｢満足度｣の相対増加率が低下するときの 確実性選好

｢満足度｣の相対増加率が低下するときの 確実性選好

‑ 強者 の戦略 ･弱者の戦略 ‑

兼 岩 龍 二 束僚 由紀彦一 ^{(五十音膨}

(

1)

パ フォーマ ンスの良 い経済主体 と悪 いそれとが同様の行動をとり,中位の主 体が これに反する行動 をとる, という経済現象が, まま存在す る｡強者 と弱者 が リスクを伴 うが期待値の大 きい戦略をとり,中位の者がそれを輯避 しようと する, というのがその最 も代表的な例である｡

例えば,本学中書宏教授の報告 によれば

l l

の採用 と企業業績 との相関をみた時,業績のよい企業 と悪 い企業が共に く洗練 された管理会計 システム)の採用に消極的であるのに対 し,中位の企業がその 採用を志向す るという,興味深 い事実が見 られた｡

ところで (洗練 された管理会計 システム)の採用 は,明 らかに生産 コえ トの 増大を招 くものであるが,にも拘 らずそれがとられ るのは,若干のコス トを犠 牲 に して業績の不確実性を回避 しようとす るか らである｡つまり成績良好又は 劣勢 な企業 は,確実性 を犠牲 に して も業績 の期待値 を上 げようとす るのに対

し,中位の企業 は,多少のコス ト増 を犠牲 に して も,確実性を追求す るわけで ある｡

中教授 はこの事実を,

Si ng h

(1) 我々が この作業を始 めたの も,中教授の報告 に刺激 されての ことである｡本学紀要 第

3 8

3･4

(2) 本学紀要第

3 8

3･4

8 1‑1 1 0 0

〔2 5〕

26

4 0

1

図

2

I

満 足水 準

業績 についてある ｢満足水準

｣

もの一とす る｡

〜 一ヽ■′

2

X

i■^こ丁ウi

その平均値 は同 じであるが,分散 は^{Ⅹ 2}の方が大 きい, とす る｡

ii^::▼ウ

図

1

,

2

のように,確実な戦略の方が ｢満足水準｣をこえる確率が高いか ら,確実な戟 略の方をとる｡

このよ うに して, まず低位 の企業 と中位 の企業 の行動 のちがいは説明で き る｡

他方 ｢満足水準｣を下回 卑ような確率が 0に近 い優良企業の場合を考 えてみ よう^｡ この企業には ｢スラック｣(ある種の ｢余裕｣の こと)が生 じる^｡ ところ で一般 に,選択可能 な経済戦略に期待 される業績水準の確実性 と平均値 との間 には トレー ドオフの関係があると考えるのが自然である^｡ 言換れば,不確実な 戦略 は,一般 にわずかなが らで も高 い業績が期待 される｡ よ?て ｢満足水準｣

を下回るおそれのない ｢余裕

｣

この小論 は, こうした現象の根拠 とその存在条件を, より一般化 した形で ミ

｢満足度｣の相対増加率が低下す る時の確実性選好 図

3

E/ X

…

〆

ElXl]<^{E lx 2]}

27

クロ的 に検討 してみようとい うものである^｡

(2)

今 ここで ｢業績水準

｣x

f

i d i i : : ! ウ i J

確率変数 について も,入力

X

Y ( ‑f( X) )

i

i

i d

我々が(1)で提起 した問題 は,真 なる確率変数g l, x 2について,E

l Xl ] <E

乙

乙 d

l

l Xl ]

〜

( xl )

[ Y

但 し,以上の前提 は,厳密 に言えば,先 に述べた説明 と異なる｡先の ｢劣勢

i J i d

(3) 先 に見た劣勢の企業 と中位の企業についての検討 は,E

l Xl

l x2

うなあっかいはより妥当な ものと考え られる｡

2g 商 学 討 究 第

4 0

こ i コ E i n

企業｣と ｢中位企業｣の比較では

E [ Xl ]‑E l x2 ]

ここではE lXl]<E lx 2] を仮定に しているか らである｡ しか し先 にも逮べた 期待値 と確実性 との間に存す る トレー ドオ フの関係か ら言 って, ここでの前提 の方がより一般妥当性 を もつ と考え られる｡又先の ｢優等企業｣の説明 はここ でと同 じ前提だか ら,小論の目的は, この単一の前提 に基づいて

2

さて この考えに基づいて,先 にあげた例を説明 してみよう｡

(i)先の ｢劣勢企業｣ について見た行動 は,′を階段関数

f ( x)

0

<♪

1 ∬ ≧♪

とした填合 と考え られ る^｡ この時 は, 一ヽ■′ 〜

E lXl] ‑E lx 2]

』!■ウ G■d

で も (E [Xl] <E lx 2] な らむろんのこと) 乙i:コウ id

G

E [Y.1] ‑E U (Xi)] ‑Pr

( X

1 , 2)

E≡ウ id

だか らE [Yl] <E [Y2]

が成 りたっ(4)(図

4)

(ii)次 に以上 のモデルに従 って,期待値 と平均値の間の トレー ドオフの関係

pウp^ヨ

を考慮 し,Xl,x²の分布 に例えば正規分布のような無限範囲に正の確率を持っ 分布を選べば

,

,

｣p

ことはあ りうることである｡

i

しか しこのような経済行動 は一般に想定 しに くい ものであり,

■E [ Y

( 4 )

X 〜

ない. しか しそれが成立つためには,例えば正規分布等を仮定 しな くて も,Xl,^{x 2} が同 じ型の分布 に従 う事,即ち,

1 . :

乙 d

x2‑ a Xl +b ( a>0)

を仮定すれば十分である｡

29

i^i:!■コ

E [Y^l] の差 は十分優勢 な企業 につ いては非常 に小 さ くな り,又一様分布のよ うに有限範囲 に正 の確率を もっ分布 を想定す るな らば十分優勢 な企業 において はその差 は 0にな り,説明 にはな らな くなる｡更 にこのモデルは,(1)で述べた ような ｢余裕｣ ある優劣企業 は ｢よ りよい業績｣ それ自体 を求 めるとい う前提 を何 ら表現 していない｡

そ こで我々は

,

∽ L=■ウ

匝) ｢中位企業｣のとる行動 について,(i)で述べたモデルでE lXl]‑E lx 2], ii::▼ウ Eⁿ id i^d

V lXl]

<

id 同 じであるが (図

5

E

i:▼ウ

E lx 2]の場合 は)一般的に無条件 に(i)で述べ られた行動が存在す るとはいえな いであろう｡さ らに我 々が考え ようと している ｢業績 が伸 びれば満足度 も増す｣

とい うモデルでは一層たちいった数理的な検討が必要 になって くるであろう｡

30

図

6

y

‑ax+b

満足水準

｢満足度｣の相対増加率が低下する時の確実性選好 31

(3)

以上 により,以下 より一般妥当性 のあるモデルを考えてみたい｡

一般 に ｢満足度｣は,業績が著 しく低 い場合 には,(多少 は業績向上 に従 って 上 るにせよ)ほとんど 0で変 らず

,

これを図に示せば図

6

′> 0

f '>0

( l og

〝 < 0

x

y‑0

a>0

y ‑ a x+b

1

このような

f

b

,

肴 a /b

( G)

号 l og

のように して与 えることがで きる｡

さて この時

,

｣∬‑

4

〜 〜 ′■‑′ 〜 〜

同様 にX‑Xi

(

‑1

2)

こ i ■ : ▼ l ウ

た方 が

X>p

7

i

又

x ‑

X <

5

は,

f

5

<E

iこ::▼ウ

[x 2] の時,

〜 ′ヽ‑′ E lYl]

tf

p ウ iこ::▼ウ

E [Y2]

≒f

iJ

これ又不確実性 の高 い (が平均値 は高 い)戦略Ⅹ 2がとられ る (図

8)

そ こで問題 は,成績 の期待値の平均値が

,∫ ‑

iコ■t; p ウ ELn Ein

この時,確かにE lXl] <E [x 2] ではあるが,x2の戦略 は, V [Xl] <V

〜

[x 2] であるため ｢満足水準

｣p

32

4 0

1

7

Eii=

i

がより高 いため

E

>E U (

る ( 図 9) 0

(4)

以上の最後の例を,少 し角度を変えて,変換 ′の ｢上‑の凸性｣に着 目 して考 えてみよう｡(以下若干説明が感覚的になるが

,

｢満足度｣の相対増加率が低下す る時の確実性選好 図

9

33

問題 のより数学的な検討 は,後 日兼岩が改めて行 う予定 なので,.そち らにつか れたい｡)

′は,問題 に′している範囲内 (｢中位｣水準)では,上 に凸であるが,その ｢程

p ウ

度｣(これを ｢凸率｣と呼ぶ,後 日厳密 に定義す る)を見 ると,変域 のせ まい

Ⅹ1

iJ

の方が,x 2より,｢線型 に近 い｣(｢凸率｣が小 さい).一般 に

f

ば, ∽ 乙d ii::ヨコ E lY]‑E U (X)]

<f

であるか ら,

ii::Iウ id

E lXl] <E [^{x 2]} であ って も

′ ■ ヽ 一 ′

E

[ x2 ] ‑

｢凸率｣ に充分 なちがいがあれば

34

4 0

1

1 0

pウ 5

E U ( Xl ) ] >E U (

となる場合がありうる (図

1 0 ) 0

以上の如 き諸問題,確実ではあるが期待値の低 い戦略 と,不確実ではあるが 期待値の高い戦略がある時,｢強者｣ と ｢弱者｣ は後者 を選択 し,｢中位｣の者 は前者 を選択す る, という行動の, ミクロ的根拠 と,その諸条件を数理的に解 明す る事が,我々の課題 となる^｡

但 し本稿では,確率分布 としては一様分布を想定 し,変換 ′については,

(

;

≡ a o x.

b S ( x O 三｡)

,b ,.)

｢満足度｣の相対増加率が低下す る時の確実性選好 図

1 1

･p l

35

と して作業 を進 めざるをえなか った｡ このケースは,先 のよ り一般化 された ケース

( G

G

1 1

(5) 5

確率変数goを考える｡Xoは一様分布 に従 い,

i ■ i : : ■ J E i n

E

l Xo ] ‑0 V l Xo ]‑ 1

〜

とす る｡

X

h

‑0 ( x≦‑J3 )

h

‑ 普

h

‑0 ( ノ冨≦x) i

確率変数

X

36

4 0

1

X〜o Xo +

pウ

X も一様

i i : : ! t コ

E l X] ‑

変換 ′を考

■ 三 三

‑

‑ ^ax+b

^x

>0

0) i i : : ! l ウ

こ の 時 EU ^{( X) ]の性質を}

h i m(

EV ^{( X) ]‑ J竺 J}

‑ I I G d

よ れ を 更 に 変 ^{形 していくと,}

i

己

一 ^{旦 ≦‑J3の時} ( ^{7 E}

^{) ]}

‑JS<一昔 <JSの時 E U ( X) ]‑ 普 く 号 ･

o+b) 普 i d

I i

^{･J3 b )}

ii::丁ウ

J3≦一昔 のF SE

i d

ここで E U ( X) ] の値を,0

pの 2 変数の関数 と考え, i i : : ! l ウ

￠QL,0)

‑E U ( X)]

￠毎 , a ) ‑0

妬 け)‑ 普 く 号 ( 普 + J3) 2 .b( 普 +JS) ) (‑J3<一号 <凋 )

￠

a)

p+b

ここで,￠の

p , q方向での微係数を求めると 旦 <‑JSのとき旦 _{O a i}

‑ o

( 告

｢満足度｣の相対増加率が低下す る時の確実性選好

‑J3<､告 <J3のとき

EZZ]∵l園

aFL 6 J3

旦

^{a ( 7}

号

雷

‑α

戸E

a(7

(a(告^{+ JS}) + ‡)

( ‑i

i ( i ) ･ i a )

37

ところで直線 告 ‑±J3上 においては,￠は連続であるが微分可能ではないo そこで,普 ‑±J3の ￠の微係数 として,

‑J

さて ここで,ベ ク トル

h

ei‑ (el

,e2 ) , l e i ‑ > ^{旬了覇 ‑1;}

^{･e 2 > 0}

とす る｡当然

t a n0‑号

‑C OS O ･

‑S i ne , h

( el h･e 2 h)

ここで,￠毎

+e l k ,a+e 2 h)

GJ

この事の経済学的意味 は,特定の満足度の期待値 E U (X)]を与える基本戟 略のパ ラメータ 払

,o)による満足度の表示 ￠ 払,a)に対 し

p+e l hに,

肴 o+e

払+e l h , q+e 2 h)

ところで

￠

^,a)

^{払+e l}

^{, a+e 2} h)の値 は一般的に等 しくないが,

38 _{商 学 討 究 第}

4 0

そ こでそ甲性質を見 るため

,

即,

‖ R 相 耐

￠ Q L ,

^{+0 ￠}

^{L +e l k , c T +e 2 h)}

^{￠ 毎 ,}

を考え る｡

我 々の作業 の目標 は,この ￠払,o)がある条件 の下 に+‑ ‑‑ +とただ

2

即 ち平面 を考 える時

, ￠

‑0

,

(i) 常 に ￠

毎+e l

+e 2

a)

(並) 常 に 〝 < 〝

ノ

(h)I4,也,u)‑0

となるような

3

♂( t anO‑

,b

ろ う｡

さて,先の￠^払,a)を計算す ると, (i) 旦 <‑JSの とき,￠ 払,₍₇

q )‑0 .

(並) ‑JS≦ 苦 く‑JSのとき

￠ 払

,o)‑e l 雷 +e 2 雷

一昔

仁 e 2 号 ( 告) 2+ ( e

a‑e 2 ‡) 普 + ( 撤 + i e 2 )a+e l f)

(

a )告

^￠

^,a)

⁰⁾

普 ‑J3上 では,特別 な注意が必要である (図

1 2 ) O

(i)0

<3

0

告

｢満足度｣の相対増加率が低下す る時の確実性選好 図

1 2

4 ･

‑el a (> 0)

(a)

3 0 0 ≦

￠ ^毎,

普 ^{く 2}

^{S el}

^{l ‑J S e 2 )‡)}

以上 をまとめると,

β

<3 0 0

￠

‑0

￠ 払,♂)‑普 (一昔 ep

( 普) 2

十

( n 3 e l ･ i e 2 )

^l i)

￠

^(,0)

号‑′丁

39

40 商 学 討 究 第

4 0

1

β

同様だが, *の不等号 "≦"を ̀̀<''に変え**の不等号 ">''を ',̀≧"に 変える｡

さて ￠ 払,a)

‑0

まず これを〝についての方程式 と考えると, 旦 <0 一湾 の時は,つねに ￠ 払,q)‑ 0

〟 >

7 (‑)一帯 の時 は,つねに ￠ QL,0) >0 だか ら 一凋 ≦ 告 F

=)

J

の時

,

普 く一

昔 e p ( 普) 2

‑ e

.

e

i

両辺に

をかけると

e

( el aO‑e 2 b)

ノ 3 e l

e 2 )a

e l b

ここでさしあた り‑J3≦告E=)JSの条件を考慮の外 におき,pについて解 く と

p‑

去

±

J ( e l aO‑e 2 b) 2+e p ( ( 2

根号の中をβ とお くと

e l

3e 2 ) a o 2 +2e

D‑ ( el +

3 e 2 ) 2a2 0 2 +e 2 2 b 2 > 0

故 にLLに関す る

2

‑0

2

p‑去 (elaO‑

e 2 b ±β )

｢満足度｣の鹿対増加率が低下す る時の確実性選好

2

41

そこで,この

2

M

Ml( 0 )‑

^{J師 . )}

M2( q )‑ 忘

さて我 々の関心 は,‑J3≦ 告

E = )

^￠

^{q )‑}

いての根 の個数 と, その間の ￠ QL

,q)

従 ‑て, ‑JSo (告 ‑‑J3),j30 (普 ‑J3),Ml(a),M2

( q)の刈 ､

さて,￠QL

,0)

,

2

β> 0

ma x￠ 払 ,o)

( ^M

O ^M

^{> o}

又

￠ (

o)

J 3 bl ) 吉 ,o

又

I

￠(J30

,0) ‑ 普 ^{く2 J}

^{J 3 e 2 )} i ⁾

従 って ,

(I) ￠ (掬 ,a)

> 0

b l

￠

>

( G))であるか ら

1 3 )

( l I )F L( 掬

< 0

S o)

ただ1つ 4,QL,0)

‑0

S c r

4 2

4 0

1

1 3

/

￠

′

′ ＼＼

′ ＼

′ ＼

〟 1

′ ′

′

′′

′′ 一ノ′

′ ̀￠ /70.

∫ ヽゝ

である (図

1 4 ) ｡

以上 によ り

,

,q)

‑‑ +と変え るための条件 は,

￠ (J3

0,

<0 ,

4 3

2

1 ‑m 3 e 2 )

^<0

となることである (図

1 5 )

o <与 ･

又

￠ ( 0 ,g) ‑ 普 く ( 6

^{i e 2 )}

であるか ら0<M2(0)< 了

知

よ り平均値が高 い時である｡

又,その時

M

掬

(6)

最後 に以上求 め られた ｢逆転現象｣がお こる1=めのパ ラメータa

,b ,

44

4 0

1

図

1 6

基本戦略において ｢満 足水準｣ 代替戦略 において基本戦略 よ り を下 回る可能性が な くてはいけな 悪 い成績 を とる可能性 が な くては い.即 ､ p<′ ㌻6 いけない.即 ､ e

. <

訂e 2

Oの諸条件についてその経済学的意味を検討 してみたい｡

① 次の必要条件を持っ｡

JL<ノ

3 け

基本戦略が ｢満足水準｣(このモデルでは

p ‑0)

1 6

⑧

t a nβ‑旦

普

代替戦略が,基本戦略よりも低 い成績をとる確率が存在す る事を意味す る｡

この経済学的意味 も明 らかである｡ (図

1 7

しか し以上の必要条件をみた して も,常 に ｢確実であるが故 に有利｣ な戦略 が存在するとは限 らない｡(経済学的常識か ら言 って,注 目される点 はむ しろこ ちらの方か も知れない｡･)

③

｢満足度｣の相対増加率が低下する時の確実性選好

45

o

<N I

④ 残 りのパ ラメータを固定 した時,〝とけとが,特定の条件をみたさねば な らない｡

0<Ml(a) <FE< ノ

30

言換れば,基本戦略の期待値FLは,掬 より小 さ く, 0より大 きい^Oによっ

●●

て決 まるある値M2

( 0 )

･とらねばな らな

い｡

⑤

,

α

βの増加 と共 に単調 に増加 して 大 きくなる｡

言換れば,｢満足水準｣における満足度の増加のギャップが大 きい程,又 ｢満 足水準｣をこした後の満足度の増加率が小 さい程,更 に ｢代替戦略｣の標準偏 差の増加 の割合が,平均値の増加に対 して大 きい程,｢確実であるが故 に有利

｣

●●●●

な代替戦略は,｢存在 しやすい｣｡

(7)

以上の検討 により,残 りのパ ラメータ,0

,a

,

0<M2(0) <p<

掬

を満たさねばな らない事が示 された｡

以下最後 にこの関係 について, もう少 し検討 してみる事にする｡

先に調べたように

0< F E <ノ3 古

の範囲内では

46

￠

･eli)

商 学 討 究 第

4 0

1

一昔

(

e 2 号 (

2

( J

i

であ った｡

￠‑0

p‑o c ot o‑

これ は,〟 と αにつ いての双曲線 の方程式 である｡

故 に,

￠>0

となる 毎,o)を図示すれば,図

1 8

￠‑0

F L

掬

この時交点

P

o

1

O‑ 官 ･‡ ( t a nO一

^{‑N ( N}

^N)

であ り

先 の条件式 と一致す る｡

又,点 (

0,. 0)

旦

^{=t a no‑}

dJL el となる｡

この事 か ら図

1 8

(

^,a)

^{,0 ) <0 ,0> 0)}

ないための,残 りのパ ラメー タ

(

0 > ^{3 0 0 ( a>}

^b>0)

であることが導かれ る｡

以上 によって,｢確実であるが故 に有利｣ な代替戦略 の存在 のための 払,o) の条件 は,必ず しもゆ 声やかな もので はない事が知 られ るであろ う｡

代替戦略の平均値 の増分 に対す る,標準偏差 の増分 の比 が大 きければ大 きい

｢満足度｣の相対増加率が低下す る時の確実性選好

〟

‑ ′㌻ ♂

47

程,我々の見て きた現象 は ｢起 りやす く｣ なる｡ だがその値を与え られた もの と考えれば, 基本戦略の方が αのとりうる値には上限があ り,αがそれに近づ くにつれ,対応す る〝の値 の範囲 は しだいに小 さ くな って行 くのである｡

(付)

尚我 々が最初 に検討 した,^｢満足水準｣を こえ ると一様 の満足 の得 られ る階段 関数 のモデルは,(6)の検討 において

α ‑0

b

,

coto‑旦<普くe2 帯

^{( bC}

これを図示すれば図 19のとお りである｡

図 にも明 らかなとお り,本論の結論 とは異 な り,

48

t a n o , i

が満たされ るな らば,あ らゆるα(>

0)

本論の結論 とは逆 に,(6)のは じめに検討 した,経済学的に見て明 らかな

2

t a n β , 普

L〟<草

がみたされ る限 り,｢確実であるが故 に有利｣な代替戦略が存在す るか ら,p, Oを個 々にみ るな らあ らゆる

F E(>9 ‑ 0)

q(> 0)に対 して ｢