NII-Electronic Library Service
【
諭文
1
・
UOC :624
.
073
:516
1L.
日本建 築 学 会 構 造 系 論 文報 告 集’
第379
号・
昭 和 62 年 9 月新
し
い
長
方形板 曲
げ
要
素
に
よ
る
平 板
の
,
1ハ
イ ブ
リ
ッ
ド型 有 限
要素解析
†} 正 会 員 正 会 員 正会
員 正 会 員玉
近
末
花
井
藤
岡
井
宏
禎
.
正
章
*夫
* *佑
榊 *実
** * *1
.
緒 言
有 限 要 素 法
が用
い られは じ め て以 来
,一
時 期
, 研究者
の相 当部
分
の努 力
は,
いかにし
て使
いやす く
て,
し かも
解 析
精
度
の よい変位 適 合
モデルを得
う
か に注
が れ た が,板 曲
げモ デル に関
して は, あ ま り よい適
合
モデル は得
ら れ な かっ た。 しか しな
が ら,Pian
等
2L3)に よっ て,
要素
境
界
上にお ける付 帯 条 件 (
変 位
の連 続 条 件
,
応
力の平 衡
条 件 )
を取
り込
ん だ汎
関
数 を
用
い るハイ
ブ リッ ド法
が開
発 さ
れ るに及 ん
で,も
は や,変
位
場
,
応 力 場
等
の仮定
関
数
の要
素
境 界
上で の連 続 性
に こ だ わ る必要
が な く な り,、
この条 件
を満 足
し な い仮 定 関 数 を用
い ても,十
分精 度
の良
い解
を
得
ること
が可 能 と な
った
。
ハ
イ ブ リ
ッ ド法
の最 大
の利 点
は,前 述
の よ うに,仮
定関 数
に課
せ られる付 帯 条 件
が緩 和
され, その選択 幅
が大
幅
に広 が
ること
にあ
るが
,具 体 的
モデ
ル の精 度
,
計算効
率 等
は,
従 来
の変 位 型
i
応 力 型
等
の モデル と.
同様
,
場
の置
き方
に大
き く依存
す
る。一
般
に,有 限 要
素
の要素
内
変位
場
,
応
力
場
を高 次 化
す れば
,低 次
の もの に 比べ,
少
ない要
素
数
で精 度
の よい解
が得
られ る ことは, よ く知
ら れ てい る とこ ろであ る。 し か し な が ら, そ れ は,他 方
で要素 当
た りの パ ラ メー
ター
数 を多
くする必 要
が ある ため,要 素
分割
に よっ て変
位 あ る い は応 力
パ ラ メー
ター
系
に離 散 化
され た構 造
物
全
体
の自 由度 数
は大 幅
に増 加
し,要
素
数 を
増
や す につれ て,
そ の計 算 量
は急 激
に増 大
する。
著 者 等
は,
こうし た欠 点 を補
う た め,従来
の変位
型有
限
要素
の概
念
を拡 張
し,
要 素 内 変 位 場 を規 定 す
るパ ラ メー
ター
と して,
要
素
境 界
上 ある い は要 素 内部
の節 点 変
位
パ ラ メー
ター
だ けでな く,
隣
接要 素
の それ を も用
い る とい う発 想
の も と に,全
自由度
数
を上
げ ること な く,
変
位 場 を高 次 化
す ること
がで き る離 散 化
手
法
の開 発
を行
っ n 本 報 告の一
部は t 参 考 文 献10
)に発表し て い る。
拿 広 島大学
大学 院 生
・
工修 牌 広島大学 助 教 授・
工博 tt■ 長 崎 大 学 教 授・
工 博 鰰 鱒 広 島 大 学 教 授・
工博 (昭 和 61 年 12 月 5日原 稿 受 理 ) てい る6 }−
s)。
こ の手 法
を板 曲
げモ デル に適
用 する と,
「
』
1
節
点
当
た りの自由
度
はた わみ1
個
の み で, そ の形 状 関 数
を高 次 化
す ること が可 能
であ
る6)・
S)。
本報
告
は, ハイ ブ
リッ ド型変
分原
理に基
づ き,
要 素 内
あ るいは要
素境
界
上変
位 場
とし
て,
著 者 等
の開 発
し た離
散
化手
法 を用
いた長
方
形
板曲
げ
モ デル の提 案 を行 う と と
も に,
い くつ かの数値 解 析 例
に より, そ の精 度
,収束性
等
を
検討
した
もので ある。
よ く知
ら れて
い る よう
に,
ハイ
ブ
リッ ド型
変
分 原 理
に は,
変 位 型
,応 力 型
,混 合 型
,一
般
型の4
種 が あ る4 ,・
5 ) が,
こ こ で は, ハイ
ブ リッ ド型
ポ
テン シャル エネ
ル ギー
の原 理
お よ びハイ
ブリ
ッド型
コ ンプ
リ メンタ リエネ
ルギ
ー
の原 理
を用
いる。
こ の種
の研
究 と し て は,
すで に,
著 者 等
によ る文 献
9 >
があ
るが
, そこ で取
り扱
わ れているの は,
ラグラ ンジ
ェ型
の多 項 式
を
も ちいたハイ
ブ
リッ ド型
変
位 法
モ デル の みであ
り,ま
た,
要
素
境 界
上の変 位
の不 連 続 性
およ
び境 界 条
件
の扱
い.
方 も
.
本 報 告
の そ れと
は異 な る
。.
.
次
節
では,
まず
,
ハイブ リ
ッド型 ポ
テンシャ ルエネ
ル ギー
の原
理 を用
いた12
節 点
モデル お よ び.
16 節
点
モ デル の2
つ の要
素
モ デル の誘 導 を行 う
。 これ 等
の要 素
モデ
ル は,
要
素
内
変
位 場
とし
て,
そ れ ぞ れ,
3
次
の セ レンデ
ィ ピィティ多 項 式 お よ び ラ グラ ンジェ多項 式
を用
い たも
の で あ り,完 全
性
の条件
と呼
ば れ る剛 体 運 動 を含 め
た一
定
ひず
み状
態 を
表
し う ること;.
ぽ た,
そ の時
,
要
素
境 界 上
で の変 位
の連 続 性
も 回復
す るこ と が示
さ れ る。・
続
いて,3 節
で は, ハイ ブ
リッ ド型
コンプ リ
メ ンタ リ
エネ
ルギ
ー
の原 理 を用
いた2
つの要
素
モ デルの誘導
を行
い,
これ等
の要 素
モデ
ルも完 全 性
の条 件
を満
足 する
こ と, ま た,
最 終 的
な未 知
量は, ハイ
1ブ リッ ド型
変位
法
モ デル と同
様
,1
節
点 1
個
の た わみ の み と なる こと
が示
さ.
れ る。
精 度
,
収 束性等
の検
討
の た めに行
っ た数 値 解析 結 果
は,
4
節
に示
され る。
2.
ハ イブ
リッ ド型変 位 法
モデ
ルま ず
, ハイ ブ
リッ ド型 ポ
テンシャルエネ
ルギー
の原
理 に基
づ く要 素
モデル の誘 導 を行 う
。
2
.
1
基 礎
変
分原
理一
58
一
N工 工一
Eleotronio Library今
,要素 内部
の変
位 場
と して,
要 素 境 界 上
で たわ
み は連
続
す る が,
ス ロー
ブ
の連 続 性
は,
必 ず
しも保
障
さ れ な い関 数
を用
い る こ とに すれ ば, ハイ
ブ リッ ド型
ポ テン シャ ルエネ
ルギ
ー
の原 理
の汎 関 数
丑』
は,次式
の よ う に表
さ れ る(
Fig.
1
参 照 )
4L5}。
n
・一
Σ
[
1
五
1
肋
}
−
P
・
・}
・珈
一
厶
1
ル(
∂w
所
±μ)
]
ds
一
厶
{
砿 ・
ω一
M
,・
書
1
°t
−
M
.・
書
}
d
・]
・
…・
………・
…一 ・
…
(
1
)
El}…
b
…
:身
・
[
∂2w∂tw
(
∂x2
・ ∂yr
)
…(
1−
・・
・
{
(
識
y
一
穿
・
審
}
]
…………
(
・)
こ こ に,・
・要 素
・繖
・(
E 。
・
hS12
〔
1
一
ン2)
)
・板
・曲
げ
剛 性
E
:ヤ
ング係 数
, ン :ボ
ア ソン比
, 九:板
厚
x
,
y
,
z
:板 中 央 面
に立
て ら れ た座 標 系
ω :
板
の たわみ,P
:z方
向
分
布荷重
Sn
:m番 目
の要 素 領 域
, ∂Sm
:S
. の全 周
C
。n :Sm
要
素
の力 学 的 境 界
n
,
s
:要 素 境 界
上に立
て られ た局 所 座
標系
Qm
Mn ,
Mn
。 :力 学 的 境 界
にお け
る合
せ ん断
力
,直
モー
メン トお
よ
び ね じ りモー
メ ン ト で あ り, ま た,4
μ は,
要 素 境 界 上
で, そ れ ぞ れ,各
要
素
独 立
に, あ るいは,
隣 接 要 素
につ いて共
通に定義
さ れ る ラグ
ランジェ の未 定 乗 数
であ
る。
λ,μ の
物
理的 意 味
を考 慮
する と,(1 )式
は次 式
の よ う に変
形
で き る。 x x … み.
yX「
! N v’
Qa
Fig
.
1
Nomenclature
for
aplate
y s ヒ。
丶
丶 n注
1
)
μ,
φは隣 接 要 素につ い て共 通に定 義さ れ る法線 方向
ス ロー
プである。
した がっ て (1
)式,
(
3
)式,
お よ び次節の (21
) 式の第2
項の複 号は,
隣 接 要素
につ い て逆 と な る。
u
・一Σ
[
κ
臨
)
う
・
wldady
・
厶
{
臨
・
(
∂ω石 τ
±φ
)
lds
.
鳳
{
Q
・・
w71ii
’・
・
φ
一
M
・・
噐
}
ds
]
・
…一 …………・
・
……・
…
(
3
)
th1) こ こ に,φ
は要
素
境 界 上
で隣 接
要素
につ い て共 通
に定義
され る法 線 方 向
ス ロー
プ
で あ り, ま た,Mn
は 次 式で与 え られ る直
モー
メン トであ る。M
・=
=一
・・
(
∂w
∂w
蕊
+v°
蕊
)
一 …・
…・
・
………
(
・》
(
3
)
式
の独
立
関
数
はw
お よび φ
であ り,.
ま た,
付 帯
条 件
は,要
素
境
界に お け るw
の 連続 条 件
と次 式
で与
え ら れ る幾何学 的境
界
条件
であ る。 ω三 面∂窃
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(
5・
a,
b
)
φ
=吾 「
こ こ ・画霧
・,
齟
それ・れ,
絅
学 的 境 界
上で与
えら
れ る た わ み およ
び法 線 方 向
ス ロー
プ
であ
る。
2.2
12
節 点 要 素
モデ
ル本 報 告
で提
案
する モ デルでは,変位
パ ラメー
ター
と し て,
文 献
6
)
,8 )
と 同 様
,各
節
点
1
個
の た わ み の み を考
える。
ただ し,
要 素 内
の ω , 要素 境
界 上の φ を規
定 す るパ ラ メー
ター
とし て,要 素 境 界 上
の もの のみでな く, その周 辺
のパ ラメー
タ
ー
を も用
い る。
ま ず
,
要素 内変位
場
と し て,
3
次
の セ レン ディピィティ多 項 式
を も ちい た12
節 点 要 素
モデ
ル の誘 導 を
行
う。 この要 素
モ デル で は,Fig.
2
(
a)
に示
すよ う
に,1
要
素
当
た り の変位
パ ラ メー
ター
とし て,
要 素 周
辺の もの も含
め12
個
の もの を考
え る。○ 要 素 内 変 位 場
こ の
12
個
の変 位
パ ラメー
ター
を も ちい て要 素 内 変 位
場
を,次 式
の よ うに表
す。ω
=
・
x丿k・
Yik
’
(
XJt
・
XJ
‘+Y
丿t・
Yn
−
1
)
・
wli+
Xbl
・
写∫バ(
Xht
・
Xnt
+Y
丿t・
YSI
−
1
)
・
ω』
lo 9 11 4 3 8 工2;
ii
騰
ii
縦1「
:
無ii
; 2 7 5 6一
y.
Yl Yk『
Vj一
y日
yil
l
l
x
囚
XiKj
Xk
・・
XrFig
。
2
(
a】
Aplate
bending
皿odel with12
nodaldisplacement
pararneters
NII-Electronic Library Service
こ こに,
+Xw
・
yne
・
(
XPt
・
Xnt
+ynt・
Y
、1−
1
)
・
ω13
、
+x
、ガyke
・
(
コじ,、・
x,、+Ykt・
y
、,−
1
)
・
刎
、 +x
丿ぺyti
・
Ytk’
Yu
・
ω1
、十
Xb
、・
y
‘ゴY
、。・
y
、t・
ω1
、
+Xlt
・
x
、s・
Xlk
・
yJt・
w17
+Xu
・
XIJ
・
x
‘ぺYv
・
ω1
, +Xv
’
Yu
’
Yv
・
Ψパ ω1
,+x
丿h’
YU
’
Y
ガy
、ぺ ωII
。 +X
“・
エ パ エ“・
yab
・
wl
、,+ヱ‘丿・
X
‘k’
X
‘‘・
y
丿ゼ ω1
、2・
.
一
・
・
『
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(6 )
Xw
=(
x
−
x
,)
/
(
Xt
−
x丿)
・
……・
…………・
(
7.
a,
b
)
Yw
三(
y
−
y
丿)
/〔
yt− YJ
)
ま た
,
Xt
,
X
」,隔 エ、お
よ
びy
‘,
y
,,
翫,
yl
は,
各
節 点
のx
,
「
y
座
標 値
で あ り,(
)
1
‘は,
節
点 i
におけ
る値
の意
であ
る。.
.
(
6
)式
が,
次式
の よ うな
3
次
のセ レンデ
ィ ピィティ.
多 項 式
を用
い た もの で あ るこ とは自
明で あ ろ うe1
,
x,
y
,
x2
,
コじy
,
yt
.
エ3.
xty
,コcy
: ,y
’ ,x
’y
,τyl
…・
・
……・
・
……・
・
………
(
8
)
また, こ の要 素 内 変 位
場 が(
3
)
式
の付 帯 条 件
で ある要
素 境 界 場
上 で のw
の連続 条 件
を満 足
す ること
は,x
=
一
定
,
あ るい はy
=一
定 と
な る要 素 境 界 上
で
w
は3
次
曲線 状
に変
化
し,
この変位
を規 定
する隣
接 要 素
と共 有
す る変 位
パラ
メー
ター
は4
個 で
あ ることを
考
え れば容 易
に わ か る。
○
要 素 境 界
上変位
場
次
に,
要 素 境 界
上で隣 接 要素
と共
通
に定義
され
るφ
を
定
める。
わ れ わ れ は,
まず
,
要素境 界
上
お よび
その近
傍
で隣
接 要
素
につ い て共 通
に定 義
さ れ る毎
とは果
客
る,
た わみab
を定
め,
,
くφ
一
器
・
・
…………一 ・
…一 一 ・
……・
……・
(
・)
に よ りφ を 求
め る。ab
は,
その辺を 共
有
す る隣 接 要 素
につ い て共 通
に定義
され る もの であ
「
る か ら,.
そめ 隣接
要
素 と 共 有 す る 変 位
パラ
メー
ター
を用
い て,定
める必 要
があ
る。さ
て,
今
,
代表 的境界
辺
4
−
1
を考
え る と, こ の境 界 辺
Io曹
_−
9 19贐
丁駈
臨
■
卩
■
1 L1 4°
3…
…
…
爨
iii
2’
i
嚢iii z … }■
,
■
o 毛一
一
_ 一
.
一
、
雪
6 ソ■
y工 s・
一
一
一
=
一一
r?−
yk 旨.
i
l7
−一…一
一
う Vl一
Ψ■
yil
l
l
I
x凾
x正K
x屆
XlFig
.
2
(b
)8nodal
points
.
正dr
・
detemlning
the
displacement
function
ofboundary
4
−
1
一
60
一
を有 す
る隣 接 要
素
と共 有
する変位
パ ラ メー
ター
は副
、,
ω1
,,
wl3
,wl
“副
‘
,ωli
。.wl
”,ω1
、z の計
8
個
で.
あ
る(
Fig.
2 (
b
)参
照
〉
。』
こ の8
個
の変位
パ ラメー
ター
を用
い て,境 界 辺
4
−
1
の た わ み を次 式
の よ う に表
す。
・
.」
de
=
YJk
・
(
XV
XJk
’
YW
・
Yll
−
Ylt
・
Y
、J)
・
wli
+
x
”・
コCw
・
YJk
・
wi
:+Xss
・
Xw
・
Ybl・
wls+
ynv
・
(
x
,t・
コCJ
、−
Ytk
’
Ys
厂y
,,・
y
,Pwl
、+
Y
、J・
y
、t・
y
、、・
ω1
、+yt
、・
Y
、J’
Y
、it・
wl
、。+
x
”・
XSk
’
Yw
・
wl
”+ Xw・
Xt
、・
St
」,・
w11
,………一 ・
・
…一 ……・
…・
(
10
)
(
10 )式
を
(
9
)式
に代 入 す れ
ば,境 界 辺
4
−1
上 のφ
が
求
ま る
。な
お,
(
10
)
式
は,次式
の よ うな多項 式
を用
い たも
の で あ り, .
,
t’
1
,
x,
y
,
x
’,
xyl
,
yt
,
xy2
,
ガ
………・
…
(
11
)
そ の陽
な形
の導 出 方 法
は,
(
6
)式
の それ と とも
にAppendix
A 、
に示
しで いる。他
の境 界 辺
1
−
2
,
2
−
3
,
3
−
4
に つ いても同 様
に行
え ば,
すべ て の境 界 上 め
φ が求
め ら れ る注2〕 ビ’
2
.
3 16 節点要素
モ デ ル次
に,
要
素 内変位
場
と し て,
・
3
次
の ラ グラ ンジェ多項
式 を 用
いた16
節 点 要 素
モ デル の誘 導
を
行
う。
こ の要 素
モデ
ル で は,
1
要 素
当
り の変位
パ ラ メー
タ
ー
と
して,
12
節 点 要 素
モ デル の そ れに,
さ ら に 四隅
の4
個 を 加
え た16
個
のも
のを考
え る(
Fig
.
3
(
a)参
照
)
。
○ 要 素 内 変 位 場
この
16
個
の変 位
パ ラ メー
ター
に よ り,
要 素 内 変 位 場
を
双3
次
の ラ グ ランジ
ェ多項
式
を用
いて,次 式
のよ う
に表
す。w
;
x
,躍・
x
ガ 」じ,‘・
y
丿陀・
写,‘・
y
パwli
+エ舷
・
Xnt
・
Xke
・
y
丿魔・
y
ガy
,醒・
ω12
+
Xv
・
Xk
‘・
鞠・
伽・
伽・
伽・
ω13
15 10 9 夏5 n 4 3・
〆
↓2iii
鑢
i
:
i
函iii
寒iii
: 8 ア L4 1コ 5 6一
y=
Yl一
Yk一
yjv yi
ド
・・
1
!
n=
Xt Xj Xk x匸
XlFig
.
3
(a)Aplate
bending
model with16
nodaldisplacement
parameters
注
2
) 境 界 辺2
−
3
につ いて は (11
>式の多 項式を,
一 方,
境界辺