非定常熱応力問題における数値解析手法の定式化に 関する研究

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Kyushu University Institutional Repository

非定常熱応力問題における数値解析手法の定式化に 関する研究

落合, 芳博

https://doi.org/10.11501/3088234

出版情報：Kyushu University, 1991, 博士（工学）, 論文博士 バージョン：

権利関係：

第5章 定常問題への応用

本章では非定常問題で行った定式化の手法を、 定常問題に応用する。 従来、 境界 要素法において定常熱応力問題はGalerkinテンソルを使用して定式化がなされてき た。 本章では熱弾性変位ポテンシャルを用いた定式化を示す。

5・1 定常問題における熱弾性変位ポテンシャルの誘

定常問題における基本解を求める。 定常温度問題における基礎式は2次元の場合

a 2 a 2

V2 T=O (V2 =

a X2 a y2 (5. 1)

3次元の場合

a 2 a 2 a 2

V2 T=O (V2 =

a X2 a y2 a Z2 (5.2)

軸対称の場合

a 2 a a 2

V2 T=O (V2 = ^{一一一一一 + 一一+一一一} )

a r2 r a r a Z2 (5.3)

で与えられる。 ソース点ごと観測点xとの距離をrとすると、 定常問題温度解析に関 する基本解は2次元の場合、 次式で与えられるは)。

1 1

T・2 (x，E)=一一ln(一) 2π r また、 3次元の場合

T・3(x，E)= 一一一 4πr 軸対称の場合

(5.4)

(5.5)

-68-

4K(・ø)

(5.6 )

内ζノ、‘，，，

nL e S + π 〆，‘、

-一、‘，，

VA pg

，J ，tk

•

申Ea

で与えられる。 ただし、

4e m�2 = 一一一一ー

s+2e

(5.7)

s=r2+r�2+(z-Z�)2 (5.8)

(5.9) e=rr�

である。 r，r� ， Z， Z�は非定常の場合と同じ記号を用いるものとする。 K()は第1種完 全楕円積分である。 直接境界要素法における定常 温度解析のための積分方程式は次 式となる。

a T(ご) a T. (x， � )

cT(x)二 S _[ T・(x，�) -T(ご) ]d r (ご)

r _a n a ⁿ

(5.1 0)

ただし、 2次元の場合は線積分、 3次元の場合は面積分であり、 軸対称の場合はdr

(t)=r�dS(ご)とする。 ただし、 cは境界内部ではい 滑らかな境界上では0.5 である。

境界をr、 一重層ポテンシ ャルの密度をHとすると、 間接法では温度Tおよび 温度勾 配qは次式で示すことができる( 2)。

T(x)= S ß(ご)T・(x，�)dr(�) F

q(x)= -cß+S ß(ご)q・(x，�)dr(�) r

(5.11)

(5.12)

定常問題における温度と熱弾性変位ポテンシ ャルの関係は次式で与えられる。

V2φ =IIT (5.13)

ここで、 3次元、 軸対称および平面ひずみの場合 阻=α(1+ν)/(1-ν) ，平面応力問 題の場合1=α(1+ν)である。 式(5.4)--(5.1 0)，(5.13)より定常問題の熱弾性変位ポ

テンシャルは2次元の場合

-69-

内ζ中lm 内ζAY 、‘，，，-F且sG一，G咽I-r+ -nt 内ζ-Fagnu-Enu /E1 (5.14)

3次元の場合

d2 2 d

(一一+ 一- )Ø.3=mT・3 dr2 r dr

の式を満 足しなければならない。 これらの関数は容易に求められ、 熱弾性変位ポテ (5.15)

ンシャルは次式で与えられる。

a T (ご) a0・(x，E )

φ(x)= S [ ゆ・(x，E)- T(ご) Jdr(E)

r an an (5.16)

ただし、 2次元の場合

m 1

ゆ・2(x，E)=一一r2 [ 1 n (一)+lJ

8π r (5.17)

a ø・2(x，E) ・ 1 a r

= 一一日21n(-)+1J一-

a n 8π r a n (5.1 8)

3次元の場合

mr

ゆ・3(x，E)= (5.19)

8π

a ø・3(x，E) • a r

(5.20)

a n 8π a n

である。 軸対称の場合は3次元の熱弾性変位ポテンシャルの式(5.19)を円周方向に 積分すればよい。 すなわち、 2 ・ 2節と同じ記号を用いると次式が求められる。

π 円L

nu

p--d -一，J -Aωr π nL

nu n--d 一-AU B0 43 AV mr

一一d8 8π m(s+2e)1ノ2

E(lø) (5.21)

2π

以上の定常問題における熱弾性変位ポテンシャルを第3章で示した非定常熱弾性 -70-

変位ポテンシャルより求めることも可能である。 定常熱応力問題は、 非定常熱応力 問題において温度境界条件が一定で、 時間が無限に経過した場合と見なせる。 非定 常問題の熱弾性変位ポテンシャルは式(3.8)より次式で与えられる。

a T (ξ，τ) φ(x，t)=κs s [<p・(x，t， � ，τ)

o -r- - an(ご〉

aゅ・(x，t，ご，τ)

T(ご，τ)]d_r (ご)dτ (5.22) a n(ご)

境界の温度条件が一定であれば、 長時間経過後は温度および温度勾配は時間に関 して一定となる。 具体的に表現すると式(5.22)は、 次式になる。

、、，F­pg一VA一、E/吋一g

) 一) AY一M pg一ELand一nd〆，‘、一〆，、、中l一nヘO-3り

pg VA

AY rL FI F.，d

、‘，，，VA ，，‘、AV

T(ご)]d_r (ご) (5.23)

ゅ・(x，� )=1 _i. κJ ゅ・(x，t， � ，τ)dτ t→∞ O

(5.24)

2次元の場合のゆ・(x，t，ご，τ)の時間積分は次式で与えられる。

-

J ゆ・(x，t， � ，τ)dτ= - t{2 1n(r)-exp(-at)+(1+at)Et(at)}

o 4π (5.25)

ただし、

r 2

at = (5.26)

4 κt

積分指数関数Et (at )は次式のように級数で表現できる。

Et(at)= _-c- ln(at)+乞 n=1

n-，，.

ゐL-RHa---nH

nH 、‘，，，--EE--〆，‘、

(5.27)

時間t→∞とすると、 式(5.24)は次式となる。

一71-

、iJ、‘，，，F且，fJ nu ，，‘、、nH 4・-E・E­f《t

〆一π国圏一SAT-一、‘，，，pg VA r--

Awr (5.28)

ただし、

D=lim [C+ln(4κt)]

t→∞

(5.29)

である。 温度の場合と同様に式(5.28)を次式のようにおく。

、e，ZJ、‘，，，Fa ，rJ -E-A 〆『‘、nH

+ -EEA f‘t

戸一π橿一no一一、BJ'酔台、。VA 〆，、、内ζ-AY (5.30)

上式は式(5.17)と一致する。 3次元の場合も同様に、 定常問題の熱弾性変位ポテン シャルが求められる。 非定常問題のゆ・(X，t， E ，τ)は次式で与えられる。

J tゅ・dτ=

1

o r

= 一[γ(0.5，at)+2atf (0.5，at)-2at1ノ2exp(-at)]

t

(5.31) r

atおよび第1種不完全ガンマ関数は次式で与えられる。

r 2

(5.32) at =

4κt

∞ (-l)npz+n

(5.33) γ(z，p)=乞

n=O n! (z+n)

式(5.31)-(5.33)の関係を用いると次式が求められる。

ゅ・(x，� )=一一

8π (5.34)

間接法では熱弾性変位ポテンシ ャルは次式で与えられる。

φ(x)= S ß(ご)</>・(x，E)df(ご)

r (5.35)

nL 円i

5・2 2次元定常熱応力問題における基本解

熱弾性変位ポテンシャルφと変位および応力の関係は次式で与えられる。

8φ (5.36)

U' j = 一一一一ー ð X I

VA-

-3υ φ一・1

2 一

VA3υ一九υ〆，‘、円U9u

ぴ a2φ

ー じ72φδjj)= 2G( - .Tδj j )

ð XI ð XJ (5.37)

式(5.16)または式(5.23)を式(5.36)に代入すると次式が求められる。

8 T(t) ðUI・(X，t )

U'j(X)= S [ Uj・(X，t )一T(ご) ]d r (ご) (5.38)

r ðn ðn

2次元の場合

• 1 ð r

Uj.2(X， �) = - r [21n(一) +1] 一一一

8π r ð Xi (5.39)

ð U j • 2 (X， t ) m 1 ð r ð r

=一一{ nj [2In(一)+1]一2 一一一 一一}

ð n 8π r ðXI ðn (5.40)

応力は次式で与えられる。

ðT(t) ðσj j・(X，t )

σ'jj =S [ aij・(X，t )一T(t) ]dr(ご)

r ð n ð n

(5.41)

、も』れO、、，，，-EA-ni 〆，‘、nH

F・-一VARAυ一nAV

Fa一VA3υ一九υnL 可EJ---A + 、‘，F-i-r ，，‘‘、nH nL rL

れO，rk

G一πm-a4 、、，，，pg VA ，，‘、内ζ

σ (5.42)

、・a/­pg一，­VA一〆，‘、、-内ζ-

-

- E・J ­

M -

σ一n3υ-nAU

一 mG ð r ð r ð r

{ー一一( δIJ - 2一一一一一一) 2π r ð n ð XI ð XJ

ð r ð r ð r

+[-nj - nl + 2一一δi j ] }

ð X j ð Xj ð n (5.43)

ここで、 熱弾性変位ポテンシャルから求められる変位および応力の境界での不連続 量について考察する。 変位に関してUI・およびðU I・/ ð nは不連続重を持たない。 σ

一73-

i j・に関しでも不述続量を持たないが8σI J・/^ð nに関しては不述続量を考察してお かなければならない。 そのために、 3 ・ 1 fliíと同様に図5. 1に示すような局所座標を 取る。 εは小さいので、 T(ご)は一定と見なせ、 λ《εを保ちながら、 εを小さくし ていくと次式の不述続量が求められる。

1 a (σi _{J L} ) = 1 i m ε→0

y

Gm 2π

yL

ε T(ご)5

一ε

X I L +[ nj + nl

r

n X

r

a r _{X i} L _{X j} L

(δI _J- 2

。n r2

a r

X j L

2 一一一 δij]} dyL r

X L

ð n

図5. 1 特異点処理のための局所座標系

-74-

(5.44)

Ia (a xxL )=0， 18 (σννL)=-IIGT(� )， 18 (σxνL)=O (5.45)

3次元定常熱応力問題における基本解を求める。 2次元の場合と同様に次式によ り熱弾性変位ポテンシ ャルによる3次元の場合の変位と応力が求められる。

U i'= 一一一一ーaφ ð X i

ð T(ご) ð Ui・(X，� )

= s [ U i・(X，�) - T(�) ]dr(ご)

r ð n ð n

(5.46) ð T (ご)

ぴij・(X，�) - T (ご)

、‘，，，­the­，E VA­fE‘、---Ed-

--

σ一n為υ一ぉυ

]d r (ご) σi J' = s [

r ðn

(5.47) ただし、

ð r ^m Ui.3(X，�) =一一一一一

ð X I 8π (5.48)

Fa π 00 1J

Fa一VA3υ一nAU

FA一nH3υ一nAυ

+ nu

rEL

、B，r夕、d

VA 〆，‘、43

Hu nH 為υ

hAυ (5.49)

ð r ð r .G

σij.3(X，�) =[δi j一 一一一一一一 一2δI j ]一一一

ðXi ðXJ 4πr (5.50)

、‘，F­pg一，E VA­r，‘、一40一

-

­

・J-・

1

・

nHσ一a

ðr ðr ðr

=[ δi j ^{一一+一一一n}i ^+一一一nJ ð n ð Xj ð X i

ð r ð r ð r ð r .G

-3一一一一一一 一一一2δiJ 一一 ] 一一一一

ðXi ðXJ ðn ðn 4πrど (5.51)

である。

直接法よる温度場を用いる場合、 応力の不連続量を考察しておかなければならな い。 すなわち、 σij・は不連続量を持たないが、 aσI j・/ ð nは不連続量を持つ。 不 連続量を考察するために、 図5.2に示すように表面に沿った局座標系を導入する。 局 所座標における特異点Pの近傍の積分18は式(5.51)より次式で与えられる。

Fhυ 円i

rn nAυ nAU

F。rL ε nu n-，d 、、，ノpζ 〆，‘、中E且

nu一m剛一』HT

nu m→ '』ACU、E，，1L

σ 〆'EK完M

X j ^L

+ 一一一一 n I +

r

X I ^{L X} I L X j ^{L ðr ðr 1} 一一nj-3 一一一2δI j一一J- ^dXL

r r2 ð n ^ð n ^r

(5.52) εは十分小さいので、 T(ご)は一定と見なせる。 点p'を点Pに十分近づけた後、 ^λくく

Z

yL

X L

X (a)局所座標系

rく

(b)不述続量の計算のための記号 図5.2 局所座標系と不迎続自

nhu 可t

εを 保ちながらεを Oに近づけると次式が得られる。

nu一Ts一nHU岡山一

ぴ nu -­\EJ' 'L z z u 〆f\凋M

山一8

一一、1ノsL HY HU， u f'k 負M

1 ^a (ぴX!/)=O，

1 ^a (σt，JzL)=O，

1 ^a (σxzL)=O，

1 ^a (σzxL)=O，

1 ^a (σt，JxL)=O

1 ^a (ぴzνL)=O

(5.53)

すなわち、 法線方向の応力(O-zzL)の不連続量は、 熱ヲi{性変位ポテンシ ャ ルに伴う 不連続量と温度に伴う不述統量とが打ち消し合い、 存在しない。

数値計算を行うために、 特異点の問題を解決しておかなくてはならない。 本手法

(a) 特異点処理のための要素の分書11

(b) 3 角 形極座標系 苅5.3 特異点処理

円i円，t

では、 間接法による温度場を用いる場合より、 直接法の温度場を用いる場合に、 強 い特異性が存在する。 そこで、 直後法の温度場を用いる場合における特異点処理の 方法を示す。 図5.3の不連続量の評価に 用いた境界表面に沿った局座標系を用いて計 算し、 座標変 換する方法をとる。 要素は一定要素とし、 図5.3(a)に示すように、 要 素を円の部分とその周辺部分に分割する。 特異性の特に強い円の部分は、 解析的に 処理が行え、 以下のようになる。

R 2π

J f Ui・rd8 dr=O. (5.54)

。 。

R 2π a U i •

J J rd8 dr=O. (i=xL) (5.55)

。 。 a n

R 2π a U i •

J J rd8 dr=O. (i=yL) (5.56)

。 。 。n

R 2π a U i • mRl

J J rd 8 dr=一一一 (i=ZL) (5.57)

。 。 a n 4

R 2π

J J ぴi j・rd8 dr=O. (i #= j) (5.58)

。 。

R 2π 国Rl

J J σi j・rd8 dr=一一一 (i=j=xL) (5.59)

。 。 4

R 2π IIRl

J J σi j・rd8 dr=一一 (i=j=yL) (5.60)

。 。 4

R 2π .Rl

J J σi J・rd8 dr=一一 ( i =j =z L ) (5.61)

。 。 2

R 2π aぴi j.

J J rd8 dr=O. (5.62)

。 。 a n

図5.3(a)の周辺部分は，図5.3(b)のように境界要素法で塑性解析を行う場合によく 用 いられる三角 形極座標系を用いて半解析的に処理できる( 2)。 例えば、 特異性の強 いaσI j・/anの項は次式のように置くことができる。

-78-

- φi j aσi j・ 1

(5.63)

ð n r2

ただし、 ゆi J はOの関数であり、 rに無関係である。 面積分は次式のようになる。

βυ ，O F且10

φ' 官-一r、、，，，AU 〆，‘、

内ζ

・』

nHHnHH F.，d

Qド α

F・・daan ，G

AY -nζ

-F且

pa，dw

B ß

=s ゆi_j 1 n { R2 (e )} ^d e -¹ n ( R 1 ) S ψi jdθ (5.64)

α α

上式における角度Oに関する積分はガウス積分を用いる。 なお、 他の項も同様に半 解析的に処理することができる。

一79-

2次元の場合と同様に次式で軸 対称問題における熱弾性変位ポテンシ ャルによる変位が求められる。

軸対称定常熱応力問題における基本解を求める。

a UI・(x，E )

]r�dS(ご) T (E )

、‘，rpg ， VA 〆，、、• i nu 、‘，r一pg一，fk-中I一n為り一為υrL F、up--d

φ一川町Aυ-3υ

a n

(5.65)

(5.66)

4Cs r� 4r�

(一 -- K(m�)+ 一一 E(削)}

・�2C13 m�2Cl ただし、

m一M

HU

(5.67) m 2(z-z�)

Uz・=一一 [ ]K(m�)

4π Cl

F­nH 、3J、B，，，四回

) E(

刊し一向ζa4一g園圃

4C3(Z-Z�)2

、、，，，一 町民 ，，a‘、 m 何回 、‘，，， +(

円ζ FA 司U-43 - - +一ρU 4a 内ζ a4一 fsk一圃圃 四回F且一 一向ζ 一一[{m

4π

一

・ p'- 3υ-30 nH Hu- ­

(5.6 8) I� 2 Cl 3 C2

4r�C5(Z-Z�)

E(・�)}nzJ

+ 、‘，，，m田園田rgk un

、，，，，一四回目Z一3一

一 1 Z一

円し

F且一m­ 四回四回一 fk一2

a4一

.� 2 Cl 3 C2 m (Z-Z�) C4 (Z-Z�)

一一{ K (m� )ー E(m�)}nr

4π r�Cl r�C1C2

a Uz _• a n

可EJ，a­nH 、SJ、‘，，nu • 〆，‘、FZ

内ζ 一

、】/-四回一向ζz-nし

一一

'a7白一刊し〆，‘、­nL一

K(圃�)一 2

+{-Cl

(5.69) 式(5.65)-(5.69)におけるCiおよび闘はCl={(r+r�)2+(z-Z�)2}1ノ2，C2=(r- である。

C5=r�2-r2+(z-z�)2， m�2=4 C4=r2-r�2+(z-Z�)2，

-80- r�)2+(z-Z�)2，C3=r�2+r2+(z-z�)2，

rr�[(r+r�)2+(z-Z�)2]ー1である。

5・3 定常問題の定式化

第4章の4・1-3節に示した方法は、 非定常の場合だけでなく、 定常問題にお

いても適用可能な方法である。 4・ 2節の表現を用いて定常熱応力の場合の境界積 分方程式および内部応力の式を以下に示す。

、‘，Fnu 〆s、、rA JU 吋E」

、、，J

、、，ノ nu

nu

〆，、、〆，‘、申I「AE円u、，/一、

j nu'­ nu­

rfk

nv且 一.，4，，‘、一、、，，，nv・一nu司、』'

'

・- 〆，‘、 nba一a nyHU一n ・t一/EK HU、，ノ一、E/

‘ VEA，，‘、、一〆，‘、 nu-nU

F1d

T且

一nHおり一角。一一一、E，，

nH司

、l fk

nu r

­ Au

f­

、‘，J

・

nu-­

〆gk

HU HU FEL

、E，，，P且nInb

f fk

+

• nv PE P-d + 、、，，，nr・­〆，‘、Hu pu

(5.70)

ぴi j (P)=- S Sk ¹ j (Q， P)Uk (Q)d r (Q)+ S � Dk ⁱ J (Q， P)Pk (Q)d r (Q)

r r

a T (Q) ð ^a I j・(P，Q)

+ S [σI J・(P，Q) - T(Q)]dr

r ð n(Q) _ð n(Q)

(5.71)

境界積分方程式は3次元および軸対称の定常熱応力の場合、 2・ 4節で示した

Galerkinテンソルを用いた方法と本論文の熱弾性変位ポテンシ ャルを用いた方法と まったく同じ形式に表現することが可能である。 しかし、 2次元の場合において Galerkinテンソルを用いた式では、 静弾性の解析に使用したKelvin解ではなく、

Galerkinテンソルから導かれる解を使用しなければならない。 内部応力の式の表示 は異なるが、 3次元および軸対称問題においては本質的には同じものである。 2次 元の場合は基本解が定数項だけ異なる。 この相違は計算結果にほとんど影響を与え ない。

一81-

第6章 工学問題への適用例

本章では、 第3章から第5章にかけて示した理論を用いて、 工学上重要な熱応 力問題の数値解析例を示す。 本論文の主旨は従来のセルを設定していた数値解析 手法を、 境界要素分割!のみで数値解析することであり、 まず、 厳密解との比較を 行う。 また、 厳密解を求めることが困難であり、 数値解析でしか解析ができない 問題に適用し、 本解析法の有効性を示す。 なお、 深い切り欠きのある問題やクラ

ック問題における高精度化に関する研究は今後の課題である。 また、 計算機環境 の関係で計算機容量が少なくても計算可能で、 しかも計算時間をあまり必要とし ない計算例が中心になっている。 本論文では述べないが著者らは境界積分方程式 により、 比較的複雑な計算例として冷悶鍛造用金型の応力解析を行っている(76- 82) 。

6 ・1 非定常2次元問題における計算例

本解法による解の精度を確かめるために、 両端を拘束した内径20111，外径50.11の 円筒を初期温度o OCから突然外側表面を1000Cに加熱した場合の熱応力を求めた。

図6.1(a)に要素分割を， 図6.1(b)に熱応力分布を示す。 条件は， 温度伝導率16 mm2/s， ヤング率210GPa， ポアソン比0.3， 線膨張率11X10-6K-1とし，時間分割数 は5とした。 図6.1(b)の実線は厳密解であり， 時間t=O.l， 1.0， 5.0secの時に対し

比較を行った。 同図より、 このように経過時間に関係なく精度よく解が求められ ることが分かる。

次に熱伝達率を考慮した場合の解の精度を確かめる。 図6.2(a)に示すように円 柱が、 初期温度o oCから突然表面を1000Cに加熱された場合の熱応力を求めた。 相

対熱伝達率は0.0111-1とし、 対称性より4分のlの領域で計算を行う。 条件は，

温度伝導率161112/S， ヤング率206GPa， ポアソン比0.3， 線膨張率11X10-6K-1とし た。 図6.2(b)は平面ひずみ状態として計算を行った場合の熱応力分布を示し、 図 中の実線は厳密解である。 同図より、 熱伝達率を考慮した場合においても精度よ

く解が求められることが分かる。

四角柱に四角孔があいた物体の解析例は既に示されているが(72)、 内側隅部の

-82-

半径を考慮した厳密解は示されていない。 そこで図6.3(a)に示すように、 外周の

1辺が50mm、 内周の1辺が20・・ であり、 内側隅部の半径が3111の正四角柱が初期温 度o OCから突然内側表面が1000Cに加熱された場合の熱応力を求めた。 外周温度は OOCに保たれているものとする。 図6.3(b)は平面ひずみ状態として計算を行った場 合の内側表面の熱応力分布を示す。

図6.4は長方形孔をもっ円柱の内側表面が、 1000Cに突然加熱された場合の熱応 力を 計算するための要素分割を示す。 外側温度はOOCに保たれているものとする。

円柱の外径は501111， 長方形孔は20X10mm とし、 岡部の半径は3..とした。 条件は，

図6.1と同じく、 温度伝導率16mm2/s， ヤング率210GPa， ポアソン比0.3 ， 線膨張率 11X10-6K-1とし，時間分割数は5とした。 図6.5(a)，(b)はそれぞれ時間t=2.0， 5.

Osecにおける変形量を示す。 図6.6には時間t=5.0， 1.0， 0.1secにおける内側表面 熱応力分布を示す。 図6.7(a)に示すe =45・の線上の内部応力( 45・の線に対する垂 直応力〉を図6.7(b)に示す。 静弾性解析の場合と同様に表面近傍で解は乱れるが、

表面応力は差分で容易に求めら れるので、 実用上は問題はないと思われる。

-83-

。oc

10 25

(a)要素分11IJ

300 200

100

。

の丘芝

ωωω」日ω

一- Exact 5 1 s 0.1 s -100

S

•

ム

-200

。

-300

25 20

10 15

Radius _円1斤1 (b)円周方向応力

厳密解との比較 図6. ₁

-⁸⁴-

1000C

h

0.01

(a)要素分1IIj

50ト

ト・-_ー

園 、....、

.�

「 ・-・-・ - ・ - 1 、. -.

0 1 園 、. ，

'" "ム

. \ \

の止で乙のωφ」ザω

Time

•

0.2 1.05

』

•

一- Exact

よ「コ

50ト

10

。

Radi us 円1門1

円周方向応力

熱伝達率を考慮した場合の厳密解との比較

、、，ノ'hu r，‘、

図6.2

Fhυ 00

。O(

1000(

10

25

-150

の止てι

，-... _ (\ーハ・ハー0-0 -

0

ーv ....， '-' '-' -50

OJolo-ototo-ol

内側の表面応力分布 正方形孔を有する正四角柱

、、，ノ・hυfa、、

文16.3

-86-

のIl竺三一

。OC

25

図6.4 長方形孔をもっ円柱(要素分割)

竺豆一一一

(a) time=2.0sec

(b) time=5.0sec

•

0.01 _mm

守一一ー+

0.01 mm

�・'

図6.5 長方形孔をもっ円柱の変形状態

円loo

& ^{- 600}

芝

(J)

-一-一一

-400

ハ〉 〈〉 勺/」

ωωφ」ザ

一 一 ー ー 一 一一一 一一 一 -

。

0.1

1

5

図6.6 長方形孔をもっ円柱の内側表面応力

-

-

。O(

土中

ヘ 一 一 o - ( - 1

〔町

一

ぱ3

25

(a)応力を計算した内点の位置

100

0.1

5

S S

。 ム

•

。

の 止 でι

ωωω」江川

「。 4

3 0 Oistance

2

。

円1門1

(b)内点応力

長方形孔をも っ 円位の内 点応力 文16.7

-89-

6 ・ 2 非定常軸対称問題における計算例

本節の計算例では、 軸対称問題を、 3 ・ 3節の定式化を用いて計算した例と3

• 2節の3次元の定式化を用いて計算を行った例を示す。

6.2.1. 中空円筒の非定常熱応力

軸対称の定式化による具体的な問題の解析例として、 まず図6.8に示すような中 空円筒の非定常熱応力を求める。 内半径および外半径をそれぞれ10..，2011111とし、

円筒の長さを10111とする。 円筒の上下面は熱的には断熱されており、 力学的には 上下方向の変位は完全に拘束されているものとする。 加熱条件としては、 初期温 度O. Cから内側表面を100. Cまで突然加熱し、 外側表面の相対熱伝達率を0.111-1、

外側の外気温度をo OCとした場合の熱応力の過渡的変化を求めた。 要素分割は図 6.8に示すように軸平面で22分割とした。 計算に用いた各物性値は表6.1の材料2 のものである。 なお、 境界要素は一定要素を用い、 時間分割j数は4として計算を

行った。 図6.9に時間 t=0.2，1.0 および 5.0[sec]における温度分布を示す。 また、

図6.10に半径応力分布および周応力分布を示す。 図6.9および図6.10の実線は厳密 解であり、 精度よく解が求められていることが分かる。

6.2.2 偏平回転楕円体の非定常熱応力

図6.11に示すような偏平回転楕円体の非定常熱応力を求めた。 初期温度をOOCと し、 表面温度を1000Cまで突然加熱されたものとする。 温度伝達率を161.2/secと し、 他の物性値は前例と同じものとする。 表面は力学的に拘束されていないもの とする。 図6.12に偏平回転楕円体の中心部の温度の変化を示す。 図6.13(a)， (b)に

時間ti.e=0.5secおよび2.5secにおける表面変位量をそれぞれ示す。 図6.14にはr -z平面における接線方向表面応力分布を示す。

6.2.3 偏平楕円環体の非定常熱応力

図6.15(a)に示すような偏平回転楕円環体の非定常熱応力を求めた。 初期温度を QOCとし、 表面温度が1000Cまで突然加熱されたものとする。 物性値は前例と同じ ものとする。 図6.15(a)， (b)に時間tile=0.5secおよび2.0secにおける表面変位 をそれぞれ示す。 図6.16にはr-z平面における接線方向表面応力分布を示す。 次に、

図6.17に示すような偏平回転楕円環体の非定常熱応力を求めた。 初期温度をOOCと し、 表面全体に相対熱伝達率O.1..- 1が与えられている。 図6.17に示すように表面 の一部が500Cまで突然加熱されたものとする。 他の部分はOOCであり、 相対熱伝達

-90-

率O.I..-tの条件で放熱している。 物性値は温度伝達率94.44..2/sec，ヤング率25

.94GPa， ポアソン比0.33， 線膨張率2.3X 10-₆ / ocとした。 図6.18に偏平回転楕円 環体の表面温度を示す。 図6.19(a)， (b)にTile=0.5secおよび2.5secにおける表面 変位量をそれぞれ示す。 図6.20にはr-z平面における接線方向表面応力分布を示す。

6.2.4中空円筒 (3次元問題として)

本論文の3次元非定常熱応力問題における解の精度を確かめるために、 図6.21 に示すように両端を上下方向に拘束した内半径10閥、 外半径20・mの円筒を初期温 度o ocから内側表面を1000Cまで突然加熱した場合の熱応力を求めた。 本計算例で は3次元問題として計算している。 まず、 熱伝達率を∞とし、 外側表面温度はooc、

上下端面は断熱状態として計算した。 要素分割は図6.21に示すように軸平面で20 分割、 円周方向に29分割とした。 図6.22(a)，(b)に時間t=0.2， 1.0secにおける熱 応力分布を示す。 条件は， 温度伝導率7..2/s， ヤング率210GPa， ポアソン比0.3，

線膨張率11X 10- 6/ oCとし，時間分割数は4，要素は一定要素を用いた。 図6.22の実 線は厳密解であり、 精度よく解が求められることが分かる。

次に円筒内外表面の熱伝達率を有限とした場合を考える。 図6.23に相対熱伝達 率をO.OI..-tとした場合の円周方向熱応力の時聞に関する変化を示す。 他の条件 は図6.22の場合と同じとした。 図6.23の実線は厳密解であり、 時間に対する変化 も厳密解とよく一致する。

計算例とした解析解が求め難い、 短円筒の端面が加熱された場合の熱応力を求 めた。 図6.24に示すように、 内外側面が断熱された長さ20..の短円筒が初期温度 o oCから両端面を突然1000Cに加熱された場合について計算した。 短円筒は全周拘 束されていないものとし、 他の条件は図6.22の場合と同じとした。 図6.25にそれ ぞれの高さに対する時間t=5secにおける円周方向の熱応力分布を示す。

6.2.5 球形空間を有する無限体 (3次元問題として〉

図6.26に示すように半径10・・の球形空間を有する無限体の非定常熱応力を求め た。 初期温度o oCの状態から内側表面が1000Cに突然加熱されたものとする。 要素 分割は図6.26に示すように軸平面で20分割、 円周方向に29分割とした。 図6.27お

よび図6.28に時間ti.e= 1.0， 10.， 100secにおける温度分布および熱変位畳分布 をそれぞれ示す。 条件は， 温度伝導率16.12/S， ヤング率210GPa， ポアソン比O.

3， 線膨張率11X 10-6/ oCとし，時間分割数は4，要素は一定要素を用いた。 図6.29

-91-

(a)，(b)には半径方向および円周方向の熱応力分布を示す。 図6.29の実線は厳密解 であり、 精度よく解が求められることが分かる。

6.2.6 円環体 ( 3次元問題として)

次に円環体の熱応力を求めた。 円環の太さは1011，中心から円環の中心までの距 離を151mとし、 図6.30のように要素分割を行う。 物性値は6.2.5の計算例と同じも のとし、 初期状態OOCから表面温度を100・Cに急速に加熱されたものとする。 図6 .31(a)，(b)はそれぞれ時間0.5s， 2.0sにおける変位量を示す。 図6.32は円環体の

x ^- y平面における接線方向表面熱応力の時聞に関する変化を示す。

表6.1 材料の物性値

材料1 材料2

ヤン^グ率 GPa 210 210

ポアソン上七 0.3 0.3

熱膨張係数 ^K-1 llX 10-6 llX 10-6

温度伝導率 112S-1 16 7

-92-

q=O

1000C

10

形状 お よび軌平而上での要素分書IJ

Time 5.05 1.05 0.25 Exact

。 ロ

•

図6.8

50

υ。

φ」コザの

」ω(]εφト

15 Rad iU5 0

10

円1門1 中空円筒の温度分布

図6.⁹

-93-

Time

o

5.0 5 1

05 0

2 5

Exact

ロ

•

100

。

-200

の止でιωωむ」ザω

-300

20 15

Radiu5 10

円1門1 熱応力の厳密解との比較

図6. ¹⁰

-94-

1000C

。

15

偏平回転桁円体

100

50

図6.¹¹

O くJ

ω」コザの」ω(]εωト

Rd 4

3 Time 2

。

。

S 中心部の温度の変化

図6.12

Fhu nu

←→0.01 mm

(a) time=O.5sec

口一

(b) time=2.5sec

図6. ¹³ 偏平回転桁円体の表面の変位 -96-

図6. ¹⁴ 偏平 回転楕円体 の緩線方向表面応力分布

-97-

l! ^0.02mm

10

14

(a) time=O.5sec

(b) time=2.0sec

図6. 15 偏 平回転楕円環体の表 面変位

-98-

o N

図6. 16 偏平 回転楕円環体 の接線方向表 面応力分布

-99-

。

マーーー

15

図6. ¹⁷ 偏平回転楕円環体の形状と温度条件

| μ一

入 ぷc-

図6. ¹⁸ 偏平回転桁 円環体の表面温度分布

-100-

0.01mm

_....(・í-・一一・ドー一・ー\⑩l _{_}

....<8-

〆⑩'

ヘヂ

• Q-・

〆、a

' β.

司 ー/ぷ.

可._ ....C主

ゆ-_⑩~一⑩--(]・---qt ・

(a) t _i me=O. lsec

0 01mm

�...-ere-ひ・1勺�

、、，..._....--

にヘ ^___.

ye 一、γ --

φ・ ヤ ー ---

Q・ ふ一一一-e

G9G， ピo-_・

--0 ・ 3 ・ - 0 て . CK:é�

(b) time=1.0sec

苅6. 19 部分加熱を受 ける偏平 回転・楕円環体の表面変位

-101-

5M Pa 1.0

0.1 0.01

•

ロ

。

もí"-i一一・--e-

\くザグ

-tJ__♂-・一一面一 〆ぺ~、

部分加熱を受ける偏平回転楕円環体の接線方向表面応力分布 図6.20

q=o

。

q=O 1000C

ハ〉η/ム qーーゴAU

10

形状お よ び前h平面上での要素分�IJ (円周方向に29分割)

図6.21

-102-

二 ///

片 ト /げ/4 ハ〉

(〉

ハ〉

「J

0 0 0 100ト

の止てι

ωωω 」VAU ^{Exact σ8}

σ「

。

15 20 Rad i us 10

打1什1 (a) time=0.2s

//

ーフ8一。ー。

/

-200 ゾ

-300ト 100

の止でι 。

Exact

oé

σ「

•

。

-1 00ト

ωωφ 」江川

20

よ

10 15

Rad ius

熱応力の厳密解との比較 図6.22

-103-

60 40

の 止 で乙

。

Radius(mm)

o

10

•

11

・ 12 20

2 0

--・-ー •

---

�. .�

-60

.\. \\\ ロ----

�

-

\

�-

- Exact

ハ〉 勺/」

ωωω」

(J)

-40

-80

0 0.5 1.0 1.5 2.0

Time s

図6.23円周方向応力のu寺r:目的変化

-

-

100 0(

q=O q=O

ζ〉

N

。 10 1000(

2

図6.24 短円筒の上下釧が加熱された場介 150

100

Hight

(mm)

。10 • 4

・ 8 ふ 2

ロ 6 ^Â 0

，.--、、

�

:2

、、ー"

ωωω」

ー・-'ω 「コ ハU

_Â_Â

・ _­ Â-Ä---

-100

10 15

Radius

mm

2

図6.25 上下紛が加熱された短円筒の円周方向熱応力 -105-

形状 および軸 平面上での要素分割(球形空間) 図6.26

Time

t'lL

S S S に ゆ01

YM K1 仁」

•

ロ

。

100

50

0 10 φ」コザの」ω(]εφト

30 Rad i

温度分布(球形空間) 図6.27

-106-

vcωεωυの三ω一口 ε ュ

s ぽ s s d h川 0 0 1 G T ω

1 E -口 O lトー ハU

一

\

\ ぬ

・ 口

0

・ u o m ι'

r ふ J m ・ 口 O 一 \ 一 s r「 oヘ 」

o u

一 つム ・ ! / .

r k

一 d /

/ Ll 一O if--/ O 一 F ル メ UO 一 - /γ 一 斗 O ・ ロ 一 R \ 一 t a

Fh)

〈〉

図6.28 熱変位量の厳密解との比較(球形空間)

-107-

Time

o

1 0

S _/0-

100 s

0/

Exac t

。

/ /'

o "口

。 / ^{/ 口 /}

旬、/) / /

\

_{\-_ロ}

^{� /}

^{ロ /} _. ^{一 /' / / .}

. 畠/

\. J ./ ' ロ

•

。

- 50

-100

の止 でι

ωωω」ザムU

30 10 20

Rad ius

円1打1

(a)半径万向応力

100

・ O首 一戸一

0一口 ・

o- ロ ・ 一一/ / dJ

J Oニ ロ ・

6 口 ・ ア // 。 / 。 口 /ゾ . /U

0

0

.

ハU ハ〉

ぺ/」

ペベ，)

。

の丘 てノ←

Time 1 s 1 0 s 100 s Exact

。 ロ

•

ω ωω 」戸ω

よ

20 30 10

Radius

円1灯1

(b)円周方向応力

熱応力の厳密解との比較(!5R Jf3空間) 図6.29

- 1 0 8 -

図6.30

(a) ^time=0.5s

(b) ^time=2s 刈6.31 円環体の熱変位

1000(

-109-

- 300 -200 -100 . 0

Time

o

15

・ 25

o -100 -200 -300 St re55 MPa

図6.32 円環体 の表面接線方向熱応力

-110-

6 ・ 3 �I:定�tj1; 3次元問題における計算例

本論文の3次元�I:定?;1;熱応力問題の定式化の制度をr<<rかめるために、 区16.33の 立万体の�I:定常熱応力を計算した。 初WJ温度はo OCとし、 (Xl，0，X3)の而の潟皮が 急に1000Cになった場合である。 材料の物性他は表6.1の材料1のものを使用する。

この計算例は厚さ20mmの無限板の両而が急激に加熱された場合を想定したもので、

(Xl，0，X3)の而は断熱状態であるとし、 力学 的条件もXlおよびX3方向の変位がない 無限板の条件で計算を行った。 図6.34に点(5，X2，5)での変位の変化を示す。 また、

図6.35にぴx 1 x 1方向の応力分布を示す。 図6.34および6.35の実線は厳密航!を示す

( 57)

。

。

1000C

図6.33 3次元問題 の 要素分割

-111-

ε0.02 ε

c <lJ

ε

3001←

rO

‘〉 亡〕

S S S 「り

わい

5

2

1 0

0 /ー

ノ 0 ・ - 斗 J 斗 ロ ム / / r 一 一

- 0 ・

ロ ム / / J 一

一 - 0 ・ ロ ム

/ /

/一 一 - 0 ・

ロ ム

///一 一

- 0・ロ

ム 一 ，4 にJ ///r 一 一 一 - A 得/づ 一 .】同U A一 一 V下 一 4 一 ・・ 一 ーーーピ ハU ハ〉

ト

一- ^Exact

ハ]ω 一O

10

X2 門1円1

図6.34 X2方向の変位

- 100

一-

ハ〉ハ〉 ぺ〈，V の止てι

ハU(〉 門/」 ωωφ」〕の

2s

ls

。

。

「「〉

x2

図6.35 応力分布(O'xlxl)

一112-

6 ・ 4 異種接合材における計算例

熱膨張係数や弾性係数などの物性値が異なる部材を接合した場合に、 熱応力に よる破損が生じたり、 熱ひずみによる" そり" などの問題が生じたりすることが よくある。 そこで、 異種接合材の計算例として複合円筒の熱応力を計算し、 セル を設定する従来の境界要素法による値と比較した。 図6.36(a)，(b)にそれぞれセル

を設定する場合の要素分割と本解法に用いた要素分割jを示す。 材料定数は表6.2に 示すものを使用し、 内側円筒に材料1、 外側円筒の材料2を用いる。 初期温度OOC で、 内側表面温度が1000Cになったとする。 外側表面温度はOOCに保たれているも のとし、 熱伝導率比λ1 /λ2 =0.5，熱通過率K=∞とした。 図6.37に時間t=30secおけ る応力分布を示す。

多領域問題での計算手法の応用例として、 図6.38のように、 不均一加熱を受け る複合円筒の熱応力を計算した。 全周温度指定の場合は解析的に解かれているが (71)、 熱伝達率を考慮したものは解析されていない。 材料定数は表6.2に示すとお りである。 半径は内側から10・11， 201.， 30111とした。 初期温度OOCで、 外側表面の 半分が1000Cに加熱されたものとし、 外側表面の他の部分の相対温度伝達率hl=O.

11.-1とした。 内側表面温度はOOCに保たれているものとし、 熱伝導率比λ1/λF 0.5，熱通過率K=∞とした。 図6.39に時間t=10sの温度分布を示す。 図6.40(a)- (d)には時間t=2s，10sの角度θ=1 50 ，7 50 の熱応力分布を示す。 以上のように、 非

軸対称加熱を受ける複合円筒は複雑な熱応力の変化を示す。

表6.2 材料の物性値

材料1 材料2 ヤング率 GPa 441 206 ポアソン比 0.2 5 0.3 熱膨張係数 K-1 5 X 10-₆ 1 1 ^X 10-6

温度伝導率 ・.2 s-1 16 7

-113-

。Oc

100

(a)

〆，、、 、、，J・hυ

図6.36 セルを設定する場合の要素分割!と本解法に用いた要素分割j

50

r、〆....0プ-;:::0，--0

}圃』ーo=-二・O二二

\ / 0

〆

0=ー ー

F〆

-w・ ・r

富一

��.. - v

。

• Ur

。

。 σ。

-- C

II

& 0

芝

「hd (U

ω

む-1 00

ú)

-150

-200

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Radius

図6.37 被合円筒の熱応力( t二30sec) -114-

h T5

G

図6.38 不均一加熱を受ける被合円筒

100

•

150 /グ

仁J

。

ω コ

:501-D

Q.

ε

o

450

・600

750

ト(LI

， ・ 一4 O〆O r m 一 t 。/ρ O / 口 園 一 一 次 1J 内凶 直車

-0・口

//

γ))S -Ilo--tEl」げよ」

/

Jd / 叶 一 応

/ 「一一 r dh

ハ) ハU -一 -

由 'D J一

図6.39 溜度分布(t=10sec)

-115-

〆"

/ J / /

\

\

\

\

一ーに

一- ⁽¹⁸

。=150 1

Time=2s 100

-1 00

-200

。

の止でι

ωωω」}ω

30 円1円1 20 Rad ius 10

θ= 150 (a)

一一 ^σ「

σ d θ= 750 Time=2s 200い

1 00

の止でL

ωωφ」}ω

\ \ \ \ \ \ 、

\

。

-100

30 灯1円1 20 Radius 10

。=750 熱応力分布(t=2s)

、，ノtnu ft、、

図6.40

-116-

一一同 一σd

巾止芝 500

。= 150

1

Time=10s

I I ト

250

\

ビ±ゴ竺ミ

。 目的。」ザω

-250 ト

30 円1円1 20

Rad ius 10

。=15.

(c)

一- CJr

1 一一一σ6

8 = 750 Time=10s

I

、

戸;ー\

、 ド、

1

\ \

\

、

\ 、

、

500

ハUFhd 勺ノι巾

止芝

。

-250 ωωω」ザω

30 円1門1 20 Radius 10

。=75.

熱応力分布(t=10s) (d)

図6.40

-117-

6 ・ 5 内部熱発生のある場合の計算例

4・ 5節の定式化による解の精度を確かめるために、 両端を拘束した全領域に 均一熱発生を伴う半径101111の円柱の熱応力を求めた。 初期温度をOOCとし、 表面は 温度o OCに保たれているものとする。 本解析法による数値計算では要素分割数72 、 時間分割数40で行った。 円柱の外表面は拘束されていないものとした。 図6.41に 温度分布を， 図6.42に熱応力分布を示す。 条 件は， 温度伝導率16..2/s ， ヤング率 210GPa， ポアソン比0.3 ， 線膨張率11X 10-6K-1とし、 熱発生に関する量W/cρ=1 o OC /sとした。 図6.42の実線は厳密解であり， 時間t=2.0， 1.0， 0.5， 0.2 sに対し

比較を行った。

図6.43は均一熱発生を伴う 四角孔をもっ上下端を拘束された円筒の要素分割を 示す。 図6.44は図6.43のA点における温度変化を示す。 図6.45は四角孔の内側表面 の時間t=20， 5， 2sにおける熱応力分布を示す。 四角孔の一辺を20・・ 、 隅部の半径 を3m.、 円筒の半径を25..とした。 四角孔の内側表面温度は0・c、 円筒の外側表面

は断熱状態とし、 内外表面は拘束されていないものとした。 他の条件は前の計算 例と同じである。

次に、 半径40..の中心部に 均一熱発生を伴う半径 100..の円板の熱応力を求めた

(4 )。 熱発生量W/cρ=1・c/sとし、 初期温度をOOC、 外周表面および上下表面は断 熱されているものとする。 本解析法による数値計算では図6.46に示すように要素 分割数72 、 時間分割数40で 行った。 円柱の外表面は拘束されていないものとした。

図6.47に温度分布を， 図6.48に円周方向の熱応力分布を示す。 条件は， 温度伝 率1611.2/s ， ヤング率210GPa， ポアソン比0.3 ， 線膨張率llX 10-6K-1とし、 熱発生 に関する量W/cρ=10・c/sとした。 図6.48の実線は厳密解であり， 時間t=10， 25，

50sに対し比較を行った。 図6.48より、 精度よく解が 求められることが分かる。

図6.49は円形領域に熱発生を伴う 四角形の要素分割lを示す。 図6.50は四角形の 外周の変位を示す。 図6.5 1は四角形の外周表面の時間t=50， 25， 10sにおける熱応 力分布を示す。 四角形の一辺を140閥、 円の半径を40..とした。 四角形の外周表面

温度はOOC、 上下表面は断熱状態とし、 外周表面は拘束されていないものとした。

他の条件は図6.46の場合と同じである。

-118-

1 5

�10 コ

L の

<lJ 仁LE トーω にJ u

O

10 5

Radius

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付1門1 熱発生を{、ドう円位の温度分布 図6.41

Time 2.0 s 1.0 s 0.5 s 0.2 一- Exact

S

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国

ロ 20ト

10ト の止でι

ωω

ω」}ω

二二。

斗

5 Radius

。 10

円1門1 熱発生を伴う円住の熱応力 文]6.42

一119-

4・h

10 25

熱発生を伴う四)'j孔をもっ円柱の要素分111J

/ //

100

50

図6.43

υo

φ」コザの」φ(]ε

φ ト

50 30 40

20 Time

一ハ〉 10

ハ〉

S

熱発生を1�1�う四)Tj孔をもっ円柱の温度の変化 玄16.44

-120-

-

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田・圃ー圃ー圃ー圃一・�- 0・0-0-0-0-0-0

Time 2 0

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圃

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•

300

100 200

の止 芝 ωωω」ru

熱発生をイ、I�う四;7J孔をもっ円住の表面熱応力分布

100

図6.45

熱発生を伴う円板 図6.46

-121-

50

O{ \一

O 円 O \\

白 血

\

‘ 、 ロ O - 、O ロ ・ 同 \ O 口

・ \ー

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\ 、 ロ O ロ

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~ 一 O 口

・

Time 1 0 25 50 Exact

• ロ

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40

30

10 20

とコザの」φ(]εφト

100 25 50 75

Rad ius

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。

打1門1 熱発生を伴う円板の温度分布 図6.47

ハ__0ー-a._

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O 門一一門 -

J口_� _{w-u_}

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Time 10 5 25 5 505 - Exact 口

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•

30 20

。 10

の丘 てι 山山ω」日ω

円II 斗 Fhd

25 50 Radiu5 -40

0

円1打1

熱発生を伴う円板の円周方向熱応力分布 図6.48

-122-

T= OO(

T=OU(

図6.49 円形領域に熱発生を伴う四角形仮の形状と要素 分割l

0.01

(a) ^time=25s

0.01

4 k

� �

+一一一ー一一ー 一一一一一一一 ー一一一一一一一-

(b) ^time=50s 図6.50 熱発生を伴う四角形板の熱変形

-123-

50 25

+一一一一一 ^ー

熱発生を伴う四角形仮の外周表面熱応力分布 刈6.51

-124-

6 ・ 6 定常問題における計算例

2次元定常問題の計算例として、 線熱源を含む全周拘束のない正方形領域の温 度分布および熱応力を求めた。 材料定数は， ヤング率210GPa， ポアソン比0.3， 線 膨張率llX 10-6K-1とした。 図6.52(a)，6.46(b)に示すように一辺が100mllで中央に 長さ5011の線熱源が存在し、 外周はo OCに保たれている。 線熱源の強さはλWL=1 o oC .11-1とし、 図6.52(a)の線熱源はy軸に平行であり、 図6.53(a)の線熱源は45度 傾いている。 温度分布は図6.52(b)，6.53(b)に示す。 図6.52(c)，6.53(c)には熱応 力分布(σxx ) を示す。

間接法および直接法による温度場による解法の比較のために、 図6.54に示すよ うな中空円筒の熱応力を求めた。 3次元の式を用いて計算を行っており、 円周方 向には29分割し、 要素は一定要素を用いた。 材料定数は， ヤング率210GPa， ポア ソン比0.3， 線膨張率llX 10-6K-1とした。 内側表面は100・Cに加熱されており、 外 側表面温度は1000Cに保たれているものとする。 図6.55(a)，(b)はそれぞれ間接法 および直接法の温度場による表面変位分布を示す。 また、 図6.56(a)，(b)には同様 に間接法および直接法の温度場による相当表面外力分布を示す。 温度場から求め られる熱弾性変位ポテンシ ャルによる変位場および応力場は、 間接法と直接法に よりかなり異なる。 図6.57にはそれぞれの解法により求めた円周方向応力分布の 比較を示す。 図6.57における実線は厳密解であり、 直接法によるものより間接法 による値のほうが精度が良い。 これは、 直接法による解法では特異性が強くなる ためであろう。

計算例として、 図6.58に示すような内側表面が加熱されているカップ形状体の 変位分布および熱応力分布を求めた。 カップの内半径および外半径はそれぞれ7 111，10111とし、 内周の隅部の半径は2..とした。 内側表面は1000Cに加熱されており、

外側表面における相対熱伝達率は0.05， 0.1， 0.5..-1の3通りとし，外側外周温度 はOOCとした。 材料定数は， ヤング率210GPa， ポアソン比0.3， 線膨張率11X 10-6 K-1とした。 図6.59には相対熱伝達率が 0.1..-1の場合の変形量を示す。 図6.60

(a)，(b)にはそれぞれ内側および外側表面における円周方向応力分布を示す。

-125-

1 5

<l.J L

;; 10

<lJ 仁L

ε <l.J トー

にJ

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O しJ

X

小

小 一日

ì _...:;;惨

100

4こ

y

00←

100

円1門1 X

50

(b)混度分布 (a)形状

ロ ロ\ロ

/ \

ロ ロ

/ \

lJ/ /O/O\O

。 ororO

~0~0込

-\ . " . 圃 /U/ -

" / .

\ '." - / ・ / ロY=90・\ /

-10トo Y 80

Y= 70 ・ \ 畠 ・ /

•

Y=60 210

ωωω」ザω

100

。 50

円1円1 X

熱応力分布

線熱源による熱応力 (c)

図6.52

-126-

100 50

15

Q;

当10

「ぢ

L.

Q;

a

E

Q;

トー 広J

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しJ

O

X

。OC

00←

100 y

円1円1 X

(b)温度分布 (a)形状

/ロ \ロ

/ \ロ

/ロ _0-0-0... 、 \O � ^� �O、 、

，...， r-. ... ^{〆\、 ロ}

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_ �

-10 ト

|

I

\ I

ムy=60 -20� ^• Y=50

rU

210ト

日ωω」日ω

よRd ハU V〈 100

。

円1門1

(c)熱応力分布

線熱源による熱応力 図6.53

-127-

1000(

10

20

(円周方向に29分割) 図6.54 中 空 円 筒の形状

-128-

ζ〉

or-

• li--

廷一ータ

(a)間接法の温度場を用いる場ム

廷一一う

(b)直緩法の温度場を用いる場ム 図6.55 変位場の比較

-

-

(a)間接法の温度場を用いる場ム

(b)直緩法の温度場を用いる場合 図6.56 応力場の比較

-130-

100MPa

廷ーーラ

100MPa

廷一一〉

1-

100←

ト

ト

-100ト

。 の止でLωωω」ザω

20 一- Exac t

戸〉U しにJ，G-1a 内門

円1門1

黒丸:間接法の温度場を用いる場ム 也接法の温度場を用いる場ム 円筒の円周方向熱応力分布 白丸:

図6.57

。

7 OOc

(円周方向に29分割) カップ形状の物体 図6.58

一131-

図6.59 カップ形状体の熱変位分布Ch=O.lmm-1)

-132-