数学問題集

(1)

世界一わかりやすい

数学問題集

5 章図形と相似 m

中３

と思ってつくった

氏名（）

の

(2)

Step１説明

1 拡大図と縮図

( )

名前 ( ）

Point ！

〇次の四角形 ABCD の 2 倍の拡大図との縮図を書きなさい。 1 2

・ 2 つの図形があって , 一方の図形を拡大または縮小したものと , 他方の図形が合同であるとき , この 2 つの図形は「（）」という。

・△ DEF の図形は△ ABC の図形の（）倍の拡大図

・△ ABC の図形は△ DEF の図形の（）倍の縮図

・相似の表し方は△ ABC （）△ DEF と表す。

・相似な図形では, 対応する線分の長さの比はすべて（）。

・相似な図形では, 対応する角の大きさは, それぞれ（）。

例題

(3)

Step１説明

2 相似な図形と相似比

( )

名前 ( ）

(1) AB:DEの値を求めなさい。

〇下の図の△ABC∽△DEFであるとき, 次の問いに答えなさい。

(1) AB:DE の値を求めなさい。

〇下の図の△ ABC ∽△ DEF であるとき , 次の問いに答えなさい。

(2) ∠Cと同じ角度を答えなさい。

例題

Step１基本問題

(4)

Step１説明

3 相似比を使って

( )

名前 ( ）

(1) 四角形ABCDと四角形EFGHの相似比を求めなさい。

(2) 辺ABの長さを求めなさい。

(3) ∠C=60°のとき, ∠Gの大きさを求めなさい。

〇四角形ABCD∽四角形EFGHであるとき, 次の問いに答えなさい。

(1) △ ABC と△ DEF の相似比を求めなさい。

(2) DE の長さが 5cm のとき , AB の長さを求めなさい。

〇下の図の△ ABC ∽△ DEF であるとき , 次の問いに答えなさい。

例題

Step１基本問題

(5)

Step１説明

4 三角形の相似条件

( )

名前 ( ）

〇下の図の三角形を , 相似な三角形の組に分けなさい。また , そのとき使った相似条件をいいなさい。

Point ！

① 3組辺⽐ , 等

a:a’=b:b’=c:c’

② 2組辺⽐間⾓等

a:a’=c:c’, ∠B=∠B’

③ 2組⾓等

∠B=∠B’, ∠C=∠C’

例題

(6)

（）

(2)（）と（）

（） Step１説明

4 三角形の相似条件

( )

名前 ( ）

(1) イと（）

〇下の図の三角形を, 相似な三角形の組に分けなさい。また, そのとき使った相似条件をいいなさい。

(2) ウと（）

(1) （）と（）

Step２練習問題 Step１基本問題

(7)

(2)（）と（）

（）

Step１説明

4 三角形の相似条件

( )

名前 ( ）

(1) （）と（）

Step３確認テスト

(8)

Step１説明

5 三角形の相似条件

( )

名前 ( ）

(1)

〇下の図形のそれぞれの図について , 相似な三角形の組を見つけ , その関係を記号を使って表しなさい。また , そのとき使った相似条件をいいなさい。

(2) (3)

Point ！

① 3 組の辺の比が , すべて等しいとき

② 2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいとき

③ 2 組の角がそれぞれ等しいとき

相似な三角形の組

相似条件

相似な三角形の組

相似条件

相似な三角形の組

相似条件

例題

(9)

Step１説明

5 三角形の相似条件

( )

名前 ( ）

〇下の図形のそれぞれの図について, 相似な三角形の組を見つけ, その関係を記号を使って表しなさい。また, そのとき使った相似条件をいいなさい。

(1)

相似な三角形の組

相似条件

(2)

相似条件

Step２練習問題

〇下の図形のそれぞれの図について, 相似な三角形の組を見つけ, その関係を記号を使って表しなさい。また, そのとき使った相似条件をいいなさい。

(1)

相似条件

(2)

相似条件 Step１基本問題

(10)

Step１説明

5 三角形の相似条件

( )

名前 ( ）

〇下の図形をみて, 次の問いに答えなさい。

(1) 相似な三角形の組を見つけ , その関係を記号を使って表しなさい。

(2) このときに使う相似条件をいいなさい。

(3) AB=6cm,AC=8cm,BD=4cm,BE=2cm のとき , BC の長さを求めなさい。

〇下の図の△ABCで, AB=10cm, AC=8cm,∠B=∠ACD であるとき, 次の問いに答えなさい。

(1) △ ABC と相似な三角形をいいなさい。

(2) このときに使う相似条件をいいなさい。

(3) AD の長さを求めなさい。

(11)

Step１説明

6 相似条件と証明

( )

名前 ( ）

〇 2 つの線分 AB と CD が点 O で交わっているとき ,AO=2CO,

DO=2BO ならば , △ AOD ∽△ COB であることを証明しなさい。

解答

〇下の図のように直角三角形 ABC の直角の頂点 A から辺 BC にひいた垂線を AH とする。このとき ,

△ ABC ∽△ HBA であることを証明しなさい。

解答

例題1 例題2

(12)

Step１説明

6 相似条件と証明

( )

名前 ( ）

〇下の図で , AB//DC のとき , △ ABO ∽△ CDO であることを証明しなさい。

〇下の図で , 平行四辺形 ABCD の点 A から辺 BC 上に垂線を引き , 垂線と BC の交点を E とする。同様に点 A から辺 CD 上に垂線を引き , 垂線と CD の交点を F とするとき , △ FAD ∽△ EAB であることを証明しなさい。

Step１基本問題

① ①

②

(13)

Step１説明

6 相似条件と証明

( )

名前 ( ）

〇下の図の△ ABC で , ∠B=∠ACD であるとき , △ ABC ∽△ ACD であることを証明しなさい。

〇 △ OAD で , AO=2CO, DO=2BO ならば , △ AOD∽ △ CO B であることを証明しなさい。

Step２練習問題

(14)

Step１説明

6 相似条件と証明

( )

名前 ( ）

〇下の図のように , 正三角形 ABC の辺 BC 上に点 D をとり , AD を 1 辺とする正三角形 ADE をつくる。 AC と DE の交点を F とするとき , △ ABD ∽△ AEF であることを証明しなさい。

〇下の図のように , ∠A=90° の直角三角形 ABC で , 頂点 A から斜辺

BC に垂線 AD をひくとき , △ ABD ∽△ CAD となることを証明しな

さい。

(15)

Step１説明

6 相似条件と証明

( )

名前 ( ）

〇下の図で , △ ABC は , AB=AC の二等辺三角形である。辺 AC 上に , BC=BD となるように点 D をとるとき , △ ABC ∽△ BDC であることを証明しなさい。

〇下の図の△ PQR で , 線分 PQ 上に点 S, 線分 PR 上に点 T をとる。

PS=6cm,SQ=4cm,PT=5cm,TR=7cm のとき△ PQR ∽△ PTS であることを証明しなさい。

Step３確認テスト1

(16)

Step１説明

6 相似条件と証明

( )

名前 ( ）

〇下の図の四角形 ABCD で , 点 O は , AC, BD の交点である。このとき , 次の問いに答えなさい。

〇下の図について , 次の問いに答えなさい。

Step３確認テスト2

(1) △ OAD ∽△ OCB であることを証明しなさい。 (1) △ ABD ∽△ DCB であることを証明しなさい。

(17)

Step１説明

1 三角形と比

( )

名前 ( ）

〇下の図で , DE //BC であるとき , x,y の値を求めなさい。

Point ！

△ ABC の辺 AB,AC 上の点をそれぞれ D,E とするとき , ならば ,

DE // BC

・ AD:DB=AE:EC( 図 2)

・ AD:AB=AE:AC=DE:BC ( 図 1 と図 3)

図１図２図３

〇下の図で , x の値を求めなさい。

(1) (2)

DE//BC

例題

Step１基本問題

(18)

Step１説明

1 三角形と比

( )

名前 ( ）

(1) (2)

Step２練習問題 Step３確認テスト

〇下の図で , DE // BC であるとき x,y の値を求めなさい。

(1) (2)

(3)

〇下の図で , DE // BC であるとき x,y の値を求めなさい。

(19)

Step１説明

2 三角形と比

( )

名前 ( ）

〇右の図で , 線分 DE,EF,FD のうち ,

△ ABC の辺に平行なものはどれか , Point ！

△ ABC で , 辺 AB, AC 上に , それぞれ , 点 P, Q があるとき ,

① AP : AB=AQ : AC ならば , PQ //BC

② AP : AB=AQ : QC ならば , PQ //BC

① ②

〇下の図で , 線分 DE,EF,FD のうち , △ ABC の辺に平行なものはどれか , 答えなさい。

例題

Step１基本問題

(20)

Step１説明

2 三角形と比

( )

名前 ( ）

Step２練習問題

〇下の図で , 線分 DE,EF,FD のうち , △ ABC の辺に平行なものはどれか , 答えなさい。

(21)

Step１説明

3 三角形の角の二等分線と線分の比

( )

名前 ( ）

〇次の図の x の値を求めなさい。

Point ！

△ ABC で , ∠A の二等分線と辺 BC との交点を D とするとき , 次の関係が成り立つ。

(1) (2)

〇次の図の x の値を求めなさい。

例題

Step１基本問題

AB : AC = BD : CD

(22)

Step１説明

3

( )

名前 ( ）

Step２練習問題

(1) (2)

〇次の図の x の値を求めなさい。

三角形の角の二等分線と線分の比

〇下の△ ABC で A の二等分線と辺 BC の交点を D とする。

AB=10cm,AC=12cmBC=18cm とするとき , DC の長さを求めなさ

い。

(23)

Step１説明

4 平行線にはさまれた線分の比

( )

名前 ( ）

〇次のそれぞれの図で p,q,r,s が平行なとき , x,y,z の値を求めなさい。

Point ！

2 つの直線が , 3 つの平行な直線と下の図のように交わっているとき , 次の関係が成り立つ。

① AB:BC=A’B’:B’C’

② AB:A'B’=BC:B’C

(1) (2)

〇次のそれぞれの図で p,q,r(a,b,c) が平行なとき , x の値を求めなさい。

(1) (2)

例題

Step１基本問題

(24)

Step１説明

4

( )

名前 ( ）

Step２練習問題

平行線にはさまれた線分の比

〇次のそれぞれの図で p,q,r(a,b,c) が平行なとき , x の値を求めなさい。

〇次のそれぞれの図で p,q,r(l,m,n),(a,b,c,d) が平行なとき , x,y,z の値を求めなさい。

(1) (2)

(3)

(25)

Step１説明

5

( )

名前 ( ）

平行線にはさまれた線分の比（応用）

〇 △ ABC の辺 BC 上に BF:FC=3:5 となるように点 F をとる。点 F から辺 AB, AC に平行になるように直線をひき , 辺 AB,AC との交点をそれぞれ D,E とする。このとき , 次の問いに答えなさい。

〇図で , AB//CD//EF で

AB=8cm,CD=10cm のとき , 次の問いに答えなさい。

(1) AE:ED を求めなさい。

(2) EF の長さを求めなさい。

(1) FE と AB の比を求めなさい。 (2) FD と AC の比を求めなさい。

例題

Step１基本問題

(26)

Step１説明

5

( )

名前 ( ）

Step２練習問題

平行線にはさまれた線分の比（応用）

〇下の図で , AB,AC 上にそれぞれ点 D,E をとり , このとき , DEI//

BC となる。 AD:DB=2:3 で , EC=9cm のとき , AE の長さを求めなさい。

〇下の図は , AD//BC の台形 ABCD で , EF//BC である。 EF と対角線 AC との交点を G とするとき , 次の問いに答えなさい。

(1) EG の長さを求めなさい。 (2) GF の長さを求めなさい。

(3)EF の長さを求めなさい。

(27)

Step１説明

6 中点連結定理

( )

名前 ( ）

〇下の図で , 点 D, E がそれぞれ△ ABC の辺 AB,AC の中点である

とき , x,y の値を求めなさい。

Point ！

△ ABC の 2 辺 AB,AC の中点を , それぞれ , M,N とすると , 次の関係が成り立つ。

① MN// BC

② MN = 1 2 BC

〇下の図で, 点D, Eがそれぞれ△ABCの辺AB,ACの中点であるとき, x,yの値を求めなさい。

例題

Step１基本問題

(28)

Step１説明

6

( )

名前 ( ）

Step２練習問題

〇図で, 点D, Eがそれぞれ△ABCの辺

AB,ACの中点であるとき, x,yの値を

求めなさい。

中点連結定理

〇右の図の△ABCで, 点D, E, Fはそれぞ

れ, 辺AB, BC, CA の中点である。△DEF

の周の長さを求めなさい。

〇△ABCの辺ABの中点をPとし, Pから辺BCに平行な直線をひいて辺ACとの交点をQとするとき, 次の問いに答えなさい。

(1) AQ:QCを求めなさい。 (2) BC=9cmのとき, PQの長さを求

めなさい。

〇 ADII BCである台形ABCDの辺ABの

中点Eから, 辺BCに平行な直線をひき, 辺DCとの交点をFとするとき, 線分 EFの長さを求めなさい。ただし,

AD=6cm, BC= 8cmとする。

E

(29)

Step１説明

6

( )

名前 ( ）

〇右の図のように, △A BCの辺ABの中点をD とし, 辺BCを3等分する点をBに近い方から順に E,Fとする。線分 AFとCDの交点をGとするとき, 次の問いに答えなさい。

中点連結定理

〇右の図で, △ABCの辺ABの三等分点を K,L,辺ACの中点をMとし, 直線

KM, BCの交点をPとする。このとき, KMとMPの比を求めなさい。

(1) DE:AFを求めなさい。 (2) DE:GFを求めなさい。

(3) AG:GFを求めなさい。

(30)

Step１説明

7 中点連結定理を使った証明

( )

名前 ( ）

〇下の図の四角形 ABCD で , 4 辺 AB,BC,CD,DA の中点を , それぞれ , P,Q,R,S とする。このとき四角形 PQRS は , 平行四辺形になることを証明しなさい。

〇平行四辺形ABCDの 2つの対角線AC,BD の交点をOとし, OA, OB, OC, ODの中点をそれぞれ, E, F, G, Hとする。このとき, 四角形EFGHは平行四辺形であることを証明しなさい。

例題

Step１基本問題

(31)

Step１説明

7

( )

名前 ( ）

〇△ABCにおいて, 辺AB,辺ACの中点をそれぞれD,Eとする。また, 辺BC

上に, BF:FC=2:1となる点 Fをとる。AFとDE,AFとDCの交点をそれぞれ

G,Hとするとき, △DHG≡ △CHFを証明しなさい。

〇△ABCの辺AB,ACの中点をそれぞれD,Eとし, BE,CDの交点をFとする

と, このとき, DF とFCの比を求めなさい。

中点連結定理を使った証明

(32)

Step１説明

1 相似な図形の面積の比

( )

名前 ( ）

〇相似比が 2:3 の相似な 2 つの図形 A, B がある。 A の面積が 100 ㎠のとき , B の面積を求めなさい。

Point ！

相似な 2 つの図形で , 相似比が m:n ならば , 面積の比は m

²

: n

²

^〇_き_{, B}^相似比が_{の面積を求めなさい。}^2:5^の相似な²^つの図形^{A, B}^がある。^A^の面^積が^{200 ㎠}^のと

〇下の図で, △ABCと△DEFは相似で, 相似比は2:3 である。このとき, 次の問いに答えなさい。

(1) △ABCの周りの長さが15cmのとき, △DEFの周りの長さを求めなさい。

(2) △ABCと△DEFの面積比を求めなさい。

例題

Step１基本問題

(33)

Step１説明

1 相似な図形の面積の比

( )

名前 ( ）

〇右の図のようなAD//BCでAD=6cm,BC=8cm台形ABCDがある。対角線の交点をOとするとき, 次の問いに答えなさい。

(1) △AODと△COBの面積比を求めなさい。

〇右の図の△ABCで, 辺AB, ACを3等分する点をそれぞれDとE, Fと Gとする。次の問いに答えなさい。

(1) △ADF:四角形DBCF を求めなさい。

(2) △AODと△AOBの面積比を求めなさい。

(34)

Step１説明

2 相似な図形の表面積の比と体積の比

( )

名前 ( ）

〇相似比が 3:2 の相似な 2 つの立体 A,B がある。 A の表面積が 150 ㎠ , 体積が 120 ㎤のとき , 次の問いに答えなさい。

Point ！

相似な 2 つの図形で , 相似比が m:n ならば , 表面積の比は m

²

: n

²

相似な 2 つの図形で , 相似比が m:n ならば , 体積の比は m

³

: n

³

(1) B の表面積を求めなさい。 (2) B の体積を求めなさい。

(1) Aの表面積が60 ㎠^のとき, Bの表面積を求めなさい。

(2) Bの体積が, 72 ㎤^のとき, Aの体積を求めなさい。

〇相似比が1:3の相似な2つの直方体A, Bがある。このとき, 次の問いに答えなさい。

例題

Step１基本問題

(35)

Step１説明

2

( )

名前 ( ）

〇右の図のような円錐形の容器に, 深さ10cmの水を入

(1) 正方形EFGHの面積が27㎠のとき, 正方形ABCDの面積を求めよ。

(2) 立体Pの体積が54 ㎤のとき, 立体Qの体積を求めよ。

〇下の図の2つの三角錐F, Gは相似で, その相似比は 2:3である。このとき, 次の問いに答えなさい。

(1) Fの表面積が150㎠のとき, Gの

表面積を求めなさい。

(2) Gの体積が81㎤のとき, Fの体積を

求めなさい。

〇右の図で正四角錐OABCDの辺 OA

上にOE:EA=3:4となる点Eをとる。点

Eを通り, 底面ABCDに平行な平面で正

四角錐OABCDを2つの立体P,Qにわけ

る。次の問いに答えなさい。

相似な図形の表面積の比と体積の比

(36)

Step１説明

1 相似の利用

( )

名前 ( ）

〇下の図の△ OAB の縮図を 1000 分の 1 の縮図を書いて , 辺 AB の実際の距離を求めなさい。

４０ m ＝４０００ cm １ m ＝１００ cm

３０ m ＝３０００ cm

４ cm ３ cm

1 1000

５ cm ３ cm

AB 間は５ cm となるので , 実際の距離は５０００ cm ＝５０ m となる。

〇池をはさんでいて, 直接測定できない点A と点Bの距離を測りたい。 APB= 90°となる点Pから2 点A,Bまでの距離を測ると,

PA=42m,PB =30mであった。△ APBの1000分

の1の縮図を書き, 点AB間の距離を求めなさい。

A

例題 Step１基本問題

(37)

Step１説明

1

( )

名前 ( ）

相似の利用

〇池をはさんだ2点A,B間の距離を求めた

い。AC=18m, BC=24m,∠C=90°となった。

この結果をもとに, 600分の 1の縮図をかくと, ABに対応する部分の長さは5cmとなった。2地点間のA,B間の距離を求めなさい。

〇ゴルフ場の地点Aから地点Pまでの距離を求

めたい。 AB=30m,∠A=70°,∠B=60°として, 1000

分の１の縮図を書き, 求めなさい。

(38)

Step１説明

2 相似の利用

( )

名前 ( ）

〇ビルから 16m はなれた地点 P から建物の先端 A を見上げたら , 水平の方向に対して 40° 上に見えました。目の高さを 1.5m として , ビルの高さを求めなさい。

〇ある建物から10m はなれた地点Pから建物の先端Aを見上げたら, 水平の方向に対して50°上に見えました。目の高さ

を1.5 m として, ビルの高さを求めなさ

い。

※ 400 分の 1 の縮図を書いて , ビルの高さを求める。

・ 16m=1600cm, 1600cm の 400 分の 1 は 4cm,

実際の AC 間の高さは , 3.2×400=1280cm=12.8m, 3.2cm

目の高さが 1.5m なので ,

※ 500 分の 1 の縮図を書いて , ビルの高さを求める。

・ 10m=1000cm A

例題 Step１基本問題

(39)

Step１説明

2

( )

名前 ( ）

相似の利用

〇ある建物から20m はなれた地点Pから建物の先端Aを見上げたら, 水平の方向に対して55°上に見えました。目の高さを1.5m とし

て, 1000の1の縮図を書いて, ビル

の高さを求めなさい。

〇身長が1.5mの男の子の影の長さを測ったら, 0.9mだった。街灯の影の長さを測ると2.7mだったことから, 街灯の高さを求めなさい。

数学問題集

世界一わかりやすい