても，非常に多くの研究がなされてきている。経 済学においても，主として1970年代になって，これに関連する論文が出てき た。経済学におけるKFモデルの有効性は，実用的観点からは，未だ明確な 結論を出すに至っていないが，このモデルの持つ様々な性質は，理論的観点 からだけでも，充分注目に値すると思われる。本章では,KFモデルを導入 後，このモデルが持つ諸性質について論じたい。

今，時点tにおいて，ル×1の説明変数ベクトル"#,観測値y@が与えられ たものとする。但し'9tは，ある分布に従う確率変数の実現値とみなすが，

苑fは，各時点において，既知で固定されているものとする。さらに,Ytを，

時点オまでの観測値｛9，，92，…,9t}の集合とする。又，β蔭を，時点tに おける回帰係数としておく。この時,KFモデルは，

" ＝蝿β(ilj−1)+り

と表わされる。但し,8(tlオー1)は､Yt‑1を与えた時の，βtの条件つき期待 値である。即ち，β(オ￨オー1)=E(6#IY#‑1)｡又,{'7t}は，イノベーションと 呼ばれるもので,E("tIYf‑')=E("t)=0であり,さらに,条件つき分散Vαγ (77#IY:‑')も，この場合,無条件分散Vαγ("f)に等しい。しかし，一般に時

間tに依存するので，この値をo:とおく。通常の回帰モデルは，(1)の特殊な 場合で,8(flt‑1)=6,o:=｡2となり,Yt‑'にも，時間オにも依存しない。

KFモデル(1)は，観測値9#の生成過程を表現したものである。我々にとっ て興味があるのは，むしろ条件つき期待値β(tlt−1)の具体的な値である。

そこで,(1)のように条件つきで表現されたKFモデルを，無条件なKFモデ

ルに戻して考える。即ち，

ｆ

＃Ｅ 制汁 ｔ一 噸〃

一一一一

ｔ２ ９︹β

( 2 )

から出発する。ここで,{"'},{et}は，ともに無相関過程で，

E("f)=0,E(et)=0,E("2es)=0んγα〃＃,s Vαγ("f)="Vαγ(E')=Z

とする。そして，ケは正，三は非負定符号になるものとする。回帰モデルで は,Fが単位行列，二が零行列となる。さらに,{6f}は,t=0から出発 するので，凡の初期分布を考え,E(A)=6,Vαγ(A)=室とし,Aは，秘

ともEtとも無相関とする。

以上より，モデル(2)に含まれる定数パラメーターは，｛壼亘,F,B,Z}

であるが，本章では，これらの値は既知とする。さて，βtの条件つき期待値 の計算であるが,8(tlt‑1)の他に,Yfを与えた時のβfの条件つき期待値β

(tlt)も計算する事にして，まず最初に,"2,Et凡がすべて正規分布に従 うものとする。この時，我々は次のような解を得る（例えば,Juzwj"s"

(1970)，A derso α"dMooγe（1979）参照)。

B(tlオー1)=FB(オー11オー1)

B(ilt)="(#￨オー1)+Kt77f ^{( 3 )} 但し，

K2=P(tl#‑1)"@/"

壼='+";P(ilオー1)"'

"t=9#−苑;"(tlt−1)

P(21t‑1)=FP(t‑11t‑1)F'+Z P(flt)=(I‑Kf"I)P(tlt−1)。

以上の結果から明らかなように，条件つき期待値β(tlt‑1),及びβ(#lt)

の計算は，時間の経過と共に，逐次的に行なう事ができる。このようにして

得られる値，特にβ(tlｵ）を，カルマン・フィルター(KF)と呼ぶ。もっ

と一般に，任意の時点sに対して,E("tlYs)の値を計算する事も可能であ

るが，本論では触れない。ほとんど自明と思われるKFの性質としては，以

−169−

下の点をあげる事ができる。

(1){りt}は，独立で，平均0,分散ぴ:の正規分布に従う。又,KFによ る観測値の推定誤差{z/#一苑IB(tlt)}も，独立で，平均0,分散び4/

d:の正規分布に従う。この分散は，当然｡2よりも小さく，又，α:より も小さくなっている。

(II)P(tl#−1),P(#￨#)は，それぞれ,6(tlt‑1),6(tlt)の共分散行 列であり,KFの計算には，この他にofが必要であるが,KFの値は，

これらの分散を，一斉にぴ2で割っても変わらない｡即ち,KFは，ぴ2

−尺度不変である。

(m)KFの値は,Ytに関して線形であり，通常の回帰モデルに対する最小 二乗推定値と似た表現

B(ili)=P(tli)(P‑'(tlj−1)6(tli‑1)ナュw＃/o2) によって表わすこともできる。

以上は，正規性の仮定の下で得られる結果であり，もともと，条件つき平 均二乗誤差E(IIB'−a￨￨21Yt)を，αに関して最小にするものとして,6(t

lt)が得られたわけである。従って,β(オ｜ｵ）は，これを期待損失とした場 合,Bayesとなっているが，正規性の仮定をはずした場合には,(3)式のよう な形で得られるとは限らない。そして，一般には，β(tlｵ）は,Yfの線形関 数になる，という保証もない。β(オ｜ｵ）は,Ytを与えた時の，βtの条件つき 期待値であるから,Ytの分布がわからない限り，これは当然である。そこで，

正規性をはずした場合には，評価関数として，条件つきの平均二乗誤差を取 る事には変わりがないが，もっと条件をきつくして,Ytそのものではなく，

"1,"2,……，96の線形結合のクラスの中で，最小にするものを求める事に する。この時には，直交射影の考え方で，そのような解は，やはり(3)式を満 足することが示きれる。正規性をはずして，このような条件の下で得られる 解も,KFであるとしておけば，前述した性質は,(II),(III)はそのまま，

又,(I)については，独立を無相関に，正規分布をある分布に変更すれば 成立する。

以下，正規性の仮定をはずして議論する。KFは，条件つき，という制限

はあるが，β の一つの推定量である。従って，推定量としてのKFの性質を

考えるのも，興味のある所である。そのために，次の3つの概念を導入する。

定義1（一様完全可観測性）

KFモデル(2)が，一様完全可観測(UCO)であるとは，ある正の整数て】

と，正の定数C11C2が存在して，

c,I≦O(t,オ−て,)≦C2I

が，すべてのオ(>r,)に対して成立する事である。但し，

O ( t , t ‑ て , ) = 冒 皇 で I T ' s, " s " & F s'

回帰モデルの場合には,F=Iであり，この条件は，いかなるtから始ま るr,＋'(≧ﾙ）期間をとっても，多重共線とはならない事を示唆している。

一般の場合には，9sを,"f(j>s)を用いて表現した時に現われるベクトル が,"&Fs tとなっている。従って，この積和行列が正則であるという条件は，

言わば，時点＃までのr,＋1個の観測値に基いて，β を一意的に決める事が できるという，識別性の条件と解釈できる。

定義2（一様完全可制御性）

KFモデル(2)が，一様完全可制御(UCC)であるとは，ある正の整数r2 とウ正の定数C31C4が存在して，

c3I≦C(t,オーrz)≦C4I

が，すべてのｵ(＞r2）に対して成立する事である。但し，

t−1

C ( t , t 一 酌 ) = 量 ̲ 迄 F t ‑ s' Z F ' ts ‑ '

回帰モデルの場合には,Z力ざ零行列となり，この条件は，明らかに成立し ない。一方,Fが単位行列の時には，重の正則性と同値になる。一般には，

βtを，て2期前に戻して表現した時に現われる誤差項の共分散行列が,C(f, t−r2）となっている。従って，この行列が正則であるという事は，言わば，

で2期前の状態から,Es(s<t)を適当に選ぶ事により，任意の希望する状態 へ，βtを持って行く事ができる条件と解釈できる。

定 義 3 （ 一 様 漸 近 安 定 性 ）

条件つきKFモデルは,(3)の結果より，

B(tli)=(I‑Kt"i)M(t‑11t‑1)+K#"#

−167−

=G#B(t‑11t‑1)+K#z/#

と表現できる。この時，(4)が一様漸近安定(UAS)であるとは，ある正の 定数C59C6が存在して，

￨￨"t)￨￨=IIG#……G1￨￨≦C5e‑"

が，すべての＃に対して成立する事である。但し，行列ノルムIIAilは,A'A の最大固有値の平方根とする。

回帰モデルの場合には,KFがUASでない事が，簡単な例によって示さ れる(AnderSo"(1971))。

さて,KFの性質を，上に与えた定義との関連で議論しよう。まず,UC O及びUCCを仮定する。この時，次の事が示される(J(zz"j,zsﾙj(1970) 参照)。

( a ) 有 界 性

e(tli)の誤差共分散行列P(tlt)は，一様に上に有界である。従って，

P(tl#−1)もそうである。

( b ) U A S

β(オ￨ｵ）は,UASである。

(c)初期条件頑健性

任意の初期条件から出発して得られたKFを,8(tlt)とし，その誤差共 分散行列を,P(#lt)とする時,P(tl#)はP(tlt)へ収束し（オ→oo),収 束の程度は指数的である。

以上の事実は，推定量としてのKFにとっては，非常に好ましいものであ る。又,Fが単位行列の時には，β はγα兇dO77Z"qjルに従う事になるが，そ のような非定常性が入り込んでいるモデルに対しても,UASが成立すると いう点において，驚くべき事実でもある。

参考のため，通常の回帰モデルの場合の結果をあげておく。この場合には，

UCCは成立しないが,UCOは成立しているものとする。この時，

(a)'P(tli)は，零行列に収束し,#P(tlt)はt→COの時，有界である。

(b)'8(tli)は，漸近的に安定であるが，一様ではない。

(c)'P(21t)は,P(#li)に収束するが,収束の程度は，指数的ではない。

さらに，回帰モデルにおいて，係数の一部分は定数であるが，残りの部分

はγα伽dO77Z"qjんに従っている場合について考える。即ち，

"t= ( 篭 ) + ( ! ; ）

という場合である。この時には，三は零行列ではないが，特異な行列となる。

今,UCOは依然として仮定すると,(b)'及び(c)'が成立する(A"de7･so (1971))｡又，民')のKF"')(fl#)に対応する誤差共分散行列P,,(tl#)は，

(a)を満たす(A"de7･So"(1971))｡それに対して，〃のKF"2)(21t)に対応 する誤差共分散行列P22(tli)は,(a)'を満たす(H(zt(z"αka(1980))。従っ て,"2)(tlt)は，β)の一致推定量である。βI')と〃は，分離して独立に推 定する事はできず，一方の推定には他方が依存しているから，この結果は決

して自明ではなく，この点でも,KFは好ましい推定量といえる。

以上，本章では,KFモデルの性質，特にKFの推定量としての性質を中 心に述べてきたが，回帰モデルとの関連で，次の事を付言しておく。KFモ デルの最も単純な形である回帰モデルに限っていえば,KFの導出は，さら に10年遡って,Pjqcke"(1950)に端を発する。但し,KFの計算は,t

＝ルから出発しているという違いがあるが，これにより，(1)式のようにイノ ベーションリ が得られ，〃 は検定統計量としても，重要な役割を持っている

(例えば,B7･ot"",Dw･6j α"dEひα〃s(1975))｡

本章では,KFモデルに含まれるパラメーターは，すべて既知としてきた が，実際の分析においては，未知である。従って，これらを推定する必要が あるが，第2章では，経済時系列における応用として，季節変動を含むデー タを取り上げ,KFモデルによる推定，及び予測を行なう。

2．季範変動を含むデータのKF分析

月別，あるいは四半期別経済データは，ほとんどが季節変動を含んでいる。

データ分析の目的によって異なるであろうが，ともかく，季節変動の生成過

程をモデル化するというのは,不可欠な事であろう。その場合，季節変動の

パターンが，年毎に全く変わらず一定である，と仮定するのは，非現実的で

ある。実際，現在の季節変動の研究においては，時間と共に変化するものと

して，種々のモデルが提案されている。ここでは，その一例として,Hα冗冗α

(1964）のモデルを取り上げる。

−165−

今，生のデータを何らかの変換により，季節変動，及び残差項だけを含む ようなものにできたとする。そして，この値が，加法的に

"t==st+"2

と表わされるものとする。以下，我々は，9tを観測値9Stを季節変動，秘 を 残差項と呼ぶ。そして，データは，一般性を失う事なく，月別とする。この 時，もし季節変動が年毎に全く変化しないものであれば，

12

（ 6 ）

s : = Z i c ' D i #

と，ダミー変数D.jtを用いて書ける。但し,Djtはt−jが12の倍数の時は1で，

その他の時は,0である。一方,cjは．和が1となるように制限されたパラ メーターである。従って9Cjは最小二乗法により推定できる。しかし，我々 は季節変動が年毎に変わるものを考えたいので，そのために，(6)と同値な表

s , = , , c ｡ s j , , ' + 6 , s i n i , , , ) ( 7 )

に書き換える。ここで,Aj=21rj/12(j=1,……,6)であり，季節周波数 と呼ばれる。そして,Stの時間変化を考慮するために,(7)におけるαj,6.jを

tに依存させて，

s , = = l q i ' c ｡ S j ( , , + a , : s i M , t ) ( 8 )

なるモデルを考える。HQ""@"(1964)に従って,qjt及び雌は，次のよう な確率過程に従うものとする。

(9)

α j t : = p j a j f ̲ , + E j :

βjt=RAt̲,+7Zi&

以上より，我々は，(5)，

るが，これは次のように，

(8)，(9)を合わせた季節変動モデルを得たわけであ KFモデルに直す事ができる。即ち，

"t=(cos入,ｵ,sinA,i,……,COS入6t)' β＝ ( α ,, β ,, … … ， α 6) ，

F=djqg(p,,p,,……,!o6)

；11×1

；11×1

；11×11

et=(,t,'7,t,……,f62)';11×1 を定義する事によって，

9f=";",+":

( 1 0 6f=FBf̲,+E#

という，(2)と全く同じ表現を得る。但し9etの共分散行列三は,11×11の対 角行列で,Fと同様に，最後の1つを除いて,2つずつの値が等しく，計6 個のパラメーターを含んでいる。このパラメーターを，｡；(ノー1，……，6）

とする。即ち，

Z=dj(mg(of,of,……,o:) ^；11×11

である。従って，初期値を除いて,pj,｡:(j=1,……,6)及び｡2=Va7･

(" ）という13個の推定すべきパラメーターがある。以下，これらのパラメ ーターの推定について論ずる。

我々は，各必は,絶対値が1より小であると仮定する。又，･；は，すべて 正とする。この時，モデルの特殊性より9"tがオに依存しているという意味 で，時間変化のKFモデルを扱っているにもかかわらず,9t自身は，期待値

0の定常過程に従う。その自己共分散関数は，

γ(r)=E(":"'̲r)

＝皇欝｡扇ﾙ，+い Ⅲ

となる。この表現から明らかなるように，｜γ（γ）｜は，γ→COの時,指数的 に減衰して行く。従って，季節変動モデルとしての意味を持つには，各必が なるべく1に近い事が望ましい。しかし，とにかく,￨pjl<1であれば，

スペクトラムカ罫定義され，

( " ) = 岸 彙 γ ( , ) ｡ ‑

＝ 燕 ． : { , Ⅲ ̲ 角 ． : ｡ ‐ " ド ＋ ,̲ , , 参 " ． , ． } ＋

‑ 1 6 3 ‑

+̲Lび2

27r

( 1 3

なる連続，かつ正のスペクトラムが得られる。

今，標本サイズTのデータ｛",，……,"T}が与えられたとして，以下の議 論のため，さらに次の量を定義する。

( " ) = 会

′ 鍔( " ) 一 志 ￨ ,一 岬 " ｡ ‑

" , , , ＋ 1̲ 角 ｡ … ,

, ｡ ｝

（ノー1，……，6）

( " ) = ☆ ' 皇 "｡ '

ここで,I(co)は，ピリオドグラムである。この時(12)は，

I ( の ) = " ' ( の ) q + e ( の ） 側 と表わす事ができる。但し，

苑（の)＝(苑1(の)，……，苑7(の))，；7×1 q = ( o : o f , … … , o : ) ' ; 7 × 1 e(m)=I(の)‑/(の）

従って，もし必が与えられれば，パラメーターは，αだけで，周波数領域に おける最小二乗法により推定できる。今'""etに正規性の仮定をおけば次 の結果が得られる(T(z"αﾙα(1979))。

定理1"f,Etが正規分布に従う時

面 ＝ { 亨 妬 ( の Z ) f ( m ! ) } ‑ ! 亭 苑 ( c I J I ) I ( m ! ) ( 1 0

は,T→COの時，αに確率1で収束し,JT(d−α）は,漸近的に平均0,共 分 散 行 列

4汀(/̲Wt"(の)"'(の)dの)‑'JE:/z(の)"(の)"'(の)cIの(烏妬(の)"'(の)dの)‑'

の正規分布に収束する。但し，の'=2'rl/T(J=1,……,T)｡

しかし,aは,(1］における残差項e(の!)の分散が一定でないから，有効推 定量とはなり得ない。又一般に，βjが未知であるから，この方法はあまり有 意味でない。そこで，角をαにつけ加えたパラメーターをβとして，有効推

定は，スコア法によって，

β = β ＋ ( 夢 ( の) 元 ， ( の) 〃 ( の) )』 亭 轟 ( の) 百 ( ") / / 謬 ( の） （ 1 ，

から計算すればよい。ここで，βは，βの一致推定量である。又，他の〜が

ついた量は，βを用いて得られる。推定量タは,jと同様に，最小二乗法に

基いているが，／2(の ）をウェイトにした一般化最小二乗推定量とみなす事 ができる。この時，次の結果が得られる(Tα αﾙα(1979))。

定理2"t,etが正規分布に従う時,(1，から計算されるβは,T→COの時，

βに確率1で収束し,JT(8−8）は，漸近的に，平均0,共分散行列 4汀(鰯鉛(の)鉛，(の)/〆(の)duj‑!

の正規分布に収束する。

実際に(,，を計算するには,5から出発して，繰り返し計算によって収束し

へ

た値をβとすればよい。問題は，初期値βの決め方である。これについては，

後で議論する事にして，⑭，側の推定量としての良さを，シミュレーション によって調べてみる。そのために，パラメーターの値を与えて，正規乱数泌 ， Efを発生させ，それから〃 を作る。以下で報告する結果は，標本サイズを25 年間の月別データに相当するものとして,T=300としたものである。そして，

(10,(19の計算を行なった。但し，簡単化のため，必の値はすべて等しく，か つ,既知であると仮定した。従って，推定すべきパラメーターαは，ぴ2と6 個のび；の計7個である。シミュレーションで用いたパラメーターの組み合わ せは，次の通りである。まず,!o(=,oj)の値については,1に近い3つの場 合 ，

(a)p=0.97(b),o=0.98(c),o=0.99 を調べた。その各々に対して，ぴ2の値を2通り考えた。即ち，

(a)o2=16,36(b)o2=25,49(c)o2=49,100

‑ 1 6 1 ‑

である。(c)の方力:,(a),(b)に比べβの値が大き<,従って季節変動部分が占 める割合が大きくなるので，それを割り引く意味で，ぴ2の値も(c)の方を大き

くした。ぴ:の値は,(a),(b),(c)すべての場合に同一で，

o:=2,o:=1.5(j=2,3,4),o:=1(j=5,6) とした。

表1には，上述した計算手続きを，独立に30回繰り返して得られた30個の 推定量",及び＆の平均(Meα ),分散(Vαγ),そして，定理1,2から 計算される理論分散が示されている。但し，面は(10式から,6は，βをパラ メーターからはずして，（1，式から計算したものである。又，理論分散は，括 弧内に示してある。

表1．推定量㈹ ㈹のシミュレーション結果

｡ ； び ； α ： d ： α ： ｡ ：

ぴ2

(a)p=0.97

Meα九 Vαγ

1．20

．44 ( . 3 5 ） 1．38

．23 ( ､ 2 2 ）

、86

．37 ( ､ 3 0 ） 1．03

．13 ( ､ 1 6 ） 30．9

202．9 ( 2 3 2 . 7 ） 19．5 57．3

（ 4 4 . 7 ）

1．78

．69 ( ､ 6 1 ） 2．03

．33 ( ､ 3 4 ）

1．47

．53 ( ､ 3 5 ） 1．61

．24 ( . 2 2 ）

1．34

．60 ( . 3 5 ） 1．54

．34 ( ､ 2 2 ）

、89

．26

(.16）

1．06

．20 ( ､ 1 2 ）

〜

a

Meα九 Vαγ

八

a

d2＝36

1．46

．57

（､37）

1．55

．28

（ ､ 2 9 ）

Meaれ

〜

α

Vαγ

51．6 222．7

(256.4）

41．6 92．1

（ 7 5 . 0 ）

1．79

．76 ( ､ 6 4 ） 2．01

．34 ( . 4 4 ）

1．17

．46 ( ､ 3 7 ） 1．32

．27 ( ､ 2 9 ） ( b )

1．32

．65

(､37）

1．48

．40 ( . 2 9 ）

、88

．30 ( ､ 1 8 ） 1．01

＆23 ( . 1 6 ）

、85

．33

(､31）

1．01

．18 ( ､ 2 1 ） Meα九

Vαγ

八

a

九ａγ雌肋

５

一一

２ぴ一ａ

1．05

．41 ( ､ 5 0 ） 1．41

329．4 ( 6 0 2 . 0 ） 29．9

1．70

．80 ( ､ 8 8 ）

2．08

1．40

．64 ( . 5 0 ） 1．66

1．29

．63 ( . 5 0 ）

1．58

、89

．35 ( . 2 3 ）

1．08

、82

．51 ( ､ 4 3 ） 1．06

公

a

Meα九

ぴ f ぴ ； ぴ ： び ： び ： ｡ ：

ぴ2

ぴ2＝25

へ

α

Vαγ

(.24)(.24)(.24)(.13)(.18)

、32 ( ､ 3 7 ） 68．2

( 5 9 . 3 ）

刀ａγ

９肌叱

一一ａ ４

２ぴ

１ １ ２９４４０２８４４０２２ ●●ｅ●０● く１ｉ ^１

１ ８８４２３７８３２０２１ ●●●●●○ く１く

1 ． 3 9 1 ． 2 6

． 6 6 、 7 0

（､52）（.52）

1 ． 6 1 1 ． 5 2

． 3 5 ． 4 7

（､31）（､31）

(c)P=0.99 1．02

．41

(.52）

1．35

．30 ( ､ 3 1 ）

1．70

．84 ( ､ 9 0 ） 2J06

．34 ( ､ 4 7 ） 78．6

345．0 ( 6 3 6 . 3 ） 56．3 108．2

(109.9）

Mea7z Vaγ

公

a

o2＝49

、68

．67 ( ､ 8 4 ） 1．15

．24 ( ､ 2 2 ）

、78

．41 ( ､ 4 3 ） 1．14

．31 ( ､ 1 6 ） 1．19

．79 ( . 9 7 ）

1．81

．57 ( ､ 3 0 ）

1．01

．62 ( ､ 9 7 ）

1．72

．71 ( ､ 3 0 ） 1．43

．93 ( 1 . 7 1 ） 2．23

．37

（ . 4 5 ）

、72

．27 ( ､ 9 7 ） 1．50

．37 ( ､ 3 0 ） 144．6

1119．2 ( 3 7 0 0 . 6 ） 57．0 106.2

（ 1 0 6 . 2 ） Meα九

Vαγ

ー

a

Meα〃

Vαγ

へ

a

邦

ａγ ０

０ １

一一

２ぴ一ａ

、67

．63 ( ､ 8 6 ） 1．10

．31 ( ､ 2 9 ）

．78

．44 ( ､ 4 4 ） 1．04

．30 ( ､ 2 2 ） 1．01

．66 ( ､ 9 8 ） 1．61

．75 ( . 4 0 ) 1．44

．94

(1.73）

2．18

．49

（､60）

ｊ ｊ Ｏ５８９１０７２９３４４ ｐ●■●Ｃ● く１１ １ １ ８９８４２０１７９７７４ ●●●●●Ｃ １１１１

195．8 1229．3

(3819.6）

112．8 186．5

（ 2 4 3 . 7 ） Meα〃

Vαγ

ハ

α

表の結果に関する限り，我々は次の事を結論できる。丘に関しては，ぴ2の 推定値に上方への偏りを与え，ぴ:の推定値には下方への偏りを与えている。

特に(c)の場合，即ち，βが極めて1に近い場合には，52の偏りは，標本標準 偏差の2倍を越えており，有意である。従って，定理1の事実が成立するた めには，かなりのデータカ:必要と思われる。それに対して,aの場合には，

62についても，鐸についても，かなりの不偏推定量を与えており，分散に関

しても，程良〈理論と一致している。

さて，pjの値が未知の場合を考えよう。βは，（11)式より，γ(γ）の推定値

−159−

7(γ）をγ＝0，1，……，12に対して計13個求め，13個のパラメーターに関す る非線形方程式を解く事により，原理的には求める事ができる。しかし，こ れは，それ程容易ではない。そこで，必は通常1に極めて近い事実を利用し て，次のように考える。今，モデルとして，変数がすべてスカラーの，

"f=6f+"t

( 1 0 βt＝ββ2̲1+E2

を考えよう。そして，真の値がβであるにもかかわらず，これとは別の値力 を使って，側式から，勉#及びE2の分散α=(｡2,d:)'の推定値面を求めたとす る。この時，推定値の偏りは，漸近的に

｜Ⅷ

( 悪 ) ‐

〜

α − α 二 ＝

となる。従ってこの事より，次の結論を得る。

(I)aの偏りは,o:,β及びβに依存するが，ぴ2には依存しない。

(II)o2の推定値は，。:の推定値よりも，βの誤った特定化に，より敏感で ある。

（Ⅲ）ケ2とけ:の偏りの方向は，逆である。

以上より，βが1に近い時には，βを誤って特定化すれば,(II),(HI)よ り，結果として得られる分散の推定値が負となり得る事がわかる。参考のた め，表2に，1に近い3つのβの値に対して，それぞれ2通りの誤った特定 化をした時の偏りを与えておく。但し，偏りは，ぴ:で割ったものである。

表2．βの誤った特定化による偏り

97 98

β

●

β

52の偏り 5:の偏り

８０１９５２ ●●●

^、99 8．61

−．51

、97

−5．27

．21

、99 8．56

−．34

、97

−26．10

．52

、98

−17．21

．34

表2の結果は，確かに上述の結論を支持している。即ち，52の方が，βの

誤った特定化に敏感であり，偏りは互いに異符号である。又，βの値を誤っ

て小さくすると，ケ2の偏りは下方への偏りとなって敏感に現われるので，ケ2 そのものが負となり得る事も，前述した通りである。この事から，βのおよ その値を，ある程度見つける事が可能である。我々は，非常に単純なモデル 側に関してのみ議論を進めてきたが，季節変動モデルについても，同様に考

えられる事を，現実のデータにより示そう。

ここで取り上げるデータは，四半期データで，1951年の第3四半期から，

1971年の第2四半期の，日本における食費データである。出所は，経済企画 庁編の国民所得統計年報である。生のデータ（単位：10億円）に，中心化さ れた移動平均を施してytを得た｡従って，標本サイズは,76である。パラメ ーターは，四半期データなので,p,,p2,of,o;及びぴ2の5個である。まず，

簡単化のため，β,＝β2＝βとして,q=(o2,of,of)'を,3つのβの値に対 して，側から計算して次の結果を得た。

ぴ2

ぴ f ぴ ：

β＝．97‑2436.8746．0332．5

＝ 、 9 8 9 9 4 ． 7 3 3 2 ． 7 1 4 8 ． 4

＝ 、 9 9 3 3 1 8 ． 0 8 2 ． 7 3 6 ． 9

従って，βの値に制限を加えはしたが，真の値は，0.98に近い事が予想さ れる。実際，β,＝β2という制約の下で，側の推定法を適用して，

62

6 f 鐺 β

5 0 4 ． 5 4 4 8 ． 3 9 7 ． 5 0 ． 9 8 0

（278.2）（170.3）（58.5）（0.009）

という結果を得た。但し，括弧内の値は，推定値の標準誤差であり，これは，

定理2における共分散行列の対角要素の推定値を,Tで割ったものの平方根 である（以下同じ)｡一方,pi=pZ=0.98を初期値として(19を適用した結果は，

62

6 f 6 : β 】 島

4 8 1 ． 5 4 7 2 ． 9 9 0 ． 2 0 ． 9 7 6 0 ． 9 8 5

（279.9）（181.8）（58.3）（0.013）（0.012）

であった。β,と島は，かなり近い値を取ったため，β,＝β2という仮説を，尤

度比検定した所，この仮説は，50％の有意水準でも，有意でなかった。

−157−

本章では，主として推定の問題を議論してきたが，予測の観点からKFモ デルを考えるのも，興味深い。ここでは，データが時点Tまで与えられてい る時,9…を,77z=1,2,……に対して予測する問題を考える。この予測値 を,"(T+'7DIT)とすると,KFモデルによる予測は，β のKFB(TIT)を

計算しておけば，

"(T+'nlT)=恥加β(T+'7zIT)

β(T＋mlT)＝剛(T＋m−11T）（、＝1，2，……）

より，非常に簡単に計算できる。予測の平均二乗誤差についても，

E(〃(T＋mlT)‑97:+､)2＝恥,"P(T＋mlT)苑ｧ+",+02 P(T+,7zIT)=FP(T+'"‑1IT)F"+Z

より計算できる。

さて，先程扱った食費データの予測を行なってみよう。比較の意味で，経 済変動を含む場合のBJモデルも取り上げよう。変換後の〃fとしては，移動 平均法は将来の値も使うので適当でないから，ここでは，生のデータを対数 変換後，第一階差を取り，それを 00倍したものを考える。従って,KFモ デルは，パラメーター｡2,of,d;,p]そしてp2の5個を含む側式であり，他 方,BJモデルは，試行錯誤の後

9'=(1+qL)(1+6L4)｡#

が選択された。ここで,Lは，ラグ・オペレーターである。両者とも，最終 的に，データ数は80として，まずKFモデルの推定結果は，

62

鋸 鎧 β ］ β 2

1 ． 0 8 4 、 5 1 2 、 4 1 6 、 9 8 9 ． 9 9 0

（､476）（､217）（.206）（､006）（､008）

であった。それに対して,BJモデルの推定結果は，

a=‑.303(.102),6=‑.599(.080)

であった。ラグ24までの自己共分散関数に基く,Bo"‑Pje7･ceの検定統計量

の値は，13.79で，自由度22のカイニ乗分布の90％有意点は14.04なので，

モデルの適合度については，問題がないと思われる。

以上の推定結果を基にして,T=80以後,77z==6までの予測を行なった。

KFモデルでは,KFの計算に，初期値β(OIO),P(OIO)が必要であるが，

これらをそれぞれ，零ベクトル，零行列とした。我々のKFモデルは,UC Oかつ,UCCであるから,この選択は第1章の結果より,6(TIT)(T=80) の値には，ほとんど影響を与えない。又,BJモデルの予測は,Bo鞄α刀d Je"ん航s(1976)に従った。さらに，予測を比較可能にするために，予測値 は，9tではなく，生のデータの対数変換を100倍したものとした。結果は次 の通りである。

4 830．5

−4．0

836．5

6 817．1

1．2 824．8 8．9 1

811．5

．6 812．7 1．8

2 817．0

1．1 819．2 3．3

3 821．6

−1．4

826．4

5 811．9

5．8 818．4 8．3

ＦりＪり ︑Ｋ偏Ｂ偏

たった‑一つの例だけで，公正な比較は不可能であるが，この例に限ってい えば,BJモデルに基く予測は，上方への偏りが存在するのに対して,KF モデルの方は，ある程度不偏な予測値が得られている。予測の平均二乗誤差 の平方根は,KFモデルが,3.02で,BJモデルカi,5.44であった。

季節変動を含むモデルを扱う場合，一般に,KFモデルは,BJモデルに 比べて，推定すべきパラメーターの数が多い。月別データを扱う場合には，

それ力§さらに顕著となる。この意味での欠点をカバーする位，他の有利な点 を,KFモデルに見い出そうとするならば，予測の観点からであろうと思わ れるが，この点については別の機会に譲りたい。

次章では，季節変動を含まないデータを分析する場合の,KFモデルとB Jモデルの選択の観点から議論を展開したい。

本章の最後に，次の事を付言しておく。本章で取り上げた季節変動を含む

KFモデルは，データを変換して，トレンドを消去した後のものに対して考

えたが，生のデータに対しても,KFモデルを与える事は，もちろん可能で

ある。しかし，その場合には，推定すべきパラメーターの数も多くなり，最

尤法の考え方ではうまく行かなくなるので，他の推定法が望まれる。

−155−

3 ． B J モ デ ル と K F モ デ ル

本章では，データは季節変動を含まないものとして,KFモデルの考察を，

BJモデルの一つの拡張であるという視点がら行なう。前章までは,KFモ デルは回帰モデルの拡張であるという視点に立って，議論を行なってきた。

そして，モデル(2)における も，時間＃に依存しているという意味で，時間 変化モデルを扱ってきたわけであるが，本章では，苑fは時間に依存しない時 間不変モデルに限定して考える。しかし，苑 がただ単に定数ベクトルという だけでは，その場合明らかなように，(2)におけるEtの共分散行列亘の要素は，

識別不能になるので，韮 として第1要素が1で，他はすべて0となるk次元 ベクトルeを考える。又，以下では，(2)における"t,8tという記号をそれぞ れ,Yt,"tに変えると，結局我々は，

Y2==e'"t+"t

( 1 1

@"2=F"2‑1+E2

というKFモデルを考える事になる。

一方，季節変動を含まないBJモデルは，一般に

p 9

9一 員 伽 を ‑ ' = α ′ + 昌 伽‑ m

のように表現できる。但し,"tは観測値，atは撹乱項で,吟(j=1,……,p), a,(j=1,……,9)がパラメーターである。これらのパラメーターは，

源惑 吟晶 ＺＺ 一十 １１

一一一一ｊ︐ｊ

苑妬 くく の９

を0とする根苑の絶対値が，すべて1よりも大きくなるようなものに制限し ておく。又，共通根は持たないとする。この時,(1Dが側の拡張になっている 事を示そう。まず,p>9の時には,eをp×1のベクトル，そして，

隙 ! ' 『 I I ￨1 1

F =

とすれば，（13は，（11において〃fを0とおいたものと同値になる。又,p≦9 の時には9eを(9+1)×1のベクトル，そして，

偽．４０．０ １

一Ｆ

1 0●

●

．●

●

●

●

●

●

●

、1

0 … … 0

， 8

とすれば,p>9の場合と同じ事がいえる。従ってKFモデルは,(1Dのよう に，さらにもう一つの撹乱項哩t力罫加わっている，という意味で,BJモデル の一つの拡張と考えられる。この最も単純な形は，第2章の側式にあるよう に，1次の自己回帰(AR)に，秘tが加わったものである。

以上の事を踏まえて，本章では次の2つの問題を考える。1つは,KFモ デルとBJモデルの間の選択の問題である。BJモデルは，いわゆる ケチ の原理 に基いた単純なモデルであり,KFモデルより扱い易い事は，明ら かである。従って，与えられたデータに対して，すぐKFモデルを考えるの ではなく，最初にBJモデルがデータによって許容されないかどうかを考え る。即ち,BJモデルを帰無仮説に取り,KFモデルを対立仮説に取った検 定問題を考えるのである。もう1つは,KFモデルの推定の問題であるが，

これは第2章における方法で行なえるので，ここでは,KFモデルとBJモ デルの中間のモデルの推定問題を考える。即ち， は，各オに対して常に存 在するのではなく，観測値が異常な値を取る場合にのみ存在するようなモデ ルの推定を考える。このような場合を想定するのは現実的であり,BJモデ ルそのものの推定よりも，より頑健な推定となる事が予想される。以上の問 題を，2つの節に分けて議論する。

3 ． 1 B J モ デ ル の 検 定

本節では,BJモデルとしては,ARモデルに限って議論を進める。我々 の目的は，データがARモデルを許容するかどうかを検定する事である。A Rモデルだけを考えているので，（1Wに現われている諸量を，以下のように定 義しておく。

＝ ( 9， 〃 ｵ ｰ , ， ……,"'̲p+,)'

−153−

４０⁝０ １

●１●

●● ●●

●●

●●

●

●１

︐︵︑︶︐旬︲︲︽●●●︿皿叩︶

一

Ｆ

; p × p

Et==eat

但し分散パラメーターに関しては,Vαγ("t)=902,Vαγ(q#)=9としておく。

ここで 9は常に正，又，ぴ2は非負とする。さらに，正規性の仮定の下で，

zt=E(I"#IY,,･･…･,Y'),即ち,t"tのKFをZtとすれば'Ztは(3)式と同様，

次のように計算できる。

zt＝Fzt‑,＋Kt〃＃ ^{（ 1 ，}

K'=P(オ｜オー1)e/o:

o:=｡2+e'P(21t‑1)e

P(tl#‑1)=FP(t‑11#−1)F'+ee' P(ilt)=(I‑Kte')P(tlt−1)

であり，イノベーションリtは，の＝(偽，……,dp)'として

77t=Yt−の'Zt̲1 ^伽

として計算される。ここで，初期条件はZo=0,P(OIO)=0とする。

さて，大きさTの標本{Y,,……,Yr}が与えられた時，パラメーターβ

＝(9，の'，ぴ2)，の対数尤度関数L(8)は，定数項を無視して，

L ( 8 ) − 吾 l o g 9 ‑ 告 喜 ｡ g o f ‑ 夫 妻 ' : / ・ : @ 1 )

と表現できる。一方，仮説の下で，即ち，o2＝0の下での尤度は,p次のA Rモデルに対する尤度であり，

L(,,･,0)=‑='･g,‑夫菫ff"

と表現できる。

ところで，この場合検定すべき仮説に対応するパラメーターの値は，パラ

メーター空間の境界点である。従って，仮説検定でよく使われる尤度比検定

は，少なくとも帰無仮説の下では，統計量が望ましい分布を持たない事にな る。それ故に，尤度比検定を行なったとしても，有意水準の決め方に困難が 生じ，さらに検出力についても，第1種の誤りの確率がはっきりしない以上，

あまり有意味な検定とはなり得ない。そこで，これに代わるものとして，以 下では,ラグランジュ乗数(LM)検定と呼ばれる方法を考える。この名称 の由来は，もちろんラグランジュ乗数を使っている事による。その方法の基 本的考え方については付録 に書いてあるので参照されたい。

LM検定統計量は，このような場合でも，カイニ乗分布に従う事が,Mo‑

γα (1971),C加冗t(1974)によって，観測値が，独立同一分布の場合に 証明された。我々の観測値は，この仮定を満たしていないので，これらの結 果を直接には使う事ができない。又，結果は，漸近理論であり，有限標本の ものではない。そこで，ここでは若干のシミュレーションにより，有限標 本の場合の，我々の統計量の分布を調べる事にする。

その前に，我々のモデルにおけるLM検定の統計量を導かねばならない。

詳細は，付録2を参照する事にして，結局

LM=÷(且鶚当'(6‑…)CJ

という統計量が得られる。但し，八は仮説の下でのパラメーターの最尤推定 値を代入したものを示す。そして，側に現われている諸量の定義を，八なし で示しておく。

3 L (

9 , 4 0 ) 一 23ぴ229 上 重 亜 ‑ 上 亘 ( 2 ． 器 一 ・ 祭 ｝

1 # ÷ i l … ･ ･ ･ ･ ･ ･ , Y # ) ( ; Z )

A =

= (去 妾 ， ． , ‑， ）

c=(1+j'd)2/2+｡'J(｡)J'(d)の

｜ 『恵 呈 二 1 l

J(d)=

−151−

推定量を代入した場合には，，＝乏鎧/Tであり，又，付録2より,3｡:/

3o2＝1＋の'のであるから,Lの偏導関数は，

3 L ( '

, 3 , 0 ) = ̲ 含 亘 ' ' ¥

但し，

祭 = − 3 ， ' ( 6 ) (‑ " … … ,← , ) ，

として，簡単に計算される。

参考のため,p:=1とp==2の場合の統計量を示しておく。

(I)p=1

L M , = ( z " , ̲ ! ) 2 / ( T ' 2 3 f )

(II)p=2

L M = " " 一 ゐ ) a ' ̲ , + @ z a : ̲ 2 ) } '

T";(6;+4jf)

pが2より大きい場合も，計算はそれ程困難でないが，唯一の問題は,p×p の共分散行列Cpの計算であろう。なぜなら，これはスペクトラムのフーリ エ変換から計算されるが,p>2の場合は，留数計算が非常に複雑となるか らである。しかし実際の計算では，ノンパラメトリックに標本共分散を用い れば，特に問題はないと思われる。

さて，仮説の下での分布であるが，ここではp==1とp:=2の場合のシミュ レーション結果を，簡単に報告しておく。真のパラメーターをそれぞれの場 合 に つ い て

(1)9=1,d,=0.8(H)9=1,d,=0.75,d2=‑0.5

とし，正規乱数を用いて観測値を作る。標本サイズは,T=100と,T=200 の2通りの場合を考え，統計量の計算を行なう。この手続きを，独立に340 回繰り返した。これら340個の値から作られるヒストグラムを，自由度1の カイニ乗分布とみなす事ができるかどうかを検定したい。そのために，ヒス トグラムの区間を等確率の34個の階級に分けて適合度検定を行なう。そして，

得られた値を，自由度33のカイニ乗分布の点と比べて，次のような有意水準

を得た。

有意水準(I)T=100200(II)T=100200

2 1 ％ 7 4 ％ 7 ％ 9 0 ％

従って，（Ⅲ）のT=100の場合(しかし，この場合も5%で有意でない）を 除いて，カイニ乗分布に従わない，という根拠はない事がわかった。

次に興味あるのは，検出力の問題である。即ち，実際のモデルがBJモデ ルでない時に,LM検定はどの程度にその事実を反映するか，その程度を調 べる問題である。LM検定は，帰無仮説の下でのパラーメーターだけに依存し ており，その意味では，有意性検定の性格を有している。従って，帰無仮説 が棄却された場合には，必ずしも当該の対立仮説であるKFモデルが選択さ れる事を，即座に意味するのではなく，単に，仮説のモデルの適合度が良く ない事を意味するに過ぎない。例えば，2次のARモデルをLM検定して棄 却された場合でも，3次のARモデルは棄却されない事もあり得る。検出力 を調べるには，大がかりなシミュレーションが必要であるので，ここでは行 なわない。しかし，一つだけ実際のデータを用いた例を上げて，本節の終わ りとしたい。Bo難α7,dJe ﾙ航s(1976,p､239)では，太陽黒点のデータに対 して，

Z=14.35+1.42Yt̲,‑0.73Yt̲2+qf

，＝228

という，2次のARモデルを選択しているが，このLM検定の統計量の値は，

4.42であった。5％点は，3.84だから，このモデルの適合度は，あまり良く ない事力苛わかる。

3 ． 2 B J モ デ ル の 頑 健 な 推 定

本節では,BJモデルの頑健な推定を,KFモデルの観点から行なう方法 を考察する。

BJモデルは，通常の回帰モデルと同様，係数パラメーターは時間不変で ある。しかし，この仮定は異常値が存在すれば当然そこなわれる事になる。

そこで我々は,BJモデルを基礎として，正の異常値が存在する場合には，

観測値を割り引くために，新たに正の撹乱項を考慮し，負の異常値がある場 合には，割り増しするために，負の撹乱項を考慮するようなモデルを考える。

既にみたように，通常のBJモデルは，伽式において,"2:=0としたもの

−149−

と同値であるので，この役目をになうものとして秘 が現われる。De7,69α d Maγ伽(1979)に従って，このようなモデルを加法的異常値(AO)モデル

と呼ぶ事にする。我々の主たる目的は，パラメーターの推定にあるが,AO モデルの性格が故に観測値は正規分布に従わないから，前章までに行なわれ た最尤法に基く議論はできない。KFについては,"tが無相関（あるいは，

独立）過程に従う事を仮定できれば，観測値の線形関数の中で平均二乗誤差 を最小にするものとして，依然として求める事が可能である。しかし，この 場合に得られるイノベーションは，似tと同様に無相関であっても，正規分布 からは程遠いものであろう。

以上の議論より，我々はまず頑健なKFを求める必要がある事がわかった。

そのために,M(zsl･e"ez(1975)による次の結果は非常に興味深い。

定理3モデル(11において,{":},{ef}は，必ずしも正規過程ではないが，

互いに独立で，それぞれ平均0，分散ぴ2及び平均0，共分散行列三の独立過 程に従うものとする。又，時点tまでの観測値の集合をYtで表わす。この 時,Yt‑'を与えた時の"2の分布が，

E("'￨Yf‑')="(tlt‑1) Vαγ("'IY#‑')=P(ilt‑1)

の正規分布に従うものとすれば,"(jlf)=E("#IY')は次のように計算さ れる。

但し，

"(tlt‑1)=F"(t‑11i‑1)

" ( t l 2 ) = " ( t l t ‑ 1 ) + P ( f l オ ー 1 ) e ' # ( Y # ) "

P(tl#‑1)=FP(t‑11t‑1)F'+Z

P ( t l t ) = P ( # l t ‑ 1 ) − β t ( Y 2 ) P ( r l t − 1 ) e e , P ( t l t ‑ 1 ) @ 9

ここで，

" ( Y : ) = 一 副 o g f ( Y 2 I Y f ‑ ' )

3Y#

, ｡ ' ( y ' ) = " = g

3Yt

であり,/(Y'IYt‑')は，時点＃−1までの観測値が与えられた時の,Ytの

条件つき分布の密度関数である。

証明は,Mqsre"ez(1975)を参照する事にして，この定理の示唆する点 を若干述べてみたい。まず，第1章で説明したように,{"f￨,{e:}が正規分 布に従わない場合には，一般に条件つき期待値としてのKFを求める事は不 可能である。上の結果は，このような場合にも,KFが具体的に求められる 一つの例となっている。又，正規性を仮定した時は,P(ilt−1),P(tli)共 に，無条件共分散行列であったが，この定理から分かるように，今の場合に はこれらの値は,Yt‑1に依存している。拡張になっている事は，正規性の下

で

' : ( Y : ) ‑ : { * z ( y ､ , ' H ) ) '

=(YI‑e'"(ilt‑1))/o:

p ' ( y l ) = 4

。

：

｝

となる事から明らかである。

さて，以上の結果において問題となるのは,f(Y2IYf‑')の計算であるが，

これはelt"tの条件つき分布と，似 の分布のたたみ込みである。前者は，平 均e'"(tl2−1)=Y(tl＃−1),分散e'P(tlt−1)e=P,,(flオー1)の正規分 布である。泌 の分布については，これをF迦とすれば，

/(Y'IYf‑')=[N(Y(flt‑1),P,,(flt‑1))*F"](Yf)

=[N(0,P,,(flオー1))*F"](Y2‑Y(tlt−1))

=9t(Yt‑Y(ilt‑1))

となる。但し,9,=N(0,P,,(ilオー1))*F狸である。例えばF鰹として混合 正 規 分 布

F"=(1−γ)N(0,of)+γﾉv(0,o:) を考えれば，

㈱

−147−

92("f)=[(1−γ)N(0,of(#)+γﾉv(0,o:(t)]("f)

となる。但し,"f=Yt‑Y(tlt−1)であり，又，

o:(t)=Pu(tli−1)+o:(j=1,2)

この時，定理3における妙tは簡単に計算され，

ル ( x ' I ‑ ' = , , { ! ‑ ( ' ‑ : ; { ; ) ' ( ' + " : ( " ｡ ' ) }

となる。ここで，

/ j f ( " : ) = 1 ﾗ 鶚 " , { ‑ 告 倫 ‑ 赤 ) " : }

@7)

従って，我々はこの場合対数尤度関数

T

L ( 8 ) = l o g / ( Y , ) + Z 2 1 o g f ( Y @ ￨ Y # ‑ ' )

を持ち，これを最大にするようなパラメーター8の値を求めればよい事にな る。しかし，βにはBJモデルのパラメーター以外に,xof,o:が入り込 んでおり，又，尤度の計算では，妙 及びβ を各tについて求める必要がある ので，この最大化は相当に複雑となる。この複雑さを回避するために,Mαγ−

抑（1980）により一つの提案がなされているが，実際の分析との関連で，

なお研究を要する課題であると思われる。その際，扱っている問題は異なる が,KJej7ze7,Martj7zα dThomSo"(1979)は多いに参考となる。

付 録 1 ラグランジュ乗数検定について

S〃ひey(1975)に従って，ラグランジュ乗数(LM)検定の概略を以下に 示す。

今，パラメーターβ(j×1)に関する'72(<J)個の制約条件 Hb:6i(6)=0(j=1,･…･,"z)

を検定したい。この時,Hoの下での制約つき尤度方程式は，上つき添字0で

制約条件を考慮した値を示すものとすれば，

3 L ( 8 0 ) ̲ B o 入 = = 0

38

6(80)＝0

(A1)

となる。但し,Bはj×、の行列であり，その(j,j)要素は,6i(8)のa, に関する偏導関数である。又，入は、×1のラグランジュ乗数ベクトルで あり，6(80）は,6,(80)を第j要素に持つ、×1ベクトルである．制約条 件の下での最尤推定量をaこれより得られる入の値をスとすれば,適当な

正則条件の下で,(A1)より次の方程式が得られる。

〆 1 = F ^3L(80)

､

38

0

さらに，観測値が独立で同一分布に従うものとすれば，大数の法則，及び中 心極限定理より，

132L(60)̲/132L(80)

（γ,〃)="）

− − → E T3838'

13L(80)

−−→Ⅳ(0,1(80)) イ T 〃

が成立する。従って，

1 1 : " : ｢ 岸 1

であり，この左辺は，漸近的に，平均0，共分散行列

( P ( r ' " ( : , I )

−145−

の正規分布に従う。但し,P(60),‑R(80)は，上の逆行列の(1,1)ブロ ック，（2，2）ブロックに対応する。

この結果を利用すれば，

L M = 坐 ｽ ' g ' I ‑ ' ( 9 ) "

T

｜〃 ｊ

く Ｌ

１

︿ハＨＵ

く

１

−

１ １

︿ｎ月﹀︐

くβ Ｌ３

１｜Ｔ

一一

(A2)

が，脇の下で，漸近的に自由度、のカイニ乗分布に従う事が示される。この 統計量を用いた検定が,LM検定に他ならない。特に，検定すべき仮説がβ の要素j個のうち，畑個の要素がある値に等しい，というような場合，即ち，

&:6(6)=8,‑8W=0;'7z×1

の時は,BoA=3L(80)/〃の要素のうち,J‑77z個が0となるので，計算は ずっと簡単になる。

LM検定の有利な点は，凡の下での推定値しか必要としない事で，この点，

尤度比検定とは異なる。標本サイズが有限の時には，通常前者の方が小さい 値を取るが，漸近的には両者は同等な検定になる事が証明される。但し，以 上の結果は，観測値が独立で同一分布に従い，かつ検定すべきパラメーター が，パラメーター空間の内点である場合のものである。

付 録 2

BJモデルのLM検定統計量の導出

ここでは，第3章の統計量側を導出する事を目的とする。但し以下では，

パラメーターは推定値を使わずに議論する。又，期待値は帰無仮説の下で，

真の値に関して取るものとする。

付録1より，我々のLM検定統計量を導くに必要なものは,L(8)のぴ2 に関する偏導関数，及びL(8)のβに関する2階の偏導関数の期待値である。

前者が，

一 告 三 等 ‑ 圭 亘 ( 2 ｡祭 一 ・ 等 ）

3L(9,｡,0)

3ぴ2

となるのは明らかである。後者については，βを8，＝(9，の，)，とび2に分ける

と，

( ' 竈 ( 会 ｡ ） ）

0

1

1

‑Cp

9

( 器 ' ｡

Ｅ

１−Ｔ

一Ａ

Ｅ

︑﹂峠砕︲︲にｗｌ−Ｔ

一

一一６

）

匡ゞ

二＝二

）

）

1

（

c ＝ − − E

T

32L(8,,0)

㈱ +方加 ㈱

1

ニーニ

ー ヱ

2 T

となる事が分かる。従って，求めるべき値は

筆 , β 烏睾）β 際 ) 。

の3つである。証明は省略するが，次の3つの補題が成立する。

補題1KFの誤差共分散行列P(ili)のび2に関する偏導関数は，仮説 の下で,p以上のtに対して定数となり，それは単位行列である。即ち，

3P(zIt)

= I /b7･

t≧p 3ぴ2

この事より，

3P(tlt‑1) = F 3 P ( ' ‑ ' " ‑ ' ) F , = F F ,

3ぴ2

3ぴ2

−143−

が,pより大きいtに対して成立するから，

筆 =+， " ' ｡ ｡ = ｣ +, ． ^(A3)

が得られる。

補題2仮説の下で，

E ( 募 遷 ：） = ‑ 9 I / b γ # ≧ p これより，

β偽筆)=E"=)

＝−9の が,f>pに対して成立する。

補題3仮説の下で，

の

ｆａ−

ｊ

く Ｊ

一一一〃 ２肱

/b7･t≧p

但し,22=(cMt̲,,……,(Mf̲p)' これより，

β際)"‑.""隙碧）

="'J(d)J'(')d が,2>pに対して成立する事がわかる。

以上の結果より，

の

I I ^3L(9,｡,0)

( ｡ ､ ^3L(9,d,0) ) ( 夢 ： )

１−Ｔ

3ぴ2

( ' L ( ' " 0 )

3ぴ2

) ' / ( ‑ " 』 ‑）

１−Ｔ

一一

となり，側式が得られる事になる。

参 考 文 献

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