統計的データ解析 ２０１３

統計的データ解析 ２０１３

2013.11.05

林田 清

（大阪大学大学院理学研究科）

グラフの書き方、フィッティングの練習



gnuplot



インターネットで参照できる日本語のマニュアルもあり

 http://lagendra.s.kanazawa-u.ac.jp/ogurisu/manuals/gnuplot- intro/

 http://lagendra.s.kanazawa-u.ac.jp/ogurisu/manuals/gnuplot/



qdp



Excel を利用した最小二乗フィット



サンプルのデータ



直線モデル用その１

次のページ



直線モデル用

http://133.1.160.249/~hayasida/Class/Class2008/xsx_ysy.txt



ガウシアンモデル用

http://133.1.160.249/~hayasida/Class/Class2008/gaussian.txt

復習を兼ねて

ガウシアンモデルでフィットしてみよう

統計的検定 (statistical test)

 x

の

回の測定の平均値が

、標準 偏差が

だったとする



仮説

：

例）母集団の平均値

は

である



対立仮説

：”母集団の平均値

^は

^でない”



本当はこれを示したいので、Hを帰無仮説ともいう。



平均値

、標準偏差

の母集団 から

個の標本をサンプルした場合に、平 均値

が

以上ずれる（

あるいは

̅𝑥𝑥 ≥ 0.55

になる）確率

は？

 P

が定められた危険率

有意水準）

より



小さい：仮説

は誤り。

が正しい可能性を棄て る危険性

を伴って。



大きい：仮説Hは棄却できない。

危険率（有意水準）

例１

両側検定

0.55 0.45

Null hypotesis

統計的検定 (statistical test)



仮説

：

例）母集団の平均値は

である



対立仮説

を”母集団での平均値は

より小さい”と設 定することもある。



今回測定した標本が何らかの理由により、

より小さな 値であることを示したいとい意図が背景にある場合。



平均値

、標準偏差

の母集団から

個の標本をサンプルした場合に、平均値が

0.45

である確率

は？

 P

が定められた危険率

有意水準）

より



小さい：仮説

は誤り。

が正しい可能性を棄てる危険 性

を伴って。



大きい：仮説は否定できない。

例

片側検定

0.55 0.45

真の結果（不明）

𝜇𝜇 = 0.5 𝜇𝜇 < 0.5

検定 結果

H

を採択

を棄却しない） 正しい判断 第

種の過誤

を採択

を棄却する） 第１種の過誤 正しい判断

ここで紹介している（一般に使われる）のは、第１種の過誤をお

かす危険率を考慮して、

を棄却するか、否かという検定。

χ

分布

2

2 2

2 2

2 2 / 2 1 / 2 / 2

2

2 2

2

2 2

( )

0 1

( ) {( ) } / 2 ( / 2)

( )

( ) 2

i

i

x x

n

n V

e

x n

E

ν χ ν

ν

χ

χ ν χ

χ χ

χ

ν

µ χ

µ σ χ

σ

ν χ ν

− −

=

= Γ

−

= =

∑

∑

n

i=1

n

i=1

平均値 ,標準偏差 の正規分布 に従う変

自由度 の （カイ

数 の自乗和 　

が従う分布を自由度 の 分布と呼ぶ。　 一般に自由度 の 分布は

平均値 ,標準

期待値　 分散　

偏差 の正規分布に従う 　も自 二乗）

由度 　

の 分布

分

2

2 2

2 2 2

2

( )

i 1 x x

n

m l

m l σ χ

χ χ χ

χ

− −

+

∑ⁿ

i=1

布、　

はしかし自由度 の 分布

分布の加算：自由度 の 分布に従う変数と自由度 の 分布に従う 変数の和は、自由度 の 分布に従う。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 5 10 15

P(χ2 )

χ²

χ²distribution

dof=1 dof=2 dof=4 dof=6

カイ二乗分布の確率分布の積分 あてはめの良さの検定

Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, Bevington & Robinson より

•

最小二乗フィットによ りモデルパラメータを 最適化した際の

値 を求める

•

上記の

値（以上の 値）を得る確率を表か ら調べる。

•

確率があまりにも小さ ければ何か間違って いる。（例えばモデル が適当でない）

ｒeduced-χ²の値の表（対応するχ²の値を超える 確率Pと自由度νの関数として表示されている）

• http://cluster.f7.ems.okayama-u.ac.jp/~yan/jscscd/table/chi.html

に も同様の表（但し

ではなく

の値）が掲 載されている。

• Excel

なら

フィットのよさに関するカイ二乗検定

 [

問題例

７組の測定データ

（

）で、

の誤 差は無視できるほど小さく、

の誤差は

とする。これを

の直線モデルを仮定し、

をフリーパラメータと してカイ二乗フィットする。 自由度は

。

の値 によって、どのような判断をするか？



例えば、

を得た場合



自由度

の

分布で

以上の値を得る確率は



結論例１：

危険率

（以上）でこのモデルは棄却される”



結論例２：

危険率

ではこのモデルは棄却されない”

 χ²_min=6.0

を得た場合



自由度

の

分布で

以上の値を得る確率は



結論例：

（危険率

では）このモデルは棄却されない”

 χ²_min=0.55

を得た場合



自由度

の

分布で

以下の値を得る確率は



結論例

の値が小さすぎる（と危険率

で結論できる）。誤差の

評価が不適当である可能性が大きい。”