1
正多面体を角材や板材で作るPolyhedron made of Timber or Plate --- 建築と数学のコラボ Collaboration of Architecture and Mathematics ---
2016/11/06
金沢市立工業高等学校 数学科 森下公博 Kimihiro Morishita Sec.of Math. KanazawaMunicipalTechnicalHighschool
追記 まとめの章に製作に必要な寸法の表を追加しました。2018/06/28 木造り(きづくり)は木造建築の要です。 数学で扱う立体、主に正多面体を角材でつくるために必要な墨線の引き方、所謂、墨出し( Marking ) を考えます。その後、板材でも作るための墨線を考えます。 実際にこのようなものを日頃作っている大工さんにとっては笑止かもしれませんが、あえて数学的に作 ってみます。組木の技術を使わずに単純な部品を作り、それを接着させて作るとします。このような場 合にダボを使って接合する方法もあるそうです。あながち間違いではないかと思います。 日本の木造建築技術は世界一です。先日のNHK のテレビ番組によればドイツの木工技術も大したもの ですが・・・。プロの大工さんから、全くの建築素人のために参考になるご指摘やご指導などを頂けれ ば幸いです。 目次 角材編 Made of Timber
Sec.1 正 4 面体および不等辺正 3 角錐 Regular Tetrahedron & Scalene Regular Triangular Pyramid Sec.2 正 6 面体 Regular Hexahedron
Sec.3 正 8 面体および等辺正 4 角錐
Regular Octahedron & Equilateral Regular Quadrangular Pyramid Sec.4 正 12 面体 Regular Dodecahedron
Sec.5 正 20 面体 Regular Icosahedron Sec.6 フラーレン Equilateral Fullerene Sec.7 まとめ Conclusion
板材編 Made of Plate
Sec.8 正 4 面体および不等辺正 3 角錐 Regular Tetrahedron & Scalene Regular Triangular Pyramid Sec.9 正 6 面体 Regular Hexahedron
Sec.10 正 8 面体および等辺正 4 角錐
Regular Octahedron & Equilateral Regular Quadrangular Pyramid Sec.11 正 12 面体 Regular Dodecahedron
Sec.12 正 20 面体 Regular Icosahedron Sec.13 フラーレン Equilateral Fullerene Sec.14 まとめ Conclusion
2 角材による製作 Made of Timber
Sec.1 正 4 面体 Marking of Regular Tetrahedron
各辺の長さがL、角材の断面は正方形としてその 1 辺の長さは M とする。正 4 面体 ABCD を角材の外 側の稜線の形として考える。
辺CD の中点を E とし、断面の三角形 ABE を考える。
A から辺 BE に垂線を下し、その足を F とする。直線 AF は 3 角形 BCD の回転に関する対称軸であり、 点F は 3 角形 BCD の外心であるが、3 角形 BCD は正 3 角形なので、点 F は 3 角形 BCD の重心にも なっている。そのため計算は楽である。
∠BAF
=
α
とする。以後この角度を垂直接合角( Vertical Joint Angle )と呼ぶことにする。L
AB
=
AE
BE
L
2
3
=
=
BF
BE
L
3
1
3
2 =
×
=
であるので、3
1
sin
α
=
3
2
cos
α
=
2
1
tan
α
=
となる。 ここで、正四面体を点A の真上から見た図 3 を考える。角材の様子も付け加える。 しばらく、この図を、頂点A に接した水平面に投影したものと考える。そうすると°
=
∠
G
1AG
3
120
AB
⊥
G
1G
3
であるので∠
G
1AG
2
=
60
°
以後、この角 G1AG2 を水平接合角( Horizontal Joint Angle )と呼ぶことにする。さらに
G
1
G
3
=
2
M
であるからG
G
M
2
2
2
1
=
さ らにtan
60
3
2
2
1
=
°
=
AG
G
G
であるのでM
G
G
AG
6
1
3
2
1
2
=
=
が得られる。以後これを接合深さ Fig 1a A B C D Fig 1b A B C D E Fig 2a A B E Fig 2b α A B E F3 ( Joint Depth )と呼ぶことにする。これが大切な値となる。正 4 面体や立方体、正 12 面体でも、3 本の 角材が対称的に1 点に集まる場合はこの値はすべて同じである。この図はすべて共通であるからである。 水平接合角θと接合深さｔの関係は
θ
tan
2
M
t
=
である。 ここで、図2b の視点から見た、部材の断面の投影図を考える。 図3 の点 A を図 4 では A1 とする。図 3 の G1 と G2 と G3 は図 4 では重なって G となっている。図 3 の点A の真下に図 4 の A4、A5、A6 がある。A1A3 は角材の縦の断面の対角線なのでA
1
A
3
=
2
M
また、図2b の角αと同じものが角 BA1A6 となる。∠
BA
1
A
6
=
α
=
∠
A
1
A
6
A
3
6
3
3
1
2
1
tan
A
A
A
A
=
=
α
従ってA
3
A
6
=
2
A
1
A
3
=
2
M
…① またA
2
A
4
=
M
ここで 図 3 の AG2 が図 4 の A5G となって表れる。A
G
M
6
1
5
=
Fig 4 A1 B A2 A3 G A4 A5 A6 Fig 3 B A G1 G2 G3 θ4 勿論
A
1
A
6
⊥
A
5
G
であるので∆
A
1
A
2
A
4
∽
∆
GA
5
A
4
またA
1
A
6
=
6
M
従ってA
4
G
：
A
5
G
=
A
1
A
4
：
A
1
A
2
=
A
1
A
6
：
A
1
A
3
=
6
：
2
M
G
A
G
A
2
1
5
3
4
=
=
A
G
A
A
A
G
M
1
.
71
M
2
2
1
4
4
2
2
≒
+
=
+
=
…②式①が表す長さを下部長(Under Length)、式②が表す長さを側部長(Side Length)ということにする。 これらを用いて、角材に墨線を描く。A1G と GA6 である。G に鋸を入れ、A1 と A6 へ進ませる。こ れを向こう側からも切る。両端を同様に加工した部材を6 本作り、組み合わせると少し膨らみがある正 四面体ができる。
5 第26 回全国産業教育フェア石川大会のモニュメントとして、不等辺正 3 角錐を作ることになった。 底辺は1 辺 L の正 3 角形、側面は各辺が kL kL L の 2 等辺 3 角形のものを考える。 図5a で
AB
=
AC
=
AD
=
kL
BC
=
CD
=
DB
=
L
とする。辺 CD の中点を E とする。 まず点A における接合を考える。辺 AB,AC,AD 即ち部材①について調べる。辺 BC,CD,DB は部材②と する。( )
2
1
4
4
1
2
2 2 2 2=
−
=
−
−
=
kL
L
k
L
L
k
AE
yL
AF
=
BF
=
xL
とすると
−
=
+
−
=
+
・・・②
・・・①
4
1
4
2
3
2 2 2 2 2 2k
y
x
k
y
x
①－②4
1
4
2
3
2 2 2 2=
−
−
−
−
x
k
k
x
4
1
3
4
3
2 2 2 2−
+
−
=
−
+
k
k
x
x
x
1
3
x
=
3
1
=
x
点 F は 3 角形 ABC の外心即ち重心なのは当たり前でした。3
1
sin
k
kL
xL =
=
α
2 23
1
sin
k
=
α
2 2 23
1
3
cos
k
k
−
=
α
1
3
1
tan
2 2−
=
k
α
1
3
1
tan
2−
=
k
α
点A における水平接合角θと接合深さ t は正 4 面体と同一でθ
= 60
°
6
tan
2
M
M
t
=
=
θ
下部長A3A6 について6
3
2
1
3
1
tan
2A
A
M
k
=
−
=
α
A
3
A
6
=
2
3
k
2−
1
M
・・・① 側部長A2G についてA
G
A
A
t
k
k
M
k
k
M
2
1
3
6
3
2
1
3
sin
2
6
3
2
2 2−
+
=
+
−
=
+
=
α
・・・② Fig 5a A B C D E Fig 6a A B E F α6 これで部材①の点A 側の墨出しができる。 次に点B における接合を考える。今回作成するモニュメントはかなりの大きさで、点 B における接合 強度が問題であるので、思い切って単純な構造をとることにする。確かに次に示すように部材②は単純 なのだが、部材①の接合部は多少複雑なものになる。墨出しも切削も面倒である。 底になる部材②は正三角形の単純な枠のみとする。枠の内法の1 辺を L とする。この隅に上部から部材 ①がはまり込む。 枠は3 本の部材②からなる。図 9 で、
B
1
C
1
=
L
∠
B
1
B
2
B
3
=
30
°
B
1
B
3
=
M
であるから、M
B
B
2
3
=
3
B
2
C
2
=
L
+
2
3
M
となる。これで底部ができる。 この底部の隅に部材①の図10a のものが上からはまり込むようにする。 Fig 7 A1 B A2 A3 G A4 A5 A6 Fig 9 B1 B2 B3 C1 C27 図6b で、
AB
=
kL
BE
L
2
3
=
AE
k
L
2
1
4
2−
=
であった。余弦定理より、k
k
k
k
3
1
2
3
2
4
1
4
4
3
cos
2 2=
×
×
−
−
+
=
β
2 23
1
cos
k
=
β
2 2 23
1
3
sin
k
k
−
=
β
1
3
tan
2β
= k
2−
tan
β
=
3
k
2−
1
この角βが点B における部材①の垂直接合角になるが、今回は部材①の B 側の墨出しは特別なものと なる。図10b で、M
H
B
6
=
2
B
1
B
4
=
M
∠
AB
1
H
=
∠
B
5
B
4
B
1
=
∠
B
7
B
8
B
4
=
β
であるのでM
k
k
M
B
B
3
1
3
sin
1
5
2−
=
=
β
M
k
M
B
B
3
1
cos
4
5
=
β
=
6
1
2
1
3
tan
2B
B
M
k
−
=
=
β
なのでM
k
B
B
1
3
2
6
1
2−
=
M
k
B
B
M
B
B
−
=
−
=
3
1
2
5
4
2
7
4
また8
7
7
4
1
3
tan
2B
B
B
B
k
−
=
=
β
であるので Fig 10a B A G Fig 6b A B E β8
M
k
k
k
k
B
B
B
B
1
3
3
1
6
1
3
7
4
8
7
2 2−
−
=
−
=
問題は点I の位置である。そのために B1GH を通る仮想断面 図 11 を考える。H
B
M
1
2
sin
β
=
であるからM
k
k
M
H
B
1
3
6
sin
2
1
2−
=
=
β
を求めておく。 Fig 11 B G G H I O 30° γ J B8 Fig 10b B1 A G B4 I H B5 B6 β B7 B8 B9 B10 N9 図10b の B1H が図 11 では BH である。点 B に、図 10b の B1 と B4 が重なる。
M
k
k
BH
1
3
6
2−
=
M
k
k
BH
OH
1
3
2
3
2
=
2−
=
2
2
M
GG
OG
=
=
k
k
OH
OG
3
1
3
tan
2−
=
=
γ
γ
γ
γ
2 2 22 2cos
sin
3
1
3
tan
=
−
=
k
k
であるが1
6
1
3
sin
2 2 2−
−
=
k
k
γ
1
6
3
cos
2 2 2−
=
k
k
γ
と解けるので1
6
3
cos
2−
=
k
k
γ
さらに3
1
30
tan
°
=
=
BJ
JI
k
k
HJ
JI
3
1
3
tan
2−
=
=
γ
であるのでHJ
k
k
BJ
JI
3
1
3
3
2−
=
=
従ってHJ
k
k
BJ
3
1
2−
=
さらにM
k
k
BH
HJ
k
k
k
HJ
k
k
HJ
BJ
1
3
6
1
3
1
1
3
2 2 2−
=
=
+
−
=
+
−
=
+
であるので(
)
M
k
k
k
k
HJ
+
−
−
=
1
3
1
3
6
2 2 2 が求まる。1
6
3
cos
2−
=
=
k
k
HI
HJ
γ
であるから(
)
M
k
k
k
k
k
HJ
k
k
HI
+
−
−
−
=
−
=
1
3
1
3
1
6
2
3
1
6
2 2 2 2 B4B8 の墨出しのために B9B10 も求めておく。7
4
9
4
8
7
10
9
B
B
B
B
B
B
B
B
=
であるので(
)
(
)
M
k
k
k
k
k
M
k
k
k
k
k
M
k
k
k
B
B
B
B
B
B
B
B
1
3
3
1
2
6
1
3
3
1
6
1
6
1
2
6
1
3
3
1
6
3
1
2
3
1
2
2
7
4
8
7
9
4
10
9
2 2 2−
−
=
−
−
×
−
−
=
−
−
×
−
−
=
×
=
これで部材①のB 側の墨出しがすべてできる。 図10b で点 I から左に伸びる線 IN が B1B4 と平行になるように思うかもしれないが、そうはならない。 なぜならB4B8 を通る断面は図 11 の点 I の真上を通らないからである。点 N の墨出しは、断面 A4A8 を作ってから、直線B4B8 から 30 度開いた点とすればよい。計算でも求められるが、このほうが簡単 である。三角定規の出番である。 実際の制作時では、まずB1B4 の断面を切り出し、直線 B1B4 を引く。次に断面 B4B8 を切り出し、直 線B4B8 から 30 度開いた点 N を取り、直線 IN を引くとよい。10 例
k
=
2
の場合 部材①どうしの下部長A
3
A
6
=
2
3
k
2−
1
M
=
22
M
=
4
.
690
M
部材①どうしの側部長A
G
k
k
M
M
3
.
759
M
2
2
11
2
1
3
2
2=
+
=
+
−
=
部材①のB 側についてM
M
M
k
k
B
B
0
.
957
3
2
11
3
1
3
1
5
2=
=
−
=
M
M
M
k
B
B
0
.
289
3
2
1
3
1
4
5
=
=
=
M
M
M
k
B
B
0
.
426
11
2
1
3
2
6
1
2−
=
=
=
M
M
M
k
k
k
B
B
0
.
339
33
2
1
6
2
1
3
3
1
6
8
7
2=
−
=
−
−
=
M
M
M
k
k
k
B
B
0
.
126
33
2
1
6
1
3
3
1
2
6
10
9
2=
−
=
−
−
=
(
)
M
(
)
M
M
k
k
k
k
k
HI
0
.
769
2
11
11
46
2
1
3
1
3
1
6
2
2 2 2=
+
=
+
−
−
−
=
写真は k=2 L=46cm M=40mm のもの。上部はとりあえず輪ゴムで止めてある。11 部材①の基部 部材①の先端部 部材②を組んだもの及び①との接合部
12 もう一度説明します。 まずB1B4 の断面を切り出し、直線 B1B4 を引く。次に断面 B4B8 を切り出し、 そこに、直線B4B8 を引き、30 度開いた点 N を取り、直線 IN を引く 直線IN と直線 B1B4 を通るように切り出す。両側とも切り出す。 夏休みをかけてやっと部品ができた。 k=2 L=2.5m M=105mm 出来上がりの高さは約 4.9m。
13 仮組みしてみました。
14 産業教育フェア2016 会場にて
15
Sec.2 正 6 面体(立方体) Marking of Regular Hexahedron
正6 面体すなわち立方体も正 4 面体とほぼ同様に考えられる。接合部のみを考えるので、立方体全体で なく、その一部分である正3 角錐 ABCD を考える。正 4 面体では角 BAC などは 60°だったが、立方 体では角BAC や角 CAD や角 BAD は 90°となる。正 3 角形 BCD を底面とする。
L
AD
AC
AB
=
=
=
BC
=
CD
=
DB
=
2
L
である。 やはり、辺CD の中点を E とし、図 2 で 3 角錐を縦に切った断面の 3 角形 ABE を考える。 A から辺 BE に垂線を下し、その足を F とする。正 4 面体の場合と同じく点 F は正 3 角形 BCD の外心 即ち重心である。垂直接合角∠BAF
=
α
とする。L
AB
=
AE
L
2
2
=
BE
L
2
6
=
BF
BE
L
3
6
3
2 =
×
=
であるので、3
2
3
6
sin
α
=
=
3
1
cos
α
=
tan
α
=
2
となる。 ここで、正4 面体を点 A の真上から見た図 3 を考える。角材の様子も付け加える。 正4 面体の場合と完全に同一の図であり接合深さはAG
G
G
M
6
1
3
2
1
2
=
=
となる。 ここで、図2b の視点から見た、部材の断面の投影図 図 4 を考える。 図3 の点 A を図 4 では A1 とする。図 3 の G1 と G2 と G3 は図 4 では重なって G となっている。図 3 の点A の真下に図 4 の A4、A5、A6 がある。A1A3 は角材の縦の断面の対角線なのでM
A
A
1
3
=
2
A
A
M
2
2
2
1
=
Fig 1b A B C D E Fig 2a A B E Fig 2b A B E F α Fig 1a A B C D16 また、図2b の角αと同じものが角 BA1A6 となる。
∠
BA
1
A
6
=
α
=
∠
A
1
A
6
A
3
6
3
3
1
2
tan
A
A
A
A
=
=
α
従ってA
A
=
A
A
=
M
2
3
1
6
3
…① また2
4
2
A
M
A
=
ここで 図 3 の AG2 が図 4 の A5G となって表れる。A
G
M
6
1
5
=
勿論A
1
A
6
⊥
A
5
G
であるので∆
A
1
A
2
A
4
∽
∆
GA
5
A
4
またA
1
A
6
=
3
M
従ってA
4
G
：
A
5
G
=
A
1
A
4
：
A
1
A
2
=
A
1
A
6
：
A
1
A
3
=
3
：
2
M
G
A
G
A
2
1
5
2
3
4
=
=
A
G
M
=
M
+
=
2
1
2
1
2
…② となり、当然至極の図形が得られる。両端を同様に加工した部材を 12 本作って組み合わせると立方体 になる。 Fig 4 A1 B A2 A3 G A4 A5 A6 Fig3 B A G1 G2 G318 Sec.3 正 8 面体 Marking of Regular Octahedron
一辺がL の正 3 角形 8 面で構成される。 上半分の正4 角錘を考える。その断面、3 角形 ABC を考える。
L
AC
AB
=
=
BC
=
2
L
であるから 3 角形 ABC は直角 2 等辺 3 角形で A から BC に下した垂線の 足F とすると、角 CAF 即ち垂直接合角αは 45°である。従ってtan
α
=
1
となる。 対称性が高いので計算は楽である。接合部は4 つの部材が対称的に集まるので大変単純である。点 A の 真上から見た接合部の様子は図3 のようになる。 部材の角材の切り口の一辺をM とすると、G
1
G
3
=
2
M
2
2
2
3
2
G
M
M
G
=
=
また、3 角形 AG2G3 は直角 2 等辺 3 角形なので接合深さ2
2
M
AG
=
となる。 従って、角材の端の様子は図4 のようになる。°
=
=
∠
=
∠
BA
1
A
6
A
1
A
6
A
3
α
45
従ってA
1
A
3
=
A
3
A
6
=
2
M
…①3 角形 A1A2A4 も A4A5G も直角 2 等辺 3 角形である。また A5G は図 3 の AG2 なので Fig 1b A B C Fig 2a A B C Fig 2b A B F C α Fig 1a
19
M
A
A
2
2
4
2
=
A
G
A
A
M
2
2
4
5
5
=
=
A
4
G
=
M
従ってA
G
M
1
.
71
M
2
2
1
2
≒
+
=
…② ①と②より墨線 A1G と A6G が書ける。これが 12 本で正8 面体ができる。 Fig 4 A1 B A2 A3 G A4 A5 A6 Fig 3 A G1 G2 G320 しかし、実際に12 本の部材を用意するのは正 6 面体同様大変で、作ったとしても座りが悪い。風が吹 いたら転がっていきそう。そこで、座りが良いと思われる、正4 角錘を作った。部材は正 8 面体と同様 のものが4 本、残りの 4 本は片面の細工が正 8 面体と同様で、片面は接合深さを 0 にすればよい。その 墨出しは簡単である。
M
A
A
A
A
1
3
=
3
6
=
2
…①A
G
M
2
2
2
=
…② これをG から切始め、A1 と A6 まで進ませる。これなら庭におくオブジェとして使えそうである。 Fig 4 A1 A2 A3 G A621
22 Sec.4 正 12 面体 Marking of Regular Dodecahedron
正12 面体は正 5 角形 12 面でできている。1 つの頂点には正 5 角形 3 枚が集まる。角材 3 本ずつが接合 するので正4 面体や正 6 面体の要領が使える。まずは正 5 角形の復習から。 1 辺の長さが 1 の正 5 角形の 1 つの頂点から対角線 2 本を引く。 3 つの 2 等辺 3 角形のうち、真ん中に注目する。これは黄金 3 角形というそうです。等辺の長さ即ち正 5 角形の対角線の長さを x とする。小学生でもできる計算で、この 3 角形の底角 72°がわかる。その底 角の片方の内角の2 等分線を引く。するとその中にもう 2 つの 2 等辺三角形ができる。すると、相似な 大と小の黄金3 角形ができる。従って、
)
1
(
:
1
1
:
=
x
−
x
x
(
x
−
1
)
=
1
2− x
−
1
=
0
x
2
5
1
±
=
x
x
>
0
であるので2
5
1
+
=
x
従って、4
1
5
1
5
1
2
1
5
2
cos
72
cos
=
−
+
=
÷
=
=
°
π
x
8
5
3
16
5
2
6
5
2
cos
2π
=
−
=
−
従って8
5
5
5
2
sin
2π
=
+
だから5
2
5
4
)
5
3
(
)
5
5
(
5
3
5
5
5
2
tan
2=
+
+
=
+
−
+
=
π
従って5
2
5
5
2
tan
π
=
+
さらに、左右のひらべったい2 等辺 3 角形に注目すれば4
1
5
1
2
5
cos
36
cos
÷
=
+
=
=
°
π
x
8
5
3
16
5
2
6
5
cos
2π
=
+
=
+
従って8
5
5
5
sin
2π
=
−
だから5
2
5
4
)
5
3
(
)
5
5
(
5
3
5
5
5
tan
2=
−
−
=
−
+
−
=
π
従って5
2
5
5
tan
π
=
−
が得られる。 以下、所々でこれらの値を使うことになる。 次に、正12 面体の結合部の様子を見てみよう。 72° 36° 36° 36° 108°23 正4 面体や正 6 面体と同様に点 F は正 3 角形 BCD の外心即ち重心となる。
L
AD
AC
AB
=
=
=
BC
CD
DB
L
2
1
5
+
=
=
=
CE
DE
L
4
1
5
+
=
=
L
BC
BE
4
3
15
2
3
+
=
=
BF
BE
L
6
3
15
3
2
+
=
×
=
であるので、3
2
1
5
6
3
15
sin
α
=
+
=
+
6
5
3
12
5
2
6
sin
2α
=
+
=
+
6
5
3
cos
2α
=
−
(
)
4
5
3
5
3
5
3
tan
2 2=
+
−
+
=
α
従って2
5
3
tan
α
=
+
接合部、点A の真上から見た図は正 4 面体や正 6 面体の図 3 と同様である。従って、角材の正方形の切 り口の一辺をM とするとき接合深さAG
M
6
1
2
=
となる。 図2b の向きから部材を見るのが図 4 である。図 3 の点 A の下に点 A4 や点 A5 がある。 図2b の角αと同じものが角 BA1A6 となる。∠
BA
1
A
6
=
α
=
∠
A
1
A
6
A
3
6
3
3
1
2
5
3
tan
A
A
A
A
=
+
=
α
従って(
)
M
M
M
M
A
A
A
A
0
.
54
2
5
3
4
5
3
2
2
5
3
2
2
5
3
3
1
2
6
3
=
−
=
−
≒
+
=
+
=
…① Fig 1b A C D B E Fig 2a A B E Fig 2b A B E F α Fig 1a A B C D24 また
A
A
A
A
M
M
4
10
2
3
2
2
5
3
6
3
2
1
4
2
=
=
−
=
−
前と同様に 図 3 の AG2 が図 4 の A5G となって表れる。A
G
M
6
1
5
=
以前と同様に∆
A
1
A
2
A
4
∽
∆
GA
5
A
4
またA
1
A
6
=
7
−
3
5
+
2
M
=
9
−
3
5
M
従ってA
4
G
：
A
5
G
=
A
1
A
4
：
A
1
A
2
=
A
1
A
6
：
A
1
A
3
=
9
−
3
5
：
2
従ってM
M
M
M
M
G
A
G
A
4
2
10
2
2
1
5
2
2
5
2
6
2
5
3
12
5
3
9
5
2
5
3
9
4
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
M
M
M
M
G
A
0
.
71
2
2
4
2
2
4
2
10
4
10
2
3
2
=
=
≒
−
+
−
=
…② これが30 本で正十二面体ができる。 Fig3 B A G1 G2 G3 Fig 4 A1 B A2 A3 G A4 A5 A625 Sec.5 正 20 面体 Marking of Regular Icosahedron
最後の正多面体は正3 角形が 20 面で構成される。接合部は正 3 角形 5 つが集まる。5 本の部材が頂点 に集まる。 辺CD の中点 E を取り、3 角形 ABE を考える。
L
CD
AD
AC
AB
=
=
=
=
BC
DB
L
2
1
5
+
=
=
CE
DE
L
2
1
=
=
AE
L
2
3
=
L
L
L
BE
2
5
2
5
4
1
5
2
6
2
1
2
1
5
2 2+
=
−
+
=
−
+
=
A から辺 BE に下した垂線の足を F とする。今までの場合と違い、3 角形 BCD は 2 等辺 3 角形なので Fig 1a A B C D Fig 1b A B C D E Fig 2a A B E Fig 2b A B E F α26 点F は重心ではなく、外心そのものである。少々計算は面倒になる。
xL
AF
=
BF
=
yL
とするとx
2+ y
2=
1
2 2 22
3
2
5
2
5
=
−
+
+
y
x
従って4
3
5
2
5
4
5
2
5
1
+
+
−
+
y
=
2
5
3
4
5
2
6
4
5
2
5
4
1
5
2
5
+
y
=
+
+
=
+
=
+
5
2
5
2
5
3
+
+
=
y
(
)
(
(
)(
)
)
10
5
5
10
30
5
15
5
14
35
20
25
2
5
2
5
5
3
7
5
2
5
4
5
6
14
2=
−
+
−
=
+
−
×
−
+
=
+
+
=
y
改まって、10
5
5
+
=
y
10
5
5
1
2 2=
−
=
−
y
x
ここで垂直接合角BAF をαとすると(
)
4
1
5
1
5
1
5
5
5
5
5
tan
2 2 2 2=
+
−
+
=
−
+
=
=
x
y
α
従って2
1
5
tan
α
=
+
次に点A の真上から A に接した水平面への投影図を考える。今度は 5 本足のヒトデ型である。5
2
72
3
1
=
°
=
π
∠ AG
G
AB
⊥
G
1G
3
であるので水平接合角5
2
1
=
π
∠ AG
G
M
G
G
1
3
=
2
であるからG
G
M
2
2
2
1
=
さらに5
2
5
5
tan
2
2
1
−
=
=
π
AG
G
G
であるのでM
M
M
G
G
AG
10
5
2
5
20
25
2
5
2
5
5
2
5
2
2
5
2
5
2
1
2
=
+
−
+
=
−
=
−
=
が得られる。 Fig 3 A G1 G2 G327 次に図2b の向きから見た角材の投影図を考える。 図3 の点 A の下に点 A4 や点 A5 がある。 図2b の角αと同じものが角 BA1A6 となる。
∠
BA
1
A
6
=
α
=
∠
A
1
A
6
A
3
6
3
3
1
2
1
5
tan
A
A
A
A
=
+
=
α
従って(
)
M
M
M
M
A
A
A
A
0
.
874
2
2
10
2
1
5
4
1
5
2
2
1
5
2
2
1
5
3
1
2
6
3
=
−
=
−
=
−
≒
+
=
+
=
…① またA
A
A
A
M
4
2
10
6
3
2
1
4
2
=
=
−
前と同様に 図 3 の AG2 が図 4 の A5G となって表れる。A
G
M
10
5
2
5
5
=
+
以前と同様に∆
A
1
A
2
A
4
∽
∆
GA
5
A
4
またA
A
M
5
5
M
2
5
2
6
2
6
1
=
+
−
=
−
従ってA
4
G
：
A
5
G
=
A
1
A
4
：
A
1
A
2
=
A
1
A
6
：
A
1
A
3
=
5
−
5
：
2
従ってM
M
M
M
M
M
M
G
A
G
A
4
2
10
2
2
1
5
2
2
5
2
6
2
5
3
5
2
5
5
15
20
10
5
5
5
10
25
10
2
5
2
5
5
5
5
2
5
5
4
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
−
−
+
=
+
−
=
−
=
M
M
M
G
A
A
A
G
A
1
.
581
2
10
4
2
10
4
2
10
4
4
2
2
=
≒
+
+
−
=
+
=
…② これは30 本必要となる。これも大変。 ここまで来たら、次はフラーレン、昔のサッカーボール、C60 に取り組みます。 Fig 4 A1 B A2 A3 G A4 A5 A628 Sec.6 フラーレン Marking of Fullerene
昔のサッカーボール。切頂20 面体というそうで、辺の長さが共通の正 5 角形 12 枚と正 6 角形 20 枚か らなる。60 個の頂点に正 5 角形 1 枚と正 6 角形 2 枚が集まっている。
部材は2 種類、2 つの正 6 角形に挟まれる部材 P が 30 本と正 6 角形と正 5 角形に挟まれる部材 Q が 60 本で計90 本。
3 角形 ABC と 3 角形 ABD は正 6 角形の一部、3 角形 ACD は正 5 角形の一部。辺 AB が部材 P で辺 AD と AC が部材 Q である。
L
AD
AC
AB
=
=
=
BC
=
DB
=
3
L
CD
L
2
1
5
+
=
CE
DE
L
4
1
5
+
=
=
L
L
CE
AC
AE
4
5
2
10
16
5
2
6
1
2 2−
=
−
+
=
−
=
Fig 1a A C D B E Fig 2a A B E F α B A D C29
L
L
L
CE
BC
BE
2
2
5
21
4
5
2
42
16
5
2
6
3
2 2−
=
−
+
=
−
=
−
=
正多角形ではAF は BE と直交するのが当然だったが、今回はそうではない。そもそも点 A から 3 角形 BCD に垂直に下した直線は立体全体の重心を通る保証はない。正 5 角形の重心から正 5 角形に垂直に 下した直線や正6 角形の重心から正 6 角形に垂直に下した直線なら立体全体の重心を通る。しかし、3 本の部材をつなぐときにはBE に対して垂直な直線をとるのが計算が簡単であるのでここではそうする。 図2a では部材 P(辺 AB)について考える。 点F は 3 角形 BCD の外心とする。正 20 面体と同様に計算は少々面倒である。xL
AF
=
BF
=
yL
とするとx
2+ y
2=
1
2 2 24
5
2
10
4
5
2
42
−
=
−
−
+
y
x
従って16
5
2
10
2
5
2
42
16
5
2
42
1
+
−
−
−
y
=
−
3
8
5
5
8
5
21
1
2
5
2
42
−
=
+
−
−
−
=
y
5
2
42
6
−
=
y
(
)
218
5
9
189
436
5
21
18
5
21
18
5
2
42
36
2=
+
=
+
−
=
−
=
y
218
5
9
29
1
2 2=
−
=
−
y
x
ここで垂直接合角 BAF をαとすると(
)(
) (
) (
)
(
) (
)
2 2 2 22
1
5
3
4
5
2
6
9
109
4
5
218
654
9
109
4
45
5
29
5
9
21
609
9
436
5
9
29
5
21
9
5
9
29
5
9
189
tan
+
=
+
=
×
+
=
×
+
+
×
+
=
+
+
=
−
+
=
=
x
y
α
従って(
)
2
1
5
3
tan
α
=
+
つまり、部材 P の垂直接合角αは −(
+
)
78
.
4
°
2
1
5
3
tan
1≒
次に部材Q について考える。図 1a に代わり次の図 1b と 2b を考える。 部材Q の垂直接合角は角 DAF すなわちβとなる。しかし、点 F は 3 角形 BCD の外心なので BF=DF であるから3 角形 ADF と先の 3 角形 ABF は合同なので、β=αとなる。従って部材 P と Q の垂直接 合角は等しい。次に接合深さを調べる。 図3 で本来は点 B と C と D はもっと遠くにあるのだが、近くにあるように書いた。 Fig 1b A C D B E F30
L
AD
AC
AB
5
21
2
3
−
=
=
=
BC
=
DB
=
3
L
CD
L
2
1
5
+
=
部材P の水平接合角は角 G2AG3(=θ1 とする)だがこれは角 BAD の 2 分の 1 である。 部材Q の水平接合角は 6 角形側は部材 P と同じで、5 角形側は角 CAD の 2 分の 1 即ち角 CAI1(=θ2 とする)である。 3 角形 ABD や ACD は 2 等辺 3 角形なので、その半分の 3 角形は直角 3 角形となり計算は楽である。 点A から辺 BD に下した足を J とすると、 Fig 2b A D F β Fig3 B A G1=H1 G2 G3 C D H2 I1 I2 6 角形 6 角形 5 角形 部材P 部材Q 部材Q31
(
)
(
)
109
4
5
6
17
3
109
4
5
18
51
109
4
109
3
436
5
21
18
4
3
5
21
18
2
3
5
21
18
2 2 2×
+
=
×
+
=
×
×
−
+
=
−
−
=
−
−
=
−
=
AB
BJ
AJ
従って(
)
(
)
17
6
5
109
5
6
17
109
5
6
17
109
5
6
17
3
109
4
2
3
1
tan
=
−
=
−
+
=
+
×
×
=
=
AJ
BJ
θ
従って部材P の両側と部材 Q の 6 角形側の接合深さ t1 は(
M
)
M
M
t
109
2
5
6
17
5
6
17
2
1
tan
2
1
×
+
=
−
=
=
θ
点A から辺 CD に下した足を K とすると、(
) (
)
109
8
5
73
429
109
8
109
5
3
436
5
21
18
16
5
2
6
5
21
18
4
1
5
5
2
42
36
2 2 2×
−
=
×
×
+
−
+
=
+
−
−
=
+
−
−
=
−
=
AC
CK
AK
従って5
73
429
109
2
1
5
5
73
429
109
8
4
1
5
2
tan
−
×
+
=
−
×
×
+
=
=
AK
CK
θ
従って部材Q の 5 角形側の接合深さ t2 は(
)
109
5
73
429
1
5
2
tan
2
2
×
−
+
=
=
M
M
t
θ
部材P の両側と部材 Q の 6 角形側の墨出しは次のようになる。3
6
1
6
1
A
A
A
A
BA
=
=
∠
∠
α
Fig 4a A1 B A2 A3 G A4 A5 A632
(
)
6
3
3
1
2
1
5
3
tan
A
A
A
A
=
+
=
α
従って(
A
A
) (
)
M
(
)
M
M
M
M
A
A
0
.
2913
6
2
10
2
3
1
5
4
3
1
5
2
2
1
5
3
2
2
1
5
3
3
1
2
6
3
=
−
=
−
≒
×
−
=
+
=
+
=
…① またA
A
A
A
M
12
2
10
6
3
2
1
4
2
=
=
−
前と同様に 図 3 の AG2 が図 4a の A5G となって表れる。A
G
t
M
109
2
5
6
17
1
5
×
+
=
=
以前と同様に∆
A
1
A
2
A
4
∽
∆
GA
5
A
4
またM
M
A
A
A
A
A
A
3
5
21
36
20
2
12
2
6
3
3
1
6
1
=
2+
2=
+
−
=
−
従って2
3
5
21
3
1
6
1
2
1
4
1
5
4
G
：
A
G
=
A
A
：
A
A
=
A
A
：
A
A
=
−
：
A
M
M
G
A
109
6
5
21
5
6
17
2
1
3
5
21
109
2
5
6
17
4
−
=
+
−
×
+
=
M
M
G
A
A
A
G
A
0
.
5270
109
6
5
21
5
6
17
12
2
10
4
4
2
2
≒
+
−
+
−
=
+
=
…② この①と②で部材P を 30 本作る。また 60 本の部材 Q の 6 角形側を同様に墨出しする。 次に部材Q の 5 角形側の墨出しを行う。M
M
A
A
0
.
2913
6
2
10
6
3
=
−
≒
…①A
A
A
A
M
12
2
10
6
3
2
1
4
2
=
=
−
A
A
M
3
5
21
6
1
=
−
は部材P と同一。垂直接合角は共通だからである。 Fig 4b A1 B A2 A3 I A4 A5 A633 今度は 図 3 の AI2 が図 4b の A5I となって表れる。
A
I
t
M
109
2
5
73
429
1
5
1
2
5
×
−
+
=
=
以前と同様に∆
A
1
A
2
A
4
∽
∆
IA
5
A
4
従って2
3
5
21
3
1
6
1
2
1
4
1
5
4
I
：
A
I
=
A
A
：
A
A
=
A
A
：
A
A
=
−
：
A
(
)
M
M
I
A
1
5
109
2
3
5
21
5
73
429
2
1
3
5
21
109
5
73
429
1
5
1
4
+
−
−
=
−
−
+
=
(
)
M
M
I
A
A
A
I
A
0
.
6383
1
5
109
2
3
5
21
5
73
429
12
2
10
4
4
2
2
≒
+
−
−
+
−
=
+
=
…③ 上記の①と③で部材Q の 5 角形側を加工する。 本校の建築科の生徒に作ってもらう予定である。34 Sec.7 まとめ(その 1) Conclusion1 垂直接合角α、水平接合角θ、接合深さt の関係は次の通り。
