CONTRACTIVE COMPLETIONS OF OPERATOR MATRICES

SUT Jouma1 of Mathematies （R）rrnerly TRU Mathematics） Volume 27， Number 1（1991），49−71

Contractive Completions of Operator’

@Matrices

Dedicated to Professor Tsuyoshi A皿do on his 60th birthday

ToRu KIDERA AND SHIzuo MIYAJIMA

（Received April 9，1991） Ab・・・・・・・・・・・……・・i・［醐i・c・11・d…mp1・・i…f・・i・…p1・…P− ・・…m・・…［．2］・S・…gP・…“T・…em・・C・F・i…d−A・Ta・…b・um gi・・…ecess・・y・・d・uM・i・n・…d・・i・・f・・［。2］・・b・…．c・n・・・…▼e c・mple− tion which is equal to a given unitary operator on a given sub8pace・In tbis paper Strong Parro“Theorem is further generalized and a criterion of tlle existence of a unitary completion is obtained・ 1980Mathematics 5％6ゴεcf Ctassifications（1985 Re㊨‘sion）．Primary 47A20， Secondary 47A62．  ．      、 Key電〃ords 4π己ρ九アα8e8．・operator matrix， completio叫Patrott，8 theorem， strong Parro“theorem， contraction， partial isometry， unitary completion・ §1．

_{Introduction and notations}

S・pP・・e・h・・ani…mpl・…P・・・…m…iX［Bc］i・9i・・n・wh・・ee…i・S are operators betwee皿Hilbert spaces． Now， we consider the problem to

fi・d…P・・a…X…h…h・・P・・a・・…・・i・［xABO］ h…m・ni・e

P・・P…i…［XABc］ i・ ・aid・・b…・m・1・・i・n・f同・A・t・・h・

completion to a contraction， Parrott，s Theorein［41 is fu皿damental． His result gives a necessary and su冊cient condition fbr the existence of a ・・mp1・・i・n・f［副・・a・・n・・a・・i…Thi・th…em・an b・apPli・d・・ prove Nehari，s theorem concerning the boundedness． of Hankel matriX（see ［6］，p．199）． Cil）rian Fbias and AUen Ta皿nen1）aum proved a stre皿gthehed version of Parrott，s theorem， Strong Parrott theorem【3］． Their result

gi…anecess・・y・nd・唖・i・・…ndi・i・輌同・・hav・a・・n・・㏄ti・・

completion which is equal to a g三ven unitary operator on a given subspace． In§2， we give a genera狙zation of Strong Parrott Theorem・Namely we wil gi・・a・necessary・・d・uM・i・n…ndi・i・n f・・圃・・hav・a・・n・・a・ti・・ 49

50

_{CONTRACTIVE COMPLETIONS}

completion．whichl is equa 1・ to la giVen’contraction ．o皿agive皿subspace・ Moreover， in§3， we wi11とonsider necessary and suMcient conditions for

［司・輌…㎡…y・・mpl・・i・n・

     We would like to note here that ．the term“completion，， is used concerning operator matrices in a dif琵re皿t context i皿［1］． But we llse this ter皿in the sense stated at the beginning． Our choice would l）e a￡ceptal）1e since it is sUitable， and our usage is not contradictory to that in［1］．      Now we would like to fix some nota尤io皿s． Throughout this paper， H，K denote Hill）ert spaces and a皿operators are bounded五near oper− ators． 〈・，・＞denotes the inner product． FQr closed subspaces M「．a皿d ハI of a Hilbert spa￡e， MθハX denotes M∩2V⊥， H（）⊂ H， Ko ⊂ K are dosed sub spaces， and A：ff（〕→ Koi，」B：HoL → Ke，0：」70．→ Ko are

・・n・・a・・i・…W…n・id…h・i…mpl・…p・・a…m…i・同und・・

these．conditions． pHo （resp． Pκo）de皿otes the orthogonal projectio皿 丘om H onto Ho（resp・from K、onto Ko）・R）r a皿operator T from H to K，TlHo denotes the restriction of T．to HO．．ker T， ran T and ran T denote the kernel of T， the range of T a皿d the clos1皿e of the range of T，respectively． Fbr a皿op erator」R on 」ff（）a皿dε＞0，」Rε：＝R十εIHo． Fbr a partial isometry U， ini（σ）（resp．∫in（U））denotes the initial space of U （resp． the fipal space of U）． Fina皿y， the defect operator 1）s of a contraction S三s defined by（1−S＊S）1／2，where l is the identity operator on the domain of 5「．

§．2． A generaliZation of Strong Parrott Theorem『

Pa［rrott，s Theorem mentioned， in the i皿troductio皿reads as fbllows．

PARRoTT，s THEoREM（［4］）． Let∬，」K，五b，κo，∠4，1ヲαη∂06eα8

i・§・・Th・・，囹ゐ・…・・͡・ωm輌・問・H6⊥㊥珊→

吋㊥嗣一ば輌［2］・H・一碍㊥K・・nd聞・瑞Φ砺1−K・

α7℃contraction8．      C．Fbias and A． Ta皿enl）aum obtained the following strengthened version of Parrott，s Theorem．

T．KIDERA AND S． MIYAJIMA

51 STRoNG PARRoTT THEoREM（［3］）．  Let頁，」K，丑b， Ko，ノ1’， B lαnば

Obeα8‘n§1 and let Hl⊂∬and Kl⊂Kbe￠losed subspaces and

’・tv・五・→五・be…剛・P・r・t・柵・・，同ゐ・一・・tra・励・

ωm卿・圏…九・力・・閏一γ・・丑・ザ・・d・nl・・ift九・μ・輌

⑳ditions are satisfied： （C．1） （C．2） （C．3） ［S］≦・・ll［B・］ll≦・・ PK。V＝【B C］1H，； VPH・・IH［・−PJ〈・［2］・      The original proof of Stro皿g Paエrott Theorem employs Parrott，s Theorem three times． Let us consider whether we can simplify their proof a皿d relax the condition that V is皿itary． As to these problems we obtained the following Theorem． After we finished the probf of this theorem， we fbund that Sebesty6n［5】gave a simplified proof of S trong Parrott Theorem which iS close to ours in the case of unitary V・But we beHeve that our theorem is worth recording since it treats non−unitary V，s and is natural in the category of contra￡tions． THEoREM 2．1． Let丑， K，∬o，∬1，Ko，、K1，∠4， B，αηばObe a3 in

Strong Parrott Tんωrem and letγ：∬1→Kl beαcontraction． Then，

［副ゐ・・…͡…pl・・i・n閏・痂ゐ・t［ge］一γ・・丑・

ザαn吻鳩卵ゐeノ’ollOωing conditions are satisfied： （C．1） （C．2） （c・3）’ ［2］≦・・ll［B・］ll≦・；

熾。γ＝［BO］1π1；

［PH。 I H1−［A＊0＊］V［A＊0＊】   V      O］・拓㊥五一丑・㊥面 ‘8α￠ontraction．      To prove this theorem we firSt show the following lemma， of which part（a）and（c）are almost the same as known resUlts stated as exercises in［6］． However， fbr the sake of convenience， we state it with a proof．

52

_{CONTRACTIVE COMPLETIONS}

LEMMA 2．2． Let丑， K，丑o，丑1，1ζb and」KI be．αs in Strong Parrott  Theorem． Suppose伽t a l碗nded linear operator R on」IO is positive and

let 5 beα加μη4e4臨eαアope耐or動m Hl to珊． Then tんεノbπ0ω迦

assertionsゐolば．

（a）5αPP・8e鋤彦α∼㊨顕4㎡伽劔r・perut・r Q・η∬1畑・8鋤ε』九eη，

    the following statementsα7℃equivalent （c∫．［6］，lP．153）．    （ar1）For any Xl∈」71αηば￠o∈丑b，       〈Qx・，￠・〉＋2Re〈Sx・，x・〉＋〈Rx・，￠・〉≧0・

   （ar2）F・r飢yε＞0，0−5＊Rご15≧0．

（b）Le￡γ6eαcontraction from Hl to頁1・Th『η， theプb”oω‘η98施te−     ments are eguivalent．

（b−・）−y・〉・・ ・h・ ・perat・・一［Eご酩・5］加m五・t・

        1（1㊥刀01isαcontraction．   ．       ’    （b−2）丁九ere e斑8α・・ntracti・n y加m．石r・to五〇sue九オゐα重S＝         Rl／2Y1）γ．    （b−3） There e￠‘3τ8 α contraction Z 吻7η HI to Ho プbr ωhic九 t力ε

        ・魎・一田‘…・n−−45＝R・！・Z・

（C）Let To be a c・η施吻η加m刀b t・．κ． Then，‘ゐe輌・ωing state−     ments are equit）alent． （c∫．［61，p．155）．    （c−1）There exists・a￠・ητmcε‘ρπy伽m丑1 t・五b 8μcゐ伽τ・5ニ         1）1byDy．

（・−2）Th・・獅・・一［％o“

        contraction． PRooF．  Proof of（a）：罰or xl∈五「1 and￠o∈17b，         〈Qx・，￠・〉＋2Re〈5￠・，￠・〉＋〈」ぬ・，￠o＞          ＝〈鋤1，￠1＞＋〈5￠1，￠0＞＋〈5＊￠0，X1＞＋〈RXO，XO＞

       〈匿1園・園〉・

］from H・㊥一・㊥K・

isα

      T．KIDERA AND S． MIYAJIMA      53 Th・・ef・・e・・ndi・i・・（a−1）i・eq㎡・al・n・t・       隣］≧・・ which is in turn equivalent to       ∀・〉・・［榴≧・・ 0。th。。th。，・hand w。 hav。 th。 f。ll。唖g。q。ality、

［劉一［Q−5；Rご15竃1［Rき5嘉］

      一［’g・5驚一1］［°−5；R；15』1［R舞晶］・

Since

       ［IH、 OR；151H。］ 1−［一塾5よ］ a皿d』

       ［㌍竃1］−1＝［’9i一欝1］

w。hav。 an。、h。， eq。ali、y：

［Q−S’＊1Z；15’ 0   0   Rε］一［T一劉［閲［一塾5㌫］

By the equalities．

      ［Rき5嘉r−［’g・5驚一1］

a皿d

      障5嘉r＝［T・一劉・

we ca皿easily’ see the following eqUivalence from the above equalities：

      ∀・〉・・［榴≧・6∀・〉…一ずR；15≧・・

       ’

54

_{CONTRACTIVE COMPLETIONS}

Therefbre， we・btain Lemma 2．2（a）．・・     Proof of（b）：If（1）−1）holds true， then丘）r a皿ε＞Othere exists a contraction Ye frem Hl to Ho such that       s＝Rl／2Y。Dti． Since the unit ball of the space of a皿1）ounded linear operatOrs on H is compact in the Weak operator topology， the net｛Ye：ε＞0｝has a cluster pointγin the unit ba皿asε↓『0（see｛21， Proposition 5．5 in p．282 and Propositio皿2．6 i皿p．379）． Let xl∈丑1 a浪d￠o∈」eo．Then．fo1 anyζ＞0， there eXists anεo＞Osuch that Rl／29・−R’／2x・ _{＜ζ （o＜∀ε＜εo）} ・ince Hm。＿．。 Rl！2 i R・／・．A・yi・a・1・・t・・p・i・t・f th・n・t｛Ye・ε＞ 0｝，fbrεo andζabove， there exists anε1＞Osuch thatε1≦εo and 〈Ye、DvX、，R’／2X。〉一〈yDvX、，R’／2X。〉 ＜ζ． Hence， fbr anyζ＞0，we have the following inequalities： 〈SXI，Xo〉《R1／2yDγ・、，・。〉・ ＜＜｝1、D・X・，R…（2・・〉一〈Ye、1）VX、，R1！2X。〉    ＋〈y』、1）γ・、，Rl／2・。〉一〈γ1）γ・、，瓦1！2・。〉 ＜llX・1111R…！2・・−R1／2・・ll＋ζ ＜（11￠、ll＋1）ζ．

Lettingζ→十〇，we obtain

       〈SX、，・。〉ニ〈Rl／2yDvX、，・。〉． Therefore， we obtai皿S’＝R1／2 y1）V．Co皿versely， assume that（b−2）holds true． Since O≦R≦Ri a皿d RRε．＝RεR，we have Rl／21ζ1E1！2≦塩。 Thus， we have       γΨ＋．5＊R三15＝1γΨ＋1）Vγ“R1／2丑二1R1／2y1）γ

       ≦．γΨ＋DvY“YDv    ’

       ≦γΨ＋蹄＝IH、．

T．KIDERA AND S． MIYAJIMA・ 55 H・nce・・h・・P・・a…m…i・ mRご酩・5］i・a・・n・・a・・i・n・ The equivalence of（b−2）and（b−3）is easily yeri五ed・     Proof of（c）：Assume that（c−1）is satisfied． Then， we have

      圖一［1）To OOIκ、］間

       一｛［igo iR，］一圃囲＊｝1／2［γク・］・』

Si・・e m劉i・a・・n・・a・・i・n・・hissh・w・th・・際］i・a・・皿・・㏄・i・n （［6］Prol）lem 12．20）． Conversely，、 if（c−2）holds true， then there exists a

contractio皿Z：∬1→Ho㊥Kl such that

        ［e］一｛［ig・，R、］一［到［田＊｝1！2z

       −［㍗よ、］z・

L・・Z一

｣・Th・n・w・』Z・一γand，th・・ee泊・t・a・一・輌

y：丑1→Ho such that Z1＝y1）zゴ＝γ1）ゾsince llZll≦1． Therefbre，

we ol）tain 5＝1）1bγ1）γ．■     Now we．begin to prove Theorem 2．1．『．   ・

PROOF OF THEOREM 2．1．

    （SufHciency） 『Let H2：＝Hl十Ho a皿d K2：＝Kl十Ko・De五ne a

li皿ear bperator U：∬1十∬o→Kbyσ（xl十￠o）：ニVxl十（ノ1十〇）xo （fbr x1∈Hl，xo∈H（））． If we show that       llvxi十（A十〇）xol1≦llx1十xo ll （xl∈H1， xo∈Ho）， thenσis well−defined， i．e．；f（）r xl，￠｛∈丑1 and xo，x6∈Ho，

    ・・＋x・＝・1＋x6⇒V・・＋（A十〇）x・＝嘱＋（A＋0）・6・

L・tR・＝IH。−A“A−C“C・・nd S・＝（PH。 IH・）−A＊鞠y−0＊互・V・

Then， by Lemma 2．2（c），（C．3）’implies that there eXists a contraction Y

56

_{CONTRACTIVE COMPLETIONS}

伽m丑・t・H・・u・h・・h・・ S−R・！・yDv（r・・．T・・一［2］i・（・一・）・f Lemma 2．2）． Theref（）re， by Lemma 2．2（b）， we see that f（）r a皿yε＞0 ［R㌶・S］ i・a・一・・…i・n…eq・i・al・皿・ly       （IH、−v’v）−5＊R：15≧o．

Hence we have the fbllowing inequality fbr￠1∈∬1 and xo∈丑b by

Lemlna 2・2（a）：        〈侮、一γΨ）x・，・・〉＋2R・〈Sx・，x・〉＋〈Rx・…〉≧0） or equiValently

〈V’Vx・…〉＋2R・〈（A＊毎＋0’pK。）V…x・〉＋〈（A“A＋0＊C）…x・〉

   ≦〈JHix、，x、〉＋2R・〈（pH。1∬、）x、，￠。〉＋〈」煽￠・，x・〉， or e（1uivale皿tly （・）   llγx、＋（A＋0）x。ll2≦ll・、．＋x。112． Therefbreσis a wel−defined co皿tra￡tio皿． Now let U be the unique

continuolls extensio皿ofσto∬2． Thenσis a contractio皿from」H2 to

五．Since［B q is a contractio皿from∬to KQ，if we show㌻hat

（＊＊） ’    PK。σ＝【B O】IH，，

then Parrott，s Theorem yileds the existence of a co皿tra￡tion T：丑→K such that OP＝ TlH， and ［B O】 ＝ 」pKo T． By the definition of σ，

万一Tl丑・impn・・th・・［2］一万1珊一TIH・ and・V二万1丑・−TIH・・

Th・・ef・・e同h…・n・・㏄・i・…mp1・・i・n T・u・h・h・・Tl∬・一γ・

T・・h・w（＊＊），・・t・th・t・f・・ a・y x、∈∬、，th・・e・eXi・t・eq・・nce・｛xln）｝n i・丑、・nd｛x8n）｝。 i・ff。 su・h th・t・1π）＋x8n）→・，（・→∞）． Fr・m （C．2），we have         PK。万・，ニlim PK。万（xln）＋x8n））        九→◎◎        一蕊｛PK．v・ln）＋PK。（4＋・）xln）｝．        ＝工（BPH，L＋qPH，。）（xln）＋x8n））．．        ＝（BPH⊥＋CPH。   0）x・・

T．KIDERA AND S． MIYAJIMA

57 Therefbre（＊＊）holds true， which completes the proof of the su伍ciency．      （Necessi・y）If［副h品…皿・・㏄・ive c・m・1・・i・n［92］・u・h ・h・・囲一γ・n∬・，・h・ni・i・easy…h・w・h・・（C・・）・nd（C・2）h・ld true． We show（C．3）’． Fbr x1∈∬1 and xo∈Ho，we have       閲（・・＋・・）−V・・＋（A＋・）… Since圏i・a・・n・・a・・i・・， w・・b・ai・        llγx・→一（A＋o）x・ll≦llx、＋x・11．

L・tR・＝IH・一鯉一〇＊0皿d 5・ニ（PH・1∬・）三A＊叛オγ一〇＊PK。γ・

R）110wing the argllment to derive（＊）i皿the proof of suMciency i皿the oPPosite direction， we have        y＊y＋s＊R；1s≦IH、 f…ny・〉・・Th・・ef・・e・f・・any・〉・・［R；Y，・S］i・a・・n・・a・・i・n・ Hence， from Lemma 2．2（b）a皿d（c）， condition（C．3）’is satisfied， which colnpletes the proof■      As shown impHcitly in the above proof，（b）and（c）of Lemma 2．2 implies that（C．3）’is equivalent to the fbllowing condition： （C．3）” ｛there exists a contraction Y ．from∬1 to∬O such tゐat（PH・1∬・）−A＊互オγ一〇＊PK。γニ（塩。一崩一〇℃）・！・YD。． Hence we can ref（）rmulate Theorem 2．1 as f（）Hows． CoRoLLARY 2．3． 1｝et∬，五，．Ho，丑1， Ko， Kl，ノ1，、B αnd O beα8 in Str・ng Parr・tt The・rem and・let V：∬1→Kl be a・・ntracti・η． Then，

同ゐ・・…・m・励ec・m卿n閏・酬司i2｜一γ・・∬・

zf and only if conditions（C．1），（C．2）and（C．3）”are satisfied．      If y：Hl→1（1 is unitary， then it is easy to show that（C．3）’is． equivalent to the fbllowing condition：

（C・4）   A＊撫y＋0？κ。y＝PH。1丑・・

・58

CONTRACTIVE COMPLETIONS

It・is clear that（C．4）impUes（C．3）1．・Under ithe additional condition that γis an isometry，（C．3）’is equiyalent to（C．4）． Simila『ly，、under the ・ddi・i・n瓠…di・i・皿・h・・

m2］i・ani・・輌（C・3）’i・al…q−・t・

（叫Th・・ef・・e・w・緬・th・姐・wi・g G・・11・ri… CoRo砧ARY 2．4． Let H，」K，∬o，∬1，」Ko，」K1，『・4， B and O beα8 in Strong Parrott Theoremαη♂letγ：∬1→KI beαn isometry．2「んeη，

［副九・・…͡ec・m卿・圏・・Cゐth・・ ［i 2］・−y・・丑・

if and only if conditions（C．1），（C．2）， and（C．4）α7℃satisfied． Co RoLLA RY 2・5． ．Let丑， IK，．Ho，丑1、，κo，」K1，ノ4， B and O be ・・in Strong Pdrrott Th・・rem and‘1・彦γ・∬・→K・be…nt・a・ti・n

−d

m2］・∬・−K−・・m・t・s・・司B参｜λ・…一一・

ωm輌・圏・・』・圏一γ・・晒・nd・剛・・n翻・η・

（C．1），（C．2），and（C．4）are 8ατ晒e4．

§3． ComPletion to a unitary operator

N・wwe c・n・id・・皿d・・wh・…皿di・i・n・同h・…ni…y・・m・1・・i・n・ As to this I）roblem We obtai皿eq’．the fo皿owing theorem． THEOREM 3．1． Let∬， K）丑o， Ko，．A， B and C beαs in§1． Then，

［副九・…輌・・inpl・・i・・圏・∬’㊥H・一κ’㊥珊・nd

Qnly if the follozving eonditions qre satisJ7ed：

（D・1）thb．・魎・晒・l i・・m鋼Mオ→苛r吻九・t

      蝋σ）＝ran DB，抗（u）＝．ran・DA・andσDB＝’1）A・・U；

（D．2） （D．3）

A＊A＋0℃＝IH。；

BB＊＋OC’ ＝ 1κ。．

T．KIDERA AND S． MIYAJIMA

59 PRooF oF THEoREM 3．1 （‘‘only if，−pa□t）・ ・・mp1・・i・n圏，・h・・w・hav・

If同．has a uni・ary

［1：2：］［笥一［晋㌫］

and

      ［i2］［1凋一［lss ，2。］・

Erom these equalities， we obtain the fbllowing equations：

（i）  x“x＋B＊B＝旬・xx＊＋AA＊＝毎；

（ii） X．β＊十A．0＊＝0； （iii）

A’X＋ぴβ＝0；

（i・）  A“A＋0℃＝」rH，， BB＊＋CO＊＝IK。・

Th。、（D．2）a皿d（D．3）・・e・b・ai・・d． L・t lxl−（x“x）1！2㎝d lx「＝ （XX・）1！2． By th・p・1・・dec・mp・・iti・n・f X， th・・e ・Xi・t・a剛i泣

isometry u such that ini（の＝ran lx1， fin（u）＝’ran x and x＝

ulxl・＝・lx・1σ． Fr・皿（i）， lxl2 ＝ Db and lx’12＝DZ・・Th…iq・・ness of positive squar e root yields lxlニ1）B and Ix＊1＝1）A・．Hence ini（u）＝

≡凶一一・an・DB，拘（σ）＝…x＝（k・・x＊）⊥＝（k・・lx’1）⊥−

ran IX＊1ニran DA＊，a皿d UDB＝1）A＊ U． Thus，（D．1）is ol）tained．■     T・・h㎝・h・・eXi・t・皿ce・f a uni…y・・mpl・・i・n閏・f［．e］・ we have to find an ol》erator ． X：丑オ→κオwhich satis丘es the equations （i），（三i）a皿d（iil）． R）r this purpose， we need a series of lemmas．

LEMMA 3．2． Let丑，頁，刀b， Ko，ノ1， Bαn∂Obeα8 in§1．ノlssume

that conditions（D．2）and（D．3）are satisfied． Then‡ゐeプblloωing equali一 重‘e8 hold： （a） llDB1ヲ＊yo 11＝1レlo＊yoll プbr any yo∈K｛）； （b） ll1）A申 AXo 11＝llB．’CXoll ノ「or any Xo∈Ho・

60

_{CONTRACTIVE COMPLETIONS}

PRooF．（a）：From（D．2）and（D．3）， we have 11DbB・yol12 _{〈B（旬一B’B）B＊yo・yo＞} 〈BB＊（IKo−BB＊）yo，yo＞ 〈（IKo−00＊）00＊310，310＞ 〈0（IHo−0＊0）0＊yo，yo＞ 〈0／4＊・4C＊yo，yo＞ llAO＊yo｜12． （b）：We can similarly prove（b）．■ LEMMA 3．3・ Let」ff，」K，」ffo， Ko，ノ1・Band C 6eα3 in§1・Assume tゐat conditions（D．2）and（D．3）are sαtisfied． Tカen the f（）lloωing eguαlities hold： （a） （b） （c） （d）

PROOF．

01）ノ1＝DB＊o；

0／1＊1）．4牢ノ1＝．召1）BB＊0； 1）A＊ノIC＊＝ノ10＊D、B＊； 1）BB＊0＝．B＊01）ノt． （a）：Since O（0＊0）ニ（00＊）0，by（D．2）and（D．3）， we have       O（勾o−∠4＊ノ4）＝（IKo−BB＊）C・ Hence， fbr every nonnegative integer n，we have        O（IHo一ノ4＊・4）n＝（IK。−BB＊）nc． On the other hand， there e）dsts a sequence｛pn｝n of polynomiaユs such

that

       llPn（IHo−∠4＊∠4）−DAII−一→0，       llPn（II〈o−BB＊）−1）B＊ll−→0．

Since

       OPn（IHo−A＊A）＝Pn（IKo−BB＊）o

fbr all n，we obtain O1）A＝1）B． C by letting n→oo．

T．KIDERA AND S． MrYAJIMA

61 （b）：By（a），（D．2）and（D．3）， we obtain

CA＊DA・A＝

ODλA＊A

DB・C（玩。−0℃）

1）B・BB＊O

BDBB＊0，

where we have used the well−known facts A＊Dm＝1）AA＊a皿d 1）B＊B＝ B工）B．The proof of these facts is similaエto that in（a）（（≠ proof of Theorem 12．20 in［6D．     （c）：By（a）， we have DAO＊ニ0＊DB．．Hence，        DA・AC＊＝ADAC＊＝AO“DB・． （d）：F・・m（a），．DBB＊0＝B’DB・0＝BfO1）A・■ LEMMA 3・4． Let丑，」K， Ho’Ko’ノ1 and’B 6eα8 in§1’ Then the 戊’ollOω晦assertions hold． （a）Let・X、∈ran DB． Then， the foll・ω迦statements・are・guivalent・    （・r1）x、∈（・ar・・DBB＊）⊥．    （ar2） x・＝DBX1・    （ar3）   11Xill＝ll1）B’xlll・  （b） Let Y1∈ran 1）A＊．1「hen， t九eプbllO．wing statement8 are equivalent・    （b−1）y、∈（・a皿1）A・A）⊥．    （b−2）  Y1ニ1）A牢Yl・    （1）−3）   11yill＝111）ノ1寧YIII・       − PRooF． First we prove paエt（a）．     （・r1）⇔（・r2）・lf・’x、∈（・a・DBB・）⊥， th・n BDBx・＝0・’S・，

B＊BDBx・＝0，（毎一B’B）DBx・＝DBx・・Th・・ef・・e・D；x・−DBx・＝

0．He皿ce，（缶，十DB）DB（1日オー1）B）xlニ0． Since 1口，十1）B≧1吾オ，we

・btai・DB（旬一DB）x・＝0・H…e（毎一DB）x・∈k・・D

       B．On the ・ther hand，・・∈・a・DB imph・・（毎一DB）x・・∈斑DB・Th・・ef・・e・

62

_{CONTRACTIVE COMP．LETIONS}

（互オーDB）x・∈k・・DB∩・・n DB’＝｛0｝・Th…w・hav… ＝DB…

Conversely， if xl＝DBxl，then we readily obtain B＊B1｝BxI＝0． Hence        （BDB）＊BDBX、ニDBB＊BDBX・＝0・ Th・・， BDB・、＝0・・d・・lv、∈（・・n DBB・）⊥．      （a−2）⇔（a−3）：It su伍ceS to show that（a−3）implies（ar2）． if llxill＝ llDB・・II，th・n〈x・，x・〉＝〈（毎一B＊B）x・…〉・・nd・・〈B＊B・・…〉＝0・

H・nce B・・＝0・Th・・ef・・e・（塩オーB＊B）x・＝x・・Th…（毎＋

1）B）（∫H’−1）B）ω1＝0・Since缶オ十1）B is one to one・we ．have x1．＝

DBXI．

     Proof of part（b）：Replacing B in the I）roof of part（a）by、4＊，we can prove（b）．■ LEMMA 3．5． Let H， K，」ffo，．Ko，、4， Bαnd O∼㎏α3 in§1． Tゐen the プ’ollOω迦αssertions hold．  （a） Suppose thαt condition（D．2）is satisfied・Then，        ran、40＊＝ran DA・A．  （b）  Suppose tゐat coηdition（D．3）is satisfied・Then，        ran B＊0＝ra皿DBB＊．        も_{PRooF．（a）：R）r each xo∈Ho，（D．2）implies that}        AC＊CXO＝A（IH。−A＊A）XO        ＝（∫κオーA4＊）A・・        ニ D膓鴻。        ニ DA・AI）AXo． So， ran（、40＊「ran O）⊂ran DA．んTogether with（AC＊）lker O＊＝0，this

shOWS

       ran、40＊⊂ran DA・ A．

Considering the orthogona1’

モ盾高垂撃?高?獅狽刀@of these two subspaces in ran DA・，we see that it su伍ces to show        ker O／1＊⊂ker／1＊1）A＊  （in ra皿1）A牢）

T．KIDERA AND S． MIYAJIMA

63 fbr the proof of ，the reverse inclUsion・If Yl∈・ker C／1＊，t・hen（フ＊0／1＊Yl＝ 0．By（D．2）， this yields （IH。−A＊A）A＊Y1＝0． From this we can successively obtain the following equalities：         A＊D2．y、＝o， （毎一DZ・）D2・・y・＝o，

AA＊D垣、＝o，

（毎＋刀・→D』・（毎一・D・・）y・＝o・ Since 1云オ十ヱ）A・is one to one and Yl∈ran 1）A・，proceeding similarly as in the proof of Lemma 3．4（a）， we obtain Y1＝DA瑠1．By Lemma 3．4（b）， we have Y1∈ker、A＊1）A．．Thus， we complete the proof of（a）．      （b）： By condition（D．3），（1ヲ＊）＊B＊十（0＊）＊0＊＝IK。．Therfbre， if A，Oin the above proof of（a）are repla￡ed by B＊，0＊respectively， we can pr・ve（b）．■ Now， we continue the proof of Theorem 3．1． PRooF oF THEoREM 3．1（“if，−part）． From Lemma 3．4（a），（b）and the definition of U，we have the following claim． Claim 1． Theプ’olloωing statements are equivalent． （a） _{X1∈ra丑1）B e ra皿1）BB＊．} （b） _{UXI∈ran 1）A＊eran DA＊ A．} Proof of Claim 1：It wil be shown that（a）implies（b）． If xl∈ran DB e ran DBB＊，then Lemma 3．4（a）yields Hxi II＝llDBx1 ll． By the definition of U，we obtain llUx、ll＝llx、11 ＝ llDBx、‖＝llUDBX・ll＝ilDA・ Ux・IL Hence， we have IIUxlllニllDA・ Uxi ll ． Since Ux1∈ran 1）A・，丘om Lemma 3．4（b）， we obtain Uxl∈ran 1）A． e ran DA． A． We can similarly show that（b）iml）1ies（a）．／／      Now we can find an oPerator X such that（ii）holds true． First， we define an operator S：ran DBB＊一一→ran／IC＊ by setting s（DBB＊yo）：＝−AC＊y・ （yo∈K・）．

64

_{CONTRACTIVE COMPLETIONS}

By Lemma 3．2（a）and Lemma 3．5（a）， S is well−defined ’ a皿d continuously extended to a unitary operator from ra丑1）BB＊っnto・ran 1）A． A．． We denote this unique continuous extension of S to ran DB B＊ also l）y S・ Secondly， we define a皿operator T：五オ→Ko by li皿early extending the fbnowing mapPi皿9： TXI：＝ Lemma 3．2（a）implies that fbr xlo∈ran、DBB＊，11Txio ll （D．1），we have llTXn［l and Lemma 3．2（a）yield〈Txlo，Txll＞＝0ニ〈xlo，xl1＞．Hence we have        l1T（X、。＋￠・・）llニllX・・＋X・・ll・ Moreover， Claim l a皿d the definitions ofσamd 5「imply that T皿aps ran DB onto ran DA．．Therefbre， T is a I）artial isometry such that       ini（T）ニran DB， fin（T）ニran 1）A・ and        t t       ’ SXI （X1∈ran」DBB＊）， UXI （Xl∈ran 1）Bθran 1）BB＊），

0  （Xl∈五オera皿1）B）．

      ＝ll￠、oll． Fr・m ニllxll 11 f（）r xll∈ran DB e ran DBB＊・claim−1

（v）      TDBB＊＋AC＊ニo・

Let X：ニTDB． Then，（ii）holds true． Next， we co皿sider whether（iii） holds true fbr the same．X． T垣dng the adjoint of（v）， we haye        BDBT＊＋CA＊ニ0． Thus， BDBT＊1）A．、A十C4＊1）A．、4ニ0． By Lemma 3．3（b）， we obtain       BDB（T＊DA・A＋刀＊0）ニ0・ 旧［ence，（T＊1）A＊A十B＊0）xo ∈ ker BDB holds fbr xo ∈ 」70・ Op the other hand， the definitio皿of T and Lemma 3．5（a）imply T＊DA・ Axo∈ ran DBB＊，and Lemma 3．5（b）implies B＊Cxo∈ran DB B＊． Therefbre， fbr Xo∈Ho，        （T＊1）A・A十B＊C）Xo∈ker B1）β∩ra皿DβB＊＝｛0｝・ Thus， we have T＊DA．、4十B＊0＝Oand taki皿g the adjoint of this equality， we obtain （vi）      ノ1＊1）ノ1＊T十〇＊1ヲニ0・ Therefbre if we show that 1）A． TニTl）B（＝X），then（iii）holds true．

T．KIDERA AND S． MIYAJIMA

65 Claim 2． DA・T＝T1）Bゐolds true． Proof of Claim 2：Tis de丑ned on∬bi，i．e．， on       ・an・DBB・㊥（＝万三〇・an・DBB・）㊥（丑オθ・an DB）・ If xlo∈ran DB」B＊，then there exists a yo∈Ko such that xlo＝1）BB＊1りo． Then， from Lemma 3．3（c）we have

DA・Tx10＝DA・TDBB＊yo＝−DA・AC＊yo

        ＝ −AC＊DB・yo ＝TDBB＊DB・yo

        ＝ T1）BDBB＊yo ＝TDBXIO

Hence， we have I）A． T＝T1）B on ran 1）BB＊and by continuity we obtain ヱ）A・T＝TI）B on ran1）BB＊． Let xll∈ra皿DB eran DBB＊．Then Lemma 3．4（a）imphes xllニ1）Bxl1， and by the de五nition of T， Txn ＝ UxI1． Since UxI1 ∈ ran 1）A串θ ran 1）A．IA．（Claim 1）， Lemma 3．4（b）implies that Uxll＝1）A． Ux11． Therefbre， combining these facts， we have 1）A．Txll＝ 1）A． UxlI＝

UXII＝TXII＝T、OBXII． Hence，

DA・T＝TDB on ran DB e ran 1）BB＊．

If￠12∈丑オθran DB，then 1）Bx12＝0． So， from the definition of T，

1）A・Tx12＝1）A・0＝0ニTDBx12． Hence，

       DA・T＝T1）B・n丑’θ・an・1）B． Theref（）re， combining these three facts we have 1）A．TニTDB on∬オ．／／     Now that DA．T・＝Tl）B，by letting X＝TI）B，（v）and（vi）show that the equations（ii）and（iii）are satisfied． Moreover， because T＊T （resp． TT＊）is the orthognal projection onto ran 1）B （resp・ran 1）A．）， it fbllows that

（TDB）＊TDB＝DBT’TDBニD9二缶，−B＊B，

       D・・叩A・・T）＊＝D・・TT＊DA・＝D▲・毎一崩＊・

Therefbre， fbr the same X，the equations in（i）are also satisfied， which completes the proof of Theorem 3．1．■

66

_{CONTR’ACTIVE COMPLETIONS}

REMARK． If we use Le㎜a 3．2（1））aAd ’LeMnia 3．3（d）in ’place’df Lemma 3．2（a）and Lemma 3．3（c）， we ca五prove the“if”rpaエt of The（ト ・em 3・・br典na・i・・m・・h・d・Fi・・t・1・t 5 b・d・五・rd by        5（B＊0￠o）：＝−1）A＊ノIXo  （f（）r Xo∈Ho）， ’      ニ and extend it by continuity to ran B＊C． We．den6te the unique．con− ti皿uous extension bf 5「to ran B＊O also by S． By Lemma 32（b）a皿d Lemma 3．5（b），5is uni tary from ra皿DbB＊・o皿to ran 1）AヴA． Secondly， 1et T be defined as in the proof of the“ifLpart of Theorem 3．1． The皿うT is a partial isometry such that緬（T）＝ran Z）B and∫in（T）＝ran 1）A・ and TB＊0十1）A・ A＝0． From this equality， we have       B℃＋T“DA・Aニ0． a丑dtaユd丑g the adjoi皿t of this equality， we obtain

A’DA・T＋C’B＝0．

Procee（ling sim冠arly as三n the proof of the“if，−part of Theorem 3．1，1）y the use of Lemma 3．3（1））and Lemma 3．5（a）， we obtain

T．DBBf＋AO＊＝0．

Lemma 3．3（d）， Lemma 3．4， Claim l and the definition of T imply that

TD・−DA・T・L・・X＝TDB・・h・皿圏i…ni・ary・・mpl・・i・n・f

［副・

     The proof of Theorem 3．1 gives the fo皿oWing simple su伍cient co皿一 dition for the eXistence of a unitary completion． THEOREM 3．6． Let∬，．K，∬o， Ko，A， B and O beα3 in§1∴4ssume

th・書汕4硫i・・t・th・…働ns（D・2）・・d（D・3）・k・・（毎一DAり＝｛0｝

・・dk・・（缶，−DB）一｛・｝ゐ・ld・ Th・・同ゐ・…輌一p』

PRooF． We use the notations in the proof of Theorem 3．1． In the constructi6血of the operatOr T i皿the proof， the」fo皿owi皿g orthogonal decompositions a re utilized：

瑞＝・an 1）日B・㊥（疏θ・an 1）BB・

㊥（H’θiiii bE），

T．KIDERA AND S． MIYAJIMA

67

    碕＝・an・DA・A㊥（工e・an DA・A㊥（已e・a・DA・・

B・tth・a・弓・mpti・n k・・（1κオー1）A・）＝｛0｝・・d．k・・（毎一DB）＝ ｛0｝imply that the second summand of each decomposition is zero（see Lemma 3．4）． So we can de五ne、T without usi皿gσappearing in（D．1）． The proof of 1）A．T＝TDB depends only on Lemmas 3．3 and 3．4， which are derived solely from（D．2）ahd（D．3）． Theref（）re X：＝丁刀B gives a

・・i…y・・m・1・・i・n［iel・f［司・l

     N・w，we c・n・id…h・・ep・e・e・…i・n・f・all・X・whi・h m・k・・問

・u輌・P・・a…，wh・n［。2］h・・a・1…t…uni…y・・mp1・・i・n・A・

to this problem， we ol）tained the fbllowing result． PRoPosITIoN 3・7． Let丑， K，∬o，．κo，ノ1， B αnd O be．αs in§1・

5⑭・se叫司ん・…・働・・m輌・問・L・・X・一σIX・1

励・魎r・dec・m《・呵X・・Tゐ・・，圏i…it・・□・∂・剛

X＝RXo＝RU1）B，ωhere R isα Pαrtiαl isometry on Koi such thαt

     甑㈹＝ran DA・，拘（R）＝ran DA・， RDA・＝DA・R

and

       RI・an D・・Aニ∫1・an DA・ん

P−・（Necessi・y）Since問i・au・i…y・P・・a…，加m・h・p…f

of the“only if，−part of Theorem 3．1， the polar decomposition of X is written as X＝γ1）B，where y：∬δL→κオis a partial isometry such

that

      緬（y）＝ran・DB，伽（y）＝ran・DA・， VDB＝DA・γ

and

      VDBB＊＋AC＊＝0． By the same reason，σ：五｛ナ→頁’is a partial isometry such that

      緬（の；ran DB，伽（σ）＝ran DA・， UDB＝DA・σ

and

      σDBB＊＋AC＊＝0．

68

_{CONTRACTIVE COMPLETIONS}

Let R：ニVU＊．The皿， R、is a partia1 isometry such thqt

     ini（R）＝ran・DA・，拘（R）＝ran DAr andγ＝即・

Now we wi皿shoW that R1）A．ニDA． R． R）r each yo∈Ko，we have

RUDBB“yo ＝ V1）BB“yo＝−ACfyo ； UDBB“y・．

Lemma 3．5（a）iml》lies that｛σ1）BB＊yo：yo∈Ko｝is a dense subspace of ran DA・、A． Therefbre， by continuity we obtai皿

R＝毎・n・an・DA・・A・

・Since DA． maps ran DA・．A into ran 1）A・A，this implies ．Rl）A・ニ1）A・ R on ran DA・ A． ff Y1∈ran 1）A＊θran．DA申A，then there exists an x1∈ran 1）B era皿1）BB＊

such that Y1＝Ux1（Claim 1）． We can prove that Vxl∈ran 1）牟θ

ran DA・A similarly as Claim 1． Lemma 3．4（b）yields Yl＝1）A． yl and Vxlニ1）A． Vx1．Therefbre， vぱe obtain the fblowing equa五ties： RDA・ yl

_{＝  鞠1 ＝RUXl}

＝  yx1 ＝DA・VXl

＝1）A・ RUx1＝DA・砂1．

Hence， we obtain R．DA＊＝DA掌R on ra皿1）A＊θran 1）A＊ A・ If Yl∈ 訂θra丑PA牢，then 1）A＊y1＝Oand Ryl＝90． So， we obtain Rl）A・ Y1ニ

0＝DA・勘、． H・nce， w・have RDA・＝1）A・R・n瑞θ・an DA・．

Coml）ining these facts， we obtain R1）A・ニDA・R onκ’．     （Su伍ciency）Since R＝1云オon ran 1）A＊ノ1・we have        RU1）BB＊＋AO“＝O． Procee《五ng siInilarly a8 i皿the proof of the“if，−part of Theorem 3．1， we ol）tai皿        A“DA・RU＋0“B ＝O．

Since R1）A牢二1）A廟R， we have RU1）IB＝RDA・UニZ）A・RU・Hence

A＊RUDB＋0“B＝0．

T．KIDERA AND S． MIYAJIMA

69 Furthermore， since（RU）＊RU（resp． RU（RU）＊）is the orthogonal pro− jection onto ran DB（resp． ran、DA噂）， we obtain

（RU1）B）＊RUDB＝DB（RU）＊RU1）B＝1）』

and

         1）A・RU（1）A・RU）＊＝1）A・RU（RU）＊1）A・ニ1）1・・ Theref・・e， if X−RUD・，・h・n圏i・a・ni…y・P・・a・・… From this result， we can easily obtain the following CoRoLLARY 3．8． Le孟∬， K，∬o，Koヅノ1，β and O 6eα8 in§1． Then，

［司』晒・n・unit・r…mpl・・i・n if・k・・（毎一DA＊）一｛・｝・・

k・・（∫HオーDB）＝｛0｝ん・『∂・ P…F・Fi・・t ass・m・th・t k・・（∫KオLDA・）＝｛0｝・Ifth・・e exi・t・a ・nit・・y・・mpl・ti・n， th・・th・assumpti・n k・・（∫κオー DA＊）＝｛0｝impli・・ ran DA・＝ran 1）A・・4 by Lemma 3．4． Hence only the orthogollal projec− tion onto ran．DA＊can satisfy the condition fbr R in the above proposition， ・nd h・nce th・uniq・・ness・f・ll・w・・1・…ek・・（缶オーDB）＝｛0｝h・1d・・ consider the adjoint of the operator matrix．■      The proof of Parrott，s Theorem is easily reduced to the proof of ・h・f・・tth・・［司h・・・・・…a・・ive c・m・1・・i・n und・・c・ndi・i・n・（D・2） and（D．3）（see［4D． Therefore the proqf of the following proposition， whose content is merely a specia1 case of Parrott，s Theorem， yields an alternative way to prove Parrott，s Theorem． PRoPoslTloN 3．9（special case of Parrott，s Theorem）． Let瓦K，∬o， Ko， A，．日αnd O beαs in§1． Assume that conditions（D．2）αnd（D・3） i・・Th・・−3…re ・α・i・fl・d・ Th・n， ［．2］ h・・…加α・ti…c・m・』・ PRooF． As in the proof of the“if，−part of Theorem 3．1， we de丘ne the

unitary operator S from ran DBB＊to ran 1）A・・4＝ra皿AC＊・Next，

we define an operator T：Ho±→Koi by lineaエly extending the following

mappmg：

       T・・ ・一｛5「x1 （Xl∈ran l）BB＊）；0 （x、∈瑞θ・an・DBB＊）．

70

_{CONTRACTIVE COMPLETIONS}

Then，・T is・a partial isometry satisfying ini（T）ニran 1）BB＊， fin（T）＝ran 1）A・A

and

T1）BB＊＋AC＊＝0．

Proceeding similarly as in the proof df the ’“if，−part of Theorem 3．1， we

have

      A“1）A・T＋C’Bニ0． Next we show that 1）A． TニT1）B． PrOceeding simjlarly as in the proof of．Claim 2， we have 1）A．TニTDB on ran 1）Bβ＊． If xll∈ran DBθ ran 1）BB＊，then from Lemma 3．4（a）and the de五nition of．T，we have

1）A・ TXIIニ1）A・O＝0＝Txll＝TDBXII．

Hence， we obtain DA＊TニT1）B on ran DBθran1）BB＊． If x12∈

瑞era皿DB， then DBx、2＝0． Hence， DA・Tx、2ニ0＝TDBx、2，

and we ol）tain 1）mT＝T1）B on五オθran 1）B． Therefbre， we have

DA寧T＝T1）B on瑞・Setting．X：『T1）B，we have

       x＊xニDBT＊TD・≦D』二毎一B＊B

and、4＊X十C＊Bニ0． Hence， we have

閲＊闘

＜一

［

X＊X十B＊B

、4＊x十c＊B

［晋よ］・

㌫5：9］

Th…［副h・・a・・n・・a・・i・…mpl・・i・n閏・1

｛i］．

︼

2

［

REF肌ENCES

Ba皿，」．A． and I． Gohb但g，αα88萌とα‘‘oη㎡sゐ碗⑳αがαnτ8ωbξ脚ce3 qr mqt・i・es嚇洗㎝緬α励・m・ndωm〆・ti・n Of m・t・i’・・s，“Ope・at・r theory a皿d systems（Amsterdam，1985），，（Operator Theory：Advances a皿dApplications voL 19），23−85， B三rkh5user， Basel−Boston，1986． Conway，」．B．，‘‘A Course in Fu皿ctio皿a1 Analys三s，，， Graduate Texts i皿 Mathematics， Spring6r−Verlagl New−Ybrk，1985．

T．KIDERA AND S． MIYAJIMA

71 【3］F（）ias， C． a皿d A． Tannenbaum， A Strong Parrott Theorem， Proceed−    ings of the American Mathematical Society，106（1989），777−784． ［4】 Parrott， S．， OnαQuotient norm and the Sz・−Nagy−Foias L碗‘ng The−    orem， Journal of Functional A皿alysis，30（1978），311−328． ［5】Sel）esty6n， Z．， Pamott’s tゐeorem versus strong Parrott theorem， Seme−    sterbericht Funktionalanalysis，17（1990），（Wintersemester）227−229． 【6］Y（∼u皿g，N．，“An Introduction to． Hilbert Space，，， Cambridge Mathe−    matical Textbooks， Cambridge University Press，1988． Toru KIDERA Department of Mathematics Faculty of Scie皿ce Science University of Tokyo Wakamiya−cho 26， Shinj uku−ku Tbkyo 162 Japan Shizuo MIYAJIMA Department of Mathematics Faculty of Science Science University of Tokyo Wakamiy＆cho 26， Shinj uku−ku Tokyo 162 Japan electronic address ssO849＠jpnsut20．bitnetjp