ここで,用いた方法は以下の通りである

(1)

2016年度・前期・数理解析・計算機数学３・第５回 1

● 講義資料

▼ ニュートン法

• 以下の図は,ニュートン法をf(x) =x²−2に適用し,√

2 の近似値を求めた例である. （√ 2 と近似値の値との絶対誤差を表示している）

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• 以下の図は, ニュートン法を fk(x) = (x²−2)^k に適用し, √

2 の近似値を求めた例である.

（√

2と近似値の値との絶対誤差を表示している）

��

• 以下の図は,各種の求根アルゴリズムをf_k(x) =x²−2に適用して√

2の近似値を求めた例である. （√

2と近似値の値との絶対誤差を表示している）

May 18, 2016, Version: 1.0 [email protected]

(2)

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ここで,用いた方法は以下の通りである.

– “newton”は「ニュートン法」を,a0= 2.0で適用.

– “secant”は「割線法」を,a₀= 2.0,a₁= 2.0−0.25で適用.

– “bisection(1)”は「二分法」を,I0= [0.0,2.0]で適用.

– “bisection(2)”は「改良した二分法」を,I0= [0.0,2.0]で適用.

▼ Strum の二分法

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(3)

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● 実習内容

1. （★★★）ニュートン法を用いて√

x(x >0)の近似値を相対誤差4.0×10⁻¹⁶ で求めるプログラムを書きなさい.

2. （★★★）関数f(x) = (x²−2)^k (k= 2,3, . . .)にニュートン法を適用して√

2 の近似値を求め,また,それぞれのkに対して,各繰り返しでの近似値と√

2との誤差の振る舞いをグラフに表しなさい.

3. （★★）関数 f(x), 初期条件 x₀ はニュートン法の仮定を満たしているとする. さらに, α を求めるべき f(x) = 0 の解とししたとき, x1 を x1 ∈ (α, x0) から一つえらぶ. この時, (x_n, f(x_n)), (x_n+1, f(x_n+1))を通る直線とx軸との交点をx_n+2 と定めることにより得られる点列{xn}を順次求め,{xn} はαに収束することを確認しなさい. （この方法を割線法と呼ぶ.）割線法を用いて√

x(x >0) の近似値を相対誤差4.0×10⁻¹⁶ で求めるプログラムを書きなさい.

4.（★★）通常の二分法では,In= [an, bn],f(an)<0,f(bn)>0に対して,cn+1= (an+bn)/2 とおき, f(c_n+1)の符号を判定している. その代りに, (a_n, f(a_n)), (b_n, f(b_n))を結ぶ直線と y= 0との交点をcn+1 とおき,f(cn+1)の符号を判定するものを改良した二分法とよぶ. 改良した二分法を用いて√

x(x >0)の近似値を相対誤差4.0×10⁻¹⁶ で求めるプログラムを書きなさい.

5. （★★）Strum の二分法を用いて, 10 次の Legendre 多項式の零点の近似値を, 相対誤差 1.0×10⁻¹⁴ で求めるプログラムを書きなさい.

6. （★★）Strumの二分法を用いて, 10次の第１種Chebyshev多項式の零点の近似値を,相対

誤差1.0×10⁻¹⁴ で求めるプログラムを書きなさい.