係 数励 振 力 と周 期的 変 動 荷 重 を受 け る 偏 平 ケ-ブ ル の非 線 形 振 動
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(2) こ こ に,. -(H e+HtcosS1t+Ha). w. c1=1δ/1aπ2,. c2=12γDbcDd,. c3=1δ21≧/2,. c4=1Dc/Iπ2,. 1≧=W2dξ,. -pcos(SZt+cp)=0. ろ='一W/2dξ,. (1) 1c=Wdξ,. こ こ に, Ha=EALelfwdx+f(dwdx)2dx:た. わみ に. よ る付 加 水 平 張 力, m:ケ. ー ブル. h:減 ー ブ ル の 質 量, f:ケ. の サ グ, 1:ス パ ン長, He:初. 期 水 平 張 力, Ht:係. Dd=k2/(1+8γ2)Iaπ2,. 衰 定 数, ω=Ωn0:無. 次 元 加 振 円 振 動 数, τ=π01. :無 次 元 時 間, h=EA/He:縦 =f/l:サ. 数励. 振 力 の振 幅, ρ:荷 重 強 度, ω:た わ み, 灘:支 点 か らの. 波一 横 波 伝 播 速 度 比, γ. グ比, 私=Hl/He:無. 式(4)は,. 2次,. 次 元 係 数励 振 力 の振 幅.. 3次 の 非 線 形 項 を もつ 非 線 形 微 分. 水 平 距 離, 1:時 間, Ω:係 数 励 振 力 と周 期 的 変 動 荷 重. 方 程 式 で あ る. ケー ブ ル は サ グgを もつ た め に, 2次 の. の 円振 動 数, E:ヤ. 非 線 形項 が含 ま れ る.. ン グ率, A:断. 面 積, De=1(1+8グ2/. 12):放 物 線 ケ ー ブル の長 さ, ψ:位 相 角.. 非 同 次 のMathieu方. ブル の 運 動 方程 式(1)に. 式(1)は. は, 外 力 項c4ρ0 cos(の τ+i)か. は, 係 数 励 振 力 の項(第3項). と変 動荷 重 の項(第4項)が 非 同 次 のMathieu方. 程 式 の過 渡 状 態 を含 め た解 析 を. 行 え る平 均 法5)に よ る解 析 を行 う. 式(4)の. 係 数 励 振 力 と周 期 的 変 動 荷 重 を同 時 に 受 け る偏 平 ケ ー. 同 時 に含 ま れ る. つ ま り,. 期 の 主 共 振 お よ びc1Htcosの られ る ω=2ω1/n(η=1,. 程 式 で 与 え られ る.. 一般解 に. ら得 られ る外 力 と同 周. τTの 係 数 励 振 の 項 か ら得. 2, …)付 近 に生 ず る 単 純 共. 振 が存 在 す る8). こ こ に, η=1の 場 合 を主 不 安 定 領 域, 3.. 解. η;≧2を副 不 安 定 領 域 と 呼 ぶ. この 他 に, 式(4)の2. 法. 分 岐 問 題 を取 り扱 う ため, 式(1)の. 解 を1自 由 度 系. モ デ ルで 次 の 変 数 分 離 形 に仮 定 す る注1).. w=lT(t)W(x) こ こ に, T(t):時. の 非 線 形 項c2T2,. 近 に π倍 の 高 調 波 共 振, の=η ω1(η≧. c3T3を. 介 して ω=. 2)付 近 に1加 倍 の 分 数 調 波 共 振, 非 周 期 解 と して カオ ス も存 在しうる9), 10). 本論文で は係 数 励 振 力 と周 期 的 変 動. (2). 間 関 数, W(x):境. 次 お よ び3次 ω1加(η≧2)付. 界 条件 を満足 す. 荷 重 の 相 互作 用 を 議 論 す るた め, 係 数 励 振 振 動 が 支 配 的. る座標 関数.. と な る の=2ω1付 近 の 主 不 安 定 領 域 と の=ω1付 近 の 副. 上 式 の 座 標 関 数Wと. して, 基 準 化 し た対 称1次. 不 安 定領 域 に お け る解 を検 討 す る. これ らの 近傍 で は 非. 線形. 線 形 強制 振 動 か ら得 られ る1/2分 数 調 波 共振 お よ び主 共. 自由振 動 の 固有 振 動 形 を用 い る.. W(x)-1rw1-tan. 3 s1n7tw1 -COS7Iw1 /Wmax. こ こ に, ω1=η1/τη0:第1次 π、:ケ ー ブ ル の第1次. 振 が そ れ ぞ れ生 じ, 両 者 の連 成 振 動 が 現 れ る こと が予 想. (3. され る. 以 上 の理 由 に よ り, 式(4)の. の無 次 元 固 有 円 振 動 数,. 近 似 解 と して 次. 式 を仮 定 す る.. の 固 有 円 振 動 数, π0=π》齋. :サ グ プ=0と な る弦 の 第1次. T=co+c12cos+s112sin+clcosTZ+s1sinwz. の 固 有 円振 動 数, Wmax:. (5). 第1次 対称 振 動 の 最 大振 幅, ξ=x/l, Po=ρ1/HE. 式(2)は (2)を. 式(1)の. 厳 密解 で は な い. 式(1)に. 代 入 した 方 程 式 にGalerkin法. こ こ に,. 式. 60, c1, S1:付 c1/2, S1/2:分. を適 用 し離 散 化. した後, 減 衰 力 を考 慮 す る と次 の時 間 に 関 す る常 微 分 方. T+2hw1T+(w12+C1Htcostz)T+C2T2+C3T3 =C4ocos(wz+D). 振 幅 を 求 め る た め に,. A41/2=61/22+S1/22:分. 1/2=tan‑1(s1/=/c1/2),. ー ブ ル は連 続 体 で あ る ため, 多 自 由 度 系 と して の モ デ. ル 化 が よ り厳 密 で あ る が, 1次 固 有 振 動 数 近 傍 の み の 応 答 とそ 付 近 に 現 れ る1/2分. 式(5)を. 数 調 波 共 振 に注 目 して い る た め, 本. 振 動 の み を 考 え1自. (6). 式(4)に. 岐 応 答 成 分. 随応 答 成 分 1=tan‑1(s1/c1):位. 相差. 代 入 し, 平 均 法 を 適 用 す れ ば 平. 均 化 方 程 式 が 次 の よ う に 得 ら れ る.. 由度 系 と仮 定 した. ま た, 分 WVU11. hwla-nwl2c0. 岐 応 答 は 単 独 で現 れ る た め に, 1自 由 度 系 ど して 仮 定 し て も差 しつ か え な い.. 次 の よ う に書 き換 え. T=co+A112cos(cot2)+A1cos(wz-1) A=/622+S12:付. の2倍. 式(5)は. (4) こ こ に,. 研 究 で は1次. 岐調波成分. ら れ る.. 程式 が得 られ る.. 注1)ケ. 随調波成分. C1C1Ht. しか し, 1次 振 動 の 応 答 曲 線 と高 次 振 動 の 高 調. C2(C02+Cl/22+nSl/22+nC12+nS12). 波 共 振 が連 成 す る 可 能 性 が あ る. これ につ い て は別 途 多 自 由 度 系 と して 取 り扱 う必 要 が あ る.. 116.
(3) -*C 31co3+nco(c1122+s1122+C12+s12). +7clcli22- sv22)+1s112s1. (7 ). ta-s112(4w12-th2)-hwlcl1zth -s. 112C1Hr+C2(2cos112+c112s1-s112c1). +C3F slit (4co2+c122+s1122+2c12+2s12). +3co(cli2sl-sli2cl)I. Time response analysis o T A 3T 0 2T o nT. (8). 1. wa=c112(i2-4w12)-hwls112i -c. 1izClHt-C2(2cocv2+c112c1+s112s1). -C 3-cl12(4co2+cU22+s1122+2c12+2s12). +3co(cli2c1+sv2s1)I. 図一2 応 答曲線 (h=0. 01, w1=1. 0, a=1. 0, C2-O, C3-1. O, 5=1. 0, q. 2i1=s1(w12-w2)-2hwlclw. JPl=P2. +C4Po sin(p+C2(2cos1+c112s112). DP2=一2hω1JP2一(ω12+clDZf. +C31sl(4co2+2c1i22+2s1122+C12+s12). ‑c2JP12‑c3P13+c4b. c0s6)τ)P1 cos(ω. この 式 をRunge一Kutta一Gi11法. +3c0c112s1121 ul. 2t-c1(w12-th2). (10). -2hwlslth-c0C1Ht. 4.. 式(4)で. (11). 係 数 励 振 力 の 振 幅c1Ht=α,. 変動 荷重 の. と置 い た一 般 形 を対 象 と す る.. T+2hw1T+(w12+acosOiv)T+C2T2+C3T3 =Bcos(tz+m). 過 渡解 を求 め る平 均 化 方 程 式 で あ り,. まず, 文 献6)と. な ど を用 い て数 値 積 分 す れ. (14) 同 じパ ラ メ ー タ を用 い て, 解 の精 度. を比 較 す る. こ こで, 減 衰 定 数h:0.. ば, 応 答 が 得 られ る. 定 常 解 は, 上 式 にお いて. 01, 無 次元 固有 円. 振 動 数 ω1=1. 0, 係 数 励 振 力 の 振 幅 α=1. 0, 2次 の非 線. (12). 形 項 の 係 数c2=0,. と置 く こ と に よ り, 連 立非 線 形 代 数 方 程 式 が 得 られ る.. 3次 の非 線 形 項 の係 数c3=1.. 動 荷 重 の 振 幅 β=1. 0, 位 相 角 ψ=0と. こ の式 は調 和 バ ラ ンス 法 に よ る式 と7致 す る. 求 め た連 立 方 程 式 にNewton‑Raphson法. を用 い て 直接 数 値 積 分. 係 数 励 振 力 と周 期 的 変 動 荷 重 を受 け る系 の非. 振 幅c4Po=β. これ をRunge‑Kutta‑Gi11法. (13). 線 形 応 答 の 解 の 特 性 と精 度. -C3jcl(4c12+2c122+2s1i2+cll+sll) +nc0(cl/22s1122). τ十 ρ). すれ ば, 時 間 応 答 が 得 られ る.. +C4Y COS(p-C2(2coc1+nc1122 ns1122). 式(7)〜(11)は. O). (9). 図 一2は,. を用 い, 初 期 値 の も と. 0, 変. す る.. 上 述 のパ ラメ ー タの も とで の応 答 曲線 を示. す. 縦 軸 は振 幅 成 分, 横 軸 は無 次 元 加 振 円 振 動 数 で あ る.. に解 け ば, 解 が 求 め られ る. 平 均 法 あ るい は調 和 バ ラ ン. 主 調 波 応 答c1は,. ス法 は, 仮 定 した解 の周 期 関 数 の 振 幅 成 分 を得 る方 法 で,. 外 力 と同 位 相 の 応 答C1, 破 線 が逆 位 相 の 応 答‑C1を. 仮 定 した調 波 成 分 と同 じ数 の 連 立 非 線 形 微 分 方 程式 あ る. して い る. 1/2分 数 調 波 共 振 の 応 答61/2, s1/2は, 無 次. い は連 立 非 線 形 代 数方 程 式 が 得 られ る. し たが って, こ. 元 固有 円振 動 数(ω1一.. れ を解 け ば振 幅 成分 が得 られ る.. 振 動 数 領 域 で の み 現 れ る. 文 献6)に. ま た, 式(4)でT(τ)=DP1,. T(τ)=P2と. あ ら ゆ る 振 動 数 領 域 で生 じ, 実 線 が. 0)の2倍. 示. の主 安 定 領 域 近 傍 の は1/2分 数 調 波 共. お くこ と. 振 が 生 じ る場 合 の 主 調 波 応 答 が 描 か れ て い る が, 両 者 は. に よ って, 次 の2元 連 立 の1階 常 微 分 方 程 式 に 変換 で き. 完 全 に一 致 して い る こ とが確 認 され て い る. ま た シ ミュ. る.. レー シ ョンに よ る応 答 を プ ロ ッ トした. 高調 波 共 振 の領. 117.
(4) ブル の 中 央 点 の 変位 を ス パ ンで割 っ た無 次 元応 答振 幅, 横 軸 は無 次 元加 振 円振 動 数 で あ る. 図 中 に は シ ミュ レー. Time response analysis T o 2T. シ ョンに よ る応 答 も示 して い る. ただ し, シ ミュ レー シ ゴ ンに 関 して は, 同一 の振 動 数 に対 して複 数 の分 岐 応 答 が 含 ま れ る た め振 幅 が 小 さ い解 に は 初 速 度 をT=0.. 01と. し, 振 幅 の 大 き い 解 に は 初 速 度 を2倍 の:τ=0. 02と て い る(と. もに, 初 変 位 丁=0).. し. 係 数励 振 力 の み を受 け. て 振 動 す る場 合, 応 答 は あ る特 定 の振 動 数 領 域 で のみ 発 生 す る. ま た, 初 期 条 件 に よ り応 答 振 幅 が異 な る. な お, 本 研 究 で は振 幅 の安 定 判 別 を行 って い な い が, 応 答 曲 線 が 得 られ て い る の で, 鉛 直接 線(応 答 曲線 の 勾 配 が 無 限 大)を 境 に振 幅 は安 定 か ら不 安 定 に, も しく は不 安 定 か ら安 定 に移 る11). した が っ て, 鉛 直接 線 よ り上 側 も し く は下 側 が 不 安 定 と な る. 数 値 シ ミュ レー シ ョンで は安 定 な 解 の み が 現 れ る こ と に な る. 図‑3に 図‑3 (γ=0. 03,. h=30,. ω1=2.. 応 答 曲線 18,. Dt=0.. 30, po=0.. 0,. h=0.. お い て シ ミュ. レー シ ョン に よ る解 が 得 られ て い る振 幅 が 安 定 で あ る.. 005). 解 析 的 に解 の 安 定 判 別 を行 うた め に は, 式(4)の. 解. 丁に 微 小 な外 乱 δ(の を 与 え た場 合 の 変 分 方 程 式 を検 討 域(61が. 正 の 応 答 曲 線)の. す れ ば よ い12).この 変 分 方 程式 のTの 項 を式(5)を. 一 部 を 除 い て, 平 均 法 に よ. る解 析 解 と シ ミュ レー シ ョ ン解 を比 較 す る と, 両 者 は一. て整 理 す る とMathieu‑Hi11の. 致 して い る. な お, 主 調 波 応 答61で 一 致 しな い 解 が 見. 安 定 判 別 を文 献12)の. られ るが, これ は, 式(5)で. 性 を明 らか に す る こと が で き る.. 仮 定 した周 期 解 に含 まれ. な い高 調 波共 振 に よる解 が シ ミュ レー シ ョ ンに現 れ て い. 使っ. 方 程 式 が 得 られ る. こ の. 方 法 を用 い て行 え ば, 解 の 安 定. サ グ比 γ=0. 03の 場 合 は, 応 答 は振 幅 が 小 さい場 合 に. る た めで あ る. 以 上 よ り, 本研 究 で は主 調 波 応 答 と1/2. 2次 の 非線 形 項 が 支配 的 な軟 化 バ ネ特 性 を示 し, 大 き く. 分 数 調 波 共振 の み を議 論 す る た め, 平均 法 に よる解 の精. な る と3次 の非 線 形 項 が 支配 的 と な るた め, 固有 円振 動. 度 は不 十 分 で あ る. 高 調 波共 振 を取 り扱 うた め に は, 別. 数 の2倍 の 振 動 数2ω1に. 途 解 の 仮 定 を行 う必 要 が あ る.. う ち2個 が安 定 な解 と して存 在 し, 初 期条 件 に よ っ て現. お け る解 は3個 あ るが, そ の. れ る応 答 が異 な る こ と に な る.. な お, 一 般 に2次 の非 線 形 項 が0の 場 合 に1/2分 数 調 波 共 振 の 応 答 は現 れ な い が, 図一2で は現 れ て い る. こ れ は, 係 数 励振 力 の影 響 に よる主 不 安定 領 域 が現 れ て い. (1)係. る ため で あ る.. 数 励 振 力の 振 幅 の 影 響. 図 一4〜7に. は, サ グ 比 γ=0. 01, 0.02, 0.04お. 0.05, 縦 波 一 横 波伝 播 速度 比 ん=30の 5.. 係 数 励 振 力 の み を 受 け る 偏 平 ケ‑ブ. ルの非線. 固 有 円 振 動 数 の2倍. よび. ケ ー ブ ル につ いて,. の無 次 元 加 振 円振 動 数2ω1で. 加振. した場 合 の 応 答 振 幅 と無 次 元 係 数励 振 力 の振 幅 との 関 係. 形振動. を示 す. 縦 軸 に ケ ー ブル の 中 央 点 の変 位 をス パ ンで 割 っ 式(1)に. お い て周 期 的 変 動荷 重 が作 用 しな い係 数 励. た無 次 元 応 答 振 幅, 横 軸 に無 次 元係 数 励 振 力 の 振 幅 を と. 振 力 の み を受 ける 場 合 を 考 え る. 応 答 に及 ぼ す サ グ比,. る. 図 中 の 実 線 は 減 衰 定 数h=0.. 係 数 励 振 力 お よび減 衰 力 の影 響 を解 析 す る. 式(4)の. h=0. 0の 場 合 の 解析 解 を示 して い る.. 係 数c1〜c4お. よ び ω1は式(3)の. 固 有振 動 形 と文 献7). 005,. 破 線 は減 衰 定 数. サ グ比 γ=0. 01で は, 係 数励 振 力 が小 さい 領域 に お い. で示 され た 固 有 振 動 数 を 用 い て 求 め られ る. これ らは. て軟 化 バ ネ特 性 を示 す た め に 図一3に 示 した よ う に安 定. ケ ー ブ ル の サ グ比 γと 縦 波 一横 波 伝 播 速 度 比 んを パ ラ. な 応 答 が2個. メ ー タ に決 定 され る. な お, 係 数励 振 力 の み が作 用 す る. 存 在 し, 初 期 条 件 に よ っ て 応 答 が 変 わ る. (s1/2の振 幅 が小 さい解,. も し くは6、/2). 軟 化 バ ネ特 性. 場 合 に は, 加 振 円 振 動 数 ω=2ω1付 近 に生 ず る主 不 安 定. を示 す サ グ比 γ=0. 02で は, 係 数 励 振 力 に 関 係 な く, 2. 領 域(s1/2,. 個 の 解 が 存 在 す る. サ グ比 γ=0. 04の 解 は, サ グ比 γ=. C1/2)と 加 振 円 振 動 数 ω=ω1付 近 に 生 ず る. 副 不 安 定 領域(s1,. c1)の2種. 0.01と 同 じよ う な特 性 を示 して い る. 硬 化 バ ネ 特 性 を. 類 が 存 在 す る.. 図一3に は, サ グ比 γ=0. 03, 縦 波 一横 波伝 播 速 度 比h =30の 偏 平 ケ ー ブ ル(h=0. 005)に つ い て, 係 数 励 振. 示 す サ グ比 γ=0. 05は,. 振 幅 の 小 さい 領域 に だ け応 答 が. 力 の 振 幅 私=0. 3の 場 合 の 応 答 曲線 を示 す. 縦 軸 は ケ ー. の 小 さい領 域 に お い て効 く.. 現 れ る. 減 衰 力 の影 響 は サ グ比 に無 関 係 に, 係 数 励 振 力. Ilg.
(5) h=0. ‑ h=0.. 005 0. h=0. ‑ h=0.. 図‑4. 応 答 振 幅 と係 数 励 振 力 の 振 幅 の 関 係 (r=0. 01, k=30). 図一6. 図‑5. (2)サ. 図‑7応. 005)に. 答 振 幅 と 係 数 励振 力 の振 幅 の 関係 (y=0. 05, k=30). し, 係 数 励 振 力 の 振 幅 私=0.. グ比 の影 響. 1で は 応 答 が2つ. に分岐. して い る こ とが 確 認 され る. ま た, モ ー ドの遷 移 現 象 が. おける応答振幅 私. をパ ラ メ ー タ に, 縦 波‑横 波 伝 播 速 度 比h=30の ル(h=0.. 005 0. 005 0. 応 答 振 幅 と係 数 励 振 力 の振 幅 の関 係 (r=0. 02, k=30). 図一8に は, 主 不 安 定 領 域2ω1に. 0. 応 答 振 幅 と係 数 励 振 力 の振 幅 の関 係 (r=0. 04, k=30). h=0. ‑ h:0.. h=0. ‑ h=0.. 005. ケー ブ. 起 き るサ グ比 の領 域(γ=0. 01〜0. 03付 近)に お い て は,. つ い て示 す. 縦 軸 に ケ ー ブ ル の 中 央. 2次 の 非 線 形 項 が 支 配 的 な軟 化 バ ネ 特 性 を もつ 領 域 が あ るた め, 2つ に応 答 が分 岐 す る.. 点 の変 位 をス パ ンで割 っ た無 次 元 応 答 振 幅 で, 横 軸 はサ. 2つ に 分 岐 し た応 答 振 幅 は大 き くな る か, も し く は急. グ比 γで あ る. 実 線 は係 数 励 振 力 の 振 幅 私=0. 5, 破線 は17f=0. 3, 一 点破 線 は 私=0. 1の 応 答 振 幅 を 示 す. 応 答 振 幅 はサ. 激 に小 さ くな る(γ=0. 02付 近). 図 一5に 対 応 して い る.. グ比 γの 影 響 を受 け, サ グ比 の 増 加 で, ほぼ 一定 だ っ た. 図一7に 示 す よ う に係 数 励 振 力 の振 幅 に 関 わ らず, 応 答. 応 答 が 大 き くな る(γ=0. 01付 近).. 曲線 は硬 化 バ ネ特 性 を示 す.. さ らにサ グ比 が大 き く な る と, 応 答 は再 び1つ にな り,. これ は図一4に 対 応. 119.
(6) 一 一一. 図一8応. Ht=0. 一Ht=0.. 5 3. 一Ht=0.. 1. 答 振 幅 とサ グ比 γの関 係 (k=30, h=0. 005) 図‑10. 係 数 励 振 力 の 項 の係 数c1と. サ グ比 γの 関 係. 一C2=0 一C2k0. 図一9. 応 答 振 幅 とサ グ比 γの関 係 (D4=0. 5, 左=30,. h=0.. 005). 係 数励 振 力 の振 幅 を大 き くす る と, ど のサ グ比 に お い. 図‑11. 変 動 荷 重 の項 の係 数c4サ. グ比 γの 関係. て も応 答 振 幅 が 増 大 す るが, モ ー ドの遷 移 領 域 に お け る 応 答振 幅 の ピー ク は変 わ ら な い. ま た, 係 数 励 振 力 が 大 き くな る と軟 化 バ ネ特 性 を示 す 領 域 が 狭 く な る. 図‑9は,. 縦 波 一横 波 伝 播 速 度 比h=30で2次. 形 項 の係 数c2を. 6. の非線. 係 数 励 振 力 と周 期 的 変 動 荷 重 が 同 時 に偏 平 ケ‑ブ. ル に作 用 す る場 合 の 非線 形 振 動. 考 慮 し た場 合 と無 視 し た場 合 の比 較 を. 示 して い る. 2次 の 非線 形 項 を無 視 した場 合, 応 答 は3. 図 一10,. 11に は, 式(4)を. 次 の非 線 形 項 が 支 配 的 な硬 化 バ ネ 特性 を示 す の で, 解 は 一 つ にな りサ グ比 の 変化 に よる応 答 振 幅 へ の影 響 は小 さ. 係 数 励 振 力 の 項 の 係 数c1お. い. したが っ て, 2次 の非 線 形 項 の 影 響 に よ っ て, 応 答. メ ー タに示 す.. 用 い て偏 平 ケ ー ブ ル の よび変 動 荷 重 の 項 の 係 数c4. と サ グ比 γと の 関 係 を縦 波 一横 波 伝 播 速 度 比 κを パ ラ. が 大 き く変動 す る と い え る.. 係 数 励 振 力 の 項 の 係 数c1と. 変 動 荷 重 の 項 の 係 数c4. はモ ー ドの遷 移 領 域 に お い て, と もに 大 き く変 動 して い る. 係数 励 振 力 の 項 の係 数c1は. 120. モ ー ドの遷 移 領 域 で サ‑.
(7) Ht=O. ‑Ht=O.. 図‑12 (γ=0.. 03,. κ=30,. 3 0. 図‑13. 応 答 曲 線. ω1=2.. 18,. 15b=0.. 3,. h=0.. (γ=0.. 005). 01,. κ=30,. ω1=1.. 応 答 曲線 21,. D4=0.. 3,. 15b=0. 3,. h=0.. 005). グ比 の増 加 に伴 い増 大 して い るが, 変 動 荷 重 の 項 の 係 数 c4は サ グ比 の 増 加 に 伴 い 減 少 し て い る. 図 一10のc1 と γの関 係 は, モ ー ドの遷 移 後 の一 段 高 次 の不 安 定 領 域 に移 る こと と対応 して い る3). また, 図‑11の. 荷重項の. 係 数 は, モ ー ド形 がsinπξか らsin3π ξに遷 移 す る ため', 等 分 布 荷 重 に対 して は, 有効 外 力 の項 が減 少 す る こ と を 示 して い る. この他 に, 式(4)の c2お よ びc3が. パ ラ メー タ と して ω1,. Time. あ る. ω1は 線 形 振 動 数 で1. 0か らモ ー. ド遷 移 後 は3. 0に 近 づ く こ と が 知 られ て い る13). c2お よ びc3は2次. お よ び3次. の非 線 形 項 の 係 数 で あ る. 2. ▽. respopse‑ analysis. ○T. □2T. △3T. ◆NT. XCHAOS. 次 の非 線 形 項 は ケー ブ ル が サ グ を もつ こ と に よ っ て生 ず る項 で, 振 幅 が 小 さい とき に効 い て く る. 一 方, 3次 の 非 線 形 項 は, ケ ー ブル の弾 性 伸 び に対 応 す る項 で あ る. こ れ ま で の 研 究 に よれ ば, 2次 の非 線 形 項 は, モ ー ド遷. 図 一14 (γ=0. 02,. 移 領 域 のサ グ比 で効 い て くる. モ ー ド遷 移 領 域 以 外 の サ. ん=30,. ω1=1.. 68,. 応 答 曲 線 Dt=0.. 3, po=0.. 3,. h=0.. 005). グ比 や振 幅 が 大 きい場 合 に は, 3次 の非 線 形 項 が 支 配 的 で あ る こと が分 か っ て い る14). した が って, ケ ー ブ ル に 係 数 励 振 力 と周 期 的 変 動荷 重 が作 用 す る場 合 は, これ ら. 励 振 力 が 作 用 す る こ と に よ っ て, 0、/2とs1/2の発 生 す る. の特 性 を反 映 した応 答 特性 を持 つ こ と に な る.. 振 動 数 領 域 が 狭 く な る. ま た, 係 数 励 振 力 が 作 用 す る場. 図一12に h=30の. 合 に応 答 振 幅 の 大 き な領 域 で 別 の 分 岐 応 答 が 発生 して い. は, サ グ比 γ=0. 03, 縦 波 一横 波 伝 播 速 度 比. ケ ー ブ ル(減 衰 定 数h=0.. 005)に. る. 係 数 励 振 力 が 作 用 しな い 場 合 よ り も この 応 答 は振 動. つ い て荷 重. 数 領 域 が 広 く な って い る.. 強 度 を 函=0. 3と し, 係 数 励 振 力 が 作 用 した場 合(私= 0.3)と,. 作 用 しな い場 合(私=0.. 0)の 応 答 曲 線 の 比較. を示 す. 図中 の実 線 は係 数励 振 力 が 作 用 した場 合 で あ り,. (1)サ. グ比 の 影 響. 図 一13〜16に. 破 線 は係 数 励 振 力 が 作 用 しな い場 合 を示 す. 周 期 的 変 動. は縦 波 一横 波 伝 播 速 度 比 ん=30,. 無次元. 荷 重 が 作 用 す る場 合, 主 調 波 応 答 は あ ら ゆ る振 動 数 領域. 係 数 励 振 力 の振 幅 私=0. 3お よび 荷 重 強 度 函=0. 3の 場. で発 生 し, 係 数 励 振 力 が 作 用 しな い場 合 は共 振 領 域 で. 合 の 偏 平 ケ ー ブ ル に つ い て サ グ比 γ=0. 01, 0.02, 0.03. C1と 一c1の 発 生 す る振 動 数 領 域 が 狭 く な る.. お よ び0. 04の4つ. しか し,. の 場 合 に つ い て 応 答 曲 線 を示 す. 主. 振 幅 が 大 き く な る と強 制 振 動 の項 が 卓 越 して くる. 1/2. 調 波 応 答 、41は図‑12に. 分 数 調 波 共 振 に おい て は, 応 答 振 幅 の 小 さ い領 域 で 係 数. 支 配 的 で あ る た め, 強 制 振 動 の特 性 が現 れ る. ケ ー ブル. 121. 示 した よ うに 強 制 振 動 の 影 響 が.
(8) Ht=O.. 図‑15 (γ=0. 03,. κ=30,. 応 答 曲 線. ω1=2・18,. Dt=0.. 3, po=0.. 1. ‑ Ht=O.. 3. 図‑7 3,. h=0.. 005). (γ=0. 03,. κ=30,. 応 答 曲 線. ω1=2018, po=0.. h=0. ‑ h=0.. 図 一16 (γ=0.. 04,. κ=30,. ω1=2.. 55,. 応 答 曲 線 D4=0.. 3, po=0.. Ol. ‑ Ht=O.. h=0.. 005). (γ=0.. 03,. κ=30,. 005). 005 0. 図 一18 3,. 1, h=0.. 応 答 曲線. ω1=2.. 18,. Dt=:0.. 3, po=0.. 1). の非 線 形 振 動 特性 が サ グ比 に よ って 変 化 し, サ グ比 の増. い る. しか し、1/2分 数 調 波 共 振 で は振 幅 が 小 さ い 領 域. 大 と と も に非 線 形 性 が強 くな る14). こ れ に付 随 して, 主. で γ=0. 02〜0. 04の ケ ー ブ ル にお い て振 幅 の増 加 に よ っ. 調 波 応 答 に 現 れ る 非線 形 項 の影 響 も大 き くな り, 応 答振. て振 動 数 が 減 少 す る軟 化 バ ネ特性 が 現 れ て い る.. 幅 は小 さ くな る. つ ま り, 振 幅 の振 動 数 依存 性 が 大 き く な る. ま た, 1/2分 数 調 波 共 振 に つ い て は, 振 幅 が 小 さ. (2)係. い領 域 の 分 岐 応 答 は サ グ比 に よっ て 現 れ る振 動 数領 域 の. 数励振力の影響. 図 一17に. は, サ グ比 γ=0. 03, 縦 波 一横 波 伝 播 速 度 比. 幅 に変 化 が あ る. サ グ比 γ=0. 02が 最 も広 く, サ グ比 が. κ=30の. 大 き くな る に つ れ て狭 くな る. これ に対 して, 応 答 振 幅. h=0. 005の 場 合 の 係 数 励 振 力 の振 幅 をHFO.. が 大 きい領 域 で発 生 す る分 岐応 答 は サ グ比 が 大 き くな る. 0.3と した 場 合 の 応 答 曲線 を示 す. 図 中 の実 線 は係 数 励. につ れ て, 幅 が広 くな り小 さい振 幅 で 発生 す る よ うに な. 振 力 の振 幅H,. る. な お, 本 計 算 例 は, 荷 重 強 度 が大 き い た め主 調 波 応. は 丑,=0. 3で あ る. 係 数 励 振 力 が 大 き く な る と, 主 調. 答 の 振 幅 が 大 き く, 3次 の非 線 形 項 が 支 配 的 な振 幅 の増. 波 応 答 の 共 振 領 域 が広 くな る. ま た, 1/2分 数 調 波 共 振. 加 に よっ て復 元 力 が増 大 す る硬 化 バ ネ特 性 の み が現 れ て. は係 数励 振 力 の振 幅 を 大 き くす る と, 振 幅 の 小 さい領 域. 122. ケ ー ブ ル に つ い て荷 重 強 度 函=0. 1, 減 衰 定 数. 0.01で,. 破 線 は17FO.. 1で,. 01, 0. 1,. 一点破線.
(9) で はC1/2とS1/2が 互 い に接 近 し, 交 差 す る. さ らに係 数. 4.. サ グ比 の 変 化 に よ っ て, 係 数 励 振 力 と周 期 的 変 動. 励 振 力 の振 幅 が大 き く な る と, 振 幅 の 小 さい領 域 に お い. 荷 重 の 係 数 項 が 変 動 し, サ グ比 が 大 き く な る と係. て は1/2分 数 調 波 共 振 は発生 せ ず, 振 幅 の 大 き な領 域 に. 数 励 振 力 の 項 は増 大 す るが 周 期 的 変 動 荷 重 の項 は. 分 数 調波 共 振 が発 生 す る. この振 幅 の大 き な領 域 に発 生. 減 少 す る.. した1/2分 数 調 波 共 振 は, 係 数 励 振 力 の み を考 慮 した場 合 の1/2分. 5.. 係 数 励 振 力 と周 期 的 変 動 荷 重 を同 時 に 作 用 した場. 数調 波 共 振 の よ うに61/2とs1/2は 互 い に接 近. 合 の 応 答 は, 係 数 励 振 力 に よ る振 動 と周 期 的変 動. せ ず, 振 幅 の 大 き な領 域 へ 延 び る. 係 数 励 振 力 は, 1/2. 荷 重 に よる 振 動 の 応 答 の 両 特性 を もつ. 係 数 励 振. 分 数 調 波 共 振 に影 響 を及 ぼ し, この 項 が 大 き くな る と,. 力 は, 主 調 波応 答 に は 大 き な影 響 を及 ぼ さ な い. 一 方, 1/2分 数 調 波 共 振 に対 して は, 係 数 励 振 力. 1/2分 数 調 波 共 振 の 応答 も大 き く な る.. に よる影 響 が大 き く現 れ る. (3)減. 衰力の影響. 6.. の 振 幅17, =0. 3の 場 合 に 減 衰 定 数hを. パ ラメー タに し. 1/2分 数 調 波 共 振 に お い て, 係 数励 振 力 が 作 用 す る と, 応 答 振 幅 の小 さ い領 域 と大 き い領 域 に応 答. 図 一18に はサ グ比 γ二0. 03, 縦 波 一横 波 伝 播 速 度 比 ん :30の ケー ブル につ い て荷 重 強 度 函=0. 1, 係 数 励振 力. が2つ に分 岐 す る. 7.. た応 答 曲 線 を示 す. 主 調 波 応 答 は, 減 衰 力 の 影 響 が見 ら. 減 衰 力 は, 1/2分 数 調 波 共 振 の振 幅 の 小 さい 領 域 に効 く.. れ な い. 1/2分 数 調 波 共 振 の 応 答 は, 荷 重 強 度 函=0. 0, 係 数 励 振 力 の 振 幅Hf:0.. 0の 場 合 の 背 骨 曲 線 に沿 っ て. C1/2, s1/2が発 生 す る. ま た, 減 衰 定 数h=0.. 本 研 究 で は偏 平 ケ ー ブ ル に係 数 励 振 力 と周 期 的 変 動荷. 0の 場 合,. 重 が作 用 した場 合 の 非 線 形 応 答 を解 析 した. 高 次 モ ー ド の高 調 波 共 振 へ の 影 響 や 係 数 励 振 力 と周 期 的 変 動 荷重 と. 応 答 振 幅 が小 さ くな る とC1/2とs1/2の 発 生 す る振 動 数 領 域 が 狭 くな る. 減 衰 力 を考 慮 した 場 合 は, 応 答振 幅 の小. の間 の 振 動 数 が 異 な る場 合 や 位 相 差 が あ る場 合 の 解析 は. さい 領 域 に お い て6、/2とs1/2が発 生 しな く な る2振 幅 の. 別 途 報 告 す る.. 大 きな領 域 に は, 主 調 波 応 答 と同 じ よ うに減 衰 力 の影 響 が 見 られ な い.. 謝 辞:本 論 文 を ま とめ る にあ た って, 多 大 な 援助 を頂 い た大 学 院 生 の 山 口健 市 氏 に 感 謝 の 意 を表 しま す. な お,. 7.. ま. と. め. 計 算 に は長 崎 大 学 総 合 情 報 処 理 セ ン ター のFACOM V‑1200を. 使 用 した こ と を付 記 す る.. 本 論 文 で は, 係 数 励 振 力 の み を受 け る場 合 お よ び係 数 励 振 力 と周 期 的 面 内 荷 重 を 同時 に受 け る場 合 の偏 平 ケ ー. 参考文献 1)藤 野 陽三, Pennung Warnitchai, Benito M. Pacheco: ケーブル. はりモ デル を用 いた斜張橋の内部共振 に関す る. ブ ル の応 答 特 性 につ い て サ グ比, 係 数 励 振 力 お よ び荷 重 強 度 をパ ラ メ ー タ に明 らか に した. 得 られ た結 果 を要約. 実験 と解析, 土木学 会論文集, No. 432/1‑16, pp. 109‑118, 1991.. す る と次 の と お りで あ る. 2) 係 数 励 振 力 の み が 作用 す る場 合 につ い て 1.. Cables of Cable-Stayed Bridges, International Conference A. I. P. C. -F. I. P., pp. 475-482. 1994.. 応 答 は特 定 の 振動 数 領 域 で 発 生 し, 固 有 円 振 動数 お よ び 固 有 円 振 動 数 の2倍. A. Pinto, J. Martins, J. L. Lilien: Parametric Excitation of. 3). 付近 で応答 が発生 す. K. Takahashi:. Dynamic Stability of Cables Subjected to. an Axial Periodic Load, Journal of Sound and Vibration,. る.. Vo1.144, No. 2, pp. 323-330, 1991. 2.. 特 定 の サ グ比 の領 域 にお い て, 応 答 が2つ に分 岐. 4)高. す る. これ は, 振 動 モ ー ドの 遷移 現象 に対 応 して お り, 2次 の 非線 形項 が 支配 的 な軟 化 バ ネ特 性 の. 文 集, No. 495/I‑28,. ケ ー ブ ル の場 合 に現 れ る. 3.. 橋 和 雄, 鎌 田 智 之,. 町 田 健 一 郎, 松 野 進:支. 点が動 き. う る サ グ 比 の 小 さ い ケ ー ブ ル の動 的 安 定 性, 土 木 学 会 論. 減衰 力 は応 答 振 幅 に対 し, 係 数 励 振 力 が小 さ い場. pp. 127‑130,. 5)井. 上 順 吉:機. 6)津. 田 吉 広, 末 岡 淳 男, 田 村 英 之:強. 1994.. 械 力 学, 理 工 学 社, pp. 199‑227,. 1982.. 制 係 数励 振 系 の 応 答. 特 性 につ い て, 日 本 機 械 学 会, 機 械 力 学 計測 制 御 講 演 論. 合 に効 き, 係 数 励 振 力 が 大 き い場 合 は効 か な い.. 文 集, Vol. A,. ケ ー ブ ル の減 衰 力 は一 般 に小 さ い た め, 係 数 励 振. pp. 199‑227,. 1982.. 7). Irvine, H. M: Cable Structures, The MIT Press, pp. 87-99,. 8). Bolotin, V. V.: The Dynamic Stability of Elastic Systems,. 振 動 の振 幅 に は減 衰 力 が効 か な い こ と が予 想 され. 1981.. る.. Holden-Day, 9)前. 係 数 励 振 力 と周 期 的 変 動荷 重 が同 時 に作 用 す る場 合 に. 10). つ いて. 123. 澤 成 一 郎:振. Inc., San Fransisco,. 1964.. 動 工 学, 森 北 出版(株), pp. 267‑269, 1973.. Szemplinska-Stupnika,. W. and Bajkowski, J.:. The 1/2.
(10) Subharmonic. Resonance and Its Transition. 13)山. to Chaotic. 11)文. 献9)のpp.. 12)高. 橋 和 雄, 河 原 清 勝,. pp. 29‑36,. 1979.. 藤 本 一 人, 村 中 幸 治, 田 川 賢: 調 和 バ ラ ン ズ. は りお よ び薄 板 の 非 線. 集, 第338号,. pp. 59‑68,. 1983.. に よ る解 析 の収 束性 お よ び安 定 性 に. VIBRATION. TIME-VARYING Kazuo. 橋 和雄,. 法 に よ る ケ ー ブル の 非 線 形 振 動 解 析, 土 木 学 会 論 文 報 告 山 辺 輝 久:. つ いて, 土 木 学 会 論 文 報 告 集, 第293号,. NONLINEAR. 14)高. 263‑265.. 形 振 動 のGa1erkin法. 口宏 樹, 伊 藤 学: 単 一 ケ ー ブル の 三 次 元 線 形 自 由 振 動, 土 木 学 会 論 文 報 告 集, 第286号,. Motion in a Non-linear Oscillator, International Journal of Non-linear Mechanics, Vol. 21, pp. 401-419, 1986.. OF LOAD. TAKAHASHI,. (1995‑6. 16受 付). pp. 9‑22, 1980.. A SMALL-SAG AND. CABLE. TRANSVERSE. Tomoyuki. KAMATA. SUBJECTED. TO. TIME-VARYING and. Hiroshi. AN. LOAD. HANADA. Nonlinear dynamic response of a suspended small-sag cable driven by harmonic axial load and harmonic transverse load is presented. The basic equation of motion is solved by a Galerkin method for space co-ordinate and the averaging method for time co-ordinate. The single-degree-of-freedom approach is employed in this paper. The accuracy of the present solution is discussed at first. Then, nonlinear dynamic responses of a suspended cable are shown for various sag-to-span ratios, damping ratios and amplitudes of harmonic load.. 124. AXIAL.
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