高次モードと回転軌跡を考慮したレーリー波分散曲線の逆解析

【論　 文】

UDC ：624

．

042

．

7 二550

，

34

．

09

　 　 日 本 建 築 学 会 構 造 系論 文 報告 築 第432号

・

1992年2月

Journal　of　Struct

．

　Censtr

．

　Engng

．

　A凵

、

　No

．

亀32

，

　Feb

．

，

1992

高

次

モ

ー

ドと

回

転

軌 跡

を

_考

慮

し た

レ ー

リ

ー

波

分

散 曲

線

の

_逆

_解

_析

INVERSION

　

OF

　

RAYLEIGH

　

WAVE

　

DISPERSION

　

CURVE

　

IN

　

CONSIDERATION

　 　　　 　　 　　　 　

OF

　

HIG

_且

ER

　

MODES

　

AND

　

PARTICLE

　

ORBITS

　　　時

松

孝

次

＊

， 田

村 修 次

＊ ＊

飾

_嬉

TOKIMA

　

7TSU

　and 　

Shuji

　

TAMURA

　Theoretioal

　

formulas

　are　presented 　

for

　

determining

　

dispersion

　curves　and　palticle　orbits　of　mul

−

tiple

．

rnode 　Rayleigh　waves 　which 　a【e　_generated　

from

　a　_point　source 　acting 　on　the　_ground　surface

，



・

Field

　observation 　of　

Rayleigh

　waves 　suggests 止e　effectiveness 　of　the　proposed 　

formulas

．

　

An

　

in．

verse 　process　is　then

−

presented　in　which 　both　

dispersion

　

data

　and 　particle　orbits 　are　used 　

for

　de

．

termin｛ng　shear 　wave 　ve ｝ocity 　structure

．

　

It

　

is

　

indicated

　that　the　

inversion

　process 　which 　mini

．

mizes　

data

　misfit 　of　

both

　

dispersion

　

data

　and　_particle　orbits 　can 　enhance 　the　re且iability　of　the　com

−

puted　soil　structure

．

　

Kegwortts

：inverse　analysis

，

　 geoPhysical　emPloration

，

　

highe

厂 mode

，

　

Particle

　orbit

，

　

Rayleigh

　zvawe

，

　 　 　 shear 　_wave 　 　　　 　　 逆解 析

，

物理探査

，

高次モ

ー

ド

，

粒子 軌 跡

，

レ

ー

リ

ー

波

，

せ ん断 波

1．

はじめ に 　地 盤特性を 把握す る た めに

_，

_様々な原 位置調 査 法 が あ る が

，

事前 調 査

，

施工 管 理

，

広域に おける個 別 住 宅やラ イフラインの震 害予測を 目的と して_， さ らに簡 便かつ 迅 速な調査手法の開 発 が望 まれ る

。

レ

ー

リ

ー

波の分 散 性 を 利 用 し た 物 理 探査 法は

，

地 表面か らボ

ー

リング孔 な しに 表層 地 盤構造 を推定で きる可能性を持っ て お り1）

−

3］ ， 上 記の目的に適し ている と考え ら れ る

。

　レ

ー

リ

ー

波 探 査によっ て 地 盤の

S

波 速 度 構 造を得るた めに は_， まずレ

ー

リ

ー

波 分 散 曲 線を計 測し_， 次に そ の逆 解 析 を行う必 要がある

。

計 測され た レ

ー

リ

ー

波に は基 本 モ

ー

ドと高 次モ

ー

ドが混 在し て い るが

，

従 来の手 法で は

，

求め ら れ た波が 基本モ

ー

ドで あ る と 考 え て

，

逆 解 析 を 行っ て い る場 合が多い2 ）。 し か し

，

表層

S

波速 度 構 造を 決 定す る た めに必 要な周 波 数 帯 域で は

，

高 次モ

ー

ドの レ

ー

リ

ー

波 が卓 越す る 可能 性が高いため

，

その影 響を考 慮し な け

．

れば信頼 性のあ る結果 を得ることが難しい

。

　

さ らに

_，

逆 解 析で は

_tt

解の唯

一

性が問 題になる。 これ は 分散 曲 線が 同 じであっ て も

，

異 なる地 盤 構 造が存 在す ること に

一

因 があ る。 しか し，そ の よ う な場合でも， レ

ー

リ

ー

波の 粒_子回転 軌 跡に差 異が認め られ る

。

す なわ ち

，

波の通過 す る 地 盤 上の 1点の粒 子軌 跡は波の進 行 方 向に 平 行な垂直面内で楕円 と な る が， その形 状は地 盤 構 造の 影 響 を受 けて

，

縦 長 また は横 長に

，

回 転 方 向 も

蒔

計 回り ま た は反 時計回り に変 化す る。 そこ で

，

分 散 曲 線と回転 軌 跡に対 し

，

同 時に逆解 析を行え ば

，

求め ら れ る 地 盤 構 造の信 頼 性 を 向 上する こ と が可能で あ ると考え ら れ る

。

　本 報 告で は

，

任 意の 1点 を発 振 源 とす る レ

ー

リ

ー

波に っ い て

_，

その高 次モ

ー

ドの影 響 を考慮 し た 分散曲線お よ び 回転 軌 跡の算 定 法を示 し， 測 定され た 分散 曲線お よ び 回転 軌 跡と比 較し

，

その_妥当 性 を検 討す る

。

さ ら に

，

こ の 結果に基づい て

，

高次モ

ー

ドの影 響 を考 慮し

，

測定分 散 曲 線と回転 軌 跡に対し て同時に逆 解 析を行い_， 地 盤の

S

波 速 度 構 造 を 同 定する手 法 を提 案する

。

2．

定 常起 振法 に お け るモ

ー

ド重 ね合わ せ の 概念 　レ

ー

リ

ー

波を用い た 物 理探査 が可 能な 理由は

，

その特 微の

一

つ であ る 分散 性 （水 平な多層 構 造 内 を伝 播す る時

，

波 長によっ て位 相 速 度が変わ る性 質 ）に起因 す る

。

この 分散 性を抽出す る方 法に は_， 定 常 起 振 源n濁 や ランダム 振 源2な ど

，

明 確な1点か ら発する波 を観 測す る方 法と

，

微 動41

“

’

6）の よ うにその発振源 が 必ずし も 明確で ない もの を観測す る方法が あ る

。

前者は表層地 盤構造の探

fiH

−

a） に

，

後者は 深い 地 盤構造の探 査4）

−

6J に用い _られ た例が多 い

。

以 下では

，

表 層 探査に適 し た 定 常 起 振 源 を用い る 方 法につ い て考察す る

。

串 東 京工業 大 学 工学 部 建 築 学 科 　 助 教 授

・

工 博 ＊ ＊ _{東 京工業 大学 　大学 院生}

Assoc

．

　Pro【

．

，

DepL　of　Architect賦re　and　Buildl皿g　Englneering

，

　Facd

．

ty　of　Engineering

，

　TokyQ　rns巨亡ute 　of　Technology

，

　Dr

、

　Eng

．

Graduate　Student

，

　Tokyo 艮nstitute 　o「Tec卜nology

VめrationExciteF

Seismometor

後 者の立場を とっ て

，

議 論を進め ることにする。

一

一

一

図

一

1 定常起 振法の概略 　定常起振法は

，

図

一1

に示 す よ うに

，

地 表 面に置い た 起振機で周波数 ／の正弦 波鉛直振動を起こ し

，

レ

ー

リ

ー

波の卓 越し た振 動を地 盤に発生さ せ る。 こ の 波の鉛 直振 動の伝播を， 起 振機よ り 距

ee

　

D

，

，

　D，だけ離れ た 2点で 検 出し

，

位相 差を求め

，

位 相速度 c を得る

。

位 相 速 度 が求ま れば

，

次式よ り対応す る波長 λが決まる

。

　 　 　C＝ _丿『λ

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



9−

_（1_） 通 常の方 法で は_， 上 記の操 作を 異 な る 周波 数に_対して繰 返 すことにより

，

分 散 曲線 （位 相 速 度 と波 長の 関 係 〉 を 得て い る。 　ところ が実 際に は

，

同じ周 波 数で異 なる位 相 速 度 と波 長を持つ 複数モ

ー

ドの レ

ー

リ

ー

波が_{発 生}す る た め

，

_{伝 播} す る波は位相 速 度の_異な る正弦波を重ね合わ せ た もの と な る _（図

一

2a ）。 重ね合わせた波の見か けの位 相 速 度は 各モ

ー

ドの卓 越 度 合い に_依存す る。 この波を任意の

2

点 で観 測す ると

，

粒 子 運 動の時 刻歴が

，

い ずれ も正 弦 波に 見え る _（図

一

2b ）た め， 2 点間の波の位 相差が確定し

，

見か けの_位相速度が求め ら れ る。 　以 上の考 察よ り

，

図

一

1に_示す計測方法で求められた 分散曲線に対し て

，

モ

ー

ドの_重な り を無 視して逆 解 析 を 行えぱ， 結果の信頼性が低 下 する可 能 性が示 され た。 し た がっ て

，

モ

ー

ドの混在す るレ

ー

リ

ー

波を計 測する場 合 に は_， モ

ー

ドが区別で き る よ う な計測 を行う か， モ

ー

ド が 重な る影 響 を考 慮し た解析が必要と な る

。

本論文で は

，

3

．

モ

ー

ド重ね合わ せ を考慮し た分 散 曲 線

・

軌 跡 　定 常 起 振 法は起 振 源が明確で あ る た め

，

起振機で発 生 し た波の粒 子 運 動 と見か けの位相 速 度 を理論よ り計算す る こ とがで き る

。

図

一

3に示す よ うに_， 地 盤 を

N

層よ り な る水 平 多層 構 造 （第N層は半 無 限 弾 性 体 ） と仮 定し， 中心軸の地 盤表面に周 波 数

f

の鉛 直 力

L

が作 用 する軸 対 称 問題 を考え る

。

　

各 層の_{層 厚}

H ，

_{密 度 ρ}

_，

P _{波 速 度} Vp

_，

　S _{波 速 度}

Vs

が 既 知であれば， レ

ー

リ

ー

波各モ

ー

ド （添 字 」はモ

ー

ド の 次 数）の位 相 速度 c丿

，

波長 λノ

，

波の 進 行 方 向に平 行 な面内の_粒子速度の_{水 平 鉛 直 振 幅 比 ［砺 ／}勿。］Jをハ スケ ル の理論7） よ り得ること がで き る。 こ の ［砺 ／勿。］丿 は正 ま た は負の虚数であ る た め

，

鉛直振 動と水 平 振 動の位 相 差が

90

°

ま た は

一90°

となり

，

軌 跡は楕 円で

，

そ

・

の長 軸 お よ び短 軸が 鉛直軸ま た は水 平 軸に

一

致 する

。

　さ らに

，

ハ

ー

クライ ダ

ー

の _{論 文}s， の （103）式よ り_， 起 振 距 離 r に お け るレ

ー

リ

ー

波

j

次モ

ー

ドの鉛 直 変 位 w 。および水 平 変 位 q。が 次式で表さ れ る。 　　　Wo（ノ　「k，

，

　r）

＝−

i（L／2）ARiH8 ，_（

h

丿r）

・

・

・

・

・

…

　（2） 　　　 qo（

f

：

k

，

，

　r）

＝

・− i

（L／2）［甜 ／吻o〕∫AR丿HP （

k．

Jr ） 　 　 　 　

…

　

t−・

・

・

・

・

…

　

一一t・

・

…

　

tt・

・

9・

・

一

・

・

…

　（

3

） こ こ で

，L

は起振機の鉛直 力

，

　H_『

，

　Htm は第2種

Hank・

el 関 数， ん∫は 」次モ

ー

ドの ミディアム レ スポン ス， 島 はゴ 次モ

ー

ドの波数

，

［鰐 ／砺

l

」は

j

次モ

ー

ドの水 平 鉛 直振幅比 （実数 ｝で

，i

_［

Utfu

。

L

；

［騙 ／勿。］丿で ある

。

なお， Wo と

_q

。 は複 素 数であ る。 　起 振 距 離 r に おい て

，

M 次モ

ー

ドまで重ね合わ せ た 波の鉛直変位肱 お よび水 平 変 位

Qm

は

，

（2）

，

（3） 式 で表され る各モ

ー

ドの_{変 位}を そ れ ぞ れ加え合わ せ る こと に よ り

，

次 式で与え ら れ る

。

Point　S ｛a｝

o

mode1 model

＼

_翳

2

stance 丁

lme

Vbt

’

tica

！　

Poht

　

Source

「

r1

2

3

→ ｛

b

）

＼

　 　 贓 oged 伽 図

一

2　（a_）起振源よ り伝 播する モ

ー

ドの重なっ たレ

ー

リ

ー

波： 　 　 　〔b）1点で観 測さ れ る モ

ー

ドの重なっ た レ

ー

リ

ー

波の時 　 　 　 刻歴 n

・

1n

図

一

3　 地 盤モデル

一

₉₈

一

肱（／：r）

＝

Σ二Wo（

f

　

h

‘

，

　r）

・

・

　 　 　 t

＝

1

・

・

rr…



一・

_（

₄

_）

Qm

（∫

　

r］； Σ】q 。（∫

　k

‘

，

　f）

・

…・

・

　　

………

（51 　 　 　 ‘

iL

通常ω。

，

q。の振 幅は

，

比較的 低 次モ

ー

ドで大 きく

，

高 次に な る ほど小さ く な る

。

そ の た め

，

以 後の解 析で は最 大 振 幅の 1／

20

程 度の振 幅を持つ モ

ー

ドまでを 考 慮 して い る。 こ の結果

，

実 際の （4 ）

，

（5） 式の M は地 盤 条 件に よっ て

3〜7

程 度と な る。 　起 振 距 離

D ，

，D ，

の 2点間 を伝 わる波の鉛直 成 分の み か けの _{位 相差 φ。} は

_，

2点の _波形の クロ ス ス ペ ク トル

Gn

（

f

）の位 相 角91_ζし て

，

次式で定義で き る。 　 　　φv；

−

tan

−

1

（

Imag

（Gn（ノ））／

Real

（

Gi2

（／））

……

（6）

こ こ に_，

G

，、（／）

＝

W 嶺（

f

：DI）Wm（∫：

P

，〉で， ＊は共役 複 素 数 を表 す。 したがっ て

，

モ

ー

ド重ね合わ せを考 慮し た 鉛 直 成分に対す る み か けの位 相 速 度 Cm は次式で与 え ら れる

。

　 　　c毋

＝

  、

−

D

，〕

・

2π

f

／φv

・

…・

………・

・

’

_…

《

7

｝ 同様に

，

水 平 成 分に対する位 相 速 度も求ま る

。

　また起 振 距 離 r に お け る粒子 回転軌 跡

upva

は_{， 次} 式で与え ら れる

。

　 　　σ

Pl

〃

＝

Q

旧

（／：7）／lVm（／：7）

7『

………・

（

8

） こ こ に_， 各モ

ー

ドの _［

a

。／勿。］J は先に述べ た と お り虚数 で あるが

，

モ

ー

ド重ね合わせ を 行っ た後の

UPW

は複 素数とな る

。

し たがっ て

，

鉛 直振 動と水 平 振 動の位 相差 が 必 ず し も

90

°

ま た は

一90°

と な らな い。 こ の た め

，

軌 跡 の長 軸お よ び短軸が鉛直軸ま た は水 平 軸と

一・

致せず 傾 斜す る 場合が あ る

。

こ の 粒子 回転 軌跡 が

．

波の進 行 方 向 に向か っ て， 時 計回 りの回転 （順 回転）であ れ ば 正

，

反 時計 回り回転 （逆 回転 ）であれば負と し， そ の水平 鉛 直 振 幅 比 をこ の符 号 をつ けて次 式で表す

。

　　

u／w＝ sign ［

Im

・g（

G 。

、（

f

））］

iQ

。

〔ノ：r）

1

／

1

　

Wm

（／：の

1

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

（

9

） こ こに

，Gwe＝W

_叡∫：r_）

Qm

_（

f

：　

’

r）で あ る。 　上 記の_{算 定}を 異 な る 周 波 数にわ たっ て行え ば

，

対 応す る 分散 曲線， 回転 軌 跡を得るこ と がで き る。 ま た

，

上記 理 論は ユ点に作 用す る正 弦 波 鉛 直振 源に対して導い たも の である が

，

ラ ンダム な鉛 直 振 源 を用い る場合で も

，

波 をフ

ー

リエ _{変 換}し て各 周 波 数につ い て考え れば， 成 立す る。 な お

，

実際の地盤は微小 振 幅 領 域において も， 何ら かの_材料減衰を有す る と考え ら れるが

，

本 論 文で は そ の 影 響は_{考 慮}してい ない。

4．

モ

ー

ド重 ね 合わ せ の妥当性 　提 案手法の_{妥 当性}を検 討す る た め

，

表

一

1に示 すモ デ ル地 盤に対し て，高次モ

ー

ドを考 慮して分 散 曲 線 を 求め

，

図

一

4に示す。 図

一

4a は表層 が堅く

，

その下に軟ら か い層がある場 合 （表

一

la）

，

図

一

4b は中間に軟ら かい （a _＞ 表

一

1　モ デル地 盤 Layer 　No τ　hlckneSSω Densi切 （t！m3） P

・

  ve　Veloci畑 　 　 （叮！s） S

・

甘ave サebcity 　 　 ω s） 11

，

1

．

7300

．

】30

，

24

，

1

．

81000

．

80

．

38

．

1

，

8 】400

．

140

．

4 1

．

81400

．

300

，

（b） Layer 　 闢0Thick 冂ess 　 （の

Oeηsity　P

−

Uave　VelociLy （tノ匝3） 　 　 　 （mXs） S

一

贓ve

　

VelociLソ 　 　 （匝〆s） 】 2

．

1

．

7

’

　 　 　 300

，

80

．

24

．

1

．

　8　　　　1000

，

　　　　　　150

．

34

．

1

．

81400

．

　 1120

．

45

，

1

．

81400

．

20D

．

5 1

．

81400

．

　　 　 　 300

，

　 　 　 Phase　Velocity｛mls ） 0　　　　100　　　200　　　300　　　400 0 10 　 　 　 　 　 　 20

ハ

⊆

 

）

‘

一

〇 匚 O 」 Φ 〉 堊 》 30 40 00 10 Phase　Velocity_（mts ） 100　　　200　　　300　　　400

ε

量

、。

菫



30 40 図

一

4　モ

ー

ド重ね合わ せ よ り求め た高 次モ

ー

ドが卓 越す る 分散 　 　 　 曲 線

D

一

層 が ある場 合 （表

一

1b）の例で あ る。 モ デ ル地 盤の よ うに堅い層の下に軟らかい層が存 在す る場 合， 高 次モ

ー

ドが卓 越する ため

，

波 長が短く な るほど位相速度が大き く なるとい う逆 分 散の傾 向が 認 め ら れ ているZ〕

_。

提 案 手 法によれば

，

そ の分散傾向を良く表現す ること が可能で ある

。

なお， 図

一

_{4に は7次の モ}

ー

_{ドまで示し た が}

_，

_図

一

_{4a では 6次モ}

ー

_ドまで

_，

_図

一

_{4b で は}

₄

_次モ

ー

_{ドま で} を考 慮すれ ば十 分で あっ た

。

　次に

，

提 案 する回 転 軌 跡の _{妥 当 性}を検討す る た め， 新 潟 市 上所 小 学 校グ ラン ドに おい て現場実験 を行っ た

。

図

一

_{5に調 査 地 点}に お け るボ

ー

リング_，

PS

検 層

，

地 表 面 弾 性 波 探査 よ り求め た地 盤 構 造を示す

。

　起 振機 （起 振 力

250kgf

） を地 表に置き

，

その放 射 線 上の数 点にそれぞれ水 平お よび鉛 直 地 震 計 （速 度 計で固 有周期 1秒）を配置し_， 起 振 機を鉛 直方向に正 弦 振 動 さ せ て， 各 点の粒 子 回 転 軌 跡 を観 測し た。 各 観 測 波 形は増 幅し

，100−

1　OOO　

Hz

で

AD

変 換 （12ビッ ト）し て

，

ラッ プ トップコ ンピュ

ー

タ に取 込ん だ。 　 図

一6

に起 振 距 離2

〜

16m に おける周 波 数35Hz

−

6

．

5

Hz

の測 定 軌 跡

，

基 本モ

ー

ドの み の理 論 軌 跡および 4 次 のモ

ー

ドまで重ね_合わ せ た理 論 軌 跡を比 較し て示す。 各 起 振周波 数に対す る測 定 回 転 軌 跡は

，

鉛 直水 平 動の _観測 デ

ー

タをフ

ー

リエ _{変 換}し

，

_{対 応}す る成 分を抽 出し て描い た

。

な お

，

水 平 動と鉛 直動の コヒ

ー

レン ス は 1に近い こ とを確 認 し てい る。 図

一

6 中の各回転 軌 跡は

，

そ れ ぞ れ の_{水 平}動 と鉛 直 動の う ち絶 対 振 幅の大き い方で正 規 化し てい る

。

ま た記 号

“

R”

は回転の 向きが逆 回 転である こ と を示して い る

。

　測 定 軌 跡 （図

一

6a）は

，

起 振 距 離2

〜

4　m を除けば

，

9Hz 前 後で回 転 方 向が逆 回転か ら順 回転へ 変_化し て い る

。

ま た， 各 周 波 数とも， 楕 円 軌 跡の ふ く ら み と傾 斜が 距離に よ り変化 してい る。 さ らに こ の傾 向は

，10Hz

以 上の短 周 期 領域で顕著で ある

。

　

一

方

，

基本モ

ー

ドの み に よる理 論 軌 跡 （図

一

6b）は

，

0 5 　 　 　 　 　

　

0 　 　 　 　 　 　 1

（

E

）

£ α Φ O 15

20

SPTSh8arWave 　Velocity

Soil　ProfileN

−

_Value

（m ！s） 0 500 60

一

’

”

Rne

　

Sand 図

一

5　上 所 小 学校の地 盤 柱状図 とS波 速 度 構 造

一

₁₀₀

一

Distance

　from　Exciter （a｝

あ O 匚 O コ け  

」

」 2m　 　4M　　6m 　　em　 　IOm 　12m　i4m　 16m ・馳

φ

奄垂唱十

申寮金

・馳

θ

〈

琺毋

｛

艮

く

翁毎

く

昧琺

敝

｛

a

Φ

_7a

癒母

く

飫θ

1

毋

伽

岳十十垂

｛

銑金畿

一

旺

1・貶

十モ

十

「

』

譱差そ

一

法

・va

チ モ

十

十

チ

十十十

8・・

「

監

」

し

十金

十び乎

一

ダ

・Hz

十十

舎

e

〈

Doee

・・臣

十十Φ

一

（

朕》

〈

囲

〉

〈

》

  臨

笹

0

笹

彈

 

母

魚

撫

器

鰤

釜

缶

＄

陥 ．

奄

金

毎

伽

金

＄

＄

 

a

＄

a

一

　

金

丑

十

丑

母

金

奇

十

十

　

　

　

十

モ

　

　

十

十

モ

　

　

十

十

十

　

　

十

十

悲

　

　

十

十

モ

　

　

丑

十

丑

融

　

　

馳

　

　

撒 ・・

垂笹丑

G

班金

G

金

…

fe

θ

eG

｛

研

一

〇

：

G

−

G

　 　　　 　　 DiStanCe看rOm　ExCiter　　　　 （C〕

齣

奄

庵

侮

毎

垂

十

畢

ρ

θ

謙

　

　

　

　

　

　

　

　

　

繍

　

Φ

e

奄

壬

　

乎

　

　

　

　

　

　

　

忸

爭

跏

亀

伽

a

垂

窃

毎

壬

＋

爭

岳

¢

叢

…

韓

欝

欝

灘

纐

舞

灘

＃

軸

　

撚

灘

　

　

胱

　

　

憲

嚇

　

　

　

　

　

　

　

　

　

囲

すべ て の周 波 数お よ び起 振距離で逆回転と なっ ており

，

実 測 値との対 応が悪い。 ま た楕 円 軌 跡のふ く ら み と傾 斜 の距離による変化は少ない。 これに対し

，

重ね合わ せ を 考 慮 し た 理論 軌跡 （図

一6c

）は

，

回 転の方向も 楕 円 軌 跡の ふ く ら み と傾斜も

，

測定 値と 比較的良い_対応を示し てい る

。

な お

，

起 振 距 離

2− 4m

の周波 数ユ

OHz

以 下で は

，

コ ヒ

ー

レ ン ス がほぼ 1である にも かか わ らず

，

実 測 値と の_{対 応}が悪い。 こ れ は， 測 定 波長に対 し て起 振 距 離が近 す ぎ る た め

，

（2｝

，

（3 ）式では考 慮でき ない実 体 波の 　 　 　 l 影響 が無 視でき な く な る た め と 思 われ る10 ）

。

　 以上の よ うに_， モ

ー

ド重ね_合わ せ による分散性お よ び 回転軌跡は

，

実際の測 定 値や傾 向と良く対 応して お り

，

表層構造 を推 定する た めに必 要 な 周 波 数 領 域 にお ける レ

ー

リ

ー

波が

_，

複 数の モ

ー

ドよ り成ること を あ る程 度 説 明している

。

5．

モ

ー

ド重ね合 わせ と軌 跡の振 幅 比 を考 慮し た逆 解析 　 逆 解 析におい て

，

得 られ た解の 唯

一

性は常に問 題 とな る

。

分 散 曲 線に対し て の み逆解 析を行 う既往の方 法111で は

一

般に解をユ ニ

ー

クに _得るこ とは難 しい

。

_時松

，

桑 山31 は分散曲線の 逆解析よ り求め た 地 盤構造の理論 回 転 軌 跡 を実 測値と比較す ることに よ り

，

解の_信頼性を向上さ せ る 方 法 を 提 案 して い る

。

しか し

，

この方 法では 回転 軌 跡 の適 合の程度を主観 的に判断す るこ とに な る。 そこ で

，

こ の よう な評価をより客 観的に行うため

，

分 散曲線と粒 子 回転軌 跡の_{振 幅}比

’

に対して同 時に逆 解 析を行っ て

，

S 波 構 造を決 定 する手 法を以 下に提 案 する。 こ の際

，

前 述 の （7 ）

，

（91 式 を用い れ ば高 次モ

ー

ドの影 響を適切に 考 慮す ること がで き る

。

な お

，

こ こで提 案する逆解 析 手 法は参考文 献

11

）を参照 し

，

そ れ を改 良発 展さ せ たも の であ る

。

　 レ

ー

リ

ー

波の 水 平 鉛 直 振 幅 比 U／W は

一

〇〇か ら・ 。 _ま で変 化す る た め

，一

。・ _や。。に近い値があっ た場 合， 観 測 値 と理 論 値の誤 差 を極 小にする逆 解 析で の最 適 化が困 難と な る。 さ ら に

，

U／W が 0は粒 子 軌 跡が純 粋な上下 運 動

，

1は円運 動

，

6。 は_{純 粋な水 平 運 動に対 応する か ら} ，

U

／W をその ま ま最 適 化の指 標とする と

，

水 平 運 動が卓 越 し た場 合

，

誤 差を過 大 評 価する ことに な る

。

そ こ で_， 振 幅 比

U

／w を 表

一

2に従っ て対 数 変 換し た値

uw

を 最 適 化の対 象 とする

。

この ことは

，

回 転 軌 跡の順 回転と 逆 回 転 を

UW

の正 負に

，

水 平 鉛 直 振 幅比を

O−

2までの 絶 対 値に置き換える こと を意 味して い る。 以 上の変 換に より

，

UW が 0は 上下 運 動

，

1は円 運 動

，

2は水 平 運 動 表

一

2　対 数変換し た回転軌跡の水平鉛直振幅比 に対 応す る た め_， 上下 動の卓越 し た運 動 と 水平 動の卓越 し た運 動の振 幅 比の誤 差を同 等に評 価す ること が可 能と なる

。

　 求め る 地 盤は図

一

3同 様

，

水平

N

層 構 造 より成 る も のとする。 各 層の密 度 ρと

P

波 速 度

Vp

の変化が分散 曲 線に与え る影 響は

，

層 厚

H

お よび

S

波 速度

V

。に比べ て は るかに小さい た め

，

層 厚，

S

波 速 度の みを変 数と し

，

密 度

，P

波速度は

S

波 速度に対 応して仮 定する

。

_変数を

』

ま と め て a

_，

その_{総 数 を ノ（}

＝

2N

−

1）とす る

。

ま た

，

周 波 数

ft

に対 し

，

測定 位 相 速 度

C 。

i と対 数 変 換 し た測 定 軌 跡の振幅比

UW

。tが

1

組 与え られ る と する。 対 応す る 各周 波 数に対し てモ

ー

ド重ね合わ せ 理論よ り求め た 理論 位 相 速 度を C‘

，

対 数変換 し た 理 論 軌 跡の振 幅 比 を

U

既 とし

，

最 適 化の_条件を次式で与える

。

　 　 　 t　 　 　 　

　

　 　 　

S

＝ _Σ］（

Ce

厂

C

‘） 2 十_βΣ】（

UWei−

UW ，） 2

＝

min 　 　 　 　 i

＝

1　　 　　　 　　　 　　　　 　 tEl 　 　 　

…tt…・

…・

・

・

・

・

・

………・

…・

一

（10） こ こ に

，

βは残 差 平 方 和

5

を 評 価 する た めの重みであ る

。P

を ∂Ct／∂a」 と ∂ σ畷／∂aj を要 素と する 21行

J

列の行 列

，

D を

J

個の変 数補 正 量 を要 素と す るベ ク ト

ル

，

C を 21個の

Cei− C

，と

UWei−

　

UWi

を要 素と す る

ベ ク トル と すると

，

次式が成 立す る

。

　　 　 　 　　 　 　

、

　 　 　

P

「

1UPD

_＝＝

PTWC

…・

…・

……・

・

…・

………・

_（11_） こ こ に W は21 行21 列の_重み行 列で あ る

。

（

11

）式を 解い て D を求める

。

次に

一

方 向探索を行い

，

最適 係 数 μ を 決 定する

。

A を

J

個の変数 αを要素と す るベ ク ト ル とす ると

，

補 正 さ れた新 しい地 盤 構 造は次式 で表せ る3 ）

。

　　　

A

＝

A十 μ1）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



9…



9・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



《12） 以 上の操 作を繰り返し行い

，

残 差平方和 を極小と す る変 数の組を

，

求めるべ _{き 地盤 構 造と す る}

。

6．

測定分 散 曲線に対 する逆 解 析 　新 潟 市 鏡 淵 小 学 校お よ び東工大グラ ン ドで

，

定常起振 法による レ

ー

リ

ー

波 探 査を行っ た。 起振機お よび測 定 装 置は4章で述べ _たもの と同様であ る。 起 振 機と鉛直水 平 地 震 計 を 図

一

1の よ うに配 置し た。 現在の ところ， 起 振 源か ら どの程 度 離れた距 離か ら （2 ）

，

（3 ）式 が成 立す る かについ て明 確な判 断 基 準は な いが

，

筆 者らの既往の 研 究10〕 に し たがっ て

，

起 振 機か らDI と

D

，の中心 まで の 距離を測 定 波 長の 1／4以 上と し た

。

これに応 じて

，

D

、，

D

， を 波 長10m 以 下の波に対 して 〔2m

，

3m ）， そ れ以 上の波 長に対して （10皿

，

_ユ4m ）に設定 し た

。

こ の 間

，

D，と D，の 中点の位置が変ら ない よ うに

，

起 振 機 と地 震計を移 動 し た

。

起振周 波 数は_， 〔2m ，3m ）の設 定に対し 十 数

Hz

か ら100　

Hz，

_（ユOm

，

14m ｝の設 定に 対して数

Hz

か ら十 数

Hz

程 度で あっ た

。

な お

，

　

D

_、

，

　

D2

2点の測 定 波の コ ヒ

ー

レ ン ス は1に近い値で あっ た

。

一

一

0 5 　 　 　 　 　 0 　 　 　 　 　 　 1

（

ε ＝ 五 Φ O 15 　 　 20 図

一

7 地 盤柱 状図 お よ びダウンホ

ー

ル法によ り求めら れ た S波 　 　 　速 度 構 造と提 案 手 法による結 果の比 較；鏡 淵 小 学 校 グラ 　 　 　 ンド 0

ゴ

 

SPTSh   wa 鳴 》dodt

Soil　ProfileN

・

_Value

｛m ／s_） 0500 60 F畝eSa 冂d

〒

＼ Ths

　

M酣 翻 x

ド

釧

：

NN 　

．

”

　

_夏

4

　

翼

．

S即 dyS 乱 Fine　Sand

響

，

…

瀛

，H。植 CoarsoS ：MB電剛

．

．

 LMedh

川 旨 Sar剛 _ミ

3

F頃eSand

33

； 1o 5 　 　 　 　 0 　 　 　 　 　 1

（

ε 二 豈

8

15 　 　 20 図

一

8 地 盤 柱 状 図および ダ ウン ホ

ー

ル法により求めら れたS波 　 　 　速 度 構造 と 提案 手法に よ る結 果の比較 ：_東工 大 グ ラン ド

SPTShoar

　W  V9  ty

Soll　ProflleN

−

_{Value 〔m’51}

0500 600

‘

　

　

ノ

F

　

〆

　

r

_： 彡

！

ノ

・

彡

’

Loam ’■ D  トめ協

〆

　　

’

　

’

ノ

　

，

， Me廿にd 　

〆

‘

，

≡ 旨 ……≡ _αay ：

，

／

憎

P1

：

_齢 画竃 G旧veI

」

譌

Ftng

　

Sand 1

■

o編 _G 旧vd

■

ロ

　

ー

　1 　　　

1

／

「 τhs　Me鱈即d1 馳」ds量or旧 ：

■

■

　図

一

7

，8

に測定地 点の地 盤 柱 状 図と ダ ウンホ

ー

ル法に よ り求め た

S

波 速 度 構 造 を示 す。 ま た

，

測 定さ れ た分 散 曲 線 と 回 転 軌 跡の振 幅 比を図

一

9

，

10に丸 印で示す

。

測 定値に対 して， 提 案 手 法に よる逆 解 析を行っ て地盤構 造 を求め た

。

こ の際

，

地 盤の初 期 構 造モ デル を複数， 任意 に与え て逆 解 析 を 行い

，

（10 ＞式で定 義さ

_典

る残 差平方 和を最も小さ く する よ うな地盤 構 造を求め る 解 と し た

。

な お

，

βは位 相速 度 c をメ

ー

トル単 位で表し た時

，1G3

と し た

。

　逆解析の _{最適 化}によっ て_， 図

一

9_， 10の実 線の よ うに

，

理論分散 曲線と 回転 軌 跡の振 幅 比が測 定 値と ほ ぼ

一

致し て い る

。

分散 曲線に加えt 軌 跡の振幅比 が実 測 値と適 合 し て い る ことで

，

分 散 曲線のみ を考 慮し た従 来の方 法に 比べ

，

_解の信 頼 性が 高 め ら れ た と考え られ る。 さらに

，

高 次モ

ー

ドを考慮し た本 手 法は

，

基 本モ

ー

ドだ けで は評 価で き ない図

一

9に見 られ る逆 分 散の傾 向も 良 くシ ミュ レ

ー

ト し ている

。

　逆 解 析で得られ た

S

波 速 度 構 造 と

PS

検 層 結果 を図

一

一 102一

　00 10 20

ε

葛

⊆ O 」 O 》

睾

30 40 Phase　Velocity｛mts ）　 　　 　　 　 u／w 　 　 　 　R lOO　　　200　　　300　　　400　10　1　0

，

1　1　10 o 曾

。

o 図

一9

　測 定 お よび 理 論の分 散 曲 線 と軌 跡 振 幅比 ：鏡 淵小学 校

　 　 　 　Phase　Velocity_〔mls _）ulw 　 　 　 R 　O　　IOO　200　300　400　500　60010 　1　0

．

1　1　10 0 10 20 30

｛

ε £

2

ヨ   〉

睾

40 　 50 図

一

10　測 定お よび理論の分 散 曲 線と軌 跡 振 幅 比 ；東工大グラ 　 　 　 ン ド 7

，8

に比 較す る

。

両 者は

，

東工大グ ラン ドの深度7

〜

13 m において や や対 応が悪い が

，

全 般 的に深 度 15

〜

20m まで よく

一

致 して いる。 ま た

S

波 速 度が変 化す る境 界 面 の深 度 も地 盤 構 成およ びダウン ホ

ー

ル法の結 果と よく対 応して いる。 これ は

，

逆 解析におい て

，

層 厚を変 数とし て い る た め

，S

波 速 度が変化す る深 度を解 析 的に_検出し

た結 果で ある

。PS

検 層 自 体の誤 差 を 考 慮 すると，　

PS

検層 と同 等の

S

波 速 度 構 造が最 大 測 定 波 長の 1／3

−

1／2 の深度ま で求め られてい ると思わ れ る

。

　な お

，

以 上の結 果は

_，

地 盤が水 平 成 層 構 造で

，

計 測結 果に対す る実 体 波の影 響が ない と仮 定して導 びか れてい る が

，

実 際に は

，

この よ う な仮 定が満足 さ れ ない場合も あ る と思わ れ る

。

し た がっ て

，

図

一9

にみ ら れ る逆 分散 の _傾向 を 含 め

，

測定され た 分散 曲線 が仮 定し た 理 論 ど お り地盤 構 造を反 映し てい る かどう か実 証す る た め に は

，

さ らに実 測資料の蓄 積が必 要である

。

7．

結 　論 　 弾 性 波 動 論に基づい て

，

地 表 面の任 意の 1点に加わる 鉛 直 振 動を発 振 源と す る レ

ー

リ

ー

波に対 し

，

そ の高 次 モ

ー

ドを考 慮し て

，

鉛 直 成 分お よ び水 平 成 分の_{分 散 曲線} と回転 軌 跡を算 定す る方法 を導き

，

その有 効 性を

，

実 測 し た分散曲線

，

回転 軌跡と比較して_示し た。 こ の結果に 基づい て_， 実 測 され た分 散 曲線に対 して

，

高 次モ

ー

ドと 回転 軌 跡 を考 慮 した逆 解 析を行っ て地 盤 構 造を決 定 する 手 法 を提 案し た

。

こ の手 法に よ り

，

得ら れ た解の信 頼 性 を 高め ることがで きる もの と考えられる。 今 後

，

さ らに 原 位 置 比 較 試 験の蓄 積を図る と ともに

，

地 盤の材 料 減 衰 の影 響など を考 慮し て

，

提 案 手法に よる地 盤構 造 推 定の 精 度 向 上につ い て検 討して い く予 定で あ る。 謝 　 辞

　

本研 究は

，

文部 省 科 学 研 究 費の補 助 を受け_{く 行}っ た

。

ま た東 京工業大 学理学 部 応用物理 学科齋藤正徳教授お よ び同大 学 院 総 合 理 工 学 研 究 科 社 会 開 発 工 学 専 攻 翠 川三郎 助 教 授に は

_，

貴 重な ご意 見 を賜っ た

。

記して謝 意 を表す

。

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