断面の性質

第１０回 断面の性質

1

• 断面特性

– 断面の形状によって決まる性質

• 断面積

• 断面一次モーメント，図心

• 断面二次モーメント，断面係数

• 最大応力度（縁応力度）

（注意事項） 教科書 講義

断面一次モーメント Ｇ

_x

⇒ Ｓ

_x

断面係数 Ｗ

₁

⇒ Ｚ

₁

p.92~

曲げの応力

伸びる

縮む

伸縮なし：中立軸

平面保持の仮定

M M

純曲げの応力度とひずみ

中立軸

曲率半径



：曲率

1 _  曲率中心 dx

y

中立軸から(y)の位置のひずみ

dx dx y dx      dx dx y dx     _   y dx dx_{ }   1 1 dx y dx       E E y       

引張

圧縮





dx dx 三角形の相似則より

純曲げの応力度（１）

（N=0）

中立軸

引張

圧縮





y

E

y





(

)



t

y

c

y

M

この応力度分布を断面内で積分したものが軸力

y

I

M

y

E

_







2 ( ) E E M y y dA y dA I    

_

 _

_

_  ( ) E E 0 N  y dA ydA S    

_

 _

_

_   ここに



ydA S 2 y dAI



という 断面一次モーメント 断面二次モーメント 応力度分布は断面内で 距離 の関数より この応力度に中立軸からの距離を乗じて

y

（N=0）

純曲げの応力度（２）

y E y





( ) y I M 



最大引張応力度 最大圧縮応力度 t t t Z M y I M _ 



c c c Z M y I M _ 



より，断面内の最大応力度は ここに c c y I Z  t t y I Z  断面係数＝ 断面二次モーメント 縁端距離 中立軸

引張

圧縮





t

y

c

y

圧縮縁 引張縁

M







Z

M

は構造設計で良く使う関係式 なお， ［Z・・・教科書ではW］ 6 dA

断面の性質（定義）

z軸周り y軸周り z y x

z

y

z

y

O

断面積 



AdA A 断面一次モーメント 



A z ydA S



 A y zdA S 断面二次モーメント 



A z y dA I 2



 A y zdA I 2 z軸周り y軸周り ［S・・・教科書ではG］ 7

断面の性質（断面一次モーメントと図心）（１）

y z dA y z 断面が一様な重さを持つと仮想すれば各軸周りの回転 モーメントを表すことになる

図心

対称軸の交点 対称軸上 その点を通る任意の軸周りの 断面一次モーメントがゼロの点



 ydA Sz



 zdA Sy y

S

z

S

断面一次モーメントがゼロになる軸周りには重さのアンバラ ンスによる回転は生じない このような二つの軸の交点を支えれば一点でその図形を支 えられる。この点を「図心」という 8

任意図形の図心

z y

O



w

w

v

v

z y 0 y 0 z O dA

断面の性質（断面一次モーメントと図心）（２）

(w軸周り) (v軸周り)



 vdA Sw Sv



wdA 0 0 0

(

)

w z

S

y

y dA

ydA

y

dA

S

y A



















0 0 0

(

)

v y

S

z

z dA

zdA

z

dA

S

z A



















図心がわかっていれば・・・ 0 0, S Az Ay Sz y O’(z0,y0)が図心であれば，Sw=Sv=0 より A S z A S y _ z _ y  ₀ , ₀ v=y

－

y0，w=z

－

z0 より

9 A2 A1

集合図形の図心と断面一次モーメント（例）

z y O 1 y 1 z 2 y 2 z 集合図形の断面一次モーメントは 部分図形の和として求められる 0

z

0

y

2 2 1 1 2 2 1 1z Az, S Ay Ay A Sy  z  2 1 0 2 1 0 , A A S y A A S z y z    







1 2



0 0 2 1

y

A

A

S

z

A

A

S

z y













10

演習7.1

z y 8cm 10cm 2

4

y



cm

1

9

y



cm

A

1

  

8 2

16

cm

2 2 2

2 8

16

A

cm

 



1 1 2 2 3

16 9 16 4

208

z

S

A y

A y

cm







   

0 1 2

208

6.5

16 16

z

S

y

cm

A

A











∴ 図心位置

( , )

z y



(0

cm

, 6.5

cm

)

)

5

.

6

,

0

(

左右対称形であるためｙ軸を 図心に一致させる

p.111

11

断面の性質（矩形の断面二次モーメント・断面係数）

幅b×高さhの矩形断面

b

h

z

y

/2 3 3 /2 2 0 0

2

2

3

12

b b y

z

b h

I



z hdz



h

 

 



 

 



6 2 12 2 3 2 1 bh h bh Z Zz  z    6 2 12 2 3 2 1 h b b h b Z Zy  y    /2 3 3 /2 2 0 0

2

2

3

12

h h z

y

bh

I



y bdy



b





















dA

dy

面積要素 dz h dy b dA     12 0 y 0 z z y z y O dA

断面の性質：断面二次モーメント I





y

dA

I

Z 2 _I 



_zdA y 2 他の軸に対する I との関係 2 2 2 0 0 0 2 0 0 ( ) 2 2 z w w I y v dA y dA y vdA v dA y A y S I        









O



w

w

v

v

)

(

z

C

)

(

y

C O’が図心ならSw=0，図心軸をzCと表せば 同様に C z z y A I I  02  Iyz AIyC 2 0  図心から 離れた軸周りの断面二次 モーメントは上記の で表せる 0 y z I なお，ここで， が正であることから y02A  断面二次モーメントは図心軸周りが最小

13

断面の性質：断面係数 Z

（教科書ではW）

断面二次モーメント 図心軸から縁端までの距離 断面係数＝ 対称断面では上記の 1 と 2 が付いた 文字の値は等しい 1

y

2

y

1

z

2

z

図心 C

z

C C

y

2 2 1 1 , z I Z z I Z C C C C y y y y   2 2 1 1 , y I Z y I Z C C C C z z z z  

















E

Z

M

Z

M

断面の が判れば、縁端の を算定できる

M ,

Z



,



14

中空断面の断面二次モーメント

（演習7.2）

外側の矩形の断面二次モーメントから 内側の矩形の断面二次モーメントをひけばよい

z

y

B b H h 3 3 3 3

,

12

12

z y

BH

bh

B H

b h

I





I





15

集合図形の断面二次モーメント（例）

2cm 2cm 2cm 2cm 4cm ① ②

z

y

1.8cm= y2 1.2cm= y1 ①、②の各図形図心軸（Z軸に平行）まわりの 断面二次モーメント 3 4 2 2 4 10.7 12 I    cm 3 4 1 6 2 4 , 12 I    cm 左右対称図形だからy軸を対称軸にとる 部分図形①、②の和として求められる T形断面の図心軸zC周りの断面二次モーメント



2

 

2



1 1 1 2 2 2 2 2 4 (4 1.2 12) (10.7 1.8 8) 57.9 C z I I y A I y A cm              図心 0 12 5 8 2 3.8 12 8 y      cm  =3.8cm C

z

0

y

zC軸周りの断面係数 3 1, 57.9 26.3 2.2 C z Z   cm 3 2, 57.9 15.2 3.8 C z Z   cm 最上部 最下部 16

集合図形の断面二次モーメント（例）

2cm 2cm 2cm 2cm 4cm ① ②

z

y

=3.8cm 1.8cm 1.2cm C

z

0

y

T形断面の図心軸yまわりの断面二次モーメント 3 3 4 2 6 4 2 36 2.67 38.7 12 12 y I        cm y軸まわりの断面係数 3 1, 2, 38.7 12.9 3 y y Z Z   cm

17

集合図形の断面二次モーメント（例）

2cm 2cm 2cm 2cm 4cm ① ②

z

y

=3.8cm 1.8cm 1.2cm C

z

0

y

zC軸まわりにモーメントＭが作用したときの 最大応力度（縁応力度） y軸周りにモーメントＭが作用したときの 最大応力度（縁応力度） cm N M2000  2 , 2 , 1 / 155 9 . 12 2000 cm N Z M Z M y y y     2 , 1 1 76 / 3 . 26 2000 cm N Z M C Z Zc     2 , 2 2 131.6 / 2 . 15 2000 cm N Z M C Z Zc     18 断面定数 一般的定義式 矩形断面、図 心x軸に関して 主な用途 断面一次 モーメント 0 図心を求める せん断応力度を求める 図 心 － 図心軸に関する定数算出 断面二次 モーメント 曲げモーメントによる変形、 応力度を求める 断面係数 最大曲げ応力度を求める （断面二次半径） （座屈強さを求める）

断面の性質まとめ（建築での記号）

x S 



ydA 2 x I 



y dA 3 12 x bh I  6 2 bh Zx （ x-y平面上でx軸を対象として表示） I i A  2 3 x h i  （断面二次半径は座屈の章ででてくる） 0 x S y A  2 2 1 1 , y I Z y I Z x x x x  19

曲げ材のせん断応力

微小部分では垂直応力はつりあっていると 考えてよいから、せん断応力による偶力が つりあう。したがって鉛直面に働く τ と 水平面に働く τ’は常に等しい dx dy







b

(



bdy dx

)

(



bdx dy

)

0

 













20

曲げ材のせん断応力分布

• せん断は曲げとともに存在する ∵Q=dM/dx

dx 中立軸 y









d



幅 b 水平方向のつりあい b

h

dM

M



M





t    yt   y y y



bdy



bdx (



d



)bdy 0 t y _{ }

_

t _

_

yt y y y _I ybdy dM bdy d bdx





bI QS ydA Ibdx dM y y y t     







Syは中立軸に対するyより外の断面一次モーメント 中立軸よりyの位置でのせん断 応力度τすなわちτ’を求める

21

矩形断面のせん断応力度分布

b

2 h y /2 2 2 /2 ₂ 2 2 4 h h y _y y y b h S  ybdyb   _ y _      



2 2 2 2 3 12 1.5 1 2 4 / 2 Q b h Q y y A h b h            _  _  _ _        max 1.5 Q A    中立軸からyの位置のせん断応力度を求める 最大せん断応力度は中立軸で発生 22

円形断面のせん断応力度分布

中立軸からyの位置のせん断応力度を求める y r 



sin r y とすると /2 _{3 2} 3 2 sin cos cos 3 cos 2 3 y S S r d r   _           _  _  



2 cos 3 1 (2 cos ) 3cos QS Q r I r    _{ }       _  _   最大せん断応力度は中立軸で発生 max 4 3 Q A   