正多面体の存在条件

例題

3

例

正多面体の存在条件

数 A

正多面体の存在条件

条件１：１つの頂点に集まる面の数が３以上      ５以下である

条件２：１つの頂点に集まる角の大きさの和は      360°^{より小さい}

正方形

90°

正三角形

60°

正五角形

108°

正六角形

120° 120 × 3 = 360 < 360

条件２を満たさない

頂点の数 

＝面の数×１つの面の頂点の数÷１つの頂点に集まる面の数

辺の数 

＝面の数×１つの面の辺の数÷１つの辺に集まる面の数

v = f × 3 ÷ 3 = f ∴ v = f

e = f × 3 ÷ 2 = 3f

2 ∴ e = 3f 2

オイラーの多面体定理より， v −e + f = 2 f − 3f

2 + f = 2 ∴ f = 4

各面が三角形である正多面体において，１つの頂点に 集まる面の数が３のとき，正多面体をオイラーの多面 体定理を用いて求めなさい。

解

よって，

正四面体

三角形なので，

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