特集 カルマン・フィルター
経済予測へのカルマン・フィルター
の応用
宮武信春 5 年ほど前から，現代制御理論を経済系へ応用 する試み1)-引， 6) ， 8) ふが盛んに行なわれている. このおもな理由として，つぎの時代的背景が考え られよう. (1) 一般均衡理論に関連する理論的諸問題の解 明と応用研究が進展した後，理論経済学者の関 心が，経済系の制御とか政策の評価といった動 学的分野に移り変わってきたこと.(
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制御理論そのものが数値計算技法の進歩に ともない応用分野を広げ，システムモデ、ルの構 成方法や非線形計画法などが普及するととも に，推定理論や最適制御理論が理論面で進歩し てきたこと.(
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)
制御工学者と数理経済学者の交流が盛んに なり，予測と計画の理論としての双方の理論の 共通性が強く認識されてきたこと. これらの点から，経済系への制御理論の適用 は，十分将来性があるものと考えてよいが，現在 の研究の動向を見ると，理論面での適用研究が先 行している 4) 代表的な応用研究としては，経済 系の安定化政策決定への最適制御理論の応用 9) と 経済予測への状態推定理論の応用 2) ， 3) ，めがあげら れる.本論では，後者の応用研究を取り上げ，カ ルマン・フィルターの適用の可能性をさぐりたい.1
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経済系とカルマン・フィルター カルマン・フィルターとは，一言で述べるな6
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らば， I確率的な離散型動的線形系 (DiscreteLinear Dynamical System
DLDS) の t 期 までの入出力変数の観測データにもとづいて， t 期の系の状態量を逐次決定的に最適推定する 方法j であるといえる 10) カルマン・フィルタ ーによる推定値は推定誤差の分散を最小とする 意味で最適推定値となっている.確率的な DLDS は，つぎなる状態推移式(1)と出力観測 式 (2) で定義されてし、る. xt+ 1=FXt 十 GUt+A~t Zt=
HXt+
B
-
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;
t(
1
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(2) ただし ， Ut は入力変数 ， Xt は状態変数 Zt は 出力観測変数であり，おのおの 1， m, n 次元ベク トル量である.またふ， 7}t はシステムの外乱と観 測の外乱を意味する確率変数である.カルマン・ フィルターは，このような逐次決定的な構造をも っ多次元線形差分方程式系の状態量めをその観 測値めにもとづいて推定する方法として開発され たものである 10). (1), (2) 式は，もっとも一般的な 線形系の表現であり状態方程式表現とよばれてい る.時系列分析で使われる自己回帰モデルや自己 回帰移動平均モデ、ルや通常の線形差分方程式も (1), (2) 式で表現できる.これらの表現方法と各 表現聞の対応関係の研究は実現理論13) にくわし し、. カルマン・フィルターは表 1 に示すようないく つかのすぐ、れた特徴を備えており，おのおのがそ特 表 1 カルマン・フィルターの特徴と応用分野 応用分野 徴
I 定宗主語賢主で高速の推|化学フ。ロセス
担保 予 算染 計汚醐一周
タ次 一逐 J アの 測ン 観イ るラ れンる らオあ 得くで とづ法 ん?と手 刻も定 に推 nJ ゐ ブ 一フ 測グ 予ト 且旦マ 算流ロ 計のク 道川ス 軌河ガ 状未で ，'定 くて推 乍 aa 、バヲ」 1 L V 少つ的 がに理 数系合 次いを の多量 力が態 出数状・ 入ののる 態知き q J 算測 計予 一性道流 一特ス軌通 動セの交 一のロト路 一炉プツ道 一子学ケ速 一原化戸高 ラ跡イ パ追フ (にるる 化的すあ 変習対が 造学に能 構を差機 の)誤の ム化定グ 一テ変測ン スタ.リ 一シ一 vhv タ 一メすル 4 の適用事例に生かされている. カルマン・フィルターを経済予測に適用する場 合，表 1 の特徴のうち 3. と 4. がとくに重要であ り，研究事例によれば主としてつぎの 2 つのアプ ローチがある. ① 状態推定方法としての適用 事前に経済系のモデルを適当なノミラメータ推 定手法で求めておき，このモデ‘ルを用いて状態 推定をカルマン・フィルターで精度よく行なう ことによって予測精度を高める.文献 (2) ，(
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は，この方法による. ② パラメータ推定方法としての適用 ノ、i ラメータの逐次推定手法としてカルマン・ フィルターを用いる.経済系のパラメータが 時々刻々と変化するものと考え，観測データか らそテ・ル修正を行ない，そのモデルを用いて予 測する.文献1)， 12) は，この方法による， カノしマン・フィルターは， DLDS のパラメータ(F
,G
,H
,A
, B) が所与のもとで，入出力の観 測データ {Ut， ZtPt~O にもとづいて確率過程めの 最小分散推定値を求める状態推定方法であり，前 者のアプローチはこの考えにしたがった適用方法 である.後者のアプローチは， DLDS を適当な他 の入出力表現形式で示したモテ、ル(たとえば，自 己回帰移動平均モデ、ル)のノミラメータを逐次推定 する方法としてカルマン・フィルターを利用する 表 2 経済変数の区分Type
I
No.I
Name ofVar凶e
Gross National Expenditure 2 Private Consumption ExpenditurePrivate Fixed Capital Formation Increase in Stock
Exports Imports Price Index
Private Disposal Income Income of Private Corporation Wage Rate Export Price Index of Unemployment ーω 3
，・a吋同』同
>4 4 5 6+判ロロ~
7 8 。ロ 9 10 11 12 13 -DH，A二mll 14 制g-剤El!151
υ 司> 16 同名 i 17 苦言 18 Q E i 1 9 m 』 E i20l r<~ 21 I 、Tax of Private Corporat on Private Tax
Rate of Interest
Government Expend ture Import Prices World Export Prices World Import Labour Power Number of Employee 同 E
凶一羽
C Y 一 C Q U Nominal Line ! GNEto=Cto+1to+Sto 十 XtO+Gto-lvlto 6577. 5 exp(O. 0202t)=Cto 963.0 exp(O. 0359t) =1tO 172.0 exp(0.0347t)=.::IStO 725.0 exp(O. 031Ot)=Xto 649.7 exp(O. 0328t) =MtO 61.06 exp(O. 0097t) =Pto 7385.05 exp(0.0216t)=Ytdo 780.33 exp(0.0289t)=Ytco 248.78 exp(0.0134t) = 耳元。 99.40 exp( ー O.00002t) =Ptxo I .::18
XM
P y,(Y
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p,. Lυ LU=LtnO-L ， Ltuo=O T" Tp 326.16 exp(O. 0280t) =Ttco 468.65 exp(O. 0236t) =TtPO 2.459 exp( -0. 0031t) =itO 2362.26 exp(O. 02295t)=Gto G 同 fd 川 P戸
M 114.50 exp( -0. 0028t) =ptmo 87.86 exp(O. 00256t) =Ptwxo 70.75 exp(O. 0164t)=Mt 叩OL
'
Z 40.30 exp(O. 00363t) =Ltno 39.33 exp(0.00387t) 1977 年 11 月号(Sorce: Research series vol.21, Economic Research Instìtute, Econom c Planning Agency, May 1970)
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方法である.これらの 2 つのアプ伊…チのおのお
のの事概念次第で認介し，経済予拠への議用の可 能校をさぐりたい.
1) State transition e 司 uatìon
2
.
短期マクロ経済予灘への適用 日本経済の怒鶴子 t艇にカルマン趣フィルターせと 2 饅 4 >f () 7 ~持 i作 11 12 l:l 1,; 1;; 16 。{ 事 6213 162.
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4
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適用した実験的研究心を紹介する.この研究にお いては，経済企画庁の四半期データにもとづい て，つぎの手順にしたがって状態空間モデルの作 成と経済予測を行なっている. ①範囲の設定 経済系の挙動を表現するうえで必要最小限の変 数を選択し，出力変数，政策変数，外生変数の形 に分類整理する(表 2)
.
② モテソレ構造の設定 各変数の時系列データに対して，長期傾向をあ らわす一定成長曲線 (Zt* ニ aexp
(rt)) を内挿によ って求めノミナル値とする.このノミナル値と実 測データ値 (Zt) との差 (ÒZt=Zt-Zt*) が， 多入力 多出力の状態空間モデル(摂動モデル)であらわさ れるものと考える. ③ サブシステムの同定 上記の摂動モデノレのパラメータを最尤推定法に よって求める.多入力多出力系をまとめてノミラメ ータ推定せずに，サブシステムに区分して推定す る.各サブシステムについて因果関係の適切さ， 次数，パラメータ感度等を検討する. ④ トータルモデルの作成 各サブシステムを組み合わせて，摂動部の線形 状態空間モデ、ルを作成する.得られたモデルは， 9 入力( 3 外生òv， 4 政策òu) ， 16状態。x， 12 出力 Òzの状態空間モデルとなった(図 1)
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⑤ 予測テスト トータルモデルに対して，カルマン・フィルタ ーとプレディグターを適用し，予測性能のテスト を行なう.ここでは， 1953年 l 期から 1964年まで2
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t
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8C( t)=S;(t) 十 NOISE O'yd(t)=81d(t)+NOISE M(t)= 必 d t) 十 NOISE 8 Y"(t)=O'n t) 十 NOISE
rMS(t) 二 æ:W) 十 NOISE O'W(t) 二0';" (t)十 NOISE
r~X( t)二 O'}(t)+NOISE O'P<(t) 二Q'ÇX (t)十 NOISE
8M (t)=0'f， (t) 十 NOISE O'U (t)=O'~g(t)+NOISE r~P( t)
=
O'{(t)+
NOISE
O'GNE(t)=
O'~NE( t) 十 NOISE図 1-2) 1977 年 11 月号 をブ〆ルタリング区間とし，その後を予測|又間と している.用いた状態推定式と子浪u 式は，つぎの とおりである. 状賎推定式 ノノ 八
bm
jIR0 ・ vf
A
B
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+B Zt 斗 3u 一 /HV ゃ 0 ・ v へ GF H 判十寸 十// ト八bt
凡 F リ八む戸斗
= / l r/ ふ19b〈均〈
MDH
Pt/t=(1-
~VtH)Pt/t-l ただし， W t = Pt/t-1H " (HPt/ ト lH" 十 CC")-l 予測式 / ¥ / ¥ 4δXtO+i/ tO
=
FiﾒXtO/ tO 十 L: Fi-k (GﾒUtO+i-kk=l
+
A
ﾒVtO+l-k) / ¥ ただし to は予測開始時点 ， ÒXt/ ト 1 は ， t-1 期 までのデータにもとづく t 期の ÒXt の推定値を意 味する. 予測テストの結果を予測された 12個の出力変数 のうちの代表的変数である民間消費支出と民間設 備投資について示したものが，図 2 ，図 3 である. この研究では，長 i二推定法によって事前にモデル を作成し，状態推定をカルマン・フィルターで精 度よく行なうことによって短期経済予測に成功し ている.3
.
時系列分析への適用 商品需要や価格変動などの時系列分析において は，通常自己回帰 (AR モデル)や自己回帰移動平 均モデル (ARMA モデル)等が一般に用いられ， モデ、ルのパラメータ推定方法としては回帰分析 法，Box-
Jenkins の方法 5) ， 11) などが用いられてい る.しかし実際の問題で、は予測があたらない 場合が多く，とくに最近の経済構造の大幅な 変動によってこれまでのモテ、ルが使用できな くなった例が多い . FmU精度の劣化を構造変 化の責任とすることは智弘であるが，木来モ デルを用いた壬測はある程度普遍的なモデル を作成するのがその主旨であり， 予測誤差の 分析によって構造変化を早めに把握すべきで6
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rn~ 図 2 民間消費支出の予測結果 ある. そこで本節では，パラメータの変化を観測デー タと予測値とのずれを用いて逐次的に追跡するよ うな手法を紹介したい.一般に l 入力 1 出力の状 態空間モデルの入出力関係は， つぎなる ARMA モデルで、表現で、きる. "包勿Z Zt= L; -akZt-k 十 L; gkUt ーぉ十 εz k=1 k=1 t=m ， m+l ， ・ "， N êt は，誤差過程 . Ut, Zt は入出力変数. もし ， (Zt, UtJと εt が互いに独立で， εz が平均 O の独立な誤差過程であるならば，未知パラメー タ θ =(a1, a2, "'a町 gl， "', gm) は，最小二乗法に よって次式で推定できるわ. N N θ=(
L
;
XtXt") -1(
L
;
XtZt) t=m t=m Xt" = (Zt- l， … ， Ztー刷物 -l，".， Ut-m) このパラメータ θ が，各時点で randomwalk
する場合を考えよう. 。t=θt-1+ ザtE[
7]tJ=O,
E[れわJ=QÔij この場合期までの入出力データにもとづく t 期のパラメータ推定値(}t は，カルマン・フィル ターを適用することによってつぎの adaptive な 予測修正式で、与えられる. θt/t-1=θト 1 Pt/t-1=Pt-1+Q 。t=(}t/ ト 1-Pt/ ト 1XtCXt" pt/t-1Xt+ σ2J-1 {Xt " θt/t-1 ーめ} 。。 ∞∞ ω85 r 中[ --ヘ ctU <l 1 --. Filt('H:c1(、l'ar:'53 I' n寸トc!t【 I (Y!切r year 川仰 にり OL-←ーーム 1955 1960 1965 I'ear 図 3 民開設備投資の予測結果 Pt=Pt/ ト 1- pt/t-1x
t
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Xt" pt/t-1Xt + σ2J-l Xt"Pt/t-1 ここでσ2は，めの観測誤差分散である. 上記の式を用いれば，パラメータの分散を適当 に与えることによってノミラメータの変化を逐次的 に追跡できる.これは，従来の AdaptiveRegｭ
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Model の拡張であり，需要予測 11) や計量 政治学等の分野でも注目されている. Ozkan は， マクロ経済系のパラメータ推定に同様の方法を適 用し妥当な成果を得ているわ.薬師寺は， 日本の 自動車生産への政策介入分析にこの方法を適用し ている 12) この方法によれば，経済系の構造変化 をパラメータの追跡によって予測できる可能性が あり，今後の応用が期待できょう.また，パラメ ータ推定と状態推定を同時に最適推定する方法も 研究が進められているわ. まとめ カルマン・フィルターは従来の計量経済学の予 測方法と比べてつぎの 2 つの利点、をもっており， 経済予測に適用する際には，本論に紹介した 2 つ の方法が考えられる. ① 数少ない入力変数の時系列データから数多 くの状態変数を合理的に推定で、きる. ② 経済環境の変化に応じて構造式のバラメー タを学習的に逐次推定する方法として利用でき る.今回紹介したマグロ経済モデルでは，状態の数 は出力の数に比べてそれほど多くはない. これ は，四半期モデルで、あるため相互依存的な関係が 強く，長期の遅れをともなう動学的挙動を示す変 数が比較的少ないことに起因している.しかし， 従来の計量経済モデルでは，すべての状態変数が 直接観測できるものとして予測を行なっている点 で改善の余地があり，在庫投資や民開設備投資の ような変量の短期の予測手法としては，カルマン ・フィルターは有力である. カルマン・フィルターは前述の利点をもってい る一方まだまだむずかしい応用上の問題点をもっ ている.とくに，非線形な相互依存型の連立方程 式体系には使えないこと，変数に制約があったり 逐次決定型でも非線形な場合は，拡張型カルマン ・フィルタ一等の複雑な推定アルゴリズムを用い る必要があること等の問題点がある.今回の報告 では，まったく新規に状態空間モデルを構成して 予測を行なっているが今後の実用化を考える場 合，従来から各方面で、使われている計量経済モデ ルの欠点を補う方向で，カルマン・フィルタ{を 組み込んでいくことも考えられる.状態推定理論 の経済系への適用は， Econometrica 等でも紹介 されているめがまだ実験的段階である.理論的研 究が先行している現在，実際のデータを用いた事 例研究に期待するものである. 参芳文献
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,
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Annals of Economic and Social Measurement,
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,
A Control System Incorporating the Kalman Filter, Rofferdam University Press (1974) 3) 宮武信泰，茅陽一:マクロ経済システムの同定と 予測，計測自動制御学会論文集， 11-6 (1975) 1977 年 11 月号 4) 青木正康:現代制御理論と経済学，計測と制御， 13-<) (1974) 5) D. A. Hibbs, Jr. : On Analyzing the Effects 。fPolicy Interventions,
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Research Paper,
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MIT (19H)6) T. F. Cooley
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National Bureau of Economic Research,
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AC-17,
IEEE( 1972)
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9) R. S. Pindyck: Optimal Policies for Ecoｭ nomic Stabilization, 41-3, Econometrica (1973) 10) R. E. Kalman
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R. S. Bucy: New Results in Linear Filtering and Prediction Theory,
Journal of Basic Engineering (1961)
11) 石崎純夫:需要予測実例 3 銀行業， 14-1 ，事務管
理 (1975)
12) T. Yakushiji: Dynamics of Interventions; The Case of the Government and the Autoｭ mobile Industry in Japan, Ph. D. Dissertaｭ tion
