1
論 文】 日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集 第 439 号・
1992 年9月Jeurnal
of Struct、
Constr、
Engng，
AIJ．
No、
43g，
Sep．
，
ユgg2円形
平
面
を
有
す る
単 層
ラ チ
ス
ド
ー ム の
座
屈
荷 重
の
推 定
ESTIMATION
OF
ELASTO
−
PLASTIC
BUCKLING
LOADS
FOR
RETICULAR
DOMES
ON
A
CIRCULAR
PLAN
加 藤 史 郎
＊ ，庄 村 昌 明
＊ ＊ ，柴
田良
一
＊＊ ＊ ，植 木 隆
司 ＊ ＊ ＊＊Shiro
KA
TC
），
Masaaki
SHOMURA
，Ryoichi
SHIBA
TA
andTakashi
UEKI
The
present studydiscusses
a method to estimate the elasto・
plasticbuckling
loads
for
singlelayer
reticulardomes
on circular plan．
First
，
thebuck
且ed element of a rehcular dome is deter−
minedby
adistribution
pattern of the strain energy whichis
calculated through eigen．
value ana−
1ysis
，
Then
normalized slenderness ratio of the element isderived
considering the axial force at elasticbuckhng
load．
The axial stress of the element at elasto−
p【asticbuckling
load
is
expressed as afunction
in terms of the normalized slenderness ratio．
From the resuit
，
it is confirmed that the proposed procedure is effective fordesign
of reticulardomes．
Keymertls
：singte 切8r reticulardeme，
elasto−Plastic
analySt’
s，
buckling
stress，
buckling load，
eigen−
value analysiS 単 層ラ チス ドー
ム，
弾塑性 解 析，
座屈応 力度，
座屈 荷重，
固 有 値 解 析L
序 単 層 状の ラ チ ス ドー
ムを設 計する場 合，
そ の座屈性 状 を把 握す るこ と が 必 要 不 可 欠である。
こ の座 屈 性 状は ドー
ム の平 面 形 状，
支 持 条 件，
部 材の接 合 方 法，
荷 重 条 件，
形 状 初 期 不 整に強く影 響を受ける ことが考え られ， 様々な研 究1）−
fi） が行わ れ てい る。
実 際の ラチス ドー
ム の接 合 部は，
剛 接 合 とピン接 合の 中 間 的な もの が多く，
その 曲 げ 剛 性に よ り ドー
ム の構 造 耐 力 も著し く異な る。 こ の部 材 接 合 状 態に注 目し た研 究 と して，
接 合 部の回 転 剛 性によ る座 屈 性 状の変 化を分析 し たForman ，
Hutchinson
’）の研究，
ボー
ル ジョ イン ト 接合の立 体 ト ラスの挙動 を分 析し た坂， 日置 8）の研 究が ある。
また，
矩 形 平 面 状の単層 ラ チス ドー
ム の弾 性 座屈 荷 重の推 定 法 を 扱っ た植 木9 ）の研 究， 六角 形 平 面 ドー
ム につ い て弾 塑 性 座 屈 性 状を分 析 し た高 島1ωの研 究等があ る。 そ の ほ か，
上 記 要 因に注 目し た場 合につ い て も 多く の研 究11）が な さ れ，
単 層ラチス ドー
ム につ い て は，
そ の t 力 学 的 挙 動が把 握されつ つ ある。
しか し なが ら， 単 層ラ チス ドー
ム の座 屈 荷 重は， 部 材の接 合 状 態 と と もに， 平 面形状に も強く依存す る と 思 わ れ る。
そこで，
本研 究で は，
円 形 平 面の剛接 合単 層 ラ チス ドー
ム を対象と し て，
そ の座 屈荷重の推定 法を検討す る12）。
こ の検討方法で は，
は じめに ドー
ムを構成す る多数の部 材の中で，
ドー
ム の耐 荷 力 に 最 も大 き な 影 響 を 与える 部 材を 選定す る。 つ ぎ に，
この局部 的な単一
部材の耐荷力 特性によっ て，
単層ラチス ドー
ム の座 屈荷重を推 定す る 方 法を 議論す る。
これは，
鋼構造物の 柱部 材の設 計にお け る， 部 材の細長比に よ り圧縮 強 度を 評価す る手thls
）・
14 ） に対 応し た方 法で あるとい え る。 既に著 者らは，
構 成 部 材に曲げモー
メ ン トの発 生が少な い ような モ デ ル と し て，
六角 形 平 面の単 層ラ チス ドー
ムおよ び折 板 状ラチス アー
チ に対す る座屈荷重をこの方 法で推 定し，
その可 能 性を検討して いるIS）・
16〕。
そこ で，
部材の耐荷 力特性に注 目し た座 屈荷重 推定法の， 円形平面 単層ラ チス ドー
ム に 対す る可 能 性を検 討す る た め， 以下の条件を考慮して，
ドー
ム の 座 屈 性 状 をパ ラメ ト リックに 解析す る。
i ）部 材両端の回転ばね の曲げ 剛性，ii
）境界 条件，
iii
）．
ドー
ム頂部の部材半開角，iv
）ドー
ムを構 成す る部 材の細 長 ＊ 豊 橋 技 術科 学 大 学 建 設 工学 系 教 授・
博 士 〔工学 ） ＊＊ 中日本 建 設コ ンサ ル タン ト情 報システム室・
修 士 （工学） ＊ ＊ ホ 豊 橋 技 術科 学 大 学 建 設工学 系 榊 ＊ 巴 組鐵工所 建設 技術開 発 室・
修士 （工学）Prof
．
，
DepI，
of Regional PlannLng，
Toyohashi Univ．
of Technology，
Dr
．
Eng、
Dep
し．
Qf InformationSystem，
Naka・
Nihon Consulting Coop．
for CivilEngineering
，
M．
Eng．
Depし
．
of Regional Planning，
Toyohashi Univ．
Qf Techno 】ogyDepし
．
of Constructio皿 Techmcal Development，
Tomoegumi ［ronWorks
，
M．
Eng．
NII-Electronic Library Service
比
，
v ＞形状初 期 不 整，
vi ）荷重分布2，
解 析モ デル と解 析 方 法2
．
1 ラチス ドー
ム の形 状図
一
1に示す円形 平 面の球形単層 ドー
ム を解 析 対 象とす る
。
ドー
ム の稜 線AOD ，
BOE
，COF
上 で は，
開 角φ。をn 等 分して決ま る位 置に節 点 を設 けて いる。 ま た
，
Z
軸を中心 と し た稜 線 上の 節 点 を 通る同心円 上で は，
各々 の稜 線 間の円弧 を等 分 し た点に節 点を 設 けてい る。
ラ チス ドー
ム の規 模は稜 線の部 材 数 n で表さ れ， 本 研 究で は n＝ 12と限定渕 し た。
ラチス ドー
ムの む く り の度 合い を表す部 材 半 開 角 e，は 2°
，
3°
，
4°
につ い て検討↑
v ・匚
D→ x 塑性解析 ／2モデル） 図一
1 対 象と す る ラ チス ドー
ム 表一
1 ラ チス ドー
ム の スパ ンL，
ライズH，
曲 率 半 径 R θ。（
deg
．
）
五（
c皿）
H （
cm）
R （
cm）
2
3496．
35371
．
594298
．
063
3369．
30547382866
，
104
3196，
0371L482150
．
34
注 1） 文献 10）で は，
n＝
4−
12に対し て ほぼ同様な傾 向を持 つ 座 屈 性状が得ら れ て い る。
ただし， よ り一
般 的な結 論 を得る に は，
こ の n が本 推定法に及ぼ す影 響を更に検討 す る 必要があろ う。
一 112 一
する。
ま た，
稜線の部材長 あは 300cm とな るよ うに決 め られ，
ラチス ドー
ム の スパ ンL ，
中 央 部の高さ H，
ドー
ムの曲 率 半 径R
は表一
1の よ うに な る。
これ ら は，
比 較 的偏 平な ラ チス ドー
ムである。 本 研究で扱っ た ドー
ム 以上に偏平 な単層 ラ チス ドー
ム等で は，
軸力だ けでな く 曲げモー
メ ン トな どの面 外 力も か な り大 き く 発生する。
そのた め，
こ こ で提 案し た手 法に対 し て は さ ら に検 討 が 必要で あり，
今 後の課題と し たい。
2．
2 ラチス ドー
ム を 構 成 す る部 材 本 研 究では，
半剛接 合を考慮する ための部 材と して，
図一
2に示す よ うに設 定し た。
こ の部 材は，
接 合 部を表 現す る部 材一
剛体 間の2
個の ばね，
部 材の降 伏を表現す る部 材 中央および両 端の3
個のばね， 棒 材および剛 体で 構 成 され る もの と す る。 接合 部は軸ば ねとg軸，
z 軸 回りの回転ば ねで評 価し う る と して モ デル化し，
接 合 部 を表 現 する両 端のば ね お よ び棒 材は弾性 体 と仮 定して い る。
中央 部と両 端 部の ばねによ り，
棒 材の降伏が評 価で き，
降伏 後 は 式 （1），
図一
3で示す降 伏曲面 上を流 動 す る と仮 定す る。
f
；
（N
／1Vず十 （My
／Msp
）2十（M
．／Mzp
｝ 2 ＝1…
（1 ） N ：ばね位 置の軸力 払，
M〜 ：ば ね位 置の y，
z 軸回 りの曲 げモー
メ ン トNy
：部 材の降伏 軸力 砥ρ，Mg
。 ：部 材の y，
2 軸 回りの全 塑 性モー
メ ン ト な お，部 材の降 伏を表現す る た めの 3個の ば ねの剛 性は，
十 分に大きい も の と仮定し てい る。
ラチス ドー
ム に用い る部 材は原 則と して同一
断面と し， 部 材の細 長 比 λ。の 影 響 を比 較 する た め，
4種 類の鋼管を設 定し た。
そ れ ら の諸 元は表一
2に示す。 部材の降伏 耐 力は鋼 管の耐 力で 定 め，
解析 で は鋼 管の 降 伏 応 力 度 σ。；
2．
4tf ／cmZ （23．52kN
／cmZ ）で設定した。
接 合 部の特 性を表す 回転 1．
e 0．
5 N ／N， 図一
2 部材モ デル 降 伏 曲面 ∫一
（κ1N，
）’ ＋m 司 mロ
（M ，iM呼），
＋ ｛M、
／Mo ）：
m O．
0 0．
0 0．
5 1，
0 図一
3 弾 塑性ばね の降 伏 曲 面 N工 工一
Eleotronio Librarys 表
一
2 部 材 諸元 Pゆe4 （ごm2） 」（cm4 ） λD 丐 ＠nノ） M ，〔ε呵 c 叫） φエ652x4．
522．
7273452．
75453278．
9B φ139、
8x4．
017，
0739462．
540．
97177．
09 φ89，
1×2，
87．
59170，
7gs、
418．
22 50．
07 φ60．
5x2．
呂 4．
20517．
8145．
610．
09 18、
71 A A Ot ピソ支持点 o ピン支掃 D 口；
X・
y 方向”
一
ラー
支 持 点 （2）ロー
7一
支持 ロ：
一
方向ロー
ラー
支持点 図一
4 境界条 件 ばね は y軸回 りの ばねk
。ey とg 軸回 りの ばねh
。e。は同一
と仮 定 し ， 式 （2）で示す無 次元 化 回転ばね定 数 x を用いて表 現す る。
t
。t
。・
＝
左・卿瓦
＝
κ・ ・〜瓦
’
”… ’
… … ’
… ’
”
（2）Elp
：鋼 管の曲 げ剛 性h
：部 材 長k
。e9，
h
。ez ：〃軸，
2 軸回りの回転ばね定 数 本 解 析で は，
x＝
1．
・
0，
4．
O，
1000の3
種 類に対 して その 影響を調べ た 。 た だ し，
接 合部の軸方 向のばね剛性h
． は部 材の伸び剛性EA
／4
の1000
倍に設 定し た。
ま た，
』
接 合 部の 剛 域 長を・
1
，＝12
＝ 0 と し，
部 材の ね じ り剛性は ない もの と し た。 2．
3 境 界 条 件 こ こ では 2種の境 界 条 件と し て， i
）周 辺ピン支持，
ii
）周辺ロー
ラー
支 持 を採用 し た。
図一
4に示す よ うに， 周 辺ピン支持は， 境 界 上の節 点 変 位 をすべ て拘 束し，
回 転を自由に し た もの で ある。
周辺 ロー
ラー
支持は， 境界 上の節 点につ い て，
鉛 直 方 向の変 位 を 拘 束し，X −Y
平 面 上を自 由に移 動で き るもの である。
なお，
稜 線 上の点 A，
B，
C，
D，
E，
F にっ い て は放 射 状に の み移 動 可 能と したもの で ある。 ま た，
ロー
ラー
支 持の ドー
ム で は周 辺 の リン グ部 （図一
9 ）を構 成す．
る部 材に，
き わ めて大き な引 張 応 力が発 生する可 能 性が ある。
そ の ため， こ の リ ング部の部材
の 断面 積，
断 面二次モー
メ ン ト，
耐 荷 力は 他の部 材の 6倍 とし て解 析 を 行っ てい る。
2．
4 荷 重、
ラ チス ドー
ム の耐 荷 力は，
作 用する荷 重 形 態に大き な A D 〔1）等分布荷 重．
ρ （2）偏 載 荷 重O
：1・
OxPeO
；2．
OxPo ●：3．
OxPo図
一
5 荷重分 布 g；形 状 初 期不整 量 図一
6 形状初 期不整 影 響を受け る た め，
通常，
、
設計で は いくつ か の荷 重 形 態 に対して検 討が行わ れ る。 本 研 究では，
’
自重 ある い は積 雪の荷 重を想 定 し，
図一5
に示す鉛 直 方 向に作 用 する等 分布状の節点 荷 重と片 偏 載 状の節 点 荷 重の 2種につ いて 検 討し た。 な お，
片偏載 荷重の比率は 1：3
に設 定し た。2．5
形状初期不整 単層ラ チス ドー
ム の座 屈 耐 力は形 状 初 期 不 整に対し敏 感で あ る と考え ら れ る た め， 形状 初期 不 整を有す る ドー
ム につ い て も検討し た。 図二 6に示 す よ うに，
形状初 期不整は ラ チス ドー
ムの 任 意の 1節点に， ドー
ム曲率の中心方 向に与えるもの と し た。
その初 期 不 整 量g は，
ドL ム を構 成す る部 材の 断 面二 次半 径i
に対 する比 を用い て決 定し た。
また，
初 期 不 整は ラチス ドー
ムの座屈に最も影 響す る と思わ れる 節 点に与え た。 今 回，
初 期 不 整 量を g＝
0．
35i とし，
形 状 初 期 不 整を持つ 節点は，
完 全形状時の弾塑性解 析の結 果より判 断し，
節 点G
（図一1
）と し た。
2．
6
解 析 方 法 本 研 究で は，
座 屈 前変形を無 視し た線形 固有値解 析，
な らびに材 料・
幾 何 学 的 非 線形性を考慮 し た 座屈 解 析 （以 下，
弾 塑 性 解析 ）を行っ た。 前 者は，
主と して ラチ ス ドー
ム を構 成 する部材の中で ドー
ム の座屈に深く関 連 すると思わ れ る部 材を 選定する の に用い た。 また， 部 材 の座 屈 条 件 式の定 式 化に は，
弾 性座屈に対して高 精 度が一
一
NII-Electronic Library Service 期待で き る座屈た わ み角法 を 用いている。 後者は
，
この 注目す る特 定の部材の圧縮 強 度を推 定す る た めに用い た。 これ らの解 析 法は従来か ら用い られ て い るマ ト リッ クス法に基づ く も ので あ り，
詳細は省略す る。 弾塑 性 解 析は，
Newton−Raphson
法に基づ い て行わ れ，
最 大 荷 重 直 前まで を荷 重 増 分 法， それ以 降を変位 増 分 法で解 析 し て い る。 な お，
線形 固有 値 解 析において は，
図一1
に示 す ドー
ム全 体 を 解析 対 象と し た。一
方，
弾 塑 性 解 析 にっ い て は， 多くの パ ラ メー
タ の下で効 率よく解析を進め る た め，
数 値 解 析 上 ドー
ム の対 称 性 を仮 定し， 全 体の1
／2
モ デ ルを用い た。
3
．
解 析 結 果お よ び考 察 3．
1 特定 部材の選び方と無 次元細 長 比 1） 特定 部 材の選び方 本 研 究で は，
特 定の部 材の座 屈 強 度に より ラチス ドー
ム の座屈荷 重を推 定す る た め， ラ チス ドー
ム の座 屈に最 も影響を及ぼ す部 材を決定しな けれ ばな らな い。
こ の場 合，
指標と な る値と し て は，
構 成 部 材の応 力， 変 形，
座 屈モー
ドに対 す る ひずみエ ネル ギー
等が考え られ る。
こ の中で本研究で は， 原 則と し て座 屈 性 状をエ ネルギー
と して 表 現する 指 標と し て ひずみエ ネル ギー
を採 用す る17LIS ｝。
ただ し，
後述の よ うに ロー
ラー
支 持の ドー
ム で は周辺部に軸力 が極めて大き く な る部 材が あ る た め， ひ ずみエ ネル ギー
に加え て， 軸力の大 小も特 定 部 材の判 定 に用いる。
’
ひずみエ ネル ギー
は線 形固有 値 解 析か ら求め られ るも の であり， 最小座屈 荷重 を与え る座 屈モー
ドと部 材の剛 性マ ト リッ クス によ り計 算され る。
こ の解 析 手 法は，
構 （1）ピン支 持，
等分 布 荷 重 造 物の座 屈 特 性 を調ぺ る た め に一
般に使わ れ る手法であ る。
よっ て， これに より得ら れ る値を指 標と す るこ と は，
簡 便な座 屈 荷 重 推 定 法 を考え るうえで有 効であ る と考え ら れる。
線 形 固 有 値 解 析 結 果の例を図一
7に示す。 この図 は，
最 小 座 屈 荷 重 を 与え るモー
ドと，
そ れに よ る ひずみエネ ルギー
の密 度 分 布を示して いる。 た だ し，
座 屈モー
ドは 節 点の変 位の み で回転の モー
ドは表示 さ れてい ない。
ま た，
ひずみエネル ギー
は，
付録に説明した よ うに単 位 体 積に保存さ れ る ひずみエ ネル ギー
を考え るた め密 度で表 示 して いる。
図中で，
正 値は実 線，
負 値は破 線とし て，
ま た絶 対 値の大きさに線の太さが比 例する よ うに表 示し てい る。
図一
7 （1，
2＞は ピン支 持の結 果であり，
図一
7 （3，
4 ） はロー
ラー
支 持の結 果で あ る。 すべ て同一
断面の 部材で 構 成 され た ラチス ドー
ム に等 分布荷 重が作用し ている場 合につ い て，
境 界 条 件の違いを比 較す る と図一
7 （ユ） と （3 ）の よ うに な る。
ど ちらも稜 線上の部 材に ひずみ エネル ギー
が集 中して い るが，
ピン支 持の場 合は内側の 部 材が著し く，
逆にロー
ラ「支持の場合は外側の部材が 著し い。 こ こ で，
そ れ ぞ れ の ひずみエ ネル ギー
の集中し てい る 部分を補 強し たモ デル の結 果 を，
ピン支 持の場 合 を 図一
7 （2） （稜 線 部 材の断 面積，
断 面二 次モー
メ ン トをそれ ぞ れ 1．
2倍に補 強 ）， ロー
ラー
支 持の場 合 を 図一
7 （4 ） （図一
9で斜 線 部に あ る部 材を補 強）に示して い る。 両 者とも補 強の効 果により，
ひずみエ ネルギー
の集 中す る 部 材が変 化 して い る。 図一7
（2
）の稜 線 部材を補強し た モデル では，
そこ で の ひずみエ ネルギー
は小さ く な り，
（2） ピン支持，
等 分 布 荷 重，
稜 線 部 材の補 強 〔3＞ロー
ラー
支持，
等 分 布荷 重 （4）ロー
ラー
支 持，
等 分 布 荷 重， 外 部 部 材 （図一
9）の補 強 図一
7 座 屈モー
ドと ひずみエ ネルギー
密 度 分 布 実 線 ：正 値，
破線 ；負値 〔線の太さは絶 対 値の大き さを表 す ）一 114一
N工 工一
Eleotronio Library稜 線 部 材は座 屈 して いない こと を表し てい る。図
一7
（4 ＞ はロー
ラー
支 持の結 果であるが，
ピン支 持の場合の 結果 （図一
7 （1））に や や類 似し てい る。
以 上の結 果によれ ば，
座 屈モー
ドに対す る ひずみエ ネ ルギー
分 布は，
座 屈 変 形の著しい部 材におい て集 中し， そ の値が負に な ること が 知 られて い る。 そ こ で， 原 則と して は，
線 形 固 有 値 解 析によ る座 屈モー
ドを用い て部 材 の ひずみエ ネル ギー
密 度を計算し （付録参照），
その値 が負でかつ絶対 値 が最 火の 部材を特定 部 材と して採 用す る。 た だ し，
ロー
ラー
支持と し た場合に は，
軸 力が極めて 大き く な る部 材とひずみエ ネルギー
が集 中する部 材と が 異な る お そ れ が あ る ため，
特 定 部 材 を以 下の よ うに決 定 する。
i） 固 有 値 解 析におい て，
ひずみエ ネルギー
の集 中す る 部 材 を部 材 （a ）と す る。iD
線 形座屈 時の部材軸力で その部 材の降 伏 軸 力を 正規 化 し た 値Ny
／1V弊が最 小の部 材を 部材 （b
）と す る。
lii
）上 記の （a ） ， （b
）の部 材 を用いて， 節 3．
3で後述 す る方 法で 2個の ドー
ム の座 屈 荷 重 を推 定し，
低い 座 屈 荷 重を与え る部 材を特 定 部 材と す る。
2） 無 次元 細 長 比 線 形 固有 値 解 析と弾 塑 性 解 析で の ラチス ドー
ム の座 屈 荷 重の結 果を比 較する ために，
特 定 部 材の無 次 元 細 長 比 罹！へ’
y 1．
0 D、
5 ゜ 塾，
0 N：f
！N， 1．
0 Ao．
5 o・
B
．
o o．
5 1．
o 〔1） ピン支 持，
等 分 布 荷 重 L．
5 、 2．
o 05 1．
0 （3＞ピン支 持，
偏 載荷 重 図一
8 1、
5A20 を次式で定義す る。
A
＝盞
菰．
＿．
．
＿．
．
＿．
．
．
∴ ．
＿＿＿ ＿，
＿．
（3） cr ただし，
凡 は特 定 部 材の降 伏 軸 力，
1V縡は線 形 固 有 値 解 析に お け る ラ チス ドー
ムの座 屈 荷 重P
鰹 時の特 定 部 材の線形軸力で あり，
次の よ うに求め られる。聯 一
男
儡……・
…一 ・
………・
…
∴……ttt
（・） こ こ で，P
，は 設計 荷 重で あ り，
鑑 は設 計 荷 重 時の線 形．
弾 性 解 析か ら得ら れ る特定 部 材の軸 力で あ る。3，
2
解析結果．
図」 8，
10に周辺 ピン支 持お よ び周 辺ロー
ラー
支 持の 解 析 結 果を示 す。 図 中の 横 軸の値は，
前 節で述べ た方 法 に従っ て選 ば れ た特定 部材の軸 力よ り求め ら れた無 次 元 細長 比 A である。一
方，
縦 軸の値は，
次 式で 求め られ る軸 力1V
濫の部材の降 伏 軸 力Ns
に対 する比である。・・｝
顎
一 ………・
：
・
一 ・
…一
…・
…
（・） こ こ で，
縦 軸に用い る値を ηとし，
次式で表す。
・一
讐
一 …・
一 …・
………・
∵
…・
… な お， 弾塑性解析に おけるラ チス ドー
ム の座 屈荷重P
欝 は，
解析に よ り得ら れ る最 大 荷 重 を 指すもの とし，1V
欝 は 最大 荷 重ま で部 材 軸 力が線 形 的に増 加すると仮 定し た 堽鯉， 1．
0 o，
5 ゜・
も、
o 瑠 凡 1．
0 D、
5 ゜ 塾．
。 0，
5 1．
o 15 （2）ピン支持，
等 分 布 荷重，
稜 線 部 材の補 強 八 20 0．
5 1．
0 1．
5A （4） ピン支 持，
等 分布 荷 重，
形 状 初 期 不 整 有り ピン支 持ドー
ム の無 次 元 細 長 比と軸 力の関 係 2．
0、
一
一
NII-Electronic Library Service 場 合の値と なる。 ただ し
，
あ る部 材が降 伏す ると ドー
ム の剛 性が著し く低 下す る た め，
そ の後 耐 力の上昇が あ る 場合で も，
部材 降伏時の荷 重 をラ チス ドー
ムの座 屈荷 重 と し た。
図 中の実 線は，A
が1．
0以 下では部 材の軸 降 伏， 1．
0
以 上では弾 性 座 屈 を表 し，
次 式と な る。 η；
1．
0（ノ1＜1．
0）・一
圭
・A≧1．
・）’
一
”鹽
…
’
−tt’
…
’
…
’
（7
｝ また， 図 中の点 線は終 局 限 界 状態設計式 1‘）に よ る部材の 圧 縮 強 度であり， 次 式で表 される。A
≦ph の時 η＝ 1．
0 ρ麗くA
〈eλc の時 A−
Pλc η＝
1．
O−
O．
5。
λ，
一
ρλ。
。λ，くA の時 1 η＝
L2五2・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
一・
・
・
…
（8） こ こ で’
，
ρλc ：塑 性限 界細長比！
・
O．
15
。λ。：弾性限 界細長 比＝ ・
yvald
l） 周 辺 ピン支持の場 合の無 次 元 細 長比 と軸力の関係 図一8
（1 ）は等分布荷重時の結果で あ り， 部 材 半 開 角 島に関係な く，
式 （8 ）の周 りに分 布してい る。
図一
8（2）は稜 線 部 材 を補強し た場合の結果であ る。 対 象と し た円形 平 面モ デルで は， 稜線部 材が座屈 し や す い た め，
設計におい て はこ の 部 分 を 補 強する ことが考え られ る。
そこで， 稜線 部 材の断 面 積， 断 面二次モー
メ ン ト， 部 材の耐 荷 力が他の部 材の 1．
2倍と し た場 合を検 討 した。
図一
7（2 ）に示し たひずみエ ネル ギー
分布の例で は，
補 強に より そ の分 布が変 化し，
座 屈部 材が稜 線 部 材 から他の部 材に移っ てい ること が わか る。 しか し， 無 次 元 細 長比 と軸 力の関係は，
ドー
ム全 体に同一
部 材 を用い た場 合の結 果 （図一8
（1））と 同様な 分布で ある。
図一8
（3
＞は偏載荷重を受け る場 合の結 果で ある。
等 分布荷 重を受け る場 合と同様，
式 （7 ）と式 （8
）との 間に分 布してお り，
こ のA
を用い た表示 は，
偏載 荷 重 時に おい て も大き な変 化を受け ない こ と が わ か る。
図一
8（4 ）は形 状 初 期 不整を有す る場合の結果で あ る。
た だし，
無 次 元 細長 比 ノ1は 完 全 形 状に よ る値を 用い て い る。 単 層ラ チス ドー
ム は形状初期不 整の影響を受けや す く，
完 全 形 状 時の結 果 （図一
8 （1））と比 較 し て，
N
齢／Ny
の値が かな り低下し てい る こ とがわ か る。
2 ）周 辺ロー
ラ支 持の場 合の無 次元 細 長比 と軸力の関 係 図一
10は，
特 定 部 材の無 次 元 細 長 比と軸 力の関 係を 表す。
図 中の 白抜き は ひずみエ ネル ギー
で決め ら れ た値，
塗り潰し は軸 力 比Ny／1V謬が最 小と な る外 部 領域 にあ る一
116
一
鏤
1
’ 、秘 熱
殲
，
ξ
皺
此iii
内部…
iiill
糞
．
i
翼螻
、……i
襲
．
，
∬
『
’
z鑠
1
變
・・グ撃
…
…
1
図一
9 ロー
ラー
支 持ドー
ム の外 部部 材 と内 部 部 材 D 部 材 （図一
9）の軸 力で決 め られ た値を表す。 図一10
（1）は等 分 布 荷重を受け る 場合の結果 で あ る。
ロー
ラー
支 持の 場合で はピン支持の場 合よ りもN ：1
／Ny の値が若 干低 下 する傾 向がある が，
ピン支持 同 様，
式 （7） と式 （8
）に沿う形で分 布し ている。
また， 洗＝
2°
の場 合，
線 形 固 有 値 解 析におい て内 部の節 点が座 屈 する モー
ドとな る場 合が多い。
し か し， 弾 塑 性 解 析で は外 部の部 材が軸 降 伏し てドー
ムの耐 荷 力に至る ため，
外 部 部 材の 軸 力に よ り決 まる もの （図 中 塗り潰し｝が多い。
図一
10 （2 ）は外 部 部 材を補 強し た場 合の結 果である。
ロー
ラー
支 持の場 合， ドー
ム全 体に同一
な部 材 を用いる と，
外 部 部 材に ひずみエ ネル ギー
が 集 中 すること が 多い。
その た め，
外 部の部材の耐力 を上 げる ことによ り， ラ チ ス ドー
ム全 体の耐 荷 力 を 高める ことが で き る。
そこで， 図一
9に示 すラチス ドー
ム の外 部 部 材の断 面 積，
断 面二 次モー
メ ン ト，
部 材の耐 力をそれぞれ 1．
2倍とし，
［司様 の解 析 を行っ た。 外 部部材の耐 力を 上 げ た た め，
内部の 部材で ラ チス ドー
ム の耐 荷 力が決ま る が，
こ の分布は 図一
10 （1 ）の全 部材が均一
の場合と 同様の分布と なっ て い る。 図 一 〇（3）は偏 載 荷 重 を受ける場 合の結 果である。
偏載 荷 重を受ける場 合も式 （7）と式 （8）に沿 う 分布 と な り， ピン支 持 同 様， 荷 重 分 布か ら影 響 を 受け ない こ とがわ か る。
図一10
（4 ）は 形状 初 期不整を有す る 場合の結果で あ る。 初 期 不 整を有す る ドー
ムは耐荷力の低 下が著し く，
完 全形状の結果 （図一10
（1
））と比較し て，1V
欝／N
， の 値が か な り 低 下 し， 特にe
。！
・
2°
の場合に著しい。
以上の周 辺 ピン支 持お よ び 周 辺 ロー
ラー
支 持の解析 結 果よ り，
支 持 条 件や荷 重の分 布 形 状に そ れほ ど影 響 を受 ける こ と な く，
こ の方 法で座 屈 時の軸 力を整 理す る こ と が可 能であ る。 ま た，
無 次 元細長 比に よ る 座屈 時の軸 力 の推 定 式と して は，
式 （8
）に基づ く ものと す る。 3．
3 座 屈荷重の推 定 ラチス ドー
ム の座屈荷 重の推 定 方 法は 次の よ うに な N工 工一
Eleotronio Library曜〆N， 1
．
0 0・
5 o・
ら．
o 耀 幽 ユ，
o O．
5 e・
名．
。 Q．
b 1，
0 1，
5 （1＞ロー
ラー
支持，
等分布荷 重 A2．
0 o．
5 Lo』
】5 （3）ロー
ラー
支持，
偏載荷重 2．
oA 醒押， 1・
o・
．
5 e・
呂．
0 0，
5 上、
D 、．
5 2．
。 A （2）ロー
ラー
支持，
等分 布 荷 重，
外 部 部 材の補 強 堵／馬 10 0．
5 0・
巳．
0 0．
5 1．
0 凪．
5 2。 A （4）ロー
ラー
支持，
等 分 布 荷 重，
形 状 初 期不 整 有 り 図一
10 ロー
ラー
支持 ドー
ム の無 次元細 長 比と軸力の関係 る。 i） 線 形 固有値解析か ら得ら れ る座 屈モー
ドか ら計算さ れ る部 材につ いて， ひずみエ ネル ギー
密 度の値が負で，
そ の絶対 値が最 大と な る部 材を注目 す る部 材と し て抽 出 す る。
ii）特定 部 材の無 次元細 長 比 A を式 （3）か ら求める。
iii
）A に対 応す る そ の部 材の圧 縮 強 度N を 先に定 義 さ れ た推 定 式よ り決め る。 iv） 軸 力 Nぎ，を 用い，
次 式 よ り座屈 荷重P
を 推定す る。P
：r一
嬬
一 ………・
………一 ……・
…
（・） こ こ で，Pgr
は ラ チス ドー
ムの推 定さ れ た 座屈 荷 重，
P ， は設 計 荷 重，
N
，は設 計 荷 重 時の線 形 軸 力で あ る。た だ し，
ロー
ラー
支 持の場 合には，
外 部 部 材が大き く変 形し，
ラ チス ドー
ムの耐 荷 力が決まる こと が多いめで，
次の手 順 により座 屈 荷 重 を推 定 する。 イ ） ひずみエ ネル ギー
密 度 最 大 部 材か ら座 屈 荷 重を推 定す る。
ロ ） 外 部 部 材の 中で 降 伏 軸 力と部 材の 座 屈 軸 力の比 （Ny
／1V
謝 〉が最 小と’
な る部材を 注 目 す る部材と し て，
ラ チス ドー
ム の座 屈 荷 重 を 推 定 す る。
ハ ）両者を 比較し， その内 低い値を推 定 座屈荷 重と し て採 用す る。
本研究で は部 材の強 度 （座屈軸 力 ）を推 定する式と し て，
式 （8）で示 す終 局 限 界 状 態 設 計 式か ら計 算 され る 部 材の 圧 縮 強 度N，
，
に低 減 係 数 α を乗 じ た値 N9．
（式 （10）） を用い る。N9
。＝
αN。。：………・
・
………・
…・
……・
……・
…
（10） こ こで，
低 減 係 数 αは O’
．
7と す る 。 これは単 層 ラチス ドー
ムが形 状 初 期 不 整 等に対して敏 感であ る た め，
こ の 効果 を考 慮す る た めの係 数であ る。
式 （10
）で計 算さ れ る部 材の強 度 岬，
は図一8，
図一
ユ0
におい て破 線で示し て い る。
こ の方 法で求めた ドー
ム の座 屈 荷 重 と，
弾 塑 性 解 析の 座 屈 荷 重の関 係を図一
11に示 す。
横 軸に ラチス ドー
ム の 弾 塑 性解
析 に よ る座 屈 荷 重 と推 定 座 屈 荷 重の 比P
盟 理．を取り，「
縦 軸に頻 度 を取 る。 今 回の解 析では， 等 分 布 荷 重 を 受けるラ チス ドー
ム，
部 材が補 強され た ラ チス ドー
ム， 偏 載 荷 重 を受け る ラ チス ドー
ム， 形 状初期 不 整 を有す る ラ チス ドー
ム につ いて対 象 とし て お り， こ れら の結 果につ い て の み検 討し て いる。
図一
ユ1（1）は ピン支 持 ドー
ム，
図一
1ユ（2＞は ロー
ラー
支 持ドー
ムの結 果を示してい る。 ハ ッ チ部 分は形 状 初 期 不 整を有す る ドー
ム につ いての値を表 し，
白抜き部分 は 不整が ない 場合の値を表 してい る。
ピン支 持の ラ チス ドー
ム で は， 形 状 初 期 不 整 を有す る ドー
ム の ユケー
ス を 除い たすべ て のP
ぎ｝／P
ぎ。が1．
0以 上の値 とな り，
その 平 均が 1，
63，
標 準 偏 差が0，
25とな っ て い る。
ロー
ラー
NII-Electronic Library Service 皺 30 20 10 00
．
0 匿］：形 状 初 期 不 整3
1
：
1
平 均 。．
・．
63：
標 準 腱 ・−
0・
251 蠍 係数 α魂 7111
1．
O （1）ピン支持 図一
11 皺 30 0．
2 10 o2
・
° 瑠 粤゜
・
°1
・
° 〈2）ロー
ラー
支持 弾 塑 性 座 屈 荷 重と推 定 座 屈 荷 重との比の頻 度 分 布 支 持の ラチス ドー
ム で は，
形 状 初 期 不 整の数 ケー
スを除 い て 1．
0以 上とな り，
そ の 平 均が L54，
標 準 偏 差が0．
28と な る。 ピン支 持の ドー
ム は，
ロー
ラー
支 持の ドー
ム よ り座屈荷重 を若干 高く推定す る傾 向に あ り， ばらつ きも 小さい。
また，P
盟P
の値が 1．
0以 下と なる も の はすべ て形 状 初 期 不 整を有する ドー
ム であ り， ラチス ドー
ム の耐 荷 力 を推 定す る場 合， 形 状 初 期 不 整の影 響 を 十 分 考 慮し な け れ ば な ら ないこ とがわか る。
以上によ り， 低減係 数を0．
7と して ラ チス ドー
ム の座 屈 荷 重 を推 定し た場 合， 境 界条件に関係な く ほ と ん どの 場 合 が，
弾 塑 性 座 屈 解 析の座 屈 荷 重よ り も低い値 を示し ている。
こ れ よ り， こ こ で示し た方法によ る ラ チス ドー
ム の座 屈 荷 重の推 定が ， 十分可 能で あ ること が わ か る。
た だ し，
低 減 係 数a の値の 決 定 方 法 等につ い て，
実 験 結 果との整 合 性を含め詳 細な検 討が今 後 必 要であろ う。4．
結 語本研究で対 象 と し た 単 層 ラ チス ド
ー
ムは，
円 形平 面を 持つ球殻 状の ドー
ム であ り， ドー
ム のむ く り を表す部材 半開角は2
°
か ら4
°
と比 較 的 偏平な もので あ る。
ま た，
境 界 条 件 はピン支持とロー
ラー
支 持の 2種と し，
部 材の 接 合状 態は半剛接か ら剛接ま でを仮 定し てい る。 これ ら の限ら れ た条件下で，
単層ラ チス ドー
ムの座 屈性状を評 価す る一
ヒで の注 目 すべ き部 材を 選定し，
その部 材の圧縮 強 度に基づ い て，
ドS．
・
ム の 耐 荷 力の推 定 法を検 討し，
得 ら れ た結果 を以下 に ま と め る。
i
）特 定 部 材の無次元細長比を 用い ることに よ り，
ラ チ ス ドー
ム の耐 荷 力を部 材レベ ル の指 標で整理 する ことが で きる。 ii） 特 定 部 材の強 度は荷 重 条 件や支 持 条 件 等に そ れ ほど 関 係な く 同様の分布と な る。
こ の無 次 元細長 比 を用い る 方 法は簡 便な線 形 固 有値解 析に基づい て おり，
ラチス ドー
ム の座屈耐荷 力を推定す る方法と して可能性が期 待 で き る。し か し，
本研 究では特 定の条 件 内で の検 討を行っ 2・
O P暮／P5； て いる た め，
今後 ， 以下の解析を進め る 必要が あ る。 il 矩 形平面 等の他の平 面 を有するラ チス ドー
ムii
）部 材 半開角が 4°
以 上と な る ラ イズの 高い ラチス ドー
ム， ある い は2°
以 下の ラ イズの浅い ラチス ドー
ム iii＞ 部 材に高 強 度な材 料を使 用し た ラ チス ドー
ム iv｝ 無 次 元 化 細 長比 だ けで な く，
ドー
ム の部 材 半 開 角 等 もパ ラメー
タと する圧 縮 強 度の推定式，
および その推 定 式に対 応した圧縮 強 度の低 減 係 数の値 さ らに， 本研 究で想 定し た雪 荷 重や自重な どの静 的な鉛 直 荷 重 だけ で なく，
地 震 力 や風 荷 重な どの動 的な荷 重に 対す る単 層ラチス ドー
ム の応 答 性 状の把 握 や耐 震 設 計 等 も今後の課 題で ある。 謝 辞 本 研 究に際し，
終 始 有益 な御指導を頂いた岐阜工業 高 等 専 門学 校 助 教 授武藤 至氏，
豊橋技 術科 学大学助手 高 島 英 幸 博士 に深く感 謝 致し ま す。
参 考 文 献1） Wright
，
D．
T．
：Membrane Forces and Buckling in Reticulated Shells，
ASCE ST l，
pp，
173〜
ZO］．
，
Feb．
，
1965．
2）Yamada
，
M．
，
Wang Li and Yamamoto，
A．
：Buckling Qf Single−
Layer Latticed Domes with Trianglar Network，
PROCEEDINGS
OF
THE
THIRD
SUMMER
COLLO ．
QUiUM
ON
SHELL
ANDSPATIAL
STRUCTURES ，
199Q．
83） Lind
，
N．
C．
；Locai Instability Analysis of TrianguratedDome Frarnework
，
The Structural Engineering，
pp．
317
〜
324，
Aug．
，
1969．
4） 加 藤 史 郎，
石 川浩一
郎 ：ビン接 合単層ラチス ドー
ム の弾 性 座 屈 性 状の分 析 と座 屈 荷 重の推 定一
六角 形 平 面 上の偏 平 球 殻上の ドー
ム が 周 辺で ロー
ラー
支 持さ れて いる場 合 につ いての検 討一，
日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集，
No．
393，
pp，
118〜
127，
1988．
10，
5） 加 藤 史 郎，
石 川 浩一
郎 ：ピン接合単層 ラ チス ドー
ム の弾 塑 性 座 屈荷重につ い て，
日本建 築 学 会 構造 系 論 文 報 告 集，
No．
404，
pp．
105〜
114，
1989．
10．
一
118
一
N工 工一
Eleotronio Library6） 鈴 木 敏 郎
，
小 河 利 行，
田中 美 知，
五十 嵐 規 矩 夫：ランダムな形 状 初 期 不 整を有す る剛 接 合 単 層ラ チス ド
ー
ム の弾性座 屈荷重
，
日本建築学 会構造系論文報 告集，
No．
418，
pp
．
109−
116，
1990．
12．
7） Forman
，
S．
E．
and Hutchinson，
J．
W，
：Buckling ofReticu且ated Shell Structures
，
Int．
Joulnal Solids Struc−
tures
，
Vol．
6，
pb，
909−
932，
1970．
8｝坂 壽二，
日置 興一
郎 ：ね じ込み接 合で組み立てた立 体 トラ ス の座屈挙 動，
日本建築学 会 構 造系論 文報告集，
No．
331，
pp．
1−
9，
1989．
9．
9）植 木隆 司，
．
向山 洋一，
加藤史郎：両 端に回転ば ね の あ る 部 材で構 成 される 単 層 ラ チス ドー
ム の線 形 お よ び 弾 性 座 屈荷重「 矩 形 平 面 形状をし た裁 断 球 殻 状 ドー
ム につ い て，
日本建築学会構造系論文 報告集，
No．
411，
pp．
117−
129，
］990．
5．
10） 加 藤 史 郎，
高 島 英 幸 ；6角 形 平 画の 剛 接 単 層ラチス ドー
ム の 弾塑性座 屈解析一
形状 初期不整が存 在し ない完全形 状ドー
ム につ い て一，
日本建築 学会構造系論文報告 集，
No．
408，
pp．
77−
87，
1990．
2．
11） 日本 建 築 学 会シェ ル空間 構 造運営 委 員 会ス ペー
ス フ レー
ム小 委員会 ：単層 ラ チス ドー
ム の安 定解析一
その現状と 問 題 点一，
日本 建 築 学 会，
1989．
8．
12＞ 加 藤 史郎，
庄村 昌明，
武 藤 至，
植木隆 司：円形乎面を 有 す る単 層ラチス ドー
ム の座 屈 荷 重の推 定，
日本 建 築 学 会大会学 術 講演梗 概 集 （柬 北），
構造Lpp ．
1215〜
1216，
1991．
9．
13｝ 日本建 築 学会：鋼 構 造 設計規 準，
日本 建築 学 会，
1973．
14） 日本 建 築 学 会：鋼 構 造限界状 態 設 計 規準 （案 ）・
同解説，
日 本建 築 学 会，
1990．
2．
15）加藤史郎，
山 田 聖 志，
高島 英 幸，
柴田 良一
：剛接 合 単 層 ラ チス ドー
ム の座屈応 力 度に関 す る研 究，
日本 建 築学会 構 造 系 論 文 報 告 集，
No．
428，
pp．
97〜
105，
1991．
10．
16） 17） 18） 加 藤 史 郎，
植木 隆司，
向山洋一，
庄村昌 明 ；偏平な 折 板 状ラ チス アー
チの耐 力の推 定 式につ いて （．
その 1，
その 21，
日本 建 築 学 会 大 会 学 術 講 演 梗 概 集 〔中 国 ）， pp．
1257〜
126〔｝，
］990．
10．
Heki
，．
K．
：The Continuum Analogy o 「Lattice Struc．
tures from the View
．
point of Difference Equations，
SHELLS ，
MEMBRANES
ANDSPACE
FRAMES，
Proceedings IASS Symposinm on Membrane Structures and Space Frames
，
Osaka，
1986，
Vol，
3，
Edited．
by K，
Heki
，
Elsevier Science Publishers B．
V．
，
pp．
65〜
72，
1986
．
9．
Heki
，
K，
：TheCQntinuum
Treatrnent of Discrete Sys・
tems and its Application to the Anaiysis of Latヒice
Structures
，
Bulletin of I．
A．
S．
S．
，
XXVI−
3，
pp．
19〜
261985
