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新しい長方形板曲げ要素による平板のハイブリッド型有限要素解析

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(1)

NII-Electronic Library Service

 

1

   

UOC :

624

073

516

1L 

日本建 築 学 会 構 造 系 論 文報 告 集

379

昭 和 62 年 9 月

方形板 曲

平 板

1

イ ブ

ド型 有 限

要素解析

†} 正 会 員 正 会 員 正

員 正 会 員

* *

榊 *

** * *

 

1

緒   言

 

有 限 要 素 法

い られは じ め て

以 来

時 期

, 研

究者

相 当部

努 力

いかに

使

やす く

し か

解 析

の よい

変位 適 合

モデル

を得

か に

が れ た が,

板 曲

げモ デル に

して は あ ま り よい

モデル は

ら れ な かっ た。 しか し

が ら,

Pian

2L3) よっ て

要素

上にお ける

付 帯 条 件 (

変 位

連 続 条 件

力の

平 衡

条 件 )

ん だ

数 を

い るハ

ブ リッ ド

発 さ

れ るに

及 ん

で,

は や,

応 力 場

仮定

境 界

上で の

連 続 性

に こ だ わ る必

が な く な り,

この

条 件

満 足

し な い

仮 定 関 数 を用

い ても,

精 度

るこ

可 能 と な

 

イ ブ リ

最 大

利 点

前 述

の よ うに

関 数

せ られる

付 帯 条 件

緩 和

され その選

択 幅

広 が

るこ

具 体 的

ル の

精 度

計算効

率 等

従 来

変 位 型

i

応 力 型

の モデル と

同様

き く

依存

 

有 限 要

要素

変位

高 次 化

す れ

低 次

の もの に 比べ

ない

精 度

の よい

られ る ことは よ く

ら れ てい る とこ ろであ る。 し か し な が ら, そ れ は,

他 方

要素 当

た りの パ ラ メ

数 を多

くする

必 要

が ある ため,

要 素

に よっ て

位 あ る い は

応 力

パ ラ メ

離 散 化

され た

構 造

自 由度 数

大 幅

増 加

し,

数 を

や す につれ て

そ の

計 算 量

急 激

増 大

する

 

著 者 等

こうし た

欠 点 を補

う た め,

従来

変位

要素

拡 張

要 素 内 変 位 場 を規 定 す

るパ ラ メ

と して

境 界

上 ある い は

要 素 内部

節 点 変

パ ラ メ

だ けでな く

要 素

の それ を も

い る とい う

発 想

の も と に,

自由度

げ ること な く

位 場 を高 次 化

す るこ

がで き る

離 散 化

開 発

っ n 本 報 告

t 参 考 文 献

10

)に発表し て い る

 

拿 広 島大学

 

大学 院 生

工修  牌 学   助 教 授

tt■ 長 崎 大 学  教 授

工 博 鰰 鱒 広 島 大 学  教 授

工博     (昭 和 61 年 12 月 5日原 稿 受 理 ) てい る6 }

s)

こ の

手 法

板 曲

げモ デル に

用 する と

1

た りの

自由

はた わみ

1

の み で そ の

形 状 関 数

を高 次 化

す るこ

と が可 能

る6)

S)

  本報

は, ハ

イ ブ

リッ ド型

理に

づ き

要 素 内

あ るいは

素境

位 場

著 者 等

開 発

し た

化手

法 を用

いた

板曲

モ デル の

提 案 を行 う と と

も に

い くつ かの数

値 解 析 例

に より そ の

精 度

収束性

検討

もので ある

よ く

ら れ

い る よ

リッ ド

分 原 理

に は

変 位 型

応 力 型

混 合 型

4

種 が あ る4 ,

5 ) が

こ こ で は

ブ リ

テン シャル エ

ル ギ

原 理

お よ びハ

ド型

コ ン

リ メンタ リエ

原 理

いる

こ の

究 と し て は

すで に

著 者 等

によ る

文 献

9 >

そこ で

わ れているの は

ラグラ ン

多 項 式

も ちいたハ

リッ ド

位 法

モ デル の みで

り,

境 界

上の

変 位

不 連 続 性

境 界 条

方 も

本 報 告

の そ れ

異 な る

       

  次

では

イブ リ

ド型 ポ

ャ ル

ル ギ

理 を

いた

12

節 点

モデル お よ び

16 節

モ デル の

2

つ の

モ デル の

誘 導 を行 う

。 こ

れ 等

要 素

ル は

位 場

そ れ ぞ れ

3

の セ レン

ィ ピィティ多 項 式 お よ び ラ グラ ンジェ

多項 式

い た

の で あ り,

完 全

条件

ば れ る

剛 体 運 動 を含 め

態 を

し う ること;

ぽ た

そ の

境 界 上

で の

変 位

連 続 性

も 回

す るこ と が

さ れ る。

  続

いて,

3 節

で は, ハ

イ ブ

リッ ド

コン

プ リ

メ ン

タ リ

原 理 を用

いた

2

つの

モ デルの

誘導

これ

要 素

も完 全 性

条 件

足 す

こ と, ま た

最 終 的

未 知

量は

1ブ リッ ド

変位

モ デル と

,1

点 1

の た わみ の み と なる こ

れ る

  精 度

収 束性等

の た めに

っ た

数 値 解析 結 果

4

され る

 

2.

ハ イ

リッ ド型

変 位 法

 

ま ず

, ハ

イ ブ

リッ ド

型 ポ

テンシャルエ

ルギ

理 に

づ く

要 素

モデル の

誘 導 を行 う

 

2

1

 

基 礎

58

N工 工

Eleotronio  Library  

(2)

  今

要素 内部

位 場

と して

要 素 境 界 上

で た

み は

す る が

ス ロ

連 続 性

必 ず

も保

さ れ な い

関 数

い る こ とに すれ ば

ブ リッ ド

ポ テン シャ ルエ

原 理

汎 関 数

は,

次式

の よ う に

さ れ る

Fig.

1

参 照 )

4L5}

  

 

n

Σ

1

1

P

  

 

  

1

w

±μ

ds

  

 

  

砿 ・

ω

M

1

°

t

M

d

             

…・

………・

…一 ・

1

El}

 

 

 

b

∂2w

 

∂tw

x2

・ ∂

yr

1−

 

 

 

 

 

 

y

穿

…………

こ こ に

 

 

 

 

 

要 素

  

E 。

hS12

1

ン2

       

剛 性

       

E

ング

係 数

, ン :

ア ソン

, 九:

   

x

y

z

板 中 央 面

て ら れ た

座 標 系

       

ω :

の たわみ

P

:z

布荷重

       

Sn

:m

番 目

要 素 領 域

, ∂

Sm

S

. の

全 周

     

C

。n :

Sm

力 学 的 境 界

     

n

s

要 素 境 界

上に

て られ た

局 所 座

標系

Qm

 

Mn ,

 

Mn

。 :

力 学 的 境 界

お け

せ ん

       

メン トお

び ね じ りモ

メ ン ト で あ り, ま た,

4

μ は

要 素 境 界 上

で, そ れ ぞ れ,

独 立

に, あ るいは

隣 接 要 素

につ いて

通に

定義

さ れ る ラ

ランジェ の

未 定 乗 数

 

λ,μ の

的 意 味

考 慮

する と,

(1 )式

次 式

の よ う に

で き る。 x x       …       み

yX 

       ! N  v

       

  

Qa

Fig

1

 

Nomenclature

 

for

 a 

plate

y s ヒ 

丶 n

 

1

μ

φは隣 接 要 素につ い て共 通に定 義さ れ る法

線 方向

ス ロ

プである

した がっ て (

1

)式

3

)式

お よ び次節の (

21

) 式の第

2

項の複 号は

隣 接 要

につ い て逆 と な る

  

 

u

・一

Σ

κ

wldady

  

 

  

∂ω

石 τ

±

φ

lds

  

 

 

Q

w71ii

φ

M

ds

              

…一 …………・

……・

3

th1) こ こ に

φ

境 界 上

隣 接

要素

につ い て

共 通

定義

され る

法 線 方 向

ス ロ

で あ り, ま た,

Mn

は 次 式で与 え られ る

メン トであ る。

  

 

M

w

    ∂

w

+v

°

一 …・

…・

………

  (

3

w

お よ

び φ

であ り

,.

ま た

付 帯

条 件

界に お け る

w

の 連

続 条 件

次 式

え ら れ る

幾何学 的境

条件

であ る。      ω三

     

∂窃

  

 

5・

a

b

   

φ

吾 「

こ こ ・画

それ・れ

学 的 境 界

上で

れ る た わ み お

法 線 方 向

ス ロ

 

2.2

 

12

節 点 要 素

 

本 報 告

する モ デルでは

変位

パ ラメ

と し て

文 献

6

8 )

と 同 様

1

の た わ み の み を

える

ただ し

要 素 内

の ω , 要

素 境

界 上の φ を

定 す るパ ラ メ

とし て

要 素 境 界 上

の もの のみでな く, その

周 辺

のパ ラメ

を も用

い る

ま ず

要素 内変位

と し て

3

の セ レン ディピィティ

多 項 式

を も ちい た

12

節 点 要 素

ル の

誘 導 を

う。 この

要 素

モ デル で は,

Fig.

2

a

よ う

,1

た り の

変位

パ ラ メ

とし て

要 素 周

辺の もの も

12

の もの を

え る。

  ○   要 素 内 変 位 場

 

こ の

12

変 位

パ ラメ

を も ちい て

要 素 内 変 位

次 式

の よ うに

す。

   

ω

x丿k

Yik

XJt

XJ

‘+

Y

丿t

Yn

1

wli

    

Xbl

∫バ

Xht

Xnt

Y

丿t

YSI

1

ω

lo 9 11 4 3           8 工2

ii

ii

      縦1

ii

; 2 7 5 6

 y  

 Yl Yk

Vj

y 

 yi

    

l

     

l

 

l

     

x

Xi

   

Kj

   

Xk

   

・・

Xr

Fig

2

a

 Aplate

 

bending

皿odel with 

12

 nodal 

displacement

       

pararneters

(3)

NII-Electronic Library Service

こ こに

Xw

yne

XPt

Xnt

ynt・

Y

、1

1

ω

13

x

、ガ

yke

コじ,、

x,、+

Ykt・

y

、,

1

、 +

x

丿ぺ

yti

Ytk’

Yu

ω

1

Xb

y

‘ゴ

Y

、。

y

、t

ω

1

Xlt

x

、s

Xlk

yJt・

w17

Xu

XIJ

x

‘ぺ

Yv

ω

1

, +

Xv

Yu

Yv

Ψパ ω

1

,+

x

丿h

YU

Y

y

、ぺ ω

II

。 +

X

エ パ エ“

yab

wl

、,+ヱ‘丿

X

‘k

X

‘‘

y

丿ゼ ω

1

、2

       

 

(6 )

   

Xw

x

x

Xt

x丿

                 

……・

…………・

7.

a

b

    Yw

y

y

丿

/〔

yt− YJ

 

ま た

Xt

 

X

」,隔 エ、

y

 

y

 

yl

節 点

x

y

標 値

で あ り,

 

1

‘は

点 i

にお

る。

 

6

)式

次式

の よ う

3

のセ レン

ィ ピィティ

多 項 式

い た もの で あ るこ とは

明で あ ろ うe

    1

x

 

y

x2

コじ

y

 

yt

エ3

 

xty

,コ

cy

: , 

y

’ , 

x

y

,τ

yl

       

…・

……・

……・

………

8

また こ の

要 素 内 変 位

場 が

3

付 帯 条 件

で ある

素 境 界 場

上 で の

w

連続 条 件

を満 足

す るこ

x

あ る

y

=一

定 と

な る

要 素 境 界 上

w

3

曲線 状

この

変位

規 定

する

接 要 素

共 有

す る

変 位

4

個 で

あ ること

え れ

ば容 易

に わ か る

 

 

要 素 境 界

変位

 

要 素 境 界

上で

隣 接 要素

定義

φ

める

わ れ わ れ は

要素境 界

お よ

その

接 要

につ い て

共 通

定 義

さ れ る

とは

た わみ

ab

を定

     

 

       

        く

 

 

 

φ

…………一 ・

…一 一 ・

……・

……・

に よ り

φ を 求

め る。

ab

その辺

を 共

す る

隣 接 要 素

につ い て

共 通

定義

され る もの で

る か ら,

め 隣接

素 と 共 有 す る 変 位

い て,

める

必 要

る。

 

代表 的境界

4

1

を考

え る と こ の

境 界 辺

Io

_−

9 19

     丁

 

 

 

 

 

1 L1 4         

°

3

iii

2

i

嚢iii    z … }

o 毛

_ 一

6 ソ

y       s

一一

r? 

yk       旨

    

i

    

l7

−一…一

う    Vl      

Ψ 

 yi

    

l

 

l

 

l

 

I

      x

x             

K

     x

Xl

Fig

2

b

8nodal

 

points

dr

detemlning

 

the

 

displacement

       

function

 of  

boundary

 

4

1

60

を有 す

隣 接 要

共 有

する

変位

パ ラ メ

ω

1

wl3

, 

wl

,ω

li

。. 

wl

”,ω

1

、z の

8

Fig.

2 (

b

)参

。』

こ の

8

変位

パ ラメ

を用

い て

境 界 辺

4

1

の た わ み を

次 式

の よ う に

 

       

.」

   

de

YJk

XV

 

XJk

YW

Yll

Ylt

Y

、J

wli

    

x

Cw

YJk

wi

:+

Xss

Xw

Ybl・

wls

    

ynv

x

,t

CJ

Ytk

Ys

y

,,

y

Pwl

    

Y

、J

y

、t

y

、、

ω

1

、+

yt

Y

、J

Y

、it

wl

、。

    

x

XSk

 

Yw

wl

”+ Xw

Xt

St

」,

w11

            

………一 ・

…一 ……・

…・

10

 (

10 )式

9

)式

代 入 す れ

境 界 辺

4

−1

上 の

φ

ま る

10

は,

次式

の よ うな

多項 式

い た

の で あ り

, .

t

    1

x

 

y

 

x

 

xyl

yt

 

xy2

………・

11

そ の

導 出 方 法

6

)式

の それ と と

Appendix

 

A 、

しで いる。

 

境 界 辺

1

2

2

3

3

4

に つ いて

も同 様

え ば

すべ て の

境 界 上 め

φ が

め ら れ る注2〕 ビ

 2

3  16 節点要素

モ デ ル

 

素 内変位

と し て

3

の ラ グラ ンジェ

多項

式 を 用

いた

16

節 点 要 素

モ デル の

誘 導

こ の

要 素

ル で は

1

要 素

り の

変位

パ ラ メ

して

12

節 点 要 素

モ デル の そ れに

さ ら に 四

4

個 を 加

え た

16

を考

え る

Fig

3

a

)参

  ○  要 素 内 変 位 場

 

この

16

変 位

パ ラ メ

に よ り

要 素 内 変 位 場

3

の ラ グ ラン

多項

いて,

次 式

よ う

す。

w

x

,躍

x

ガ 」じ,‘

y

丿陀

写,‘

y

wli

 

+エ舷

Xnt

Xke

y

丿魔

y

y

,醒

ω

12

 

Xv

Xk

ω

13

15          10 9      夏5 n 4 3 

↓2

iii

i

      

i

iii

iii

:  8  ア L4 1コ 5 6

y

 Yl

Yk

yj

       

v  yi

  

 

 

    

1

  

      n

Xt     Xj       Xk      x

Xl

Fig

3

(a)

 

Aplate

 

bending

 model  with 

16

 nodal  

displacement

       

parameters

 

2

) 境 界 辺

2

3

につ て は (

11

>式の多 項式を

界辺

1

2

3

4

につ い ては

1

x

 

V

 xy

 xs

g

の多 項 式を 用い る

(4)

   

XJk

X

」1

XJ

Yk

Yk

yke

wl4

    

十 X」k

XJt

XJt

yu

ytt

 

ytl

wls

    

+ Xnt

Xk ‘

Xke

ytl

y

‘ゼ

9

r

 

wl6

   

XSt

XIJ

Xtk

yn ’

y

」t

yJi

w1T

    

十コ

Cit

Xl

Xlk

yM ・

yPt

yv

ull

     

十 Xkl

Xk ‘

Xke

yt

yii

Ylk

ω

1

    

+ x丿k

 XJI

 

X

y

,,

yu・

y

,.

ω

1

、。

    

XiS

x‘k

Xtl

Yht

Yht

ybl

wltt

     

x

XSk

x

、t 

 

YJk

 

YJt

yJt

wht

     

x

XtiC

x

‘t

yu

ytk

ytt

w1

s

     

Xtt

XtJ

Xtk

Y

‘,

y

‘ゼ

9

r

ω

1

     

Xl

Xl

丿

Xtk

 

Ylt

YIJ

Yi

w

s

    

Xtl

Xtk

x

Yi

Yo

3

ノ醪魔

wlle

 一

 

12

 (

11

)式

要 素内変位

が,

6

)式

素境

での

w

連 続 条 件 を 満 足

す るこ

容 易

にわ か る

 

 

素境

界 上

変位

 

素 境

界 上

変位

は,

界 辺

4−1

につ い て は

x

向 2 次

 

y

向 3 次

の ラ

ラ ンジェ

多項 式

い るこ とにす る とt「3)

   

X

」t

 

XJt

Yjk

YJt

ンガ ω

1

    

+コ:Pt

y

、ぺ

y

y

, 、

ω

1

    

Xkt

Xhi

ynt・

yu ・

Yv ・

ω

ls

     

+皿、、

x、

r

 

ynt

y

y

wl 、

    

x

丿h

 x丿t

y

‘」

Yth

Y

‘1

wl5

    

Xkt

Xbl

y

y

‘k

ylr

 

wl5

    

十 Xhi

Xbl

y

y

y

:k

 w19

    

+ X」k

x

∫‘

y

yu

ylk

w

,。

     

十ヱガ 銑 ぺ

y

yne’

wln

    

十コ

c

Xlk

 

YJS

 

YJI

 

Y

wln

    

十 Xu

XSk

Y

Ytk

YtT

ω

11s

    

+ XtS

x‘ゼ翫

忽‘〆写‘バω

1

麁ガ

一 ・

…・

……・

13

せ る

Fig、3

b

)参

13

}式

境 界 辺

4

−1

を       tS

…一

……

〉 

y

y1

    …

     …

     

_−”””−

18

へ          

Yk

     ゴ

    …

   

i7

…一

や 

y

      …

    …

     

114

− ……・

 

v

yl

    

I

 

l

     

l

      x

t 正    Xl     Xk     H

Xl

Fig

3

b

 

12

 nodal  

points

 

for

 

dete

【mi皿

ing

 

the

 

disp1ace

皿ent        

function

 of 

bQundary

 

4

1

 

3

)境 界 辺

2

3

につ いて は

境 界 辺

4

1

と同様な多項 式を

境 界 辺

1

2

3

4

つ いて は

x 方

3

次, 

y

方 向

2

次の ラ グ ランジェ 多項 式を用いる

共 有

す る

隣 接要 素

につ い て

共 通

変 位

パ ラメ

に よっ て

規 定

さ れて お り

th

隣接 要 素

につ い て

共 通

め ら

の で

ること は

自 明

で あ ろ

13

(9

) 式

代 入 す

る ことに

素境

界 上

φ

され る

 

ところ で,

有 限 要 素

ルで は

剛体 運 動 を

め た

状 態 を表

る こと が

そ の モ デルが

収 束

す る た めの必

要条件

であり こ れ は

完 全 性

条 件

ば れる

 

本 節

提 案

して い るハ

イ ブ リ

変位 法

モ デル の

12 節

要 素

モデル

16

要 素

モ デル

要 素 内

変 位 場

要 素 境 界 上 変 位 場

剛 体 運 動

め た

状 態 を 表

   1

x

, 

y

xl

, xy , 

y

 

《14 )

を含 ん

り, こ の

条 件 を満 足 す

るこ

ら かで あ る

Appendix

 

B

また

こ の

剛 体 運 動

め た

場 合

内変 位 場

要 素 境 界

位場

と は

2

の た わ み

形 状 を表 す

と を 考 慮 す

れ ば

  

 芻

φ

…・

………・

………・

5)

成 立

す ること

す な わ ち,

要素境

上の スロ

続条件

され る こと も

容易

にわ か る。

 2

4

 

境 界 条

につ いて

 

本 報 告

提 案

して い るハ イ

リッ ド型

法モ デルに

付帯 条件

と し て

せ ら れ る

境界条件

何 学

的境

界 上

5.

a

 

b

)式

で あ る。

 

Fig.

2

a

お よ

Fig.3

a

4−1

辺 が

幾 何 学 的 境 界

で あ る と す る と

12

節 点

モ デ ル,

16

モ デル と

こ の

境 界

上で

w は

3

次 曲 線

そ の

境 界

お よ び その

延 長 線 上

4

変 位

パ ラ メ

wl

ω

」,

ω

ls

 

wl

,。に よ り

決 定 さ

れ る。 し た がっ て

勿 が

3

次 以 下

多 項 式

さ れ る

の であ れ ぱ

通 常

変位法

モデル と

境 界

お よ びそ の

延 長 線

上の

変 位

パ ラメ

るこ

5

a

)式

厳密

す ること が で き る

 

9

>式

10

>式

13

式 より, こ の 境 界

φ

次 式

え ら れ ること が わ か る。

 

O

 

l2

節 点 要 素

   

φ

yllt

φ

11

Yv ’

φ

1

 

 

16

 

O

 

l6

節 点 要 素

    

φ

YtJ

Yik

Y

‘i

il

5十

y

」t

Y

」k

y

,,

el

    

+ 伽

Yw

Y

,、1

φ

1

、+

y

y

、、

y

、,

φ

1

、。

……・

17

こ こ に,

 

 

 

φ

1

一一

診丿塵  苫∬

1

 

  

 

 

、,

ln

一 61 一

(5)

NII-Electronic Library Service

 

 

 

φ

1

一一

2

苫,t 

Xj

k

1

 

 

 

 

 

L

ω

1

 

 

 

φ

ls

wle

   

  

1

・・

 

 

 

φ

1

・广

t

, +

1

・・

   

  

 

               

………・

…一

18.

a

−d

     Xt

Xl

X

」.

 YIJ

==

yi

睾ノ丿

  (

19.

 

a

b

また

zvliL 

wln

,ω

1

、、, ω

1

、6は

解析

ミニの

変位

パ ラメ

であ る

16 )

17

)式

お よ

18,

a

d

)式

φ は

こ の

境 界 上

で,

12 節

要 素

モ デル で は

16

節 点 要 素

モ デ ル で は

3

次 曲 線 状

化 す ること

ま た

境 界

ある いは その

延 長

各 節

に お け るス ロ

そ の

境 界 と垂 直 方

隣接

す る

3 個

変位

パ ラ メ

の み に よ り

決 定

さ れ ること が わ か る

し た がっ て

え ば

 

 

 

φ

£

1

   

  

ω

1

・2

』……E……・

…・

2

を用

い て

変 位

パ ラ メ

消 去

す ることに よ ・,

12

節顱

モ デ・レ・

s

6

節 点 螺

ル で は

3

次 以 下

多項

さ れ る もの であれば

5

b

1

式 も

ま た,

厳 密

足 さ れ ること ができ る。

 

な お,

本報告

提案

し てい る モ デル では

幾 何 学 的 境

界 上

の たわみお よ

ス ロ

す るパ ラ メ

タ と し て

当 該 境 界

上 以

の もの も

も ちいる た め

幾 何

的境

条件

す る

操作

は,

当該境 界以外

す る

条件

と な ら ない よ う

その

境界

す る

要素

に 処 理 し

と の

わ せ は, その

作の

こと が

必 要

であ る。

  3

イ ブ リ

型 応 力

 

本 節

で は

イ ブ

リッ ド型コ ン

リ メ ンタ リエ ネル

原 理

づ く

2

つ の

要 素

モデル の

誘 導

う。

 

こ こで

誘 導

する モデル では

上 変 位 場

と して

前 節

のハ

ブ リ

型 変 位 法

モデル で

ちい た の と

10>

式 等

お よ び

13

)式 等 を用

い る。

 

3

1

  基 礎 変 分 原 理

 

イ ブ リ

ッ ド

コ ン

リメ ンタ リエ

ルギ

理の

汎 関 数

a

。 は

境 界

上で の

平 衡 条

足 させ る た めに

入さ

る ラ

グラン ジェ の

未 定 乗 数

物 理 的 意 味

        

 

 

考 慮

す る と

次 式

の よ う に

さ れ る4LS ) 。

   

・・

Σ

臨 臨

d

一 62 一

   

  

Q

de

±

φ

d

   

  

μ

1

 

一瓦 ・

φ

ds

               

 

 (

21

吐1}

   

B

1

ua

M

               

2・

1

− M

Mv )

1

       

 

E■

 (

22

こ こ に

,Mx ,

 

My ,

 

Mxy

曲 げ

お よ びね じ りモ

メ ン ト で あり

また

de

φは

前 節

べ た

隣 接

につ い て

共 通

定 義

さ れ る

要 素 境 界 上

の た わ み お よ

び法

のス ロ

る。

 

21 }

独 立

Mx

 

My

, 

Mxy

お よ び   ,

φ

で あ

り, ま た,

付帯条件

は,

次 式

え られ る

衡 方

 

 

 

・ ・

………・

お よ び

w

を 功 でお き か えた

5

a

b

)式

え られ る

幾 何 学 的 境 界 条 件

である

 

3,

2

 

12

節 点 要 素

 

ま ず

9

)式

10

)式 等

に よっ て

さ れ る

要 素 境 界

変 位 場

とし て

い る

12 節

要素

モ デル の

誘 導 を行 う

 

要 素 内 応 力 場 を特 解 〔

上 添 字

p )

解 (

上 添

字 (

g

)付

との

と し て

こと に

付 帯 条

23

の よ う に

くこと が で きる

 

 

 

…・

24・

 

 

 

・・

・ ∂

…一 ・

24・b

こ こに,

     

Mx ’

Mgr

M

                             

 (

25

a

c

     

Mxy

M

M

 

ところで

この

モ デル

前 述

よ う

要 素 境

界 上

変位

と して

境 界

上 お

びそ の

周 辺

12

変 位

パ ラメ

に よっ て

規 定

さ れ る

い るわ け であ る か ら

その

変 形

12

要 素 内 部

に分

布 荷 重

い場

こ の

12

境 界

変 形

か ら

3

剛 体

を差

いた

9

のモ

ド が

要 素 内 応 力 を生

じ させ る モ

ド と な る

し た がっ て,

M

,M

9

独 立

なパ ラ メ

仮 定 す

るのが

であ る。 , こ の

条 件

, お よ び

24

b

平 衡 条 件

満 足 す

要 素 内応 力 場

とし て

次 式

の よ うな

場 を考

え る

     

M

Sll

St2

x十

SI3

y

     M 窶

り 己

s

1

Stt

x

s23

y  

 

−J・

 

26.

 a

c

     

s

,、+

s

、、

x +

833

y

N工 工

Eleotronio  Library  

Fig 。 2 ( a 】  Aplate   bending 皿 odel   with   12   nodal   displacement
Fig 。 5 ( a )  Convelgence  of   central   deflection   with   n  in  a

参照

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