Dehn 手術による 3 次元多様体の構成 Lickorish-Wallace の定理 B 久家正樹指導教員古宇田悠哉広島大学理学部数学科卒業論文 2017 年 2 月 10 日

Dehn

手術による３次元多様体の構成

—Lickorish-Wallace

の定理

—

B132209

久家 正樹

指導教員 古宇田 悠哉

広島大学理学部数学科

卒業論文

2017

年

₂

月

₁₀

日

まえがき

3 次元多様体論を1 年間学んできた過程で,全ての閉曲面が完全に分類できるという定 理に出会い,さらに 1 つ上の次元の 3 次元多様体の分類について興味を持った. 3 次元多 様体に対するこの問題は,閉曲面の場合とは比較にならないくらい難しい.まず,任意の閉 3 次元多様体をどのように表すかが問題である.これについては, S3 _{内の絡み目に沿った} Dehn手術を行うことで任意の向き付け可能な閉 3次元多様体が得られることが知られて いる. これをLickorish-Wallace の定理とよぶ. Lickorish-Wallaceの定理は, 目に見える 結び目を使って無数の ₃ 次元多様体を眺めることができる素晴らしい定理である.本論文 の目的はこの定理の紹介・証明を行うことである.本論文の構成は下記のとおりである. 第 1 章では主題の定理に必要な記号や定義,定理の紹介を行う.特に,写像類群がDehn ツイストのイソトピー類により生成されるという定理と,任意の向き付け可能な閉 ₃ 次元 多様体がHeegaad分解をもつという定理は主題の証明の土台になる重要な定理である. 第 2 章では主題の証明を行う.証明では二つの定理を利用して,与えられた 3 次元多

様体をDehnツイストの積で表し, DehnツイストとDehn手術の関係性を述べる補題を

使って証明を終える. 第 3章ではDehn手術に係数を導入することで,実際にどのような貼り合わせ方で 3 次 元多様体が構成されるかの例を紹介する. 本論文を書くにあたり,指導教員の古宇田悠哉先生をはじめ,作間誠先生ならびに先輩 方には多くのご指導をいただきました.また,これまで遠くから温かく見守り支えてくだ さった両親には深く感謝の意を表し,ここに御礼申し上げます. 久家　正樹

目次

1 準備 3 1.1 写像類群 . . . 3 1.2 Heegaard 分解 . . . 4 1.3 Dehn 手術 . . . 4 2 Lickorish-Wallaceの定理 5 3 具体的な 3 次元多様体の構成 8

1

準備

この章では本論文の主定理である Lickorish-Wallace の定理を証明するための基本的 な定義や定理を述べていく. 以下 I = [0, 1], N(A) を A の閉管状近傍, A を A の閉 包, ∂A を _A の境界, A#B を _A と _B の連結和とする.また, M, N を可微分多様体, h : ∂M → ∂N を（微分）同相写像とするとき(M ∪ N )/x∼h(x),x∈∂M をM ∪hN と表 す.ここで h, h0 : ∂M → ∂N がイソトピックであるとき M ∪hN と M ∪h0N は同相で あることに注意する.

1.1

写像類群

定義 1.1 S を向き付け可能な閉曲面, Diffeo(S) をS 上の向きを保つ自己（微分）同相写 像が作る群, Diffeo_0(S) を _S 上の恒等写像とイソトピックな同相写像が作る正規部分群 とする.このとき,商群 MCG(S) = Diffeo(S)/Diffeo₀(S) のことをS の写像類群とよぶ. つまり,写像類群とは S 上の向きを保つ同相写像のイソトピー類のなす群のことである. 定義 1.2 S を向き付けられた閉曲面, cをS 内の単純閉曲線とする. このとき f : S → S が c の周りのDehn ツイストであるとは次の二つの条件を満たすときをいう : (1) f |S\N (c): 恒等写像, (2) f |N (c): S1× I → S1× I (e2πiθ, t) 7→ (e2πi(θ+t), t). ここでは _{N (c)} を _S1_{× I と同一視している}. 図₁ はDehnツイストの ₍₂₎ の部分を表す.

α

_f

_(α)

c

f

図1 c の周りのDehnツイスト

定理 1.3 写像類群はDehnツイストのイソトピー類により生成される. 　証明は[3]を参照のこと.

1.2 Heegaard

分解

この節では 3 次元多様体をハンドル体とよばれる 2つの要素に分ける分解を紹介する. 定義 1.4 H を向き付け可能な 3 次元多様体, ∂H 6= ∅ とする. H が種数 g (≥ 1)のハン ドル体であるとは, H 内に適切に埋め込まれた互いに素な円盤 _{D1, D2, . . . , Dg} が存在し て H \ N (Sg i=1Di) ∼= B 3 _{を満たすときをいう}._また, B3 _{を種数 0 のハンドル体とよぶ}. 定義 1.5 H, H0を種数gのハンドル体, h : ∂H → ∂H0を同相写像として, M = H∪_hH0 となるとき, H ∪_hH0 をM のHeegaard 分解とよぶ. ハンドル体H の種数をHeegaard 分解の種数とよぶ. 定理 1.6 任意の向き付け可能な閉 ₃ 次元多様体はHeegaard分解をもつ. 特に, S3 については以下のことが知られている. 命題 1.7 S3 は任意の非負整数 g に対して種数 g のHeegaard分解を持つ. 定理 1.6は 3 次元多様体が三角形分割を持つという事実からただちにわかる.命題1.7 のHeegaad分解は種数₀のHeegaard分解に_g 回初等安定化を行うことにより得られる.

1.3 Dehn

手術

ここでは本論文の主定理の主張を理解する上で必要な概念を紹介する. 定義 1.8 3 次元多様体 M の内部に滑らかに埋め込まれた有限個の互いに素な単純閉曲 線を絡み目とよぶ.絡み目の（連結）成分の一つを結び目とよぶ.特に _n 成分絡み目 _L は 結び目 k1, k2, . . . kn を用いて L = k1t k2t . . . t kn と書ける. 図2 から図 7 は結び目や絡み目の例である.

図2 自明な結び目 図3 3つ葉結び目 図4 8の字結び目 図5 (2 成分の)自明な絡み目 図6 Hopf絡み目 図7 Whitehead絡み目 定義 1.9 M を向き付け可能な閉 ₃ 次元多様体, L を _M 内の絡み目, N(L) を _L の閉 管状近傍とする. E(L) := M \ N(L) とおく.任意の同相写像 h : ∂N (L) → ∂E(L) に対 して, Q := N(L) ∪_hE(L) は向き付け可能な閉 3 次元多様体となる.このとき, Q は M 内の絡み目 _L に沿ったDehn 手術で得られるという.

2 Lickorish-Wallace

の定理

本論文で紹介する主定理の主張は以下のものである. 定理 2.1 (Lickorish-Wallaceの定理) 任意の向き付け可能な閉３次元多様体 M は, S3 内の絡み目に沿ったDehn手術により得られる. 先に上の定理の証明の鍵となる次の補題を示す. 補題 2.2 H, H0 を種数が同じハンドル体, h₁, h2 : ∂H → ∂H0 を同相写像, fc : ∂H → ∂H を _∂H 内の単純閉曲線 _c に沿ったDehnツイストとする. h_{1 = h2fc} が成り立つと き, M₂ = H ∪h2 H 0 _は, M 1 = H ∪h1 H 0 _{内の c とイソトピックな結び目 k に沿った}

証明 c をイソトピーで少し動かして, H の内部に存在するようにした結び目 _k とする. N (k) を k の閉管状近傍として, A ∼_{= S}1_{× I を}, c _{と ∂N (k) を結ぶアニュラスとする} (図8 参照).

c

k

A

∂H

図8 アニュラスA N (A)を A × I = (S1× I) × I と同一視し,同相写像 ϕ : H \ N (k) → H \ N (k)を次の (1), (2) により定める（図₉ 参照）: (1) ϕ|_{H\(N (k)∪N (A))} は恒等写像, (2) ϕ|S1_×{x}×I は S1× {x} × {1 2} に沿ったDehnツイスト (x ∈ I). ∂H N(A) S1_{× {x} × I}

ϕ|

S1_×{x}×I

ϕ

∂H 図9 同相写像ϕ

このとき _{ϕ|∂H = fc} であり, ϕ|_{∂N (k)} は _{A ∩ N (k)(∼= k)} に沿った Dehnツイストになっ ている. M_i0= (H \ N (k)) ∪hiH 0 _{(i = 1, 2)とおき},_{写像 Φ : M}0 1 → M20 を Φ(x) 7→  ϕ (x) (x ∈ H \ N (k)) x (x ∈ H0) と定義する.ここで任意のy ∈ ∂H ⊂ M₁0 をとる.次の可換図式を考える. y // _  h1_{_}(y)  H \ N (k) h1 // ϕ  H0 id  H \ N (k) h2 //H0 h1(y)

ϕ(y) = fc(y) //h2fc(y)

y を先に _H0 内に移すと _h1(y) となり, Φ の定義から _M20 内では _h1(y) となる.一方,先 に Φ を作用させると M₂0 内で ϕ(y) となる.ここで ϕ|∂H = fc より ϕ(y) = fc(y) であ

る.さらに H0 内に移すと h2fc(y) となる.最初の仮定から h1 = h2fc であるため Φ は well–definedであることがわかる.また, ϕ, id は同相写像より _{Φ : M1}0 _{→ M2}0 も同相写像 である.したがって M_i0 の定義から M1\ N (k) ∼= M2\ N (k) であることがわかった.こ れは M2 がM1 内の結び目 k に沿った Dehn 手術で得られることを表す.  ここから定理 2.1 の証明を行う. 証明 任意の向き付け可能な閉３次元多様体は定理1.6よりHeegaard分解M = H ∪h2H 0 をもつ.ここでH, H0 の種数はg とする.このとき定理1.7よりS3も種数gのHeegaard 分解 _S3 _{= H ∪} h1 H 0 _をもつ. _{ここで h} 1, h2 : ∂H → ∂H0 が向きを逆にする同相写像 となるようにハンドル体 H, H0 に適切に向きを定めることができる.このとき h−1₂ h1 は ∂H 上の向きを保つ自己同相写像となる.ここで,定理 1.3 よりある ∂H 内の単純閉 曲線 _{c1, c2, . . . , cn} が存在して, h−1_{2 h1} は _fc 1fc2· · · fcn とイソトピックになる.ただし fci : ∂H → ∂H は ci に沿った Dehnツイストとする.このとき必要ならば h2 をイソ トピーで変形することにより h−1₂ h1 = fc1fc2. . . fcn であるとしてよい.さらに H 内の N (∂H)を_{∂H × [0, 1]} と同一視（ただし, ∂H = ∂H × {0}）して, c_i とイソトピックな結 び目kiをki⊂ ∂H ×{_ni}となるようにとる.今, M0 = M, Mi = H ∪h1(f_ci+1···fcn)−1H 0 (1 ≤ i ≤ n − 1), Mn= S3 とする.ここで

h−1₂ h1= fc1fc2. . . fcn, h1= h2fc1fc2· · · fcn, h1(fc2· · · fcn) −1_{= h} 2fc1 であるから,補題 2.2 より M0 = H ∪h2 H 0 _{は M} 1 = H ∪h1(f_c2···fcn)−1H 0 _{内の結び目} k1 に沿ったDehn手術で得られる.次に, h1(fc3· · · fcn) −1 _{= h} 1(fc2. . . fcn) −1_f c2 が成 り立つので,補題より _M1 は _M2 内の結び目 _k2 に沿ったDehn手術により得られる.以 後, この操作を有限回繰り返すことで Mn−1 が Mn = S3 から得られることがわかる.

ここで, M_i から Mi+1 をDehn手術で得る際に,補題 2.2 で利用する Mi\ N (ki+1) と

Mi+1\ N (ki+1) の間の同相写像をΦi+1 とする.このとき ki の定め方より Φi(kj) = kj

(i < j) が成立する.よって, M はS3 _{内の絡み目 k} nt Φ−1n (kn−1) t Φ−1n Φ −1 n−1(kn−2) t · · · t Φ−1 n Φ −1 n−1· · · Φ −1 2 (k1) に沿ったDehn手術により得られる. 

3

具体的な

₃

次元多様体の構成

第 2 章では任意の向き付け可能な閉 3 次元多様体が S3 _{内の絡み目に沿った}Dehn_手 術で得られることを示したが,具体的な 3 次元多様体をDehn手術により構成することを 考える際には,絡み目だけではなくDehn手術で用いる同相写像を適切に記述することが 必要である.本章では係数付きのDehn手術を導入し,これを用いていくつかの具体的な 3 次元多様体を構成する.以下では特に S3 内の結び目や絡み目について考えていく. 定義 3.1 k を S3 内の結び目, E(k) = S3_{\ N (k) とする}._{このとき N (k) 内の円盤を境} 界に持つ ∂E(k) 上の本質的な単純閉曲線 m を結び目 k のメリディアンとよぶ. m と 一点で横断的に交わる _∂E(k) 上の単純閉曲線を結び目 _k のロンジチュードとよぶ.特に, [l] = 0 ∈ H1(E(k)) となるロンジチュード l を標準的ロンジチュードとよぶ. 図10 3つ葉結び目の標準的ロンジチュード

定義 3.2 k を _S3 _{内の結び目とする}. S3 = R3∪ {∞} 上の標準的な向きを選ぶと, E(k) 上の向きが誘導される. 単純閉曲線 m と l の向きは 3 つの組 hm, l, ni が正の向きにな るように選ぶ.ここで n は E(k) の内部に正の向きをもつ ∂E(k) 上の法線ベクトルとす る（図 ₁₁ 参照）.

n

m

l

図11 m とl の向き このとき H1(∂E(k)) = Z[m] ⊕ Z[l] となり, ∂E(k) 上の任意の単純閉曲線 c はイソト ピーにより [c] = p[m] + q[l] ∈ H1(∂E(k)) と表せる.ただし, (p, q) は互いに素な整数で ある.このときの _c を _p/q 曲線とよぶ. 定義 3.3 k を _S3 _{内の結び目とする}._{結び目 k のメリディアンを E(k) 上の p/q 曲線に} 移す同相写像 h : N (k) → E(k) によって Q = N (k) ∪hE(k) が得られるとする.このと き Q は結び目 k に沿った p/q-Dehn手術により得られるという. p/q = 1/0 のとき, ∞-手術,あるいは自明な手術とよばれる.また, p/q-手術は有理手術, q = ±1 のとき整数 手術とよばれる. 例 3.4 S3 _{内の任意の結び目に対して 1/0}-_{手術を行うと再び S}3 _に戻る. S3 _{内の自明な} 結び目に対して 0/1-手術を行うと S2× S1 _になる._{一般に S}3 _{内の自明な結び目に対し} て _p/q-手術を行って得られる ₃ 次元多様体をレンズ空間とよび,記号_L(p, q)で表す. 第 ₂ 章で紹介したLickorish–Wallace の定理は特に整数手術で作ることができる. す なわち, 任意の向き付け可能な閉 ₃ 次元多様体は _S3 _{内の絡み目に沿った整数手術に} より得られる.実際,補題 2.2 で用いた Φ の構成法から ∂N (k) 内のメリディアン c は [c] = [m] ± [l] ∈ H1(∂E(k)) をみたす.これは 1/(±1)-手術を表すので整数手術である. 定義 3.5 S3 内の少なくとも 2 つの要素をもつ絡み目 L に対して, S3\ L 内の 2 次元 球面 _S で, S3_{\ N (S) = B} 1t B2 とおくと, B1∩ L 6= ∅, B2∩ L 6= ∅ を満たす S が存 在するとき, L は分離的な絡み目であるという.ここで L1 := B1∩ L, L2 := B2∩ L の

系 3.6 M, N をそれぞれ _S3 _{内の絡み目 L} 1, L2 に沿ったDehn手術によって得られる 3 次元多様体とする.このとき M#N はS3 _{内の分離的な絡み目 L = (L} 1, L2) に沿った Dehn手術により得られる. 証明 定義 3.5 を満たす S3 内の 2 次元球面 S をとり, S3_{\ N (S) = B} 1t B2, L1⊂ B1, L2 ⊂ B2 とする.このときB1∪ B3 = B2∪ B3 = S3 であり, S3 内で絡み目 L1, L2 に 沿ったDehn 手術を行うと, M と _N が得られる.さらに _B1, B₂ に貼った_B3 _を除いて S で貼り合わせるとM#N が得られる. _

参考文献

[1] Schultens, Jennifer, Introduction to 3-manifolds, Graduate Studies in Mathemat-ics, 151, American Mathematical Society, Providence, RI, 2014.

[2] Saveliev, Nikolai, Lectures on the topology of 3-manifolds, An introduction to the

Casson invariant, De Gruyter Textbook, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999.

[3] Lickorish, W. B. R, A representation of orientable combinatorial 3-manifolds, Ann. of Math, (2) 76 (1962), 531–540.