7 2.3 岩澤の定理の証明

Q ^{上アーベル} p 拡大における 岩澤不変量について

濱田 路子

平成15年1月31日

目次

1 序文 2

1.1 予備知識 . . . . 2

1.2 主定理1.2.1 . . . . 2

2 Zp 拡大における岩澤理論 5 2.1 岩澤の定理 . . . . 5

2.2 Zp[[T]] 加群の構造 . . . . 7

2.3 岩澤の定理の証明 . . . . 13

3 主定理 1.2.1 の証明の準備 21 3.1 Tate Cohomology . . . . 21

3.2 類体論1 . . . . 23

3.3 類体論2 . . . . 25

3.4 定理3.35について . . . . 36

4 主定理 1.2.1 の証明 45 4.1 1st Step . . . . 45

4.2 2nd Step . . . . 47

4.3 主定理1.2.1の例 . . . . 57

1 序文

1959 年, 岩澤健吉によって証明された岩澤の定理はとても美しい定理で, そこに出 てくる岩澤不変量が0 になるかどうかということは, 今までにもよく研究されてき たことである. 特に, ある体 K に対して, K_∞/K が円分 Zp 拡大のときの岩澤不変 量については, µ = 0 予想と呼ばれる予想がある. K/Q がアーベル拡大のときは, Ferrero-Washingtonによって, µ= 0 となることが証明されている.

本修士論文は G.Yamamotoの 2000 年の論文 [?] について細かい証明を補い, まと めたものである. 主定理 1.2.1 に関する細かい証明を補うために, [?],[?],[?],[?] 等の 論文を参照した. 主定理 1.2.1 は, Q 上アーベル p拡大となるような体k の岩澤不変 量がすべて 0になるような必要十分条件を求めるものである. ここで,Q 上アーベル p拡大とは,対応するGalois群の位数がp巾のアーベル群になるような拡大のことで

ある. 主定理1.2.1 を証明する際に非常に重要な定理3.35については[?]に詳しいこ

とが載っている. この章では,本論文の主定理1.2.1 を紹介する.

1.1 予備知識

次の二つの定義は,主定理 1.2.1を紹介するために必要な記号の定義であり, その性 質については,後で紹介することにする.

定義 1.1 (種の体) k の種の体 k_G とは, Q 上アーベル拡大になるようなk の最大の 不分岐アーベル拡大のことである.

つまり, 種の体 k_G は Q のアーベル拡大と k を合成したものとして考えることが できる. 次に, p巾剰余記号を定義するが,これは主定理 1.2.1 における岩澤不変量が すべて 0になるような必要十分条件を書き出す時に使われる.

定義 1.2 (p 巾剰余記号) p, b ∈ Z⁺, a ∈ Z, (a, p) = 1 のとき, x^p ≡ a (mod b) が解 を持つならば, a はmodulob の p 巾剰余であるという. このとき, a が modulob の p 巾剰余記号であるという記号を,

³a b

´

p

= 1

と書く. a が modulob の p 巾剰余でないときは

³a b

´

p の値は 1 ではないとする. 実 際に, ζ_p を 1の原始 p乗根とするとき,

³a b

´

p の値は, ある整数 r に対して, ζ_p^r とな る. しかし, 今回は, p 巾剰余であるかそうでないかが問題になるため, 少し曖昧では あるが, p 巾剰余記号の定義は以上のようにする.

1.2 主定理 1.2.1

この節では, 前節で定義した種の体や p 巾剰余記号を用いて本論文の主定理1.2.1 を紹介する.

主定理 1.2.1 (G.Yamamoto(2000)) p を奇素数, k_∞/k を円分 Zp 拡大とする. k を Q 上アーベル p 拡大とし, 互いに異なる p₁,· · · , p_t に対して, k の conductor を m_k =p^ap₁· · ·p_t とする. ここで, p₁,· · · , p_t は k/Q で分岐する素数である.

もし,

λ_p(k) =µ_p(k) = ν_p(k) = 0 (1.3)

ならば, t ≤2. 逆に, t≤2 を仮定するとき,

•t = 0 ならば, (1.3) を満たす.

•t = 1 ならば, (1.3) を満たすための必要十分条件はkG ⊆k_∞ であり,

³p p₁

´

p 6= 1 または p1 6≡1 (mod p²) (1.4)

である.

•t = 2ならば, (1.3)を満たすための必要十分条件はk_G⊆k_∞ であり, (i, j) = (1,2) または (2,1)に対して,

³p p_i

´

p 6= 1,

³pi

p_j

´

p 6= 1, p_j 6≡1 (mod p²), (1.5)

であり,

³p_jp^x p_i

´

p

= 1,

³pp_i^y p_j

´

p

= 1, p_ip_j^z ≡1 (mod p²), xyz6=−1∈Fp

(1.6)

なる x, y, z ∈Fp が存在することである.

注 1.7 k/Q で分岐する素数 p1,· · · , pt に対して, k のconductor を, mk =p^ap1· · ·pt

としているが, これは次のことから言える.

証明 k は Q 上アーベル拡大なので, Kronecker-Weber の定理より, k はある円分 体に含まれる. これをk⊆Q(ζ_nk), n_k =p^ap₁^b1· · ·p_t^bt とする.

今,Q(ζ_mk)⊆Q(ζ_nk) が成り立ち,

Gal(Q(ζ_nk)/Q) = Γ Gal(Q(ζ_nk)/Q(ζ_mk)) =H

Gal(Q(ζ_nk)/k) =N とすると,

Γ'(Z/p^aZ)^×× Yt i=1

(Z/p_i^biZ)^×

H ' {1} × Yt i=1

(Z/pibi−1Z)

となる. ここで,H から Γ への単射が存在し, ΓからGal(k/Q) = Γ/N への自然な写 像が存在する. φ : Γ→ Γ/N とすると, Γ/N は位数が p巾の群であり, 各 p_i は p と は異なる素数である. つまり,N の元はKerφ に入る. すなわち, H はN の部分群に なり, H は k に自明に作用することがわかる. したがって, conductorとして,最小の 値である mk をとり,k ⊆Q(ζm_k) とする.

さらに, [?] の命題 13.2.9より,Q(ζ_mk)の整数環 D に対して, p_iD= (P₁· · ·P_g)^pi−1

と書くことができる. ここで, P_i は次数 f の互いに異なる Dの素数,f g =φ(m_k) ,f は p_i^f ≡1 (mod m_k) を満たす最小の正の整数である.

今,p_i は k/Qで分岐するので, 分岐指数は少なくともp では割れることになる. し たがって, p_i ≡1 (mod p)となることも言える. ¤

この主定理を使うことによって, 一般には岩澤不変量を計算することが難しかった としても, 条件を満たすかどうかを調べることによって, 不変量が 0 になるかどうか がわかることになる.

謝辞

末筆ではありますが, 本修士論文を書き終えるまで, 2 年間セミナー等で親切に御 指導下さった雪江明彦先生, 類体論に関して御指導下さった高橋豊文先生, そして, こ の2年間同じセミナーの仲間であった小林優司氏, 永田雄一氏に深く感謝の意を表し ます.

2 Z^{p 拡大における岩澤理論}

この節では, Zp 拡大における岩澤理論を紹介する. この節の内容については [?] の 13節に詳しいことが載っている. 主定理1.2.1において, Q上アーベル p拡大での岩 澤不変量について考えるのだが, この岩澤不変量とは次に紹介する岩澤の定理に出て くるものである.

2.1 岩澤の定理

これから紹介する岩澤の定理 (Iwasawa(1959)) はとても有名なものである. 岩澤の 定理は, ある体K に対して, K の Zp 拡大と呼ばれる拡大を考え, この拡大について 考えられるものである. まずは, K の Zp 拡大を定義する.

定義 2.1 ( Zp 拡大) K_∞/K が Zp 拡大であるとは, Gal(K_∞/K)'Zp

が成り立つことである.

このとき,

K =K₀ ⊆K₁ ⊆ · · · ⊆K_n⊆ · · · ⊆K_∞ = [

n≥0

K_n

であり, Gal(Kn/K)'Z/pⁿZ となる体の列を考えると,

Gal(K_∞/K) = lim←−Gal(K_n/K) = lim←−Z/pⁿZ=Zp

となり,K_∞ は K の Zp 拡大となる. したがって, K のZp 拡大 とは以上のような体 の列を考えたときにできる拡大と考えることができる.

特に,任意の数体 K は少なくとも一つの Zp 拡大を持つことがわかっていて, この 拡大は K の円分Zp 拡大と呼ばれるものである. K の円分 Zp 拡大とは,

K =K₀ ⊆K₁ ⊆ · · · ⊆K_n =K ·Qn⊆ · · · ⊆K_∞= [

n≥0

K_n

となる体の列で, ただし, Qn は Q(ζ_pⁿ⁺¹) の Q 上 pⁿ 次の部分体である. このとき, Gal(K_∞/K) = Gal(K·Q_∞/K) = Gal(Q_∞/K∪Q_∞)'Zp

が成り立つことから, K_∞ は K の Zp 拡大となる.

ただし,ある n に対して,Qn ⊆K となる場合も考えられる. このときは,番号が少 しずれてしまう可能性があって,

K =K₀ ⊆K₁ =K·Qn+1 ⊆ · · · ⊆K_∞ となるが, Qn+1 =Q10 と置き換えて考えると良い.

次に,岩澤の定理を紹介する.

定理 2.2 (Iwasawa(1959)) K_∞/K を Zp 拡大とし, p^en を h(K_n) を割る最大の p 巾の数とするとき, 正の整数 λ, µ, 整数 ν が存在して, 十分大きな n に対して

e_n =λn+µpⁿ+ν が成り立つ. ただし, h(K_n) は K_n の類数のことである.

この λ, µ, ν が岩澤不変量と呼ばれるもので, 十分大きな n に対してただ一つ決ま る値である. さらに,p^en とは, Kn のイデアル類群の pシロー部分群の位数である.

本修士論文では,Q 上アーベルp拡大となるような体 k に対して円分Zp 拡大を考 え, そこで岩澤不変量を考えるのだが,岩澤の定理の証明の概要は一般のZp 拡大につ いて述べる.

2.2 Zp[[T]] 加群の構造

岩澤の定理を証明する際に,形式的巾級数環Zp[[T]]上の加群の構造を使うため, こ こでは少し説明を与えるが,Zp[[T]] の性質等については [?] の 7節と 13 節に詳しく 載っている. Λ =Zp[[T]] とおく. 特に, この Λ はネーター環である. まずは, Λ の中 の多項式について次の定義をする.

定義 2.3 (distinguished 多項式) P(T) ∈ Λ が distinguished であるというのは, P(T) が

P(T) = Tⁿ+a_n−1Tⁿ⁻¹+· · ·+a₀ と書けて, さらに, p|a_i (0≤i≤n−1) が成り立つことである.

P(T) は p² | a0 であってもかまわないため, Eisenstein 多項式ではないが, p² - a0

ならば, Eisenstein 多項式と同じ条件を満たす.

また,この distinguishedな多項式 P(T)を使って, 次の補題が成り立つ.

命題 2.4 任意の f(T) ∈ Λ に対して, g(T) ∈ Λ , distinguished な多項式 P(T), deg(r(T))<deg(P(T)) なる r(T)∈Zp[T] を使って,

f(T) =g(T)P(T) +r(T) と一意に書くことができる.

この補題を使うことによって, Λ は一意分解整域となることが言える. この補題の 証明は [?] の命題7.2 に載っている.

定理 2.5 (Weierstrass p-adic Preparation Theorem) 任意の 0 6= f ∈ Λ に対して,

f(T) = p^µP(T)U(T) (0 < µ∈Z, P(T) : distinguished, U(T)∈Λ^×) と書くことができる.

この定理の証明は [?]の定理 7.3に載っている.

Λ のイデアルについて考えることにする. 次の四つの補題は, 後で紹介する擬同型 に関する定理 2.13 を使って, 有限生成 Λ 加群を直和分解したときに現れる直和因子 の位数を計算するときに使われる.

補題 2.6 f, g∈Λ が互いに素なとき, イデアル (f, g) は Λ において有限指数となる.

すなわち, [Λ : (f, g)]<+∞ となる.

この補題の証明は, [?] の補題 13.7 に載っている.

補題 2.7 f, g∈Λ が互いに素なとき, 次の二つが成り立つ.

(1) 自然な写像 Λ/(f g)→Λ/(f)⊕Λ/(g) は単射で, cokernel は有限となる.

(2) Λ/(f)⊕Λ/(g)→Λ/(f g) なる cokernel が有限の写像が存在する.

この補題の証明は, [?] の補題 13.8 に載っている.

補題 2.8 Λ のイデアルは

0,(P, T),(p),(P(T))(ただし,P(T) : distinguished, 既約)

であり, (P, T) はただ一つの極大イデアルである.

この補題の証明は, [?] の命題 13.9 に載っている.

補題 2.9 f ∈ Λ, f /∈ Λ^× のとき, Λ/(f) は無限になる. つまり, [Λ : (f)] は無限で ある.

この補題の証明は [?]の補題 13.10 に載っている.

ここで, Λ 加群 M が M⁰ に擬同型であるということを定義して, それに関する例 を述べる.

定義 2.10 (擬同型) Λ 加群 M が M⁰ に擬同型 (M ∼M⁰) であるとは, M →M⁰ な る準同型が存在して, kernel,cokernel が有限になることである. したがって, 有限 Λ 加群 A, B に対して,

0→A →M →M⁰ →B →0 なる完全列が存在することである.

注 2.11 M ∼M⁰ ならば, M⁰ ∼M が成り立つということではない.

例 2.12 (p, T)∼Λ は明らかではあるが, Λ∼(p, T) は成り立たたない.

証明 φ : Λ → (p, T) という準同型により, Λ が(p, T) に擬同型になるとする. この とき, φ(1) = f(T) ∈ (p, T) とする. Λ の image は (f) となり, (f) ⊂ (p, T) となる.

ここで, (p, T) は極大イデアルであったから, f 6∈ Λ^× となる. つまり, 補題 2.9 より, Λ/(f) は無限指数であり, (p, T)/(f)も無限指数である. すなわち, cokernel が無限に なってしまうことから, Λ∼(p, T)は成り立たたない. ¤

また,補題 2.7を用いて次のことが言える. f, g∈Λ が互いに素なとき, Λ/(f g)∼Λ/(f)⊕Λ/(g),Λ/(f)⊕Λ/(g)∼Λ/(f g) が成り立つ.

ここで,擬同型の概念を使って, 次の定理が成り立つ. これは岩澤の定理を証明する 際に非常に重要なものである.

定理 2.13 (Cohen) M を有限生成 Λ 加群とする. このとき, M ∼Λ^r⊕³M^s

i=1

Λ/(p^ki)

´⊕³M^t

j=1

Λ/(f_j(T)^mj)

´

が成り立つ. ただし, r, s, t, k_i, m_j ∈Z であり, f_j(T)は既約でdistinguishedな多項式 である.

この定理の証明は, [?]の定理 13.12 に載っているが,今回は簡単に説明することに する.

証明の概略 今, M は 生成元u₁,· · · , u_n を持つと仮定する. λ_i ∈Λ に対して, S=

n

(λ₁,· · · , λ_n)∈Λⁿ¯¯¯ Xn

i=1

λ_iu_i = 0 o

とする. S は Λⁿ の部分加群であり, Λ はネーター環なので, このような S は有限生 成である. したがって,

Λ^m −−−→^φ Λⁿ −−−→ M −−−→ 0

が完全列となるような準同型 φ をとることができる. この φ を行列

T =





λ₁₁ · · · λ_1n ... ... λm1 · · · λmn





と書くことにする.

この T を基本変形して定理 2.13 が証明できるのだが, 基本変形にはいくつか種類 があるため, ここでその基本変形について述べる.

定義 2.14 (行列の基本変形) 行列 T に対して, 次の六つの基本変形を定義する.

(a) 行同士, 列同士は交換することができる.

(b) ある行のスカラー倍を別の行に加える. また, ある列のスカラー倍を別の列に加 える.

つまり, λ⁰ =qλ+r のとき,







... ...

λ · · · λ⁰ · · ·

... ...





→







... ...

λ · · · r · · ·

... ...





 と変形する.

(c) λ∈Λ^× に対して, ある行, またはある列全体を λ 倍する.

(d) T が行(λ₁, pλ₂,· · · , pλ_n) を含むとき, この (λ₁, pλ₂,· · · , pλ_n) を(λ₁,· · · , λ_n) と変形し, (λ1, pλ2,· · · , pλn) 以外の行の第一成分のみをp 倍する.

つまり,

T =











α1 α2 · · · αn

... ... ...

λ₁ pλ₂ · · · pλ_n

... ... ...

β₁ β₂ · · · β_n











→T⁰ =







λ1 λ2 · · · λn

pα₁ α₂ · · · α_n

... ... ...

pβ₁ β₂ · · · β_n







と変形する.

(e) T が p^k で割れる行と列を持ち, その行と列の丁度重なる成分が p^k+1 で割れな いとき, p^k で割れる行(p^kλ₁,· · · , p^kλ_n) を (λ₁,· · · , λ_n) に変形する.

つまり,

T =











α₁ · · · p^kα_j · · · α_n

... ... ...

λ₁ · · · p^kλ_j · · · λ_n

... ... ...

β₁ · · · p^kβ_j · · · β_n











→T⁰ =







λ₁ · · · λ_j · · · λ_n p^kα₁ · · · α_j · · · α_n

... ... ...

p^kβ₁ · · · β_j · · · β_n







と変形する.

(f) T が行(p^kλ₁,· · · , p^kλ_n) を含み, p - λ となるある λ に対して, (λλ₁,· · · , λλ_n) も S に含まれるとき, つまり, Pn

i=1λλ_i = 0 を満たすとき, (p^kλ₁,· · · , p^kλ_n) を (λ1,· · · , λn) に変形する.

つまり,

T =







... ...

p^kλ₁ · · · p^kλ_n

... ...





→T⁰ =







... ...

λ₁ · · · λ_n

... ...







と変形する.

有限生成 Λ 加群 M, M⁰ に対して,

Λ^m −−−→^φ Λⁿ −−−→ M −−−→ 0 Λ^m −−−→^φ0 Λⁿ −−−→ M⁰ −−−→ 0

が完全列になるような準同型 φ, φ⁰ がとれて, この φ, φ⁰ を行列 T, T⁰ と書くことに する.

もしも, 基本変形の演算(a),· · · ,(f) を使って,T が T⁰ に変形できるならば,M は M⁰ に擬同型になることがわかる.

さらに, 定理2.13を説明するために必要な定義を二つ述べる.

定義 2.15 (Weierstrass degree) 任意の f ∈Λ に対して, deg_w(f) =

( ∞ if µ >0 deg(P(T)) if µ= 0 を f の Weierstrass degree と呼ぶ.

また,M に対して決まる行列 T = (λ_ij)に対して,

deg^(k)(T) = Min{deg_w(λ_ij)|i, j ≥k} とする.

定義 2.16 ( r−1 の normal form) 行列T が







λ₁₁ · · · 0

... . .. ... 0

0 · · · λ_r−1,r−1

∗ ∗





= Ã

D_r−1 0 A B

! .

のような形をしているとき, T は r−1 のnormal form に入ると言う. ただし, λ_kk は distinguished であり, 1≤k ≤r−1 に対して, deg(λ_kk) = deg_w(λ_kk) = deg^(k)(T) を 満たす.

補題 2.17 B 6= 0 ならば, T は演算 (a),· · ·,(f) を有限回用いて T⁰ に変形でき, T⁰ は r の normal form に入り, 初めの r−1 個は R と同じ対角成分を持つ.

この補題の証明は, Claim[?,p.275] に載っている.

これまでの命題や補題を使って, 定理2.13を証明する. 補題2.17より, T は Ã

Dr−1 0 A B

!

の形をしている. このとき, 補題 2.17 と基本変形の演算(a),· · ·,(f) を使って,









λ₁₁ 0

. .. ... λ_rr ...

A 0









と変形できる. 任意の λ_jj は distinguished であり,j ≥r のとき, deg(λjj) = deg^(j)(T)

となるようになるまでT を変形する. ここで,λ_jj はi6=j のとき, deg(λij)<deg(λ_jj) となるようにとっても一般性を失わないので,今は λ_jj を以上の条件を満たすものと する.

ある i6=j に対して, λ_ij 6= 0 を仮定する.

このとき, deg_w(λ_jj) は最小であるから, p|λ_ij が成り立つ. したがって,p で割れる (λ_i1,· · · , λ_ir,0,· · · ,0)を持つ.

そこで, λ=λ₁₁· · ·λ_rr とすると, 各λ_jj は distinguished であるため, p-λ となる.

したがって,

³ λ1

pλ₁₁,· · · , λ1

pλ_rr,0,· · · ,0

´

は, λ1 p

Xλ_jju_j = 0 を満たすので,S に含まれる.

そこで, 基本変形の演算 (f) を用いて, ある j に対して, p - λij とできる. した がって,

deg_w(λ_ij)≤deg(λ_ij)<deg(λ_jj) = deg^(j)(T) となり,仮定に矛盾する. よって,A = 0 となることがわかる. ¤