ファジィ線形回帰モデルと大型小売店販売額予測問題への応用-香川大学学術情報リポジトリ

(1)

ファジィ線形回帰モデルと

大型小売庖販売額予測問題

への応用

はじめに

横井義則

矢野

均

経済システム・社会システム・環境システムなどの大規模かつ複雑なシステムでは，一般に，人聞が構成要素として含まれる。従って，取り扱うデータには，しばしば人聞の主観的判断のあいまい性が反映されているため，システム全体を明確な数式モデルとして表現することは困難であると思われる。特に，『ニーズと欲求を満たすために，交換過程を通じてなされる人聞の活動s

C

5 )

であるところのマーケティングにおいては，商品に対する「意味付けJ，r価値付け」などの，いわゆる人聞を対象とした作業が重要であり，常に人間の判断の「あいまい性」がつきまとうものである。このような人間の判断の主観的側面におけるあいまい性に対処するため，

1

9

6

5

年，

L A

.

Zadeh (4)

はファジィ集合論の概念を初めて提案したが，現在では理論面のみならず応用面でも，様々な分野で発展し利用されるようになってきている C

2

，

1

2

，

1

5 )

。特に，マーケティングに関連の深い回帰分析の分野

C

6， 7Jでも，近年，田中ら

C9

-11)

は，通常の確率モデルによる回帰分析に対して，

Zadeh

の拡張原理により定義される可能性線形モデルに基づく，ファジィ線形回帰分析の考えを導入した。彼らは，通常の出力データに対するファジィ線形回帰モデ、ノレ

(2)

-2- 第60巻第 4号 668 に加えて rだいたいαぐらL、」というようなファジィ出力データに対するファジィ線形回帰モデルを求めるため，ファジィ数のαーレベノレ集合[2

J

に基づいて定義される等号関係により，線形計画問題 C8

J

に帰着させる方法を提案した。しかし，可能性モデ、ルによる彼らの定式化と，従来の確率モデルによる線形回帰モデルとの関連等については，あまり触れられておらず，また，通常のデータに対する定式化とファジイデータに対する3つの定式化との関連もそれほど明らかにされてはいない。このような状況のもとで，本論文では，近年DuboisらC1， 3

J

により提案されたファジィ数聞の等号関係を表す3種類の指標に基づいて，ファジィ線形回帰モデルを求めるための3種類の線形計画問題の定式化を試みるとともに，これらの定式化は，これまでのファジイデータに対する 3つの定式化の拡張とみなせることを示す。また，定式化された3種類の問題の特別な場合として，通常のデータに対するファジィ線形回帰モデルを求めるための線形計画問題の定式化も行う。さらに，マーケティングの分野への応用例として，大型小売庖販売額予測問題、への適用を試み，定式化された3種類の線形計画問題を解くことにより得られるファジィ線形回帰モデルの妥当性や有効性に対する検討を加える。本論文の構成は以下の通りである。第II節では，準備として， DuboisらC1， 3

J

により提案されたファジィ数聞の等号関係を表す3種類の指標について復習し，

a

-

レベノレ集合との関連を考察する。第III節では，従来の線形回帰モデ、ルの自然な拡張としてのファジイデータに対するファジィ線形回帰モデノレを求めるために，第II節で定義された3つの指標に対応する3つの線形計画問題が定式化され，それらの聞の関係や通常のデータの場合に対する詳しい考察がなされる。第

I

V

節では，提案されたファジィ線形回帰モデ、ルに対して，感度解析の立場から，データのあいまい性がそデ、ルに与える影響について考察する。第V節では，マーケティング分野への適用例として大型小売庖販売額予測問題を取り上げ，現実のデータによるファジィ線形時系列モデ、ルを構成し，検討を加える。第

V

I

節で結論が述べられる。

(3)

669 ファジィ線形回帰モデノレと大型小売応販売額予測問題への応用 -3-II ファジィ数聞の等号関係ここでは， DuboisとPrade

C

1， 3

J

の提案した3種類のファジィ数聞の等号関係の指標について説明し，次節のファジィ線形回帰モデルの定式化のための準備とする。本論文で取り扱うファジィ数必(2

J

とは，その属する度合いが実数直線上で定義されるメンバーシップ関数μ続(m)により閉区間 C0， 1]に対応づけられるあいまいな数であり， μ伝(m)は次の性質を持つものとする。 (a) 実数直線

R

1_{から閉区間 [}₀_，₁_]_{への連続写像} (b) 任意の mE(一∞ ，md]に対して， μin(m)

=

0

。 (c)

(mo

，

m

f)上で首

i

意、単調増加かつ連続的微分可能。 (d) 任意のmε [mf，mfJに対して， μ吊(m)ニ

1

。 (e) (mf， m n上で強意単調減少かつ連続的徴分可能。 (1) 任意の mE[me，

+

∞)に対して， μin(m)

=

0

。図1に，ファジィ数必のメンパーシップ関数μ最(m)の一例を示す。ファジィ数必のメンパーシップ関数の性質(a)-(f)から，メンバーシ yプ関数 μ最(m)の値がα以上であるような集合Lα(必) (これをファジィ数ののαーレベル集合

C

2

J と呼ぶ)は， α に依存する閉区間 [m~ ， m:]で表される(図

1

参照〕。即ち， μぁ

o

..~L ...L...L ...R R mo ma mi mi ma 図l ファシィ数必 ~m 丹2o'

(4)

-4ー第60巻第4号 670 Lα(必)ム {m

εR11μ

筑(m)詮 α}

=

[m~， m~] 1) i 4 ( ファジィ数は， (a)-(t)の性質を満たすメンバーシッブ関数によりその属する度合いが閉区間

[

0

，

1 ]

に対応づけられるあいまいな数であるから，通常の数の聞の等号関係をそのまま適用す}ることはできなし、。そこで， Duboisら[1，

3 J

は，このようなファジィ数聞の等号関係を統合的に取り扱うために，新たに

4

種類の等号関係に関する指標を定義した。まず，通常の数の拡張と考えられる閉区間M = [笠，五]， N = [笠，五]の等号関係は，次の

4

つの場合のいずれかに属する。 (1) ある

(m

，

n)EMXN

に対して

m

ニ n。即ち，

M n N

キ件。 (II) 任意の

m E M

，ある

nEN

に対して

m

n

。即ち，

M c N

。 (III) ある

m

ε

M

，任意の

nEN

に対して

m

n

。即ち，

M

つN。 (IV) 任意の

(m

，

n

)

E

MxN

に対して

m

n

。即ち，

M = N

。 Duboisら[1， 3

J

は，閉区間に対する等号関係(1)-刊をファジィ数必，n の場合に拡張して，次の

4

種類の指標を導入した。 ( 1 ') Pos

(必=年)全

3 E

E

min (μ最 (u)， μ耳切)) (2)

C

I

ワ

Nes(必

c

n)ム infmax (1-μ吊 (U)μ百(U) ) (3)

c

n

Nes (必コ方)ム infmax (μ税(U)，1一μn( U) ) (4)

二 ueRl

CIV') Nes (必

=

n)会min(Nes(仇 C 方)， Nes (必コ宛)) (5)

ここで， Pos， NesはPossibility，N ecessityの省略形で，

C

I

'

)

-

CIV')は，それぞれ必が方と等しい可能性の度合 L 、~， iI1宛が先に含まれる必然性の度合し、~， Ií必が d を含む必然、性の度合し、~， Ii婦がdと等しい必然性の度合し、』を表すものと解釈できる。ファジィ数聞の等号関係(1 ') -CIV')が閉区間の等号関係の自然、な拡張であることは，次の関係から明らかであろう。

0)

が真に=今 Pos

(M

=

N)

=

1 (II)が真担=今 Nes

(M

c

N)

=

1

(5)

671 ファジィ線形回帰モデノレと大型小売庖販売額予測問題への応用 (III)が真仁司 Nes(M

コ

N)

=

1 CIV)が真位司 Nes(M

=

N)

=

1 -5ーここで， Nes (必 = n)

=

1は必，宛が閉区間で表される時のみ成立し，たとえ，必三宛(即ち，任意の U ER1_{に対して，} _μ

吊(U)

=

μ百(U))であっても Nes(必

=

n)

=

05であることに注意しよう。従って， CIV')は閉区間の等号関係を示す場合には意味があるが，ファジィ数聞の等号関係を示す指標としては不適切であるCl

J

ので，以下では，

3

穏類の指標

(

I')-

c

n

についてのみ考察することにする。ここで，ファジィ数仇，方の αーレベル集合をそれぞれ，[m~，

m n

[

地

，n~] で表すと， (

I

'

)

-

c

n

の指標の定義から，次の

3

つの定理が成立することがわヵ、る。【定理1】 Pos (必=宛)孟 αであるための必要十分条件は m~ ;S n~ かつ m~ ~五 n~ (6) が成立することである。 (証明) 式(2)より， Pos (必=必)主主 αは，等価的に次のように変形されることより明らかである。 Pos (必

=

n) 主主 α にニ今

日

2

1 m

i

n

μ(伝(u)，向 (U))丞

α

位二今 μ街(U)孟

α

かっμ五(U)孟

α

を満たす U E

R

1が存在するo {==今 [m~， m~]

n

[n~， n~] キ 6 宇=今式

(

6 )

【定理2] Nes (必C宛)主主 αであるための必要十分条件は

m

f

-

α

主主n~ かつ mf-α 三五

n

t

が成立することである。 Q引E..

D

.

(7)

(6)

-6ー第60巻第4_号 672 (証明) 式(3)より， Nes (必C 宛)主主 αは等価的に次のように変形されることより明らかである。 Nes (必C 宛)主主α

ー

inLmax(1 向 (u)，州 u))訂宇=今 1一向 (u)主主αあるいはμ百(u)主主αが任意、の U E

R

1 _V_{こ対して成立} する。に=今(一∞ ，

m

f

-

α

J

U

[

m

f

ー

α

，+∞)U [的，n~J

=

R

1 C==今式(7) 【定理3】 Nes (必コ宛)主主 αであるための必要十分条件は，

QE..D

m~ 五 nf-α かつ m~;:;; nf-a (8) が成立することである。この定理の証明は定理2の証明と同様であるので省略する。これらのファジィ数聞の等号関係を表す

3

つの指標

C

I

勺一

c

n

に基づいて，次節では，ファジィ線形回帰モデルの定式化を行う。 III ファジィ線形回帰モデノレの定式化一般に，与えられた n次元入力データ Xiと対応する出力データ Yiのベア (Xi， Yi)，

i

=

1

，… ，

k

に対して，線形回帰モデノレを仮定してそのノfラメータベクトル αを同定する場合，次の最小化問題が解かれる。 min

会

IYi一αXiI α ER"φI i=l (9) あるいは，。， u

x

α

V 〆

h

2

山﹁ n -r L P n n

m

d

(10) ここで Xi

0

， Xil，…， Xin)T ( 1 1 )

(7)

673 ファジィ線形回帰モデ、ノレと大型小売応販売額予測問題への応用 - 7ー α

(

a

o

， al，一， α

n

)

(12) 最小化問題(9)あるいは(10)を解くことにより得られる最適解をがとおくと，線形回帰モデルは次式により与えられる。 y =α*X (13) ここで，データ (Xi，Yi)，

i

=

1

，…

h

とモテール(日)による推定値との差 Ui Yi一α'Xi， 1，… ， k (14) は観測誤差とみなされ，ある確率分布(通常は正規分布〉に従うことが仮定されている。これに対して，田中ら [9-

1

1 .

J

により提案されたファジィ線形回帰モデルでは，モデルによる推定値とデータとのずれは，入出力関係を表すシステム構造自体のあいまい性に依存していると仮定されている。本論文では，このようなシステム構造のあいまい性はシステムを表現するパラメータのあいまい性によるものであると考え，線形回帰モデ、ルのパラメータがファジィ数で表されるような，いわゆる，ファジィ線形回帰モデルを取り扱う。このようなパラメータにあいまい性を含むモデルは，通常の線形回帰モデル ( 13)に対して形式的には次のように表現することができる。 y =

αx

(15) ここで町 a

=

(ao，

a

1，… ， an) (16) で，

y

，

a

;

，

f

=

0， 1，… ，

n

はそれぞれファジィ数を表す。本論文では，式(1)5のファジィ数間の等号関係を前節で述べたDuboisらCl， 3Jの3つの指標に基づいてそれぞれ定義することにより得られる

3

つの問題の定式化により，対応するファジィ線形回帰モデ、ノレを求めることを試みる。問題を明確に規定するため，式(15)の左辺のファジィ出力データ

.

Y

i

，

i

=

1， kと右辺のファジィパラメータ

a

;

，j

=

0， 1，… ，

n

のメンバシップ関数は，それぞれ次式により与えられるものとする。

(8)

-8-図

2 ，

第60巻第4号 Yi 三五Yi

，

e

f

>

0

l ~i 亘 y，玉;;Yi

-

F

)

L

(

並

矛

L

)

，

3124

，

d>O

一

円

)

L

(

勺

ι

)

1

aj ~五 a; ，

d >

0

αy=五a，j五;;a;

。

j~這 a; ，

cf>

0 3に

Y

i

とあのメンバシップ関数の例を示す。 μか μ

。

向 2 O l O 関2 図3

L(主~!'

)

y

，

y

，

フィジィ出力データダi= (Yi， Y i， e，f ef)l

L

(

勺

ι

)

。

J ファジィパラメータ aj= (aj， a，j C]'， cf)t 674 (17) (18) 1 j ， aj

(9)

675 ファジィ線形回帰モテソレと大型小売庖販売額予測問題への応用

-9-ここで，(，ti十Yi)/2と (Qi+ai)/2はそれぞれ Yiとんの平均値で

e

f

，

e

f

と

d

，

d

はそれぞれ Yiとんの左右の広がりのパラメータである。また，

L

(

・)は型関数と呼ばれ

C

2

J

，次の性質を満たすものとする。 ( i)

L

(X)は

[

0

，∞)上で定義される強意単調減少な連続関数

C

i

)

L(O)=l，かつ，任意のXE

[

0

，∞)に対してL(x)孟O 式(17)，(18)で定義されるファジィ数 Y_{i，aiは，しばしば次のような形で表現され} る C2

J

。

デz会(Yi，Yi， e

.

f

ef)L，

i

=

1

，… ，

k

ai会 (Qi，ai，

d

， c n，

f

=

0

，… ，

n

( 1

9 )

(20) 簡単のため，ファジィ数んを構成要素とするファジィパラメータベクトル

a

を d 会(~， α ，

c

L， CR)L (21) で表すことにする。ここで空会(.Qo，.Ql，

一

，Qn) cL 会

(

c

o

，

c

f

，

d)

。

)

; 1 4 5 向 M w h u w h M W 向 M W α会 (α0，al，… ，

a

n

)

c

R 会

(d

，

c

f

， ""， c~) さらに

n

次元入力データ Xi，

i

=

1

，… ，

k

はあらかじめ事前に与えられていることから，一般性を失うことなく Xijミ0，ニ1，・，・ k，

f

E

Jt

Xij

<

0，ニ 1，… ，

k

，

fε

J

i

( 26)

m

と仮定する。この時，式側で表されるファジィ数聞の演算規則

C

2 J

から次式が成立することがわかる。 n a.Xi

=

L

:

aiXi.i ;=0

=

(1..(Xi)，

ρ

(Xi)， qL (Xi)， qR (X;))L (28)

(10)

-10ー第60巻第4号 676 ここで

ρ

(Xi)

=

_j~ム ajXìj+~ßjX_E_!_i_- _j_E_J ι

。

ρ

(Xi)

=

~ß 山 j+.~ι j.X' ij jEJ~ jEJi (30) qL (Xi)

=

~"dXìj-~_dxìj (31) JEli JEJ qR (Xi)

=

_j~"dXìj-~J 7xij _e_J_i _j_e_J_i

。

2) 以下では，ファジィ数の等号関係に対する 3つの指標(I')-CIInに基づいて対応するファジィ線形回帰モデルを求めるための3つの線形計画問題を定式化して，これらのモデルの聞の関係についても考察してみよう。

(I) Pos (y

=

ax)に基づく定式化， P1 (α)

まず， Duboisら(1，

3 J

の提案した指標(I勺に基づく次の制約式について考えてみよう。

Pos (Yi

=

aXi) 与さ α，i 1， k

。

3)

式闘は WYiが aXiと等しい可能性の度合いが α以上であるような，ファジィパラメータベクトル

a

を構成するベクトノレ

Q

，α，

c

L_，

_c

R_{の集合』であると考} えられる。定理 lと式側から，式(33)は次のような通常の不等式制約式に変換することができる。

y a V

1(α)ef注

ρ

(xi)-L-1(α)qL (xi)i

=

1

，… ，

k

I

2:i一

V

1(

α

)ef;豆

ρ

(xi)+L-1(

α

)qR(xi)iニ

1

，… ，

k

I (34) ここで，ファジィ出力データあとファジィパラメータベクトル aV，こ対して，次の関係が成立する場合について考えてみよう。 Yi-2:i

=

ρ

(Xi)一主(Xi)= 0， i = 1， ""， k

。

この時，

1

2

(x;)，

ρ

(Xi)の定義式側，側から，式闘が任意のふに対して成立するための十分条件は，C{j

=

aj，

i

=

0， 1，一，

n

である。そこで α (ao， al，…， an)

。

a}

=

!{j

=

aj，

i

=

0

，

1

，… ，

n

(11)

677 ファジィ線形回帰モテ、ノLと大型小売脂販売額予測問題への応用 11-ム而吋目 .

一

=

一

x

一AD

y

一

=

一 X こ / l

、

φh AY 一古 J h

=。

ーぺると広すく立お成とが (37)

.

y

i

=

~i

=

'yi，

1

， '''''， k (38) とおくと，式似)は次のように表される。

-'yi+αXi 三五 L -1 (α)ef+L-1 (α)qL (Xi)，

i

=

1， “ ，川

k

y，一αXi~五 V1 _{( α )ef}

_+L-

1 ₍_{α )}_{qR (}_X_i₎_，

_i

=

₁

_{，… ，}

_k

ところで，通常の線形回帰モデルのパラメータは，たとえば ) A W υ 内 4 J V (

、

_{l l} ﹀ l l J h min

2 :

:

l

.Yiα

，

x

.

I

α己R7Z₊1 二l

。

位

を解くことにより求められるので，補助変数Z" 1，

…

，kを導入すればこの問題は次のように変換することができる。た灯un 乙~Zi α ER"φ1 i=l y，一αXi 壬Zi， 1，い，わk ) 1 4 唾 ( 、I_I l l i -f I l l i t -ノ

s

u

b

j

e

c

t

o

-'yi十αXi 孟Zi，

i

1， ""'，

k

ここで，問題似1)の制約式と式側の対応関係を考慮すれば，線形回帰モデノレを得るための問題住1)の自然な拡張としてのファジィ線形回帰モデルを得るための問題は，式側の右辺の総和を最小にする問題として定式化することが妥当であると考えられる。ここで，

V

1 (

α

)ef，

V

1(

α)

ef，

i

=

1

，川わ，

k

は定数であることと，

L

-1 (α)主主

O

であることを考慮すれば，問題は，結局，qL(Xi)とqR(Xi)の総和を最小にすればよいことがわかる。このような観点から，ファジィ数聞の等号関係の指標

C

I

つに基づくファジィ線形回帰モデ、/レを求めるための問題

P

1

(α)を次のように構成することができる。

P

1 (α) min

:

2 :

:

{qL (Xd+qR (Xi)}

s

u

b

j

e

c

t

o

(12)

-12- 第60巻第4号 Yi+V1 (α)

e

f

孟

ρ

(X，)- V1(α) qL (Xi)，

i

=

1

，… ，

k

1:i一L-1(α

)

e

f

話

ρ

(Xi)+V1(α)qR(Xi)，

i

=

1，… ，

k

Yi-1:i =

ρ

(Xi)

一

p

.

(Xi)，

i

=

1

， ""'， k 678 は2) ここで司，問題闘の最後の等式制約式は，式闘に基づき，不定な変数を除去するために付け加えられていることに注意しよう。さらに，式制-(32)によりこの間題をより具体的に表すと次のようになる。

P

1 (α) m

せ(忍

(d+d)

Xij-

ゑ

(d十山 i

i

}

(43)

s

u

b

j

e

c

t

o

言

(j{iー L-1(α)

d)χ0+

忍

(ai+

L-1(α)

c

f

)

χ

三五 Yi+V1 (α)

e

f

，

i

=

1

， …， k (44)

~"(aj+L-1 (α)

c

f

)

Xij 十~_(aj-L -1 (α) C.DXi

jeJi jEJi

-~ Yi-V1 (α)

e

7

，

i

=

1

，… ，

k

。

位

YE?(ay-23)xzy+

忍(立i-aj)Xり =Yi-1:i，

=

1

， k

。

位

cj，

c

f

註

0

，

f

=

0

，

1

，・，

n

住7) このように定式化された問題

P

1(α)は明らかに線形計画問題であり，線形計画法により容易に解くことができる。ここで，

P

1 (α)において，決定変数は Xiiではなく j{j，aj，

d

，

c

f

，

f

0

，

1

， "'， nであることに注意しよう。また，

P

1 (α)の目的関数を J1 (α)で表すと， Jdα)はファジィパラメータベクトル

a

のあいまい度を表す指標であると考えられる。従って，

P

1 (σ)を解くことにより，等号関係の指標

P

o

s

(あ aXi)逗

α

i

1

， ""， kという制約条件下であいまい度を最小にするようなファジィパラメータベクトル

a

が求められると解釈することができる。式刷，闘において， cj，

d

→∞

，

f

=

0， 1，… ，

n

とおけば，任意の入出力データ (Xi，Yi)，

i

=

1

，…，

H

こ対して必ず制約領域が存在することから，任意のデータに対して

P

1(α)は最適解を持つことがわかる。また，式側，側にお

(13)

-13-ファジィ線形回帰モデノレと大型小売庖販売額予測問題への応用 679

d

=

d

=

0

，

J

=

0

，

1

，… ，

n

とおくと次式を得る。いて， (48) ，

k

~+QjX ij

+

.~ß 山<玉 Yi+L-1₍_{α )}

e

f

_，

_i

=

₁

JEJl jEJ

2 :

ム

ajXij+~_ajXii 孟 Yi-L-1 _{(α) eL}

_i

=

_1.…

_.k

jeJi jE/iーもし式同と式闘が同時に成立するような α，αが存在すれば Jdα)

=

Oとなり，逆に，ある α(0三五 α <1)に対して式同と式(46)を満たすEα，

a

が存在しここで¥ なければ， α→

1

の時

V

1_(α)→

_O

_{であることから， J} 1 (α)→ ∞ となることがわかる。このように定式化された問題

P

1(α)において， Qj aj，

J

=

0

，

1

， ...， n

d

=

d

，

f

=

0

，

1

，

n

~i= Yi，

=

1

，

2

，一，

k

e

i

=

e

f

，

i

=

1

，

2

，・，

k

、_{1 l} ノ・ I f ¥ (ii) 、 ) ノ・ 1 ・ 1 ・ 1 〆 f 、、 (iv)

P

1 (α)は明らかに田中ら

0

1Jの提案した

C

o

n

j

u

n

c

t

i

o

n

問題が満たされる時，ここで定式化したファジィ線形回帰モデルを求めるための問題巳

(

α

)

は，田中らの提案した

C

o

n

j

u

n

c

t

i

o

n

問題の拡張とみなせる。この意味で，と一致する。 Nes <'Yc ax)に基づく定式化 P2 (α) (II)

3J

の提案した等号関係に関する

2

番目の指

D

u

b

o

i

s

ら(1， (1)と同様に，標(II')に基づく次の制約式について考えてみよう。 Nes <'Yic aXi)注α，

i

1， k W.Yiが aXiに含まれる必然性の度合いが α以上であるような，ジィパラメータベクトル

a

を構成するベクトル

Q

，α，

c

L_，

_c

R_{の集合』である} と解釈できる。定理

2

と式闘から，式側は次のような通常の不等式制約式白砂ファ式(49)は， (50) 主i-V1_(1-α)

e

z

;

_詮主₍_X_i₎_一_L-1₍_{α )qL(Xi)，}

_i

=

₁_，'， _ki Yi+V1 _(1-α)ef壬

_ρ

_(xi)+L-1₍_{α )}_{qR (}_X_i₎_，

i

=

₁

_，…， _k)

(14)

680 第4号 -，1'i+

1 z

.

(X，)豆 -V'(1-α)

ei+L一

，

(α )qL (Xi)，

i

=

1

， "，

k

i

( (51)

予

i-P(Xi)孟 V'(1一α)ef+V' (α) qR (X，)，

i

=

1，… ，

k

第60巻 -14ー通常の線形 (I)の場合と同様の観点から，この時，に変換することができる。ファジィ線形回帰モデルを求める回帰モデルを求めるための問題(41)に対して，ための問題は，制約式(51)のもとで、式(51)の右辺の総和を最小化する問題として定式化することができる。ここで，式(51)の右辺において一L-'(1-α)e

，

f

-L-'(l ファシィ一α)efは定数であることと V'(α)孟 Oであることを考慮、すれば，数聞の等号関係の指標(II勺に基づいてファジィ線形回帰モデルを求めるための問題

P

2(α)を次のように構成することができる。

P

2 (

α

)

min

主

{qL(Xi)+qR (Xi)} (52)

s

u

b

j

e

c

t

o

，1'i-V' (1一α)eI孟主 (X，)一L-'(α) qL (Xi)，

i

=

1，い，k

予

i+V'(1 α) ef

亘

五

(xi)+L-'(α )qR(Xi)，

i

=

1" k

予

，-Yi

五

(Xi)一主(X，)，

i

=

1， "" k この問題をより具体的に表せば次のようになる。式側倒により，

P

2 (

α

)

mm

会

:

，

{

忍

(

d

十

d)xzy-27(cj+cF)zzj)

(53)

s

u

b

j

e

c

t

o

) ， 4 ﹁ヘ υ ( (55) ~"(aj 一 L

，

-

(

α

)

d

)x

u

+

.~_

C

a

j十V'(

α

)c

/

l

X j~!- I~ ，1'i-V'

(

1 -

α) e

，

f

i

=

1

， "

k

~， (aj+V' (α)

d)

Xij十

2 :

:

_

({fj-

V'

(α)ι

7 )

Xi jeJi jE三Ji

注

予

i+V'(l

-a)

ef，

i

=

1，一，k

2 :

:

.

(aj-aj)xij+~_ (aj-aj)xij

=

Yi-，1'i，

jeJi jEj 三三 (56)

C

J

孟

0

，j

=

0， 1，

n

ここで，aj， aj， c

，

7 c

7

， j

=

0， 1，一，nを決定変数とするこの線形計画問題

6 。

i

=

1

，… ，

k

d

)，

(15)

-15 ファジィ線形回帰モデノレと大型小売庖販売額予測問題への応用

681

P

2 (α)は，線形計画法に基づいて容易に解けることに注意しよう。

P

₂(α)の最

適解は，等号関係の指標

Nes

(Yi

c

aXi)主主

α i

1，

…

，kのもとであいま

い度を表す

P

2(α)の目的関数値

J

2 (α)を最小にするようなファジィパラメーまた，式側，闘において，

d

→ ∞， j

=

0， 1，… ， nとおけば任意、の入出力データ (Xi，57i)，

i

ニ 1， hに対して必ず制約領域が存在するので，任意の入出力データに対して P₂(α)

d

J，タベクトル

a

であると解釈することができる。は必ず最適解を持つことがわかる。

P

2 (

α

)

の目的関数値

J

2 (

α

)

に対して次の定理が成立する。【定理4】

P

2 (

α

)

の最適解における目的関数値

J

2(

α

)

に対して次の関係が成立する。 (58)

J

2 (α)

>

0

，

Vαε( 0

，

(証明〉。、、 t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B f 1 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ノる得を式次ギふれす入代式をれもしれ (α)

=

0

とすると，式倒と

U

，

Ji

の定義(式側，間〉から

d

=

c

f

=

0

，

f

=

0， 1，…，

n

となるので， (59) ~+f!:..jXU 十 2ザ G 山 1 孟 Yi 一 L-1 (1一α)e

，

f

i

=

1，…，

k

yε J

，

jEJt'

z+djXtj 十 ~_f!:..jXij 註 YáL-1_{(1 -a)ef，} _i=l_，、_"_， _k

yヒJi ヒji

式(59)の両辺を辺々ひいて整理すれば， 2?(21-Ej)xzj

十

忍

(aj-f!:..j)Xij

三五 (主j-y;)-L-1(1一α)(ef+e

，

)

f

i

=

1

，

…

，k (60) となるので，式仰を考慮すれば，

V

1

_{(l-a) (ei+e}

_f₎ 三五

O

Q E

D. この定理

4

が成立することは，

c

J

，

d

=

0

，

f

=

0

，

1

，… ，

n

の時，

5

1

を含むようなファジィ数

ax

が存在しないことからも，直観的に直ちに理解することが (式(J

7 )

)

であることに矛盾する。このことは

e

i

，ef>

0

となり，で引きる。さらに，

a

→

l

の時，式

(

5

4 )

，闘において，

V

1 (α)→

O

であるのでh(α)→ ∞

(16)

-16- 第60巻第4号となることもわかる。 pz(α)において，条件 ( i ) 立jニム，

f

=

0， 1，… ，

n

( ii )

d

=

c

7

，

f

=

0， 1，… ，

n

(iii) d:::i

=

Yi，

i

=

1

，

2

，一，k

(

i

v

)

e

i

=

e

f

，

i

=

1

，

2

，… ， k 682 (v) L-1_(1-α)

_e

，

f

_V1 ₍₁_一_{α)efをそれぞれ}

_V

1 (α)ef， L -1 (α)

e

f

~こ置き換えるが満たされる時，

P

z

(α)は田中ら(

9

，

1

1 J

の提案する

MIN

問題と一致することがわかる。ここで条件(v)から明らかなように，ファジィ線形回帰モデルを求めるための我々の提案する問題pz(α)は，田中ら

C

9

，

1

1 J

の提案する

MIN

問題の単なる一般化ではないことがわかる。このことは，

P

z

(α)においては，定理

2

から明らかなように，ファジィ数

m

が必に含まれる度合いがα以上であることを

m

f

-

α

主主的，mf-α 孟 n~ として定義しているのに対して，田中らの提案する

MIN

問題では

m*

主主的，， m~ ~五 n~ と定義していることに依存している。 (III) Nes (y

コ

ax)に基づく定式化 P3(α) 等号関係に関する

3

番目の指標

C

I

D

に基づく次の制約式について考える。

Nes (yi

コ

aXi)主主α，

i

1， …， k ~ 式納)は WYiが aXiに含まれる必然性の度合いが

α

以上であるようなファジィパラメータベクトル

a

を構成す}るベクトノレ1E，

a

，cL，cRの集合』を表している。定理3と式側から，式(61)は次のような通常の不等式制約式 d:::i-L-1 (α)ef孟主(Xi)一L-1 (1-a) qL (Xi)，ニ 1，… ，

k

i ト (62) タ

i+L-

1_(α)

_e

_f

_主_主

_ρ

_(xi)+L-1 ₍₁_{一 α)} q R (Xi)，

i

=

1

， …， k) あるいは

(17)

683 ファジィ線形回帰モデノレと大型小売庖販売額予測問題への応用 ;ti -

1

2 .

(Xi)三五 V1(α)ef-L-1(1一 α)qL (Xi)，

i

=

1，

一

ki ーダi+ρ (Xi)三五 L-1 (α) ef-V1 (1-α)qR(Xi)， i

=

1， "'， k) -17-(63) に変換される。この時，

CI)

と同様の観点から，通常の線形回帰モテ、ルを求めるための問題(41)に対して，指標

c

n

I')に基づくファジィ線形回帰モテソレを求めるための問題を，制約式側のもとで式側の右辺の総和を最小化する問題として構成することができる。ここで，式側において L-1 (α) e

，

f

V1 (α) ef，

i

=

1， '・， hは定数であることと， - L一1(1-α)孟Oであることを考

J

草すれば， P3(α)は次のように定式化できる。

P

3 (α) max

呂

{qL(Xi)+qR (Xi)}

s

u

b

j

e

c

t

o

;ti一V1_(α)

_e

_f

_~玉12._(xi)-L-1₍₁_-α)_q_L₍_X_i_)，

_i

₌₁_，

_…

_，_k ダz十L-1 (α) ef 主主

ρ

(Xi)+ V1 (1-α) qR (Xi)，

i

=

1，

…

，

k

ダi-;ti

ρ

(X，) 主(Xi)，

i

=

1

，・" k 式。7)一仰によりこの問題は次のように表される。

P

3(α) h

II1aX22{2+(cj+ι

f)Xij-

2 :

:

k7+c

f)Xi;} =l JEJi JE}i

s

u

b

j

e

c

t

o

g?(2j-L-l (1-α)

d h

り+57(5y+L-1(1一α)

d)

X ミ~;ti-L-1 (α)e

，

f

i=l

，'， k

2 :

:

.

(あ+L -1 (1ーα)cf)Xij

十

2 :

:

(ajーL-1₍₁_一_α)

d)

_X_i_j jeJi ieJi一一，三五

y

，+L-1 (α) ef，

i

=

1， "， k 51(5y-b)zzy+

忍

(!!.J-a;)Xり二 Yi-;ti

，

i

=

L

…

，

k

d

，

c

f

孟

0

，j

=

0， 1， ""'， n (臼) (65) (66) (67) (68) (69) ここで， P1 (α)および PZ(α)と同様に， P3 (α)も線形計画法により容易に解く

(18)

-18ー第60巻第4号 684 ことができることに注意しよう。

P

3(α)の最適解は，等号関係の指標

Nes

(Yi

つ

aXi)，

i

=

1，い" kが α以上とし、う条件のもとで，あいまい度を表すP3(α) の目的関数値 h(α)を最大にするようなファジィパラメータベクトル

a

であると解釈することができる。また，式側， (67)において，

c

f

，

c

f

=

0

， jニ

0

，

1

， "，

n

とおけば次のようになる。

忍立山+忍

5

山

孟

d

:

'

i-L-1 (α)

e

，

f

i

=

1， "'， k 1 ~， ãjXij+ ~ß バ" 三五， Yi+L-1 _(α)

_e

_f

_，

_i

=

₁_，_…，_k

I

jEJi

jEfi-。

。

ここでもし，式(70)の2k個の連立方程式を満たすベクトルQ.， iiが存在しなければ，

c

f

，

c

f

主主 0，j

=

0

，

1

，ゎ，

n

であることより

P3(α)

は実行不可能となり，逆に，ある

α(>0

)

に対して式(70)を満たす

α

，iiが存在すれば，

α

→

O

の時， L-1 (1-α)→Oより h(α)→∞となることがわかる。

P

3(α)において，条件 ( i ) (ii) (iii) (iv) a; aj，

f

=

0

，

1

，“刷，n

c

f

=

c

f

，

f

=

0

，

1

，… ，

n

Yi タi，

i

1

，

2

，… ， k

e

f

=

e

f

，

i

=

1

，

2

，… ， k (v) L-1

_(1-α)cf

_，_L-1₍₁_一

_α

₎

c

f

_{をそれぞれ}_L-1

_(α)d

_，_L-1

_(α)d

に置き換えるが満たされる時，

P3(α)

は田中ら

C

9

，

1

1 J

の提案する

MAX

問題と一致することがわかる。ここで町，条件 (v)は次のようなファジィ数聞の包含関係の定義の相違に基づいていることに注意しよう。即ち，

P

3 (α)では，定理

3

から明らかなように， ?匁が nを含む度合いが α以上であることを m~ 三五 nf-a， m~ 孟 nf-α により定義しているのに対して，田中ら

C

9

，

1

1 J

の提案する

MAX

問題では m~~玉 n~， m~ 主主 n~ により定義していることによる。

(19)

685 ファジィ線形回帰モデノレと大型小売庖販売額予測問題への応用 -19-(IV) 通常の出力データに対する定式化 Pdα) ファジィ線形回帰モデルを求めるために，これまで提案されてきた

3

種類の問題P)(α)， P2(α)， P3 (α)では，あらかじめ出力データ Yiがファジィ数として与えられていることを仮定していた。しかし，従来，現実に取り扱ってきたデータt，一般にはファジィ数ではなかった。従って，ここでは入出力データ主が通常の数(Xi，Yi，)

i

=

1

， "，

k

として与えられている場合のファジィ線形回帰モデルを求めるための問題を定式化してみよう。まず，通常の数Yiはファジィ数あ =(J::'i，

Y

i

，

e

L

e

n

(式(J7)参照〕の特別な場合，即ち，

Y

ぜ=J::'i=タi，

d

=

e

f

=

0

。I) であることに注意しよう。この時， Pdα)および P2(α)に対して条件。I)を代入すれば，次の間題巳(α)が得られる。

P

4 (α)

miní~)

忍

{

(cfHf)h-fcj+

げ

)

χ

i

}

(72)

s

u

b

j

e

c

t

o

~+ (aj-L -)(α)c7)xu+

2 :

:

_(aj+L-1

(α) cf)Xii系的，

jeJi jeJi

1，一"， k (73)

~+ (aj+ L -)(α) Cf)Xii+

2 :

:

_

(aj-L-) (α)

d

)xu 主主 Yi， jeJi {E"li

1

，い，

k

心

。

cj，

c

f

主主

0

， j

=

0

，

1

， ""'，

n

。。ただし，条件。I)のもとで， Pdα)と P2(α)の制約式仰と附が任意のめに対して成立するための十分条件として aj

=

!!:..J

=

αj， j

0

，

1

，' n

。

と仮定している。ここで，式(73)，刊において

d

，c

f

， → ∞， j

=

0

， 1，… ，

n

とおけば，任意の入出力データ (Xi，Yi)，

i

=

1， "'，

k

v

こ対して P4(α)は制約領域が存在することがわかる。また，式問，刊において

d

=

d

=

0

，

i

=

0

，

1

，… ，

n

とおけば，

(20)

-20ー第60巻第4号 n ~ ajXij::='yi， ::=1，川，

k

j~O 686

。

7) となるので，式刊が成立するようなパラメータベクトル α (aO，al，

…

， an) が存在する時に限り， P 4 (α)の目的関数値

J

4 (α)::=0となり，さらに， α→1 の時

L

-1 (α)→

O

より

J

4 (α)→∞となることがわかる。以上，出力データがファジィ数で与えられる場合に対しては，ファジィ線形回帰モテソレを求めるための3種類の線形計画問題 P1(α)， P2 (α)， P3 (α)を定式化し，さらに，出力データが通常の数で与えられる場合に対しては，

Pdα)

と

P

2 (α)の特別な場合として，ファジィ線形回帰モデルを求めるための問題

P

4 (α)を定式化した。これらの

4

種類の問題の聞の関係は以下の定理で与えられる。【定理

5

】

P

2 (α)の目的関数値Jz(α)は，

P

1 (α)の目的関数値

J

1 (α)より大きい。即ち，

.

L

(α) 三五 Jz(α) (証明〉 Dubois C 1

J

により示された

Pos (Yi ::=aXi) 主主 max (Nes (Yi c aXi)， Nes (Yi

つ

aXi))

なる関係式から，もし Pos(あ::=aXi)孟αならば， Nes (Yi c aXi)孟αかっ Nes (Yi

コ

ax.)三五 αが成立する。このことは， P1 (α)， P2 (α)， P3 (α)の制約領域をそれぞれ R1(α)， R2 (α)， R3 (α)で表せば R1 (α)

コ

R2(α)

U

R3 (α) と表される。一方，

P

1 (α)と

P

2(α)の目的関数は一致して，しかもともに最小化問題であるから，

J

1 (α)豆

J

Z(α)が成立する。

Q

E

.

D. 【定理6】 P₃(α)の最適解が存在するならば， P1 (α)の目的関数値

J

1 (α) ::= 0を、満たす。 (証明〉

(21)

687 ファジィ線形回帰モデノレと大型小売庖販売額予測問題への応用

-21-P3(α)の最適解が存在する時，式(70)を満たす α，αが存在する。この時，

~ム ajXU 十 2::_ajXij ~ ~. ajXij+

2 :

:

_

ajXii jEli jeJi - jEJi - jEJi

を式刊に適用すれば，

P

， (α)の制約式似)，闘において

d=

d=o

とおいた式側が直ちに得られるので，明らかに

J

，

(α)=0

となる。

QE..D

【定理7]

P

， (α)，

P

2 (α)に対して，条件 Yi

=

Yi Yi，

i

1， ''''， k aj

=

~i = aj， j

=

0

，… ， n が満たされているものとする。この時， P， (α)， P2 (α)， P 4(α)の目的関数値に ) n M U η t a ( 、3 1 t︾， t ﹄，ノ対して次の関係が成立する。

J

1

(α) 三五

J

4 (α) 壬

J

2

(α) (証明〉 P， (α)， P2 (α)， P 4 (α)の制約領域をそれぞれ R，(α)， R2 (α)， R4 (α)で表 J(a) Q

。

図 4 問題p

，

(α)-P

，

(α)の目的関数値の間の関係

(22)

-22ー第60巻第4号 688 せば， R1 (α)

つ

R4(α)

コ

R2(α) でし、ることより明らか。

Q E

.

D

これらの定理4-7によれば， αの値と L(α)，・…， L (α)の聞の関係は図 4のように要約することができる。

I

V

あいまい度の感度解析ファジィ線形回帰モデルを求めるために定式化された問題 P1(α)， P2(α)， P3(α)を線形計画問題として取り扱うためには，等号関係の指標に関する αの値をあらかじめ設定しておく必要があった。ここでは，問題

P

1(α) ~

P

3 (α)の目的関数値

J

1 (α) ~h (α)と αの値との間の関係を感度解析の立場から検討してみよう。まず， P1 (α) ~P3 (α)に対するラグランジュ関数

L

1(α) ~

L3

(α)は次のように構成される。 L1 (α)ニ

J

1 (α)+

呂

III{

忍

(!!.jー L-1(α)

d)

x

+

L:~ (aj

+

L -1 (α)

c

f

)

Xij-Yi一V1(α) e

f

}

jeJi h +~.

A

;

{d::i一L-1(α ) ef-~+ (aj

+

V1 (α) cf)

x

ヒ11

-

L:~ (aj一V1_(α)

d)

_X_i_j_} jE'

，

-h 十三ザ

i

C~+

五

(

j-!!.j)Xり+~~ (立j-aj)Xij

一

予

z十d::

d

匂11 ヒ11 L2 (α)

=h

(α)+

呂

III{

言

?(27一L-1 (α) d)

x

+

.~~ (aj

+

L

-1 (α)d)Xij-d::

i+L-

1(1一α)e

f

}

，

E三1i

+

L

:

A

l

{Yi

+

L

-1

(

1

一

α)

ef-

L

:

.

(め

+L-

1

(

α

)

ι

f)

x

jEJi

-

L:~ (aj一L→(α)d)Xij} jeJi一 h

+Zlqf{

忍

(

五

j-!!.j ) X ij

+

忍

(!!.j-a;) Xij

一

予

i+d::i} (79)

。

(23)

-23-ファジィ線形回帰モテソレと大型小売庖販売額予測問題への応用 689 L3 (α)

=

-

J

3

(α)+~.

I

C~+ (aj+L-1 ₍₁_一_α)c_f₎_X

+

~ (aj-V1 _(1-_α)

d)

_Xij-Yi_一_V1 (α)e

f

}

jeJi一 h +~. A~ {，}:'i-V1 _(α) ef-~+ (.Q;-V1 ₍₁_一_α)

d)

X =1 jE!i

2 :

:

(a;+L-

1 _(α)

c

f

)

_X_i_;_} jE]i 。1) ここで，

I

l

，

A

L

7J1，

i

=

1，… ， k， 1

=

1， 2， 3はそれぞれ制約式に対応するシンプレッグス乗数を表す。また，

J

1 (α)はP1(α)の目的関数を表す。即ち， k + ~7J r C~+ (aj一笠;)Xij+.L;~ (.Q;-a;)xi;-Yi+，}:';} =1 JE/t' JEJ h

J

1

(

α

)

=

~. C~+

(d+c

f)Xij-~~

(d+d)

Xij} = 1 εJi ヒJi 1

=

1

，

2

，

3 また，式(81)の L3(α)においてJs(α)の項にマイナスの符号が付いているのは，最大化問題巴 (α)を最小化問題に変換するためである。この時，感度解析における定理(4]

。

2) モテ、ノレとデータの聞の適合度をより，表すと考えられる αの値と，ファジィパラメータベクトル

a

のあいまい度を示次の関係が成立する。

P

1 (α)，

P

2 (α)，

P

3 (α)は，それぞれ，一意な最適解(f!， α，CL， CR)を持ち，非退化条件を満たしていると仮定する。この時，次の関係が成立する。

oJd

α _ ~ T71 ( ~

oL

-1 (α) ~ L ~一=

_。

2 :

:

IIH -

.~ム一一τヶ'-é...

c

7

Xij α i=l ieJi au すと考えられる

L

(α)の聞には，【定理8】、、 J ノ γ E E A / ， ‘ ¥ òL-1_{(α )~R..}

_oL-

1_(α)_{_}_R_i

+

2 :

:

V L J "一一CTXu- 一"一~ef~ EJi dα dα j ~'1(

oL-

1(α) ~L

" o

I，.-1 (α)

+

2 :

:

AH-

一一一一一..Lef-~一一一一一 p ~1 " l a.α j~i oa (83)

+

~ oL-

1 (αLdxJ ' ー， y討 oα ，，~，，' J

。

2( α _ ~ T72 ( "

oL

-1 (α)

立話三ム=

~1

I

l

ゥ

E

t

ーす

a CT Xij ¥ 3 ノ TA y i / t ¥、

(24)

690 第4号第60巻

-24-+

~

oL-

1 (α LcfXij+~L -1 (1α

L

ef

t

E

7

一五一

+

拘

e

7 J

よバ

3 V

2₍₁_一_{α) . R} '"

oL-

1 (α) .R +~ÀH V~ ~~ ~， ef一三J一一一一一.Lr~

た

¥

'

"l

0 α

会

1

7

O

α

(84)

+

~

oL

-1

(αLdxJ

j~i oa V } N < } J

。

J

3 (α)

ーふ

f

'

"

0

L-1 (1一α)

一寸7-=1Hf

i

忍

。

α C/Xi (III) て

，

0V

1(1一α)_L..

oV

1 (α) _Ri

念

り

。

ι

X i j - -

づ福一

ιf

会 (

化

1 (

α ) _L I ' "

0

孔ル

oL-

じ

L-

→

-

1

1 (

1 A

必州?汁{一一一一一一一一一 oα j~i O

α

。

X R y f u

α

一

l

一α

/ 1 スび T i u -ペび一

2 u

ここで，定理

8

の式側一側において，

J

I

!

主主0， À~ ~主 0，

i

=

1， ….， k， 1

=

1， 2， 3 および

立工ユ笠

L

~

)

(

o

V

1 (1-α)日

3 α v

， O

α v

!/と

!

i

-

の定義(式倒，制)から，が成立することと，

。

2 ム忽よ〉ハ宣主忽よ〉ハ立主皇よぐハ

_{3 α v}

。

，

_{α V}

，

oa が成立している。また，

o

.

L

(α

)

/

0

αは図，

4

の曲線の傾きを表していることに注ファジィ出力データとモデ、ルによる推定値が等しい可能性の度合い，即ち適合度 α と，モデ、ルのあいまい度の指標

J

1 (α)の聞の感度を表し意しよう0

O

J

1

(α)/0αは，

α

と

Jdα)

は互いに相競合しており，適合度を高くするとモデ、ルのあいまい度も大きくなってしまう。データの解析者は，得られた解に対する

α

と

Jdα)

の間のトレードオフ比側が与えられることにより，適合度 αをー単位変化させた時のモデルのあいまい度の変化量を容易に αの値を更新して問題Pl ている。式側から明らかなように，このようなトレードオフ上ヒは，知ることができる。

(25)

691 ファジィ線形回帰モデノレと大型小売庖販売額予測l問題への応用 -25-(α)を解く場合の有効な情報になるものと思われる。

o

J

2 (α)/0αは，モデルによる推定値がすべてのファジィ出力データを含む度，合い α とモデノレのあいまい度の指標Jz(α)の聞の感度を表している。この場合も，式(86)から明らかなように α とJz(α)は互いに相競合しており，モデルによる推定値がデータを含む度合いαを高くすると，モデルのあいまい度は大きくなる。

o

J

3 (α)/0.αは，モデルによる推定値がすべてのファジィ出力データに含まれる度合いα とモデルのあいまい度の指標

.

h

(α)の感度を表している。この場合は逆に，

α

の値を大きくすればモデルのあいまい度は小さくなる。

V

大型小売庖販売額予測問題への応用本節では，提案したファジィ線形回帰モデルのマーケティングの分野への応用例として，大型小売屈販売額予測問題への応用を試み，その妥当性および有効性を検討する。和多国らC1

3 J

は，田中らCl

O

J

の提案した

MIN

問題に基づいてファジィ時系列モデルを構成し，

1

9

7

3

年から

1

9

7

6

年にかけての大型小売屈の販売額の分析を行った。これに対して，本論文では，II!節で定式化した

3

種類の問題

P

1(α)-

P

3 (α) に基づいて，

1

9

8

2

年から

1

9

8

5

年の聞の大型小売屈の販売額を分析し，将来の予測を行う。商業動態統計総覧C1

6 J

と昭和

6

0

年商業動態統計年報C17Jによれば，

1

9

8

2

年から

1

9

8

5

年の期間において，全国の百貨庖とセルフ屈の販売額が表

1

のように与えられている。明確な数値で与えられた原系列(表1)から，それらの持つ可能性を考慮したファジィ数を次のように構成するC1

3 J

。まず，表

1

において，時点

t

(表

l

の左端の通し番号〉における百貨屈の販売額を y

，

i

セルフ屈の販売額を y;とおく。この時，時点 tにおける百貨庖，セルフ屈の販売額を，時点 tの前後，即ち，

t-1

と

t+1

における販売額を考慮、した次のようなメンバーシップ関数で

(26)

692 第4号第60巻 -26-(単位 100万円〉

誌記と

百貨1庖) セノレ=フ2庖) (t= (t 25 l月 532，075 576.824 26 2月 490.613 501. 669 27 3月 639，788 570，828 28 4月 592，019 588，853 29 5月 566，360 561. 717 30 1984 6月 564.864 544.928 31 年 7月 790.309 639，491 32 8月 508，708 586，861 33 9月 537.064 524.034 34 10月 631，661 567，422 35 11月 632，917 569.968 36 12月 1.157.375 867.561 37 l月 566.882 607.091 38 2月 499，919 486，759 39 3月 676，318 595，769 40 4月 614，078 595.795 41 5月 593.697 577，202 42 1985 6月 591，856 559，510 43 年 7月 823，071 656.080 44 8月 527，331 607，808 45 9月 553，026 535，551 46 10月 669，306 591.892 47 11月 665，661 586.840 48 12月 1. 201. 320 898.704 業態別大規模小売庖販売額

y

!

主?と

百貨1庖) セノレ=フ2庖) (t= (t 1 1月 501，667 523.177 2 2月 452，844 444，581 3 3月 611，634 516，498 4 4月 546，447 547.165 5 5月 539，443 542.042 6 1982 6月 543.317 514，566 7 年 7月 720，148 562，015 8 8月 488，779 546.364 9 9月 491.943 487，875 10 10月 587，859 547，040 11 11月 594，068 538.207 12 12月 1.075.521 810，634 13 l月 509，032 549，804 14 2月 457，628 466，787 15 3月 614.695 541. 000 16 4月 558.111 563，254 17 5月 550，681 555，629 18 1983 6月 540，384 518.637 19 年 7月 746.749 597，971 20 8月 497，207 570，872 21 9月 499，951 496.003 22 10月 614.540 573.464 23 11月 611，431 567，697 24 12月 1，107，620 837，118 表l 定義されるファジィ数j7j

，

f

?

であると仮定する。

L

(

五平

L

)

正~t

y

f

<タ

i

。

y

f

=

.

y

f

1

μy:(yf)

=

ここで，広がりのパラメータ

y

f

>

.

y

f

1

=

1 (百貨届:)， 2 (セノレフ庖〉である。

L

(

Yf~tf)

しだた

(27)

693 H反 τ士子 7G 在役ファジィ線形回帰モデノレと大型小売活販売額予測問題への応用メンバーシップイ直 yJ+l

~---一一一ー一一-yj y/-l t-1 t+1 図5 時刻 tにおけるファジィ数j7i e

，

l

平均値引，および型関数L(x)は次のように定義されている。

ei=t{m

拡 (y

い

.-:1 _ __._ 1..1 ..1 ..1

、

.Yi

=

max

~.Y i-l ， .Yi

，

'yi+JJ-ei

=

min (yi-l

，

.Yi

，

.Yi+l)+

e

l

L(x)=l-x 図

5

に，ファジィ数fjのメンバーシップ関数の構成を示す。この時，傾向変動を表すファジィ時系列モデ、ルは次のように表される。ダ

=

ao+ad

-27-(88) 倒

。

1 )

ただし，ファジィ数

a

j，j

=

0

，

1

のメンバーシップ関数は次式で定義されるものとする。 μaj (aj)

=

(

ア

)

aj

<

aj aj

=

aj (92)

(28)

-28ー第60巻第4号 694

l

L

(

可

aj) αj

>

a j 式。1)の等号関係を

D

u

b

o

i

s

ら

C

1

，

3 J

の

3

つの指標に基づいて定義すれば，ファジィ時系列モデルを求めるための問題P1(α)， P2(α)， P3 (α)を次のように構成す町ることができる(式附附， (53) -(57)，防，)-(69)参照)。

P

1 (α) min 2 ~ (Co十Cdi)

s

u

b

j

e

c

t

o

(ao-L-1 ₍_{α )CO)+(al-V}1 (α) C 1) ti話 7j十L-1 (α )

e

L

i

=

2

， "，

4

7

(ao+L-1 ₍_α₎_ι

。

_)+(al+V1_{(α) C} 1)ムミタ f-L -1 (α) e

，

l

i

=

2，り，

4

7

Co， Cl主主O P2(α) min

2

~ ι(

。

+cdtl

s

u

b

j

e

c

t

o

(ao-L-1_{(α) CO)+(al-V}1 (α) Cl )ti~五タ f-L-1 (1-α )

e

L

i

=

2，・"

4

7

(ao+V1 (α)CO)+(al+L-1(α) Cl )ti主主ダf+V1(1一 α)d

，

i

=

2， "，

4

7

Co， Cl主主O

P

3 (α) max 2 ~ (cO+Clt.)

s

u

b

j

e

c

t

o

(ao-

V

1 ₍_{1-α )CO)+(al-L-}1_{(1-α) C}_l₎_t_i

_孟到

_{- V}1_{(α) e}

_，

_l

i

=

2， "・，

4

7

(29)

695 ファジィ線形回帰モデノレと大型小売庖販売額予測問題への応用表2 解折結果 p， (05) P 2 (0 5)

(

a

o

， co)

(

a

o

， co)

=

(611 0， 1412) ニ (705.3，4274)

(

a

"

c

，)

(

a

"

c

，) 百貨届

=

0642， 1743)

=

(1764，2778) Co/

a

o

=

0.23 Co/

a

o

=

0.61

c

，

/

a

，

=

106

c

，

/

a

，

=

158

J

， (α)

=

149550 ，J(α)

=

42455.4

(

a

o

， co)

(

a

o

， co)

=

(539 7， 79 1)

=

(5892， 2548)

(

a

"

c

，)

(

a

"

ι，) セノレフ庖

=

(2065， 744)

=

0829， 968) Co/

a

o

=

0 15

C

o

/

a

o

=

0.43

c

，

/

a

，

=

036

c

，/

a

，

=

053

J

， (α)

=

8113..6

J

2 (α)

=

24528..0

(ao+L-1 (1α) co)+(a1+L-1 (1一α)C1) ti孟タ

f

+

L-1 (α) e~，

i

=

2

，…，

4

7

Co， C1孟O -29-適合度基準αを O“5に設定した線形計画問題 P1(05)，

P

z

(05)， P3(05)を，それぞれ百貨屈とセルフ屈のデータに対して解き，それらの解析結果をまとめると表 2のようになる。ここで線形計画問題 P3(05)は実行可能解が存在しないことに注意しよう。このことは，

P

1 (05)の目的関数値 J1(05)>0であることから，定理6の正当性を示すものである。表2から，セルフ屈の場合の直線の傾き a1は，百貨屈のそれよりも，

P

1 (05)を解いた場合では 126倍，九 (05 )を解いた場合では， 1.04倍大きし、。このことは，セノレフ屈の成長が百貨屈のそれよりも大きいことを示している。また，ファジィパラメータム，a1のあいまい度を，

c

J

a

i

，

i=O

，

1

で定義すれば，百貨屈についての時間項のあいまい度 C1/a1はセルフ屈についての時間項のあいまい度 C1/a1の約

3

倍である。このことは，百貨屈の販売額が各年度で変化が大きく，逆に，生活に直接結びついた営業方式をとっているセルフ庖は時間的推移に対する変動幅が小さいこ

(30)

-30- _第60巻第4号 696 1200 900

.

-1100 1000 版で苦手ヲE 客Jl800 V y =681 6+ 2.514t

-

戸 n H V A H v n r

・

( 単位

ω

億円 ) 600 500 400 一平

o

10 1982年 20 1983年 30 1984年 F h 年 υ n k U A W U A H V 7 ム 1d告 _，_._._._，_._-_-_-_;_> 50t 図6 百貨后の傾向変動 p

，

(05)

(31)

697 _{ファジィ線形回帰モデノレと大型小売局販売額予測j}問題への応用 _-31_ー 1200 1100 d e ， 1000

.

_

-戸T 900 版 7 τ'c ま買 800 F 位単 10 700 億円 600 y =919.1+ 3 153 t

-

-d p ， t ， F ，，戸﹂F 4 4 F d t 戸 y =705 3+ 1 764t 500 400

手

o l t l 1982年 γ---. 10 20 1983年年 A H V ， A宮 1 q o o o A U d l 40 1985年官ーー一→ー 50 図7 百貨庖の傾向変動

P

2

(05)

(32)

-32ー第 60巻第 4号 698 1200 1100 1000 900 販ヲ士E・額 800 U f単立 10 700i 11 IIV=O(~t 十 1 1 L {意円 600 500 400 T 十 0 ，---， 10 一一ーーマーー一一寸ーーー-一一--r一一ーーー一---r--一一20 30 -4-0r一一ーーーーーーーーーァーー守ーー参50 1983年 1984年 1985年 ! 1982年図8 セノレフ庖の傾向変動 p

，

(05)

(33)

699 ファジィ線形回帰モデノレと大型小売庖販売額予測問題への応用 -33ー 1200 1100 1000 900 販う士E・ y=7166+ 書'ii 800 U f単立

-

--

-i

o

700 {意 _y_{=589 2+} 円 _L829t 600 500 y=46L8+1346t 400 工 e o -1982年す一一寸 10 20 1983年年 A H V A 4 1 のぺ u n x u n w u ' E A 年民 v o n u A W U A H V 唱 E 4 144 ・ .，---， 50 図 9 セノレフ屈の傾向変動 P2(05)

(34)

-34ーハリハリハ υ A U A V A り A H υ ハ H v n H V A H V A H v d A T q J つ ω 1 A 1 A 傾向変動からの変差(単位叩億円) 第60巻第4号 700 600 500 h -h 、 -h E V M

一

、 -、問、一、一、﹄、四 v p -u J -' '

-，

m r

-，

，

，，

x 、、、、、 -200 -300 -400 -500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月次図10百貨庖の季節変動 p

，

(05) とを示している。図6- 9 ~こ，百貨庖;およびセノレフ屈の傾向変動を示す。各図において，破線で示される

2

本の直線は，ファジィ数で表される推定値 ao+adの適合度基準

α

を

o

5に設定した場合の

α

ーレベル集合の下限と上限を表す。即ち，これらの直線の方程式は次式で与えられる

C

2 J

。 y=(ao-L-1 (α) CO)+(al一V1(α)C 1)

t

y

=

(ao+V1 ₍_{α )}_CO)+(al

+

_V

1 _(α) C 1)

t

(93) (94)

(35)

ν ? t t t J

，

I't'It' ー ' M R ν n f 〆，，ノ / 〆︺、︺

、

、、

、

草川、，， J ，， J

，

r ，， r r k ι r y 、、、、、 ν a r ，，，〆 f r ，， f

，

Y 、、、﹂ハ U A U F h d -35ー i

，

t

，，

，

t

，

t

'

I

'

t t

'

，

1 2 1 1

，

d 崎町

-X ノ，， r ，，，， J K F F ，

ハ一

八

一

、、、ファジィ線形回帰モデノレと大型小売届販売額予測問題への応用 600 701 傾 I百] 変動ヵ、らの変差単位 10 { 意

巴

-100 200 100

。

500 400 300 -200 -300 -400 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 次 p

，

(05) 月百貨!古の季節変動図11 式側，側で閉まれる領域はそれぞれ百貨屈とセルフ屈の販売額の可能性領域を示している。と，式側，側で与えられる推定値から求めた季節変動この季節変動と傾向変動から 1986年度の百貨屈およびセノレフ屈の販売額予測結果を図14-17に示す。これらの予測図は， 1986年度の販原系列(表1) を図 10-13に示す。また，売額が破線で固まれる領域に含まれる可能性の高いことを示している。

(36)

36ー _第60_{巻第}4_号 702 500 { 頃 400 向変 300 動から 200 の刃差夕民

、

100 単イ立

。

10 f、章

巴

-100 -200 -300 -400 -500 1 北品以内 ) λ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月次図12 セノレフ広の季節変動仏 (05)

V

I

おわりに本論文では.Duboisら

O.

3

J

により提案されたファジィ数聞の等号関係の指標に基づいてファジィ線形回帰モデノレを求めるための

3

種類の問題を定式化し，定式化された問題を大型小売庖販売額予測問題に適用し，その妥当性および有効性を検討した。このようなデータに含まれるあいまい性を考慮したファジィ回帰モデ、ルは，消費者の心理・主観を通した商品の価値や意味を研究対象とするマーケティングの分野では，将来分析のための有用な手法となるこ

(37)

-37-ファジィ線形凶帰モデノレと大型小売庖販売額予測問題への応用 703 500

ぷ ' '

， d u F γ

、、

人品〆，，ぽ官必鴨品﹄前

一

Y

、、

、

h h吋白ハリハり噌 E A 傾向変動から ♂ コ刀智てクえ差単位 10 億

巴

-100 400 300 200

。

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(05) セノレフ后の季節変動図13 とが期待される。今後は，従来の確率論の立場からの回帰分析とファジィ集合あいまいな論の立場からのファジィ回帰分析の関係を明らかにするとともに，データを含む現実の問題への適用が望まれる。謝辞坂和正敏先生岩手大学教授，著者(矢野)が日頃御指導いただし、ている，に感謝いたします。

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-38- 第60巻第4号 704 1300 x 販 1100 売 1000 額 900 位単 800 イ 1志0 700 円 500 400

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a _' 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月次図14 1986年の百貨広の販売額予測 Pl (05) 参考文献

C 1 J Dubois， D， '‘Linear Programming with Fuzzy Data"， Ana(ysis of Fuzzy lnforl仰ー tion， Volume 3， in Bezdek，

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ファジィ線形回帰モデルと大型小売店販売額予測問題への応用-香川大学学術情報リポジトリ