15 竹内一博*

長崎大学工学部研究報告第1 1 号 昭 和5 3 年 7 月 73 

はりの非線形振動に関する実験的研究

高 橋 和 雄 * ・ 柿 山 幸 隆 * 竹 内 一 博 *

E x p e r i m e n t a l  S t u d y  o n  N o n l i n e a r  V i b r a t i o n s  o f   B e a m s  

by 

K a z u o  TAKAHASHI ，  Y u k i t a k a  KAKIYAMA a n d  K a z u h i r o  TAKEUCHI 

(Department o f  C i v i l  Engineering) 

The experimental i n v e s t i g a t i o n  on n o n l i n e a r  v i b r a t i o n s  o f  t h e  beam with  c o n s t a n t  d i s t a n c e   between f i x e d  ends ，  e x c i t e d  by t h e  harmonic motion o f  i t s   supporting b a s e  i s   r e p o r t e d .   The  r e s u l t

包

a r e compared  with  t h e   t h e o r e t i c a l   r e s u l t s .   B e s i d e s   t h e   simple  harmonic  r e s p o n s e ， 

superharmonic  r e s p o n s e ，  subharmonic r e s p o n s e ，  jump pheomenon and u n s t a b l e   r e s p o n s e   due  t o  dynamic i n s t a b i l i t y   a r e  f o u n d .   Nonlinear f r e e  v i b r a t i o n   i s   a l s o   examined  and  amplitude  frequency r e l a t i o n  and v a r i a t i o n  o f  space‑modal shape a r e  o b t a i n e d .   The t h e o r e t i c a l  a n a l y s i s   a g r e e s  w e l l  with the experiment a s   t o  t h e  harmonic r e s p o n s e s .  

1 . 緒 言

はり部材にたわみによる引張力が中立軸に生ずると とに起因する幾何学的な原因による非線形振動に対す る解析的取扱いを乙れまで報告したが1)ー

2)

， 引き続 き，本論ははり部材の非線形振動の実験的研究を報告 するものである.実験についてはこれまでのと乙ろ，

両端ヒジンばりに対する Burgreen

³

勺 Rayand B e r t ω   および固定ばりに対する Bennettand E i s l e y 5 ) の研 究が見受けられるのみで広い周波数に及ぶ非線形に伴 う諸現象が十分に確認されているものとは言い難い.

また，実際の構造部材では製作過程，支持部の出来具 合および自重の影響などによって初期たわみが必ず存 在するために，理想的な直線はりの理論とは異った現 象が生ずることが予想される.

そこで，本研究はジュラノレミン製試験片からなる両 端固定ぼりを対象として正弦波振動試験機を用いて，

一定加振力による定常強制振動実験および非線形自由 振動実験を行ったものである.すなわち，各種の外力 の大きさについて強制振動実験からえられるはりの動 的変位と外力の周波数の関係から各種の高調波および 昭和53 年 5 月 1 3 日受理

*土木工学科

分数調波共振，振幅と周波数との関係，振幅の跳躍現 象，振幅に伴う振動波形の変動および非線形自由振動 の記録から振幅と振動数の関係を求めたものである.

また，実験結果は多自由度系解析法による解析解と比 較されている.

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F i g .   1 Experimental  specimen  and  i t s   support  f i x t u r e  

2 .   実験装置

Fig.1および Photo.1 I 乙示すような材質ジュラノレ

ミン製はり(有効長さ 3 0 c 百 / ， 幅 3 0 m m ，厚さ 1 捌，単位体

74 はりの非線形振動に関する実験的研究

Photo．1 Photograph of the specimen mounted      on the supPorts

積重量別；2．85×10−3kg／c涜，ヤング率E−0．71×

105kg／c紛を両端で軸方向変位および曲げに対して固 定条件を満足するようにM−12のボルト6本を用い て鉄製の治具に固定し，固定枠全体を写真に示すよう な水平テーブル上に振幅方向と直角方向に設置した．

なお，実験装置ははりに初期軸力が加えられるように 設計されている．実験模型をFig．2に示すブロック ダイアグラムにしたがって振動実験を実施した．なお，

本実験に用いた試験機および計測器は次のとおりであ る．すなわち，Fig．2において，

 （1＞振動試験機（正弦波およびランダム用，丁丁力   350kg，国際機械振動研究所，3203形）

（1） Vibration Test■nq Systems

弓愚民δ9 Power

ampユifie

（2）E1㏄tric（x㎜ter

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（3）Slip table

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unit

system

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 Data recorder

Fig．2 Experimental schema

（2｝エレクトロニックカウンター（松下通信工業，

  VP434形）

（3）水平テーブル（油圧浮上式スリップテーブル，

  100×100㎝）

（4）非接触変位計（新日本測器，変位計トランスジ   ューサー503F形，変位計センサーNP−100（測定   変位10㎜），NP−050（測定変位5ηの）

（5）ダイナミックストレインメーター（共和電業，

  DPM 6 E形）

（6＞電磁オッシログラフ（共和電業，RMV300形）

（7）オッシロスコープ（菊水電子工業，553P形）

（8）データレコーダー（14チャンネルTEAC R−270   A形，7チャンネルTEAC R−81形カセット用，

  4チャンネルソニーDFR3415）

この他にデータレコーダーから記録の電磁オッシログ ラフへの出力にはバンドパスフィルター（国際機械振

動研究所Model VS−13BF）および直流増幅器（三栄 測器6L3形）を使用した．

5．実験方法

（1）予備実験 予備実験として加振実験の前に，はりの

中央付近を叩いて初速度を与えて生じた自由振動の記

録をオッシログラフペーパー上に出力し，微小振動の

線形1次振動数の測定を行い，固定枠の出来具合およ

び試験片の不完全性を検査した．試験片は定尺のジュ

ラルミンの板から50本程度切り出し，このうちなるべ

く初期たわみの少ないものを選んで，微小振動の振動

数が理論値ア1−4．732／2π12癒万〃蹴4−56．4Hgにほ

ぼ合致するものを本実験に使用した．なお，ボルトの

締め方によってはりにわずか．に曲げや軸力が加わって

はりの状態が異ってくるために実験のばらつきの原因

となるので，固定辺をまず万力ではさんで仮固定した

高橋和雄・三山幸隆・竹内一博 75 のちにボルト締めを行った．

 定常加振実験の条件を満足させるために掃引速度は 1deg／minで行われた．1回の往復の掃引に要する 時間は約4時間である．振動試験機の運転中に振動子 駆動用の電力増幅器および振動子の駆動コイル，励磁 コイルの強制空冷用のファンからの熱のために，試験 中の実験装置付近の温度は上昇することになる．実験 室には恒温を維持するための設備がないために，この 熱ははりに温度応力による軸圧学力を与え，実験のば らつきの主要な原因となった．熱対策としては扇風機 を回わして周辺の空気をかくはんし，また振動子のプ ロワー部分にビニールホースを巻いて水を流して，熱 を吸収したが，不十分であった．締め付け時より約 1．6℃の温度上昇があれば，はりは適言屈する．すな わち，はりの弾性状態が温度変化に大きく依存する．

もし，温度上昇があればはりは軸圧縮量を受けて固有 振動数は減少し，1．6℃より大きくなれば熱座屈を生 じ，座屈平衡点付近の微小振動もしくは飛び移りを伴 った平衡点に対して非対称な波形を持った振動をする ことになる．日中の温度変化の激しい夏期の実験は不 可能であることがわかり，外気の温度が室温より低い 冬場に主として行われた．温度の調整は窓をあけて外 気を入れて行われた．なお，はりの材質であるジュラ ルミンは線膨張係数が2．3×10−5／℃で，鉄の1．1×

10−5／℃に比較して2倍以上の熱変化に敏感な材料で，

熱に対しては不利であるが，初期たわみが少なく，か つ試験片の作成が容易であることおよび固定が比較的 容易であるなどの利点をもつために本実験に採用した．

ジュラルミンは鉄のように明瞭な降伏点を持たないが 2000×10−6ひずみ程度の応力とひずみ関係は線形が 成立する範囲で実施された．また，微小振動の固有振 動数の測定と同時に自由振動の記録から減衰定数乃 を測定したところ乃＝0，003〜0．004であった．なお，

はりの非線形振動特性に及ぼす初期軸力の影響を検討 するために，はりに初期忌引張力が作用できるように 設計されている．軸力はおもりを糸で吊して与えられ た．ボルト締め付け後はおもりを取り去って，所要の 軸ひずみがはりに作用していることを実験の前後に確

認した．

12｝定常強制振動実験 Fig．2に示すブロックダイア グラムにしたがってはりの定常強制振動実験を行った．

加判力を一定にするために一定の加速度で水平テーブ ルの運動をコントロールし，慣性力によって加幸した．

振動台の変位制限2．5cηと水平テーブルのコントゥー ・ ル可能な能力限界内の周波数すなわち8歯206武21め．「

範囲で1deg／min・の速度で往復の自動掃引を行った．

はりに平行に設置された2チャンネルの変位計センサ

ーよりはりの振動によって生ずる相対変位を渦電流を 用いて検出し，これを変位計トランスジューサーによ り電圧の変化として取り出し，オッシ白グラフペーパ ーもしくはデータレコーダに入れて入力の加速度波形 とともに記録した．また，オッシロスコープに入出力 波形を入れて各種の諸現象をモニターした．・はりの中 央に測定範囲1砺彿，4分の1点に測定範囲5㎜の2チ

ャンネルの変位計センサーが取り付けられており，中 央のセンサーで振幅と振動数の関係を調べ，4分の1 点のセンサーで逆対称振動をモニターするとともに，

中央点との変位の比より振動に伴う振動波形の変化が 求められた．また，入力の周波数は自動振動制御装置 のモニターから加速度波形をモニターに取り，エレク トロニックカウンターで確認されるとともに，デβタ レコーダには音声で，またラピコーダではオッシログ ラフペーパー上に鉛筆で直接記入された．なお，振幅 の跳躍現象や局所的に発生する過渡的振動はデータレ コーダの記録をスピードを落してオッシログラフペー パーに出力さ母て波形の確認を行った．変位計トラン スジューサ「から の出力と実振幅の対応は実験前にフ ルスケールの校主電圧1V・とOVを流して，このと きの出力の大きさを記録し，このときの目盛の振れが NP−100では10㎜， NP−050では5㎜であることか らなされた．以上のようにしてえられたはりの中央点 の動的変位yをはりの回転半径γ＝酬》一了7で無次元 化（オ＝y／7）し，また加振周波数！を微小振動実験 から測定された1次振動の固有振動数ゐで無次元化

（ω＝甜1）し1だ，

㈲ 非線形自由振動実験 定常運転状態の加斗機の励 磁電源の電源制御器のオペレーションスイッチを急に 切り，振動台を急停止させてはりを非線形自由減衰振 動させた場合の変位の出力信号をデータレコーダに記 録して，バンドパスフィルタ」と直流増幅器を通して オッシログラフペーパー上に出力させた．出力信号の はり中央点の各振幅比！望＝8．7，…に対応する振幅の周 波数をオッシログラフペーパーの0．01secに1回の timerを用いて振動の周期丁を求めて，この逆数か

Fig．3 Experimental nonlinear damped free

vibration

76 はり．の非線．形振動に関する実験的研究

．ら周．波数プ．を計算．して，・4一．0すなわ．ち微小振動に達

したと．きの周波数五で除した値を本題の振動数比．ω

とした」自由振動の波形の尋例を示せば，．．．Fig．3に 示すとおりである．

4．実験結果および解析結果との比較．1、．

        （1γ．非線形定常強制振動．初期軸力比．Po＝0の荷重 強度2≒128．（三振加速度19）および．．ρ＝256・（加・振 加速．度2Gン・に対する外力．の振動数比．ψ（外力の振動

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Fig．．4 Nonlinear． frequency respon§e fQrρ＝126

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高橋和雄・柿山幸隆・・竹内一博 77

数／線形対称1次振動数）と応答振幅A（はり中央 の最：大振幅／回転半径r）の関係をプロットすれば Figs．4，5に示すとおりである．図中において○印は 掃引周波数を増加させた場合，×印は掃引周波数を減 少させた場合の実験値をそれぞれ示す．図中の矢印は 振幅の跳躍現象の方向を示すものである．また，図中 の肉太の実線は対応する外力と同位相の理論解の非線 形応答に，一点鎖線は逆位相の非線形応答にそれぞれ 対応するものである．なお，理論解に採用した自由度 は4で，高調波は5倍まで採用しており，減衰は無視 されている．また，ω＝1．0付近の細い実線と破線は 非線形項を無視した微小振動論からえられる線形応答 を示すものである．

 Figs．4，5においてω一1．o付近に生ずる共振は外 力の周波数と同じ振動（α｝）が卓越する対称1次振 動の主共振である．また，ω＝2．0付近に生ずる共振 は外力の周波数の5倍の振動が主共振とは別の分岐的 に生ずる1次振動の5倍の高調波共振（ 5α1）および 石＝0．3付近の共振は連続的に生ずる対称1次振動の 3倍の高調波共振（α1）にそれぞれ対応する理論解 である．〜δ＝1．8付近は対称2次振動の3倍の高調波 成分（α1）が卓越する高調波共振およびδ＝2．65付 近は対称3次振動の5倍の高調波成分（ 5α5）が卓越 する高調波共振である．これらの2次の高調波共振は いずれも分岐的に生ずるものである．また，石＝1．15 付近で主共振の同位相の振幅が不連続となるのは対称

2次振動の5倍の高調波成分（ 5α3）が主共振の基本 波（αi）の正の成分と連成振動を生ずるためである．

δ＝3．0付近から生ずる共振は1次振動の3分の1の 分数調波共振（％α1）である．

（の主共振 石＝1．0付近に振幅が増大して非線形領 域に入る共振はFig．6（a）に示すような波形をもつ外 力と同じ振動をもつ主共振である．同位相の主共振の 振幅は加振力の小さい荷重強度ρ＝128について理論 と実験がよく一致しているが，外力の大きさが2倍の ρ岩256の場合には実験値の方が大きな振幅となって

いる．これははりの軸方向変位の固定が不十分なため と考えられる．理論では減衰を含まないために共振時 の振幅は無限大となるが，実験では減衰を含むために 有限の大きさとなり，振動数比ω＝2．0付近で主共振 の振幅は最：大となった後，主共振の同位相の振幅は跳 躍現象による飛び移りを生じ，Fig．7（a）に示すよう な非線形自由減衰振動をしながら次の定常状態に移っ ていく．Fig．7（a）のようにはりの中央点の変位は調 和振動をしているが，4分の1点の変位は振幅比の大 きい領域で逆対称1次振動の2倍の高調波と連出した 振動を伴っている．この飛び移りは，Fig．3に示し た非線形自由振動と本質的に同じものである．なお，

飛び移りを生ずる振幅の大きさを理論から定めること は現在めところ困難iである．減衰の大きさぼ微小振動 の自由振動からえられる一定の大きさとは異なり，振

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   Fig．6 Harmonic， ultraharmonic and subharmonic responses． of the first symmetric mode

78 はりの非線形振動に関する実験的研究

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  （b）

Fig・7 Jump Phenomena of the first symmetric     response

幅および周波数の関数であることに起因するものと予 想される．逆に振動数比δ＝1．3付近から振動数を減 少させていくと逆位相の主共振へ跳躍現象を生じ，

Fig・7（b）に示すように8〜9Hgのうなりを伴った過 渡振動をしている．この下側の跳躍を隼ずる振動数比 はω＝1．2付近で，逆位相の主共振が鉛直接線を持つ 位置とよく合致している．

（b）高調波共振 振動数比万が1より小さた領域 で・1次振動の振動モードを持つ高調波共振が生ずる．

これらの応答の周波数はいつれも線形1次振動固有振 動数に合致するものである．すなわち，π倍の高調波 共振はω＝1／〃の位置で生ずることになる．荷重強 度ρ＝128および256について高調波共振の一覧表 を示せばT段ble 1に示すとおりである．また， Fig．

6（b）〜（e）には各種の共振の波形が示されている．こ れらの共振のうち，弄；128では3倍，万＝256では3 倍および2倍の高調波共振が卓越している．理論解析 は理想的な直線はりに対する結果であるために5倍お よび3倍の奇数次の高調波共振のみが求められている が，実験では6倍，4倍，2倍の偶数および％倍の非 整数次の高調波共振が見受けられる．本題のはりの非 線形問題では復元力に3次の非線形項が含まれるため に，3，5倍などの奇数次の高調波共振が卓越するが，

他の任意の次数の高調波共振が生ずることも可能であ

Table l Summary of ultraharmonic responses

order of

唐浮垂・窒・≠秩I犠onics 篁寓128 §；256

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0ユ8

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0．22 0．24 4

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0．25 0．25

up

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3

down

0．35 0．34

up

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down

0．51 0．51

3／2

up

0．65

down

0．71

る．しかし，その共振は奇数次の高調波共振に比較し て小さいはずである．逆に実験におけるρ＝256の2 倍の高調波共振はかなり大きな振幅となっている．こ の原因ははりの復元力に2次の項が存在すること，す なわちはりの初期たわみによるものと考えられる6）．

 高く0．15では試験機の変位制限2．5㎝のために実験：

は実施されていないが，この領域ではさらに高次の高 調波共振が現われる可能性がある．対称2次および3 次振動の分岐的に現われる高調波共振は未だ確認ざれ

ていない．

（c）分数調波共振 語例ではTable 2に示すように実 Table 2 Summary of subharmonic responses

order of

唐浮b・≠窒高盾獅奄 一P＝128 百茸256

1／2 up

р盾翌

2．17 Q．02

2．36 Q．20

験において振動数比ω＝2。0付近で掃引上昇時には主 共振の跳躍のあとおよび下りの掃引には飛び移りによ

って，Fig．6（f）に示すように1次振動の2分の1の 分数調波共振が現われ，かなり大きな振幅となってい

る．この原因ははりの初期変形によるものと考えられ る．理論ではω＝3．0付近から1次振動の3分の1の 分数調波共振（α誓）が現われるが，本例の実験では 現われていない．

（d）動的不安定現象による振動 本四の実験模型の 構造および外力の分布ははりの中央に対して対称であ るがFig．8（a）〜（c）に示すようにある特定の周波数 領域ではりの4分の1点の変位が大きくなる局所的な 振動が生ずる．これらはFigs．4および5において●

を用いて表示されている．．この振動は対称1次振動に

よって逆対称1次振動が分岐する動的安定問題に対応

するものと予想されMathieuの方程式の不安定領域

高橋和雄・柿山幸隆・竹内一博 ⁷⁹

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（a）         （b）      （c）

   Fig．8 Harmonic and ultraharmonic responses of the antisymmetric response に対応するものである7）．この現象は非線形自由減衰

振動においても振幅比が大きいときに逆対称1次振動 の2倍の高調波が生じている．

（2）非線形自由振動 Po＝0の場合のはり中央の振幅 比Aと振動数比ωとの関係を求めれば，Fig．9の

■印および▲印に示すようにえられる．図において，

2ξ0

凱

L6

1．4

L2

1．0

Thcoretical  curve

□Experimenata1

▲ Results

0

Fig．9

  2・      4        ．6       8     ＿＿＿＿■陶 10

       A Relation between amplitude ratio A and frequency ratioω

実線が多自由度系としての解を示す．自由振動につい て振幅比Aと振動数比ωの関係は，理論値と実験値 とがよく合致している．Fig・10に示すようにはりの

中央点と4分の1点の振幅の比Yから振幅比Aに

伴う振動波形の変動が求められる．解析では振幅の増

0．8

，／

0．7

O．6

O．5

o。4

       エ       る       き

       † Fig．10 Effect of amplitude ratio on space−modal     shape atξ罵1／4

■Expe＝iment

窒・唐浮撃狽r

大とともに4分の1点の変位が増大するが，実験にお いても同様の傾向を示している．なお，振幅比が大き い領域で誤差が大きくなっているが，この原因はこの 振動数比⑳領域で逆対称1次振動の2倍半高調波成分 が連成するためである．

5．結  語

 本研究は両端で軸方向変位が拘束されたはりの非線 形振動の実験を報告したものである．えられた結果を 要約すると，定常強制振動実験の結果より，

（1）対称1次振動の主共振の他に，高調波共振，分数 調波共振，振幅の跳躍現象などの非線形振動特性およ び逆対称1次振動と対称1次振動の局所的に生ずる連 勢振動を確認した．

②理論値と実験値を比較すると，主共振の振幅と振 動数の関係はほぼ合致する．実験においては理論では 含まれない偶数次の高調波共振および分数調波共振が 見受けられるが，これははりにわずかな初期たわみが 存在するか，もしくは端部の軸方向の拘束が不完全な ために大振幅振動時にはりの支点が軸方向にずれて曲 げ変形を生じたことに起因するものと考えられる．な お，逆対称1次振動の不安定振動は対称1次振動の主 共振によって逆対称1次振動が分岐する動的安定問題 によるものと考えられる．したがって，応答のすべて を説明するためには非線形振動の共振の他に非線形振 動における動的安定問題を取扱う必要がある．

 非線形自由振動の結果より，

（3）非線形自由振動の振動数比と振幅比の関係は理論 値と実験値がよく一致している．また，はりの非線形 振動の規準関数は振幅とともに変化し，端部がふくら んだ形どなるが，実験においても同様な傾向を示した．

 手元にシグナルプロセッサーやAD変換器などの

信号変換器がないので非線形に伴う波形の処理を行う

ことが無理であるが，今後検討の予定である．さらに

固定枠を大きくして固定をより完全にし，変位計のチ

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ヤンネルを追加して実験を重ねて非線形振動の解析を する予定である．

 最：後に本研究を行うにあたり，計測器の借用および 工作をお願いした本学構造工学科片岡助手，片岡技官，

ならびに日本鉄塔㈱岡氏に感謝するとともに実験にあ たって土木学科永田・一ノ瀬技官および研究室の卒論 生申原・藤本・野口氏の協力をえたことを付記する．

また，本研究を行うにあたって貴重な御助言を頂いた 河島佑勇元九大教授（現九州産業大学），三菱重工㈱

長崎研究所大高勝夫氏に感謝します．

 参考文献

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7） 皆川：周期外力による弾性体の動的安定問題の厳

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