<論説>オプション評価式の解析解 : レビュー

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(1)説ノ. く論. オプション評価式の解析解東. 田. 口. 戸丈. も知れない. 本稿では，もっとも基本的な市場モデルの下での，株式オプション，割引債，債券オプションはついて，仝日の段階でその解析解が知られ. -. ている成果を一. いくつかの数学的命題は. 例外. - 一ほとんど行間の計算をノ、要としない. 以下本文の概要を記す 1. と証券プロセスのマルチンゲール，性の間題等に. ・. モデルから，. リククレスヘッジ. 満すべき偏微分方程式を導く一. 2 : 上記の方程式を，その解が知られて. いるいわゆる拡散方程式に変換することによって株式オプション価格式を導出する. みられるようにきわめて精微な経済学的・数学体裁を様しているが，それらの多くはいわば. 1 : 利子率が一定のもっとも基本的な. と俺裁定条 fT を用いて，株式オフ、ンコン価格が. Ⅰ. 条件付証券の議論は，いわめる裁定取引機会. 一. Black-Schnles. ほど詳しく説明する. 白り. レビュー. 燃している学生諸君には何らかの参考になるか. はじめに. として. :. 1 一 3 '.Cox-Ross 的には Feynman-Kac. のリスク中立化法，. 数学，. の定理により，上記偏微. 定性的な命題提起に生きなおいており，実際の条件付証券価格の導出については結果のみを示. 方方程式の刑解法を行なう. してそれで事足りとしているむきもみられる. ときの株式オフ、ンコンおよび債券オブ、ンコンの. 研究論文としてはそれで十分であり，細かい導. 満たすべき偏微分方程式を. 出については適当な教科書にあたればよいのか. ンはついて解析解が求められる．このモデルは. も知れないが，残俳なことに，入門的な書物に. Merton によって研究されたものであるが，利. は難しすぎるということで省略されて，他方専. 子率の確率構造がみかけよりはかなり. 門家向の書物には研究論文と同様に導出過程が. あることを指摘する. Ⅱ. 示されていないというのが実情の 2 6 である．. : 利子率が確率変動する. m 一. l. :. 場合に一般化した. 導き，株式オブシ，. 限定的で. 利子率が非常に一般的な確。構造を. さらに，本稿の後半のような利子率が確率変動. 有し債券価格が短期利子率のみの関数と仮定. する場合は，研究成果がきわめて最近であると. したときの債券価格が満たすべき偏微分方程式. いうこともあって， -専門家向の書物にさえ. が求められる．後半では，. んどふれられていない．. mean-reverting. 本稿は，筆者が最近の論文等を読みながらフォ. ロ. ー. しえた断片的備忘録を出来る限，り体系的. に整理したものである．もとより専門家にとっては常識的内容であろうが，筆者と同様にこの. 分野の複雑な計算を要する参入障壁の高さを痛. Ⅲ. 一. いわめる平均回帰. 自. り. ・. ほと. な利子率の場合に特殊化される. 2 : 上記よりもさらに特殊な正規分布に. 従う利子率の場合について， F 。 vnman-Kac の定理を用いて，直接債券価格の評価式を導出する m 一 3. : 利子率が Feller の研究したプロセ.

(2) 2 (210) スに従. 第 3 号 (1991). 第 Ⅶ巻. 横浜経営研究ときの債券価格が満たすべき偏微分方. う. 程式を導き， Ineersol1 のアドホックな方法と同様にその方程式の解析解が示される．. ぱⅤ二 Q( 、づ C+Qs メC. の項に伊藤のレンマを用いると. Ⅳ一 1 : 一般的な確率変動をする利子率の場. み Ⅴ二. 合の債券オプシ，ンの満たすべき偏微分方程式を. 一. 2. 二. : 利子率が正規型の平均回帰過程のと. きの債券オプションの評価式を導く． HeathJarrow-Morton と同様に直接期待値を計算することも可能であるが，ここでは Merton の結果を利用した Rabinovitch の研究を若干の修正を指摘して紹介する． : 利子率が Feller のプロセスのとき. 3. 一. (Qs+Q. 。、 LkいイS+. この場合には，. レ Q Ⅰ>P+Q. 。rC,. となるから，ゐの係数がゼロになるようなポートフォリオを組めば，株価の変動による. リ. スクはゼロとなる．また，投資額をゼロと考え. れば，無裁定条件. よ. ，ぬの係数もゼロとな. り. らねばならない．したがって・. 0 C 二㏄ダ. 導く・. Z). Sみ. c@ダ C ㏄) ぬ. の Cox-Ingersoll-Ross の債券オプションの結果を. ぶ. ﹁，件 Q0. Ⅳ. Q メ C,ぬ十 Cs ぬ十手がダ C + Qs メ5 千 rQp 八%. 導き，期待値による表現を示す・ Ⅳ. 己 dS 十 rQp 五ヵ. Q 、S+ Qc.C, 二 0 ，. 実は CoX-Ingersol1-. Ross の示唆する万法によっては彼らの結果を導くことはほとんど不可能であることが指摘さ. れる・本稿では，最近のLongstaff の成果を援が得られ，これらをまとめると，. 用して，解決を試みている．・丁上 Ⅰ. Black-Scholes. rC二 C 十 rSCs+十がダ C ㏄. の基本評価弍の導出. なる偏微分方程式が得られる．ヨーロピアンコールオプションの場合には，この微分方程式. リスクレスヘッジのポートフォリオ. 株式市場およびオプション市場は，別 ackS 。holes の理想的条件をそなえていると仮定すると. U,. Ⅰ. (1). ‥‥. い. ただし. ・. 一. K, 0t のもとで解けばよ. K はオプションの満期日 T にお. 2. 目 ack-Scholes. による微分方程式の解法. S に依存した確率変数でもよい．. この微分方程式を，一般解が知られている拡敵方程式に帰着させるために別 ack-Scholes はまことに巧妙な変数変換を見い出した，，．ここ. f 時点で，価格がS ㈲の株式を Q, ㈲単位，. で，彼等が用いた拡散方程式は，. によって記述される．ただし， 0 は正の定数で，のは標準ウィーナ一過程である・がは， f と. を C(5 。刀二 maX@5. ける行使価格である．. 株価鰍めの運動は，確率微分方程式. みS (t) 二ん S ( めみⅠ十 a S (t) りのわ). 2. 価格が C は㈲，めの株式オプション. Q 。㈲単位，. 満期日が T の価格 p ㈲の割引債を Q, ㈲単位購入するポートフォリオの価値は， y れ) 二 QCC 十 QS5 千 QPP. a ノ (X, ご) 33. ，. 一. %a Ⅰ. 2a2 a(ぴ，ご 2) ,. ェノ 0 ，. " は. 条件. ノは，. ノ. ぴ. 定数，. 0) 二パめ. る. と. す. を. 率子. エ@ 小のノ疋，. り. てよ. 一一. たがっ " 。. し. ナン P る︵. で表わされ，その解は，. 一㏄くび. く㏄. ，. (3). パⅠ.

(3) オプション評価式の解析解. :. レビュー. (東田. 痂 1. ㏄. 。 ")e"", め. Ⅰ (u 十乙ヮ。. Ⅰ". -一 Ⅴ. ，与弍。， T K [ '"",'v2r 一一" @" 一' 1一 l] X e-丁. 。4. みヮ. となる．積分の下限，は，. -u/V2x. ひ S, め = ダ，-7 ノ (ぴ，百 -). ¥oe(S/K)+ ( Ⅰ ol 2，件. つ. 三ダ，- 刀 vy([(2/0 ひト一ヰ -が )]. ）. X[log(S/ 幻日Ⅰキ力け --T)], 円 2/が ). 2 式に代人する. ど. 布関数を N(.) とすると， l 一 N トあ )=N. であるから，積分の第. ふ. @v,,(2/ が. 2. 項は， K. Ⅱ. 一2. が). 1. /. O"). 2. ノ. ると，. Ⅰ cr-). 「. 0( 三 0) の条件は. ェく Ⅱ (三. ・. つ. /:;,。、Ⅰ. ど丁 l"" ,み仁っ. られすと，これは，. ・Ⅰ. 瓦ダつ""" 丁。。. C に関する条件は，. ，. 「・・. /(M)=. を研とあ. フ姉とおくと. 一 K,. ぱ三. 八， (み1) 77. 0. このょうな条件に変わる. したがって， Ⅱめの形から， (4@ は，. ヰ t Ⅰ. S= くダ丁. e-丁とヮ. T. (2/けりレ一十が )lo9け瓦 ). ｜. ，. また・. ゆえ，. したがって，. 伍. ％. タ幻. M 二. T. V ，二一 T. のときは，. Sダ. 0) に. ". = q 一 nV. 百. O 十あ-. ぱ三 0. 荘. " 。。. ここで，. みヴ. う. @. 1び@。. 暁百. g. 等しい 3,. したがって，Ⅱめ =0 ， M く O.. 刀. ぱく. ね0%. るから，. のときは， f 二 T で. 十ヴの. 一 7「. ｜. ヴ )， l一 2 Ⅰ一一. ノ. り１% な１と二玉け. あ. Ⅴ了三 t e-%. x 什一刀 Sp,.,. ・. 1. たしている．また，ヱ =0. .‥。6. のばおよびズを代人す. l. 十二@Sピ，，- 刀. は， ). 妃マ。〒八み，).. 積分の第 1 項は，。 5@. Ⅰ. ;. となり，これを一めと表わす，累積標準正規分. V-. 二 Ⅰ ダけ-71v 一ダヒ刀. （. oVT@t. @月. Ⅰ つ. ，し一 T]).. 15, ‥. これを直接 T. Ⅰ. ピ. C(S,,ガをメ u, 田に変換する彼等の方. @¥t-. 1211, 3. ノ (u, ご). Ⅵ 牡目. である・・法は，. 宮). 。 6), @ 式を。5 武に代人すると，. C は，ガ =SN(. 田 ) 一 K ダ。- 刀ⅣⅣり. が得られる・これが別 ack-Scholesの. ョ. 一ロ. ピ.

(4) 4 (212). 横浜経営研究. 第Ⅶ巻. 第 3 号 (1991). ，Ⅰ K (ダ --K)V2@o. アンコールオフ、ンコンの評価式である 4).. ⅡⅠ. VT@t. Ⅲ『. p. ex. が Feynman-Kac の定理 (Duff た C1988J, p. 226) である・これは， (2@ の解が株価のプ. ぷヱ. 微分方程式 2@ 解くために非常に便利な事実. t ヰレ. T. 一 T1 ⅠⅠⅡ. T. x. 3. リスク中立化法による解法. exp. ロセスを S ぬ+. 0dc. の. 8. と仮定したとき. XI@I. ィ. みノ 0一 @ % 一. I. ⅠK. v l ・.. J Ⅰ. 一. 9. である．ただしここでの期待値は， (1@ でな， (8@ で記述される田刀の確率分布によ. つ. これらの積分の下限をそれぞれ研，あで表わすと，. て評価される．この期待値による表現は，方程式 2)の中に山戎のパラメータがが入っていな. E[S(T) 一周・. いということから，. 二ダ " ""S ( め. リスク中立白りな投資家を仮. 「. 定して， Cox 咀 oss(1976 が求めたものと同一. 毛. コ. の定理はこれに数学的保証を与えているわけである． (9成の評価は拡散方程式の解 4@ を評価する 2 0 やさしい・ (8@ のプロセスを伊藤のレンマによって積分表. -, ノf"-i,, ，" ㍍. であるが， Feynman-Kac. 二ダ "",@S(f) N Ⅱdl) 一 KN"Wd2). したがって， (9)式は，. 現すると，. C (S,,め二 5 (わi W(dl). 田刀二別 Z)exp @( Ⅰ 芋 Ⅱ T 一め. 一尺ピーr(T刀. N (d,). となる．. 平め. 刀が︵吏ン Sカ g散. 刀め. + ㎡小刀一の㈲ )t. T. 0㌧Ⅰ @. 十. 一. K]. れ. 刀乃. ぱ，鰍. Ⅲ. 一一. [ Ⅰく [ @ タピ. E. @ Ⅰレ @. S,. C. で回. たがって. く. カツつ一つ亡一. ，単にコールオプションの満期価値を利子率「で割引いた現在価値の期待直となるというものである．ただし初期時点Ⅰでの。1)の解は， (8ⅠのⅠ時点の解と同一とする・し. んご. Ⅰ. X +. どS 二. Ⅱ. 利子率が確率変動する場合のオプション. 利子率「が一定の場合には，満期日 T に. I. 単位支払われる正期の債券の価格は，， - 。Ⅰ で、パ. あるが，利子率が確率変動する場合には，債券. E[S( 刀一て. ". の価格も確率変動すると考えられる・上. V2JtaVT@tS(T) exp 「. [lo9田刀一 X ㈲一レーⅠ が " )(T一め ]2 2が. (T 一め. メS 「. 列. M 。，ton. (1973)は，株価のみならずⅠ期の債券価格八 Ⅰめ. ら. メP(T 一の二㏄ (T 一 t)P(T 一めぬ. ト. - Ⅰ.

(5) オフ。、ンョン. 干る. (T 一わ. ア@T. /. 喜平Ⅰ面エての角牛斤何. % : レビュー. 。. 栗田. 十け Ⅱケ十の町穏みfif. 一切みZ( り ". 十. Ⅰ. り. ⅡⅠ+6 Ⅵ，/,)ゴ2. なるプロセスに従って変動すると仮定し，利子率の確率変動をインプリシットに取り入れ，ぷ，. となる．初期の総投資額をゼロ. A, (T 一円， K の関数となるオプション. WF. 月，. T. 一. t; く) の評価を行なった・. はメzH㈲. 如け二 p ぬ. 5. (213). C は，. ここ -で，. 二. Zげ. ば Ⅱ八十ア. 0. である．ただし株式収益率の分散がは Ⅲ a 。 k.Scholes を一般化したⅠに依存する非確率変数で，ばは，円 ack-Schdes と同様に月. 甘. 一. 0) も W ;.二 0 ，. が成立する．これらに解が存在するための必要十分条件は，. """""" Ⅱ一ぴ・一. オ. 0. 一. 丘み. (14). ". である． M 式の p, y, りに 13@ を代人すると・. プション Qr 、単位，株式 Q, 単位，債券 Q% ぜ，. ，. り. ℡Ⅰ二 0 ，. 一 6 ℡八十回. に依存した確率変数， 6 はさのみに依存する非. 確率変数である．別 ack-SchoIes と同様に，. 「・. ゆ一 ⅢⅠレお士 (P 一目ⅡⅠ =0.. となる標準ウィ - ナ一過. 程で，債券の性質から，円 0) 二 1, 卸 0)=. 0) とすると，無裁定条件よ. (W. + W.;,十. 位から構成されるポートフォリオによってリク. があ ( ㍉十 2P は6SPcU, 十がダ (" 一 2C ㍉ =0. スレスヘッジを行なう，このボートフォリオの. (15:. 価値は，. この微分方程式は，. が得られる・ Ⅵ パ =Q(C+Q. 、sS+Qf,f". B. ㎞ k-. SCholeS の場合と同様に，株式および債券の期. したがって. 千手. り又益率に依作していない・さて． f朱ェ- なのコールオブションの場合，偵券. メ t"二 Qr.dC" 十 Q バイざ+<27 メP 二. CQc 二 %. コ. ルゲ. ここで， Ⅲ，. 二十. 告十. SQ 了十 pQ/>7 ぶ. 「. ぷS. 十. Ⅶケp-. C2 二「，れ. る・. フ、ンコンの満期日を等しくすると，境界条. 件は，. Ⅰ. プチ. Ⅱな"S. は各財の投資額であ. とし， C 戸に。，. とオ. ガP. イS. CLS, 1, 0: K)=max(0. (11. ア一寸二丁. G 二 CT 等々とする. ，千月. となる．オブションの満期日までは，債券価格は確率変動するから，. この微分方程式の解は，. まさに利子率が確率変動する場合の株式コール. レ一. 伊藤のレンマからノ．二PC. オ. ブションの価格式を与える．次に・この微分. 方程式を解かねばならないが. 抜十 yQdf ㏄円十りC はZ. lつ l. 正化法 @1 在の設定では，呼ぶべきかも. と表現される．ただし. 矢. コ. ・. 1,, 。 10),112 拭を代人するレ@. WC. Ⅳ ヵ十 ydWの十りメZ) 十 Ⅱ七 % 抜 +c み(0)十 ℡ヤ。ばぬ +6 二ゆ Ⅲ(.十げ付七十び W わぬ. を考案する．. (13:. r]=6pC2/C. ガ Ⅴ二. メ功. C. る．。 11吠に，. ，. リスク調整法とでも. Merton. (1973 コは，. 目 ac 、 k-. Scholesと同様に，拡散方程式に変換する万法. 十円SC Ⅱ +(7Pcg Ⅰ Gl, /(,, 7=oSC¥/C. これをリスク中. U れない ) で求めることはⅢ難で. ある．このため・. P=. ，. 岱，月. まず，. T; 甜 = (-r,T;K)K ハん. ・. これを直接 15武に代人すると，. とおく・. 与. @+ 6L 2P061"ll" ， = 0 よ. 乃. 一ヵ・. 一. Kざ㍗.

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(7) オプション評価式の解析解 : レビュー. 孔. わく. ) 凄十乙 ( 八. ヵ. のこ｜. 朋友. で卒. @ U. ス. 乃，. f,. ，. V 二 Q ゲP 十. か二は一人 a). 1 つの満期日. T つ T が市場で取. め十乙ゴ. ところで，・¥m@ を直接解くか， (18@ を目 ;価す. るにしても，利子率のプロセス・ 16@ をもう少し特殊なものにする必要がある．よく知られているプロセスとして，平均回帰型. QFF. したがって，. メⅠ二別別一円祐十. メ Ⅴ二 Q, メP+Q. (19;. Z. ほついて計算される．. P が Qr 単位， F が. Q, 単位からなるポートフォリオの価値は，. ねF. 用，. 0. ・1 ．@ ％ 0). は正定数とする. らカる︵. E, ( 「 t)). 無裁定条件，より，. ん. リスクレスとなり，. A,. ガZ. 左@Ⅱ ︶ナ・Ⅰ をパ. 弗二 0 となるようにポートフォリオを. ただし. 細，別抑 Ⅰ 一. る・. 積パ. があ. orQ. V の収益率は，「ぬと等しくならねばならない ". 二パめ@. Q 月月ヰみ月十手 p,,d2) 一. ひ. ・. ) 一. QpP. @. - み 1/- ぺD. m/z一 m/zぞ. 十. 々. ¥@"/り. lim E" 臣 Ⅲ ) 押川であるから，. したがっで，. づの. F. 一也存目二三. t. 刑は長期的にみた短期利子率の期待値といえ. したがって，. (P@ 十ゐPr 千古 pr メ2)/P 一 Ⅰ. 実際の利子率は，. る・. この川のまわりで反転. を繰り返す傾向にあり，んは用への調整のス. ぱ F,/f". ピードであ. (F, 十みF,-十き月，， d2)/F 一 Ⅰ. このプロセスでは， W" 式は，. る・. "E/F となる・. (18. コ. ス. に依存したもう. 引されているとすると. 力. (5)) メ5.). だ中たク. るリ. き. でくがな. こでロ. る Ⅱ lO フ. とはセ. す，た. で待換. 尹. イ. よ. 刀. r. が異なる債券卸㌔. 組めば，. Ⅰ. ，. り. (R,十みFr 十手 Rr 牌2)め十七ムメZ. となる・次に，. Q だグr+QF. の定理によ. P r, z, 刀二別 exp ( 一 /. -16). メZ (め 4Ⅰ tt. Ⅰ ，. P. 而. 格. イ@ 券. 上 Ⅰ圭，、ミ. ン. とっ. レ@. るよすマ. ラレ従のこは一泰｜. メP=. Ⅰ. (215) 7. ブ﹂﹂ヒコ二干丁. 二. 啓). から，この解は， Feynman-Kac. みであると仮定する．利子率「㈲が拡散過程ガr(t). 「東田. これは，リスクの市場価格. (k{仰一パー. market. 一. rP. =. 几. o円. F,十グ，. 0. (． 2ワ l1. priceofrisk と呼ばれているもので，各証券の. ただし境界条件は. となる・. すべての債券は，等しいリスクの価格でなけれ. 1. ばならないことがわかる・. 2 3 に，㎜裁定条件から，現時点ⅠおよびⅠの. 日に関係ないから，とができるので，. これをれ r,. 目. と表わすこ. P は， ( み一人柑. を. しかも，これは満期. pr 十尺一汗ヒ 0. 満たす・満期価値は P(r,. T,. であ. る・. ，. 刑 Ⅰ，. T,. リスク 1 単位あたりの超加収益率を示していて，. 刀工. リスクの価格几は，すでに示された. みの関数であり，満期日には依存していないが，. その関数型は投資家の選好に依存して決められる Cox-Ingersoll-Ross(1985) では， - 定の相対リスク回避係数を有する対数型効用関数「彼・. 1"1。'. 月三 1 である. 等の論文の。7 代Ⅰを仮定して，. 一般均衡モデル.

(8) 8 (216). 横浜経営研究. の解として，Ⅲr, め二ヴ Vr/o, ㏄二 1/2(0 : 定数 ) を導いている．他方， Vasicek (1977 ，. 第Ⅶ巻. 第 3 号 (1991). て， @2%式は， ArnoId (1974 ，コ. コでは，外生的に， A し，. め. 二人. ト定 ), ぱ二 0 として， @21@ の解析解を求めてこれらの設定を正当化づける一般均衡モデルが存在する保証がなり．. [ ゐ %, メぴ+0. 二 ""k@s". Ⅰ. 一 "一. (r(t)一 %,) 土用，+0. り. いる・後者の場合には，. さらに，前者の場合には，利子率はつねに非負が保証されるが，後者の場合には，負の利子率. 130 より，. r(s). コ. Jamshjdian(1989. p.. ピーん. (J- ) 「. (t) 十. Ⅰダ川、. ガ口. -%ガZ. したがって， Ⅰ (s)). E,¥. Ⅰ. 二， " が「十 ++. 櫛 "[1. 一。". たノⅠ. (24. ]. が生じる可能性がある，したがって，理論的には前者の方が魅力があ. るが，投資家の選時に関. してかなり厳しい仮定がも. う. けられているので，. 実用上その使用は限定されるかも知れない．実. となる．ただしエ二戸 f, パカ二 r, また，直接重積分の計算をすると (Arnold Cl974 ， p. コ. 134),. 証研究がまたれるところである・次に，ぱ二. 0, 八二定数の場合，ぽ二 1/2, 几 -0Vn/0 場合の順に (21@ の解析解をもとめる．. 2. C わ巧 [ Ⅰ ( ぴ ),. の. Ⅰ. (U)]. 男手，-。 ("7),+2kt( ソ。。 ",,,,(" ，，)",)-1) (2. 利子率が正規型回帰モデルの場合. ⑤. したがって， (2%尤より，. となる・. E,¥Y 臼，カ ] 二 T 笏" 十 (r 一別 ") (1 一。" れソゐ．. ㈲式で，ば= 0 の場合には，利子率「は正規. 分布に従うので，負になる可能性がある．しかし Rabinovitch(1989 コの実証分析によると，. ‥‥. 十. フ. また， @25式より，室積分の変数変換を行なうと， 7 百弓 [y(z, s)]. 短い満期日の債券オプションを評価する際には，. 利子率の期待値が負になるのは十分長期に至っ. ，-茅ん一ⅡⅠ ，，，，e-々・，，+ 。， +7 々， [ 。・， -,, 一1. てからであり，実用上問題を生じる可能，性は小. ソ. メは. みてv. さいようである．. さて，こごでの債券価格の導出は，債券オフ、ンョンの評価にも容易に拡張しうる Jamshi-. dian (1989 コのアプローチ，すなわち， Feyn-. したがって， @23) 式より， P レ， f, 刀は y の積. man-Kac. 挙母関数 M(e 。 n の公式で， f)= 一 1 としたと. の定理- によ. り. (18式を計算する．リス. きであるから，. ク中立的利子率の (19式は，ガⅠ 二 (A( 二. ただし. %. 焼一. 緩，一. 笏 " 二別. 「. P(r, z, 刀 =exp@ 一 E¥W Ⅵ t, 刃コ. ) 一人口しん +<7 メ2. めぬ + ひみZ.. @2%. 一 Ⅴ ゐ u7== 定数である．したが. って，. となる・. f,. 刀二 E. ㏄ -Y け. パめは正規分布であるから， Ⅵ t,力. 十号. 勒 Ⅱ Y(t,. 刀. Ⅱ. (26). となる．利子率がヵィ 2 乗型平均回帰モデル. 3. Nf, カニがパリぬとおけば， @ 式は， P(r.,. コ. の場合 (2 ③. も. 正規分布となる・したがって， Y(t,力め期待値と分散が求められれば， @2% 式を計算できる．さ. (20式で，援二 1/2 の場合のⅠの分布は Feller (1951 によって求められている・一般に， (10式コ. のような拡散過程の条件付密度関数パパめ lr( 棚 ) は， Fokker-Planck の方程式.

(9) オプション評価式の解析解 : レビュー. 1@ a2. 路). と計算される．. て，L，，. 2 a ソ. (東田. フ. 9. (217). 0武の場合にすでに確かめられ. たように，短期利子率の期待値は用に近づく．. O. さて。割引債の評価は， Feynman-Kac カたし. 0 5. の定. 理により，リスク中立化利子率「が，. ゐ昨 z. ，し. mれ. Ⅵ ワり. 十干ぬ荻. 円パ. 托 Ⅰ ぽ Ⅰ. 一一一一メ. 0 て. 、わ. め. よ. 求︶@. Fe. カ. 角牟. の. -し. カよ. とて. Ⅰ 8 Qt れ. デ. 用 2 ーゐ. Ⅰ. Ⅰヒ. 8. 3 よ，パ. Ⅱ 2 8/. ぱ合ゲ﹁ ng ょe 場. を﹂っ. 満て. a/a/Ⅱ のるれ㌧. ぱ・. =. ゐ士ヴ. なるプロセスとなる確率分布に関して，㈹式を. /(. Ⅰ. コ. ど. 十. Ⅱ. 際この手順でどのように計算するのか明らかに. Ⅰ)Ⅰ，. していない・. コソⅠ. (目. ，. われる・. ゐ. できるのであ. ぽ二 1 月ならば，. る・. ほ. 1吠は. 吃. は二. 1拭は，. 4 ム Ⅰ (t). ・. '. ノ二. 0 2(1一，一向・ r.. となる・. @. 自由度れの非心力. 2. イ. 束分布に従. 397030 ，. て，月斥 f. 乃 =A. (0)= ，田芋，く. p.. "式と同 - 形式であるから。それと全くⅡ様にし. ノの積率母関数はゆ田 ) は，凶. これは， IngerSo Ⅱ 198 Ⅱ，. 0 羽. 件一. フ Ⅰノ Ⅰ 十尹，. ) Ⅰ. 柁正. ヴ. ん千. だ. ( 十r. ゆ. ひ" Ⅰ. 武二 ;. 丘t. したがって， r の定数倍 v は，まさに，. っている・. ところが，幸いなことに，. 1/2 の場合，直接この微分方程式を解くことが. 円 /一ム， ) ,. ゐ灯Ⅰ. 一 o -，. 非心皮 ?,. 正規分布の場合と典なり，。 23 式の. y の確率分布を求めることぼ容易ではないと思. l一フ2. となる・. 1. 甘，ぶ㍗れ一一. ",. 丁. 4 一グ. 2F. 2. （. 02(1. 4. ワ@. c しl 一. /. ザ一，. X. ギ. (1985 はこのような手順を示唆しているが，実. ツ. )ー. ところで， Cox,Ingersoll-Ro. 求めればよい・. ( め lⅠ ( め)) ガⅠ け. 刀。 %, 刀，. け，. リ別．@ ). 「. A(t ， 7"). 1一 2 タ ). よ. 2kl / ひ ⅠⅠ. T). 1. Ⅴy. 十 Ⅴ，ワ@. Ⅱ. B. 刀. . @. Ⅰ ハ. y 二 V, は千め 2+2 が， T 二 T 一. '. 一 ( ヮ1 ゐ十ヴ一. 3 6 9 l. 万丈. 内｜竹. る. らカ. し. 寸土. て. 、ら. 矢 Ⅱ. こ. カナ@. で. E(r(t)・パ才Ⅱ 二び (l-@'@@") -L-@ ， (0) 4. Ⅰ. ん. A(. め). Ⅰ百. @. が得られる. の八口場 6 式. (ゆ" (0) 一 (ゆ"(0)2). ら空な態. する. る状. とみ数の. 変革. 状利を期. ホ羊ン. み想のも. 千 J 1 １木 Ⅰ 、 Ⅱ 一、ノ. 千ヨ. 短オ. 期プ. 毛・. よ. (l一 e-々。:r-， )2. 債券オプションの一般的表現. め. Ⅰ一オ. ⅠⅠ. ん. ，ヴ・. 十. す価勤評変ン率ヨ. X. 率オ千巻利債. Ⅳ. Var{r{t}¥r{to)}={. ".

(10) 10@ (218). 横浜経営研究. 数とする関数となる，. 様に，. 2. 第 Ⅲ巻. したがって， Ⅲの 1 と同. Xexp[2(lCO0r ソヒ，. 種類の債券オプションを用いてリスク. 一. レスヘッジが可能で，これらの債券オプション. のリスクの市場価格は無裁定条件より等しくな. 十. るから，債券オプション価格 C レ，めの満足すべき微分方程式は，㎝式と同じく，. 一2. サ 22Cげ十 ( 一九め Cr 十 C,一 r( 二 0 み. であ. ‥‥‥. (30). C(,, 月三 (P(,, T, 刀一和. (r-E(. の r,. t, 乃であり，第 4 ファクター. から 1. となる・. したがって， (31@ は，. 2Vaa ㎡めイょとなる・ (26@ より， P( ェ， T, T っは対数正規分布であるから， JamshidianLl989 コではこのあ）. ま 4. 珂. ㌃@. /. 数. Ⅶ㎡ r) Ⅴ r( 而. K}. へ @ T7 T,即 (ご一 E ( り十 C しひ(7, 杓 )2. )十 2ヵ ) メぴ. 度関. 廿. つ. 回. 一力. 2%V. り. ファクタ一の指数関数は， (20. との計算はいとも簡単であるかのように述べて. 省略し最終結果のみを示している・ア件，珂 =. r,. 2. を， y の全区間で積分すると，正規分布の性質. 二 X. ガひ. ⅠⅠ. 十ノ. 2. はた. アカーこんれ. ( ) Ⅰ れ- ニ，とイ. ︶ひヵ( ︵ 2 Ⅰ 十 ). た. レ﹂. な. 二る. (ピ杣. ノ. Ⅰ. 一一一一「. ノⅠ Co. y の共分散が求められれば特. り. の結. %. 2. Cov,[r(s),@ Y(t,@s)]. 芸r. 一め. るから， Ⅲの. 式より， P け. 定化できる・ (2目式を用いると，. -. Ⅱ ぱ. と. Ⅲの 2 か. 汀( り ). 丁々. V Ⅴ r(Y). きとのスセ口プ. 帰. 回均. 平ン. 規シエフがオ車券子債利の. 2. いまの場合， r と y の確率分布は，. 果に加えて， r. 珂. ㏄. (Y 一 E n 杓十. となる・右辺第. 次元同時正規分布であ. 七 ) -+(Ⅴ. は. となる. ら 2. Ⅱ d. 31. ・・・・・. 万2. Y{t, 月三 /r{ めみ. Ⅱ. =EA(C( れ，乃リー Y け・刃コ，. ⅠⅠ. 1 1 ,Ⅰ 0Ⅱ / 乙︵ [Corr 巴 11 X X. 演算によって，. Ⅴ. X. プロセスから導かれる確率分布に関する期待値. 1V. の定理を用いて債券価. 格を求めたときと同様に， (30@ の解は， (19式の. Ⅰ. ,. Ⅴ「㈹Ⅴ 拓拓㎡杓. X. ノ刀での債券価格である. m の 2 で Feynman-Kac. C( ，. (Y-E(Y))COOrr(. e.-yⅠ(r,杓. + 亡. コアとなる t=T(T,. め). であるから， 2 次元正規分布の積率母関数を求. P(r,, T,, 乃は，満期日が. ただし. 杓). (y 一 E( り )' Ⅱir(㍉. 2-T V. となる・. 一. める場合と同様に整理すると，. 満期価値は，. る・. 第 3 号 (1991). 1. 鬨 (1一㏄「「レ， Ⅵ ). しかし. 実際には，ここでの計算は，利子率が定数の場含め Cox-Ross(1. の 3) よりもはるかに複雑で.

(11) ン評価式の解析. 解. :. レビュー. (東田. るが，幸いなことに Heath-Jarrow-Morton (1987 の Appendix の最後に計算されている方. あ. 一. コ. 法が現在の問題に直接適用できることがわかるしたがって，. これ以降の計算については. Heath-Jarrow-Morton. に譲ることにして，. るから，、 10@ で， 6 が非確率変数であるという. Ⅱの S( めの代りに， p 巨， Z, と短期債の相関係数は. したがって，. となる・. C (r, カ二 P(r, f, TD N ( 凸一 KP(,, f, 刀八， ( 几 ), Ⅰ. 凸 =. @S , ¥KP(r, /t, P(r, t, r) T)@) , H Ⅴ 7 オ. ⑫二円一Ⅴ 丑，. H,. Ⅰ "4". (l一ピ. 一. @+. ㍗. ピーがT. ニ. ー. とな. は， Ra ㎡ no ㎡ tCh では， 2e" 卸 7,+ 2T-"" となっるが，正しくは，. 3. ここで示した通りである. 利子率がカイ 2 乗型平均回帰モデル. のときの債券オプションこの場合には， (2m拭なる利子率のプロセスの. 確率分布に関して (31@ を評価すればよい，実際， CoX,IngerSol1 求 oss(1985 コは，この手順によって直接オプションの評価が可能であるかのように示唆している 10，，しかし利子率が正規分. 布と異なるときには. ，. Heath-Jarrow-Morton. (1986 コと同様の計算手続きを用いたと恩、われる. JamshidianCl989コの場合のように直接この期待値の計算を実行することは. ，. m の 3 でみたよ. う. 演算で評価することさえ. きわめて困難な状況を考えると，ほとんど不吋・. ところが，幸いなことにこの問. コ. い. option を取り扱っているが，. )2 一 2 (1 一とかアト・. 一リ. ゐ. そのアイデアを. 我々のモデルに生かすことができる・すなわちかのリスク調整を行なった利子率の確率分布に. コ. ，次にその期待値をオプシ. ンの満期日と同じ満期日をもつ債券価格を乗. じて割引くことにより求められるはずだということであ. る・. このアイデアは，利子率が- 定の. ときの Cox-Ross のリスク中立化法からの類推 @ ヮピ一がア十 7. とかえる・. 2。. みⅠ. ，. 一般にオフ、ンコンの評価は，満期価値をなんらよって期待値をとり. X (l一ピーがT ). この論文は，我々. のモデルと異なり最終利回りオプション㎡ eld. 、. が. 一. p. さらに， H の最後の項につ. Ⅰ 990 によって与えられた・如丁 -T+. @,)" 2 (1. このモデルでは. 題に対処するのに便利な糸口が LongStaff. 一 2. 十. RaVino ㎡ tch では， P 圭 Ⅰの場合. 能に思われる・. 汗 (1 一ダー用 ), がぴ (1 一ダ. 「. これはまさに Tamshidian の結果. に債券価格を期待値の如，ゲ一 T十 Ⅱ. 7. り. 一円で十 T 一 2 パ. ばならない・. すればよい・すなわち，満期日がT, の債券に. t 時点の価格は，. 2 が T コ一 2 ピー M ア. ，. 1 であるから， P 二 l と. 権利行使価格が K の債券コールオフ、ン。ンの. 26. 々. とめているが. 致する・. 乃とし長期債. 関するオプションの権利行使日が刀 7 三 %,. 一. +@ 1. 2 (ア一刀一ピ iオアー. ピー. 11. 一もねてい. の方法を適用した. の仮定を満足している・. 十. ここ. Ra ㎡ novitch (1989 コによる，はるかに簡単なアプローチを採用する．式に伊藤のレンマを用いると，債券の収益 (26," 率の標準偏差は，のP/P= 一 0(1 一，々")八であ Merton. 一一ど. ，. (219). にならいて. では， Ⅱで述べた Merton. 啓). ・. オプシ。. Lonestaff が呼ぶところの分離定理.

(12) 12 (220). 横浜経営研究. を我々のモデルに即して導. separationtheorem. (2円， (3①犬ょ. 出してみよう・. り. C 巨，. ，. t. T,,. ¥. 刀， T<くアは. を. め (笏. ム十. 満足する・㈲式 2. 0. ，一円Cr+C,一 rC二 0. ， P 目， t¥ 刀もこの方程. C ニ， f; 冗 T っ二 P Ⅰ，f; 刀 G Ⅰ，t; T. T. 刀 /( が B わ，刀 ) は，自由度 4 ヵオが，非心度 4 ダ ey。 T- B(t, 乃パヵ /( がレア， Ⅰ わー 1 ド ) の非ヵ. 心力イ 2 束分布となる，二 V( ん千. っ. (29)式から， y. ただし. 9), 十 2 がである，これを， CoX-. り. 一一. 0 2(d,. 2y D. 。 7@-ハ. 1) '. 6丁. ( ゐ十ヴ十. y)/ が. rGrr 十 (がワ十 (k+ が (笏，一 )Gr. け十 6)r( 刀は，自由度 4 々けが，非心皮 2V2r ㈲ ey/@- / け千 (5)の非心力ィ 2 未分布となる・これらが， Loneslaff の分離定理で. G,. ある．. とおき，上式に代人すると，. を. F,. 月. 一. となる・. いる，すなわち，. Ingersoll-Rossと同様の表現. 式を満足するから，. サメ. (Lonestaff(1990 コを参照 ) によって求められて 4パ. rC7+(. 手が. 第 3 号 (1991). 第Ⅲ巻. 二0. (29) 式より， PrⅠ三一 R わ，. 刀 P である. 用いると，. ゎ. さて，この成果を用いて， (3%式の期待値を計. 刀の条件付密度関数をアT@. ), r*=(lo9(, 机 7;, T /K) ソ B(BT, 何とすると (29@ より，算しよう・. から， (2%弍より，. 2. パ. っ. 与が. rGrr 十 (々利一 ( 十ヮ十が B ，わ. 々. XGr. 一. 刀 )月. EWr. G,=0. T;ゝ@-K@. ，. ，r )rⅠT( 月メ. が得られる・オプションの満期価値は，. WP し㌧ T; T つ一 K =C r,, ハ T, T Ⅰ. Ⅰ. r.. 「コ千. み. =P(r ， =G(r. T)G{r ，. T;. ，. T. ，. T，. T;. T，. T. となる・. っ. T ，). であるから， G に Feynman-Kac. 項は，. -K/;. の定理を適用. か二 ( ゐ笏一 ( ム十ヮ十が B(f, 乃 )r) ヵ㎡Z. なるプロセスに従うⅠの確率分布に関する期待. 二 ⅠⅡ r,, f; 乃となる・. TO. E( 丁㍉ r,,T; T@ 一 KJ. 下士・…(32). したがって，残るところは，満期価値. の期待値を計算すればよい．. 「の初期値Ⅰ㈲を. 所与としたときの， r( 乃の条件付密度関数は， m の 3 で述べた Feller のモデルより一般的な. X. T つ囲ダ. Ⅰ. 1. ー. ここでさらに，すると，. 同じ変換を用. Ⅰ. x ( 2 22け)ピ y けヮ. ￥. 束密度関数を代入すると. A(冗. 2r ロ 2 ，十力（. 2. （. T，. r. t;. @@(34. ( ぱ ) メひ. 2 乗密度関数である．第1 項は，. いて，非心力イ. 値を用いると，. ㎡. ここで， x2l(M)は，上述した非心力. となる・. +oV. 二 2 回 + 卸 Ⅰと変換すると，右辺第2. M. すると，. C{r ，. (33. ‥. つ. 一ハ. 一. Ⅲバ. ）. @All@ "h"' " l, 丁ピ" 了了三丁 @@lI I"',み@. ば一 2 ）うⅡ 哲. ヒ. 一. ）. 行十 6+ B (T,. り十 0. T. つ. 二. ひと変換. 場合であるが，これは Capoce Ⅲ -Mcciarni. ". Ⅰ "".

(13) オプシ. " ン評価式の解析. 解. A T ， TQ 2. レビュー. 1. ヮ. (東田. すなわち，刀，， f, ア，. (r, Z; 刀. 1. @.,. B(T、 ;n. 十分. あワ十. つ. "一". ）. 1@ %. （. Ⅰ。，， B(T,7@ ， L " """ ). 初7 2ワ千㎡タ十 fトイ乃，. 2r (4kmⅣ (20,) 千句. (. ・. つ. サ ) 穏 - 。 -."- d, テ. ．. p.. 640. コ. となる・ここで，， t 内の被積分関数は，明らかに，自由度 4 々篠， / が，非心度 W77,r㈲ダ Ⅰ，・. 田十 6 千 B(T, 卸 ) の非心力ィ 2 束密度関数である．これを，が， ( めと表わす．積分にかかる係数は，Ⅱ囲， T, T, のみに依存する関数であるから，これを刀 r, f, T, T と表わす・これらを考慮して，。 34,,.35 武を， (33)式に代人し. /. つ. さらに。㈹式に代入すると，っ. Z, T, T 「Ⅹ」l% 阿十 6@") 一 p( Ⅰ，八 % く Ⅹ，メ 2 け十 6 千 B (T, T )r*. 二ヂレ，円月刀ら. 「. 2. を解くためにいかに苦心したか伺い知ることが出来る．適当な変換によって拡散方程式となることに長い間気が付かなかったようである．槻 ack(1989 には，その他の悪戦苦闘ぶりも苫かれていて大変面白い読みものとなっている. ト. 3"D). T. コ. コ. 1. ひ r, r ; T,. a ビ k-S 。 holeS(1973. 2@ 別 ack の後日談 @aack (1989 ) によると・方程式. + 6 +f. 叉. X. が導出される. ,.*. /. ワ. 千. /P. ・. ・. （ Ⅱ. /Ⅰ. 7. T. Ⅰ. Ⅰ. @ ハ@. T. づエ. ハ. Ⅲ 叶. Ⅰ. れ T. 王 Ⅰ. 一. 刀. 2 v i一. T, ：. X ピ. ナし @ す t. 「. ・. K. 二 A (7. ビ」ゴて. ー. r, P r, 二１ P. B(T ，nⅠカ )『，。，，一 T ヮつ e """. ワ十あワ十十分. 刀 =P レ，. これを。36「式に代人すると，. となる・. ︵ C. Zr (4々用/ (202) 十卸. X. は 21@ 13. P(r, f; T っ二 P(r, f; 刀 Ⅰ@ ， r, T, T 「，. 乃，. X. 畔). であるから，. 2 ㎡め，， T- ,. X 麗. X. :. Ⅰ. ……。 36.. 3) これは，Ⅰが/2 ノ 0 と仮定しているが， Ⅰがた三 0 と仮定しても結果はかわらないり現石では， Black-Scholes の微分方程ェ-K.2. より般的なれ、二 r,十はSC 、こ 1 佗がザ C 。，の解も求められている．それは， C 二 S" み " ., W 八Ⅱ あ ) 一 K ダ，ガ八'(d。 ) である Barron-Jensen(1990), lneersoll(1987) 、 31%. p.. .. 引ル erton [1973 では・石径年率姉項をメ 7 (. 百万とし，満期日の異なる 2 種類の債券が必ずしも完全相関ではないことを明示している．このことは，債券価格が利子率以覚の変数の関数でもあることを設定していることになるが．以下の展開では。メ Z Ⅲとしても十分であるので記号の簡単化のため 10. まなのように書くことにする．工. コ. 6) Vasrcek(1977J,lamshidian(1989), Rabinovilch(1989 ． 7@ Brennan-Schwartz 口 977J. この場合には，株式オブジョン，債券，債券オプションのいずれのコ. M げ解も求められていない． 8) Cox-lngergollボ ossCl985J. 9) Ineersoll(198 Ⅱに詳しい証明が与えられているめ. となる・. ここで，Ⅹ， 1( . Ⅰ，Ⅹ，， ( . ) は，それ. ぞれ前述のダ，. ( .. ), が，(. . ) の累積分布関数で. ある．さて，この方程式は，. (T, と，. すべて (r) K く A. 乃について成立するから， K=. 0 とおく. 左辺は無裁定条件の議論から，八八. f;. 何とならなければならない．一方，右辺第2 項は明らかにゼロで，「* づのゆえ，Ⅹ，。 ( . )=. ので，あらためて繰。) 返さない．. ここで．利子率が確率変動する場合の株式オブ、ンョン. の評価について簡単にふれておこう．. ユ. で示されたように。債券価格が 10武のような確率微分方程式を満足しているならば．. 株式オプ. ョンの評価式が導出される．ところが， 129@ 式のような債券価格の場合には， 28代と伊藤のしーン. ン. てから，債券価格のプロセスは.

(14) 14 (222). 横浜経営研究. 第 Ⅲ巻. 第 3 号 (1991). 7 8 9㎎. 率の場合には，債券価格は (26式であるから， Merton のモデル例 10@ 式の 6 は，伊藤のレンマから， 0(1 一，-り / たであるから Merton の仮定を満たす．したがってⅡの結果がそのまま使えることになる， 10) おそらくきわめて複雑な計算を要すると思われるにもかかわらず，なぜか彼等は結果のみを示しているにすぎない，彼等がどのようにこの結. 10. 6. 価を行うことは出来ない．一方，正規型の利子. 5D. ぬヒパ 1 一 qB)P 吻 mB 沖 V アイ Z となって， (10@ の仮定をみたさなくなる・したがって， Feller のプロセスの利子率の場合には， Mertnn の方法を直接用いて株式オプションの評. 果を導出したのか不明である．実のところ，筆. りあい，ようやく解決の糸口になりうることに気がっいた. [2]. Control@ Approach@ to@ the@Pricing@of@options ， " Aイとさ方ど別口 fic$ o/ O 尹 gr はわ。れ s R 劣ビ乙ビん， 1990 ，. れ 0S れ. Arnold, L 。 ⑧ ochastic D めつ托れ仮aI E ヴぴ at.i0榔，. JohnWiley& Sons, 1974. Barron, E.N. and R. Jensen, "A Stochastic. 5 コ 1. [1]. 31 4 1. 参考文献. 2 I. 偶然本文で述べる Lonestaff(1990コの命題にめぐ. 1 1. 者が本稿のこの箇所を準備する段階で彼等の示唆を信頼して，さんざん四苦八苦して計算を試み，もうほとんど断俳しそうになっていたとき・. Ⅰ. 49 一79.. BIack,F.and M.Scholes,"TheP lions. and. Corporate. 「 hCing ofop-. Liabilities,". JO0 ぴ Ⅰ れ a Ⅰ。 Ⅰ. Brennan, M.J. and E.S. Schwartz,. "'A Con.. @ 序文. we came up wlth the optlon formula,,, ノ。ぴ Ⅰ れ al oダ月 n Ⅰらん olio ノリクれ口まヒ肛㌍Ⅱ t, 1989, 4 一8.. ひ. ["]. Black, F,,"。 How. かか. [4]. Iu. 月m ん ti ㏄Ⅰ Eco 戸 10卸ノ， 1973. 637 一654.. 6 1 7 1. [3]. tinuous@ Time@ Approach@ to@ the@ Pricing@ of Bonds, リノ。ぴグれ Ⅰ 1 oⅠ B はれ ki 坦 9 4% ノア下れ召戸 6 Ⅰ. "";. 一. 。. Ⅰ. "" 。. ".

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